Номер Скьюза

Нерешенная задача по математике :

Каково наименьшее число Скьюза?

В чисел теории число Скьюза — это любое из нескольких больших чисел, использованных южноафриканским математиком Стэнли Скьюзом в качестве верхней границы наименьшего натурального числа. $x$ для чего

\pi (x)>\operatorname {li} (x),

где $π$ — функция подсчета простых чисел , а $li$ — логарифмическая интегральная функция . Число Скьюза гораздо больше, но теперь известно, что существует пересечение между $\pi (x)<\operatorname {li} (x)$ и $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$ около $e^{727.95133}<1.397\times 10^{316}.$ Неизвестно, является ли это самым маленьким переездом.

Числа Скьюза

Дж. Э. Литтлвуд , который был научным руководителем Скьюза , доказал в Литтлвуде (1914) , что такое число существует (и, следовательно, первое такое число); и действительно обнаружил, что знак разности $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ меняется бесконечно много раз. Все доступные тогда численные данные, по-видимому, предполагали, что $\pi (x)$ всегда было меньше $\operatorname {li} (x).$ Однако доказательство Литтлвуда не выявило конкретного такого числа. $x$ .

Скьюс (1933) доказал, что, если предположить, что гипотеза Римана верна, существует число $x$ нарушение $\pi (x)<\operatorname {li} (x),$ ниже

e^{e^{e^{79}}}<10^{10^{10^{34}}}.

Не принимая гипотезу Римана, Скьюс (1955) доказал, что существует значение $x$ ниже

e^{e^{e^{e^{7.705}}}}<10^{10^{10^{964}}}.

Задача Скьюза заключалась в том, чтобы сделать доказательство существования Литтлвуда эффективным : указать конкретную верхнюю границу для первой смены знака. По словам Георга Крайзеля , в то время это не считалось очевидным даже в принципе.

Более поздние оценки

Эти верхние границы с тех пор были значительно уменьшены за счет использования крупномасштабных компьютерных расчетов нулей Римана дзета-функции . Первую оценку фактического значения точки пересечения дал Леман (1966) , который показал, что где-то между $1.53\times 10^{1165}$ и $1.65\times 10^{1165}$ есть более чем $10^{500}$ последовательные целые числа $x$ с $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$ .Не принимая гипотезу Римана, HJJ te Riele ( 1987 ) доказал верхнюю границу $7\times 10^{370}$ . Более точная оценка была $1.39822\times 10^{316}$ обнаружен Бэйсом и Хадсоном (2000) , которые показали, что существует, по крайней мере, $10^{153}$ последовательные целые числа где-то рядом с этим значением, где $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$ . Бэйс и Хадсон обнаружили несколько гораздо меньших значений $x$ где $\pi (x)$ приближается к $\operatorname {li} (x)$ ; возможность существования точек пересечения вблизи этих значений, по-видимому, еще не полностью исключена, хотя компьютерные расчеты показывают, что они вряд ли существуют. Чао и Плимен (2010) немного улучшили и скорректировали результат Бэйса и Хадсона. Саутер и Демишель (2010) обнаружили меньший интервал для пересечения, который был немного улучшен Зеговицем (2010) . Тот же источник показывает, что существует ряд $x$ нарушение $\pi (x)<\operatorname {li} (x),$ ниже $e^{727.9513468}<1.39718\times 10^{316}$ . Это можно свести к $e^{727.9513386}<1.39717\times 10^{316}$ приняв гипотезу Римана. Столл и Демишель (2011) дали $1.39716\times 10^{316}$ .

Год	около х	№ комплекса используются нули	к
2000	1.39822 × 10 ³¹⁶	1 × 10 ⁶	Бэйс и Гудзон
2010	1.39801 × 10 ³¹⁶	1 × 10 ⁷	Чао и Плимен
2010	1.397166 × 10 ³¹⁶	2.2 × 10 ⁷	Саутер и Демишель
2011	1.397162 × 10 ³¹⁶	2.0 × 10 ¹¹	Столл и Демишель

Строго говоря, Россер и Шенфельд (1962) доказали, что нет точек пересечения ниже $x=10^{8}$ , улучшенный Брентом (1975) до $8\times 10^{10}$ , Котник (2008) это $10^{14}$ , ) Платт и Трудгиан ( 2014 $1.39\times 10^{17}$ и ) Бюте ( 2015 $10^{19}$ .

Нет явного значения $x$ известно наверняка, что у него есть собственность $\pi (x)>\operatorname {li} (x),$ хотя компьютерные расчеты предполагают некоторые явные цифры, которые вполне могут удовлетворить это требование.

Несмотря на то, что естественная плотность целых положительных чисел, для которых $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$ не существует, Винтнер (1941) показал, что логарифмическая плотность этих положительных целых чисел существует и положительна. Рубинштейн и Сарнак (1994) показали, что эта пропорция составляет около 0,00000026, что удивительно велико, учитывая, как далеко нужно зайти, чтобы найти первый пример.

Формула Римана

Риман дал явную формулу для $\pi (x)$ , чьи ведущие члены (игнорируя некоторые тонкие вопросы сходимости)

\pi (x)=\operatorname {li} (x)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })+{\text{smaller terms}}

где сумма равна всем $\rho$ в множестве нетривиальных нулей дзета-функции Римана .

Наибольший член ошибки в приближении $\pi (x)\approx \operatorname {li} (x)$ (если гипотеза Римана верна) отрицательна ${\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})$ , показывая это $\operatorname {li} (x)$ обычно больше, чем $\pi (x)$ . Остальные термины, приведенные выше, несколько меньше и, кроме того, имеют тенденцию иметь разные, казалось бы, случайные комплексные аргументы , поэтому в основном сокращаются. Однако иногда несколько более крупных из них могут иметь примерно один и тот же сложный аргумент, и в этом случае они будут усиливать друг друга, а не отменять и подавлять термин. ${\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})$ .

Причина, по которой число Скьюса настолько велико, заключается в том, что эти меньшие члены намного меньше , чем главный член ошибки, главным образом потому, что первый комплексный ноль дзета-функции имеет довольно большую мнимую часть , поэтому большое число (несколько сотен) из них должны иметь примерно одинаковые аргументы, чтобы подавить доминирующий термин. Шанс на $N$ случайные комплексные числа, имеющие примерно одинаковый аргумент, составляют около 1 в $2^{N}$ .Это объясняет, почему $\pi (x)$ иногда больше, чем $\operatorname {li} (x),$ а также почему такое случается редко.Это также показывает, почему поиск мест, где это происходит, зависит от крупномасштабных вычислений миллионов высокоточных нулей дзета-функции Римана.

Приведенный выше аргумент не является доказательством, поскольку предполагает, что нули дзета-функции Римана случайны, что неверно. Грубо говоря, доказательство Литтлвуда состоит из аппроксимационной теоремы Дирихле, призванной показать, что иногда многие термины имеют примерно один и тот же аргумент.В случае, если гипотеза Римана неверна, аргументация намного проще, главным образом потому, что члены $\operatorname {li} (x^{\rho })$ для нулей, нарушающих гипотезу Римана (с действительной частью больше ⁠ 1 / 2 ⁠ ) в конечном итоге больше, чем $\operatorname {li} (x^{1/2})$ .

Причина термина ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})$ это, грубо говоря, $\mathrm {li} (x)$ на самом деле считает степени простых чисел , а не сами простые числа, с $p^{n}$ взвешенный по ${\frac {1}{n}}$ . Термин ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})$ примерно аналогично поправке второго порядка, учитывающей квадраты простых чисел.

Эквивалент для простых k -кортежей

Эквивалентное определение числа Скьюза существует для простых k -кортежей ( Tóth (2019) ). Позволять $P=(p,p+i_{1},p+i_{2},...,p+i_{k})$ обозначим простой ( k + 1)-кортеж, $\pi _{P}(x)$ количество простых чисел $p$ ниже $x$ такой, что $p,p+i_{1},p+i_{2},...,p+i_{k}$ все простые, пусть $\operatorname {li_{P}} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\ln t)^{k+1}}}$ и пусть $C_{P}$ обозначим его константу Харди–Литтлвуда (см. Первую гипотезу Харди–Литтлвуда ). Тогда первое простое число $p$ что нарушает неравенство Харди–Литтлвуда для ( k + 1)-кортежа $P$ , т. е. первое простое число $p$ такой, что

\pi _{P}(p)>C_{P}\operatorname {li} _{P}(p),

(если такое простое число существует) является числом Скьюса для $P.$

В таблице ниже показаны известные на данный момент числа Скьюса для простых k -кортежей:

Простой k -кортеж	Число перекосов	Найден пользователем
( п , п + 2)	1369391	Волк (2011)
( п , п + 4)	5206837	Тот (2019)
( р , р + 2, р + 6)	87613571	Тот (2019)
( р , р + 4, р + 6)	337867	Тот (2019)
( р , р +2, р +6, р +8)	1172531	Тот (2019)
( р , р + 4 , р +6 , р + 10)	827929093	Тот (2019)
( р , р +2, р +6, р +8, р +12)	21432401	Тот (2019)
( р , р +4 , р +6 , р + 10, р + 12)	216646267	Тот (2019)
( п , р +4, р +6, р +10, р +12, р +16)	251331775687	Тот (2019)
( п , п +2, п +6, п +8, п +12, п +18, п +20)	7572964186421	Пфертнер (2020)
( п , п +2, п +8, п +12, п +14, п +18, п +20)	214159878489239	Пфертнер (2020)
( п , п +2, п +6, п +8, п +12, п +18, п +20, п +26)	1203255673037261	Пфертнер / Лун (2021)
( п , п +2, п +6, п +12, п +14, п +20, п +24, п +26)	523250002674163757	Лун / Пфертнер (2021)
( п , п +6, п +8, п +14, п +18, п +20, п +24, п +26)	750247439134737983	Пфертнер / Лун (2021)

Число Скьюса (если оно существует) для сексуальных простых чисел $(p,p+6)$ до сих пор неизвестно.

Также неизвестно, все ли допустимые k -кортежи имеют соответствующее число Скьюса.

См. также

Теоремы Мертенса § Изменение знака

Ссылки

Бэйс, К.; Хадсон, Р.Х. (2000), «Новая граница для самых маленьких $x$ с $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$ Математика (PDF) , вычислений , 69 (231): 1285–1296, doi : 10.1090/S0025-5718-99-01104-7 , MR 1752093 , Zbl 1042.11001
Брент, Р.П. (1975), «Неравномерности в распределении простых чисел и простых чисел-близнецов», Mathematics of Computation , 29 (129): 43–56, doi : 10.2307/2005460 , JSTOR 2005460 , MR 0369287 , Zbl 0295.10002
Бюте, Ян (2015), Аналитический метод ограничения $\psi (x)$ , arXiv : 1511.02032 , Bibcode : 2015arXiv151102032B
Чао, Куок Фай; Плимен, Роджер (2010), «Новый путь для самых маленьких». $x$ с $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$ », Международный журнал теории чисел , 6 (3): 681–690, arXiv : math/0509312 , doi : 10.1142/S1793042110003125 , MR 2652902 , Zbl 1215.11084
Котник, Т. (2008), «Функция подсчета простых чисел и ее аналитические аппроксимации», « Достижения в области вычислительной математики» , 29 (1): 55–70, doi : 10.1007/s10444-007-9039-2 , MR 2420864 , S2CID 18991347 , Збл 1149.11004
Леман, Р. Шерман (1966), «О разнице $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ " , Acta Arithmetica , 11 : 397–410, doi : 10.4064/aa-11-4-397-410 , MR 0202686 , Zbl 0151.04101
Литтлвуд, Дж. Э. (1914), «О распределении простых чисел», Comptes Rendus , 158 : 1869–1872, JFM 45.0305.01.
Платт, диджей; Трудджиан, Т.С. (2014), О первой смене знака $\theta (x)-x$ , arXiv : 1407.1914 , Bibcode : 2014arXiv1407.1914P
те Риле, HJJ (1987), «О знаке различия $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ ", Математика вычислений , 48 (177): 323–328, doi : 10.1090/s0025-5718-1987-0866118-6 , JSTOR 2007893 , MR 0866118
Россер, Дж. Б. ; Шенфельд, Л. (1962), «Приблизительные формулы для некоторых функций простых чисел», Illinois Journal of Mathematics , 6 : 64–94, doi : 10.1215/ijm/1255631807 , MR 0137689
Саутер, Янник; Демишель, Патрик (2010), «Острый регион, где $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ положителен», Mathematics of Computation , 79 (272): 2395–2405, doi : 10.1090/S0025-5718-10-02351-3 , MR 2684372
Рубинштейн, М.; Сарнак, П. (1994), «Смещение Чебышева» , Экспериментальная математика , 3 (3): 173–197, doi : 10.1080/10586458.1994.10504289 , MR 1329368
Скьюс, С. (1933), «О разнице $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ ", Журнал Лондонского математического общества , 8 : 277–283, doi : 10.1112/jlms/s1-8.4.277 , JFM 59.0370.02 , Zbl 0007.34003
Скьюс, С. (1955), «О разнице $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ (II)», Труды Лондонского математического общества , 5 : 48–70, doi : 10.1112/plms/s3-5.1.48 , MR 0067145
Столл, Дуглас; Демишель, Патрик (2011), «Влияние $\zeta (s)$ комплексные нули на $\pi (x)$ для $x<10^{10^{13}}$ ", Математика вычислений , 80 (276): 2381–2394, doi : 10.1090/S0025-5718-2011-02477-4 , MR 2813366
Тот, Ласло (2019), «Об асимптотической плотности простых k-кортежей и гипотезе Харди и Литтлвуда» (PDF) , Computational Methods in Science and Technology , 25 (3), doi : 10.12921/cmst.2019.0000033 , S2CID 203836016 .
Винтнер, А. (1941), «О функции распределения остаточного члена теоремы о простых числах», American Journal of Mathematics , 63 (2): 233–248, doi : 10.2307/2371519 , JSTOR 2371519 , MR 0004255
Вольф, Марек (2011), «Число Скьюса для простых чисел-близнецов: подсчет изменений знака π2(x) − C2Li2(x)» (PDF) , Computational Methods in Science and Technology , 17 : 87–92, doi : 10.12921/ cmst.2011.17.01.87-92 , S2CID 59578795 .
Зеговиц, Стефани (2010), О положительной области $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ (магистр), магистерская диссертация, Манчестерский институт математических наук, Школа математики, Манчестерский университет

Внешние ссылки

Демичелс, Патрик. «Функция подсчета простых чисел и связанные с ней темы» (PDF) . Демишель . Архивировано из оригинала (PDF) 8 сентября 2006 г. Проверено 29 сентября 2009 г.
Азимов, И. (1976). «На вертеле!». О делах больших и малых . Нью-Йорк: Ace Books. ISBN 978-0441610723 .