Причинная структура

В математической физике причинная структура лоренцева многообразия описывает причинные связи между точками в многообразии.

Введение

В современной физике (особенно в общей теории относительности ) пространство-время представляется лоренцевым многообразием . Причинные связи между точками многообразия интерпретируются как описание того, какие события в пространстве-времени могут влиять на какие другие события.

Причинная структура произвольного (возможно, искривленного) лоренцева многообразия усложняется наличием кривизны . Обсуждение причинной структуры таких многообразий должно быть сформулировано в терминах гладких кривых, соединяющих пары точек. Тогда условия на касательных векторах кривых определяют причинно-следственные связи.

Касательные векторы

Если $\,(M,g)$ является лоренцевым многообразием (для метрики $g$ на коллекторе $M$ ) то ненулевые касательные векторы в каждой точке многообразия можно разделить на три непересекающихся типа.Касательный вектор $X$ является:

похоже на время, если $\,g(X,X)<0$
нулевой или светоподобный , если $\,g(X,X)=0$
пространственноподобный, если $\,g(X,X)>0$

Здесь мы используем $(-,+,+,+,\cdots )$ метрическая подпись . Мы говорим, что касательный вектор непространственноподобен, если он равен нулю или времениподобен.

Каноническое лоренцево многообразие — это пространство-время Минковского , где $M=\mathbb {R} ^{4}$ и $g$ — плоская метрика Минковского . Названия касательных векторов взяты из физики этой модели. Причинно-следственные связи между точками пространства-времени Минковского принимают особенно простую форму, поскольку касательное пространство также является $\mathbb {R} ^{4}$ и, следовательно, касательные векторы можно отождествить с точками пространства. Четырехмерный вектор $X=(t,r)$ классифицируется по признаку $g(X,X)=-c^{2}t^{2}+\|r\|^{2}$ , где $r\in \mathbb {R} ^{3}$ - декартова координата в трехмерном пространстве, $c$ - константа, представляющая универсальный предел скорости, а $t$ это время. Классификация любого вектора в пространстве будет одинаковой во всех системах отсчета, связанных преобразованием Лоренца (но не общим преобразованием Пуанкаре , поскольку при этом начало координат может быть смещено) из-за инвариантности метрики.

Ориентированность во времени

В каждой точке в $M$ точки времениподобные касательные векторы в касательном пространстве можно разделить на два класса. Для этого мы сначала определим отношение эквивалентности на парах времениподобных касательных векторов.

Если $X$ и $Y$ являются двумя времениподобными касательными векторами в точке, мы говорим, что $X$ и $Y$ эквивалентны (записаны $X\sim Y$ ) если $\,g(X,Y)<0$ .

Тогда существуют два класса эквивалентности , которые между собой содержат все времениподобные касательные векторы в точке.Мы можем (произвольно) назвать один из этих классов эквивалентности ориентированным в будущее , а другой — ориентированным в прошлое . Физически такое обозначение двух классов времениподобных векторов, направленных в будущее и прошлое, соответствует выбору стрелы времени в точке. Обозначения, ориентированные на будущее и прошлое, могут быть расширены до нулевых векторов в точке за счет непрерывности.

Лоренцево многообразие ориентируемо по времени. ^[1] если непрерывное обозначение направленных в будущее и направленных в прошлое для непространственноподобных векторов может быть сделано по всему многообразию.

Кривые

Путь в $M$ представляет собой непрерывную карту $\mu :\Sigma \to M$ где $\Sigma$ — невырожденный интервал (т. е. связное множество, содержащее более одной точки) в $\mathbb {R}$ . путь Гладкий имеет $\mu$ дифференцируемы соответствующее количество раз (обычно $C^{\infty }$ ), а правильный путь имеет ненулевую производную.

Кривая в $M$ — это образ пути или, точнее, класс эквивалентности образов путей, связанных перепараметризацией, т. е. гомеоморфизмами или диффеоморфизмами пути $\Sigma$ . Когда $M$ является ориентированным по времени, кривая ориентирована, если требуется, чтобы изменение параметра было монотонным .

Сглаживание правильных кривых (или путей) в $M$ можно классифицировать в зависимости от их касательных векторов. Такая кривая

хронологический (или времениподобный ), если касательный вектор времениподобен во всех точках кривой. Также называется мировой линией . ^[2]
null , если касательный вектор равен нулю во всех точках кривой.
пространственноподобен , если касательный вектор пространственноподобен во всех точках кривой.
причинный (или непространственный ), если касательный вектор времениподобен или равен нулю во всех точках кривой.

Требования регулярности и невырожденности $\Sigma$ гарантировать, что замкнутые причинные кривые (например, состоящие из одной точки) не допускаются автоматически во все пространства-времени.

Если многообразие ориентировано во времени, то непространственноподобные кривые можно дополнительно классифицировать в зависимости от их ориентации относительно времени.

Хронологическая, нулевая или причинно-следственная кривая $M$ является

направлено в будущее , если для каждой точки кривой касательный вектор направлен в будущее.
направлено в прошлое , если для каждой точки кривой касательный вектор направлен в прошлое.

Эти определения применимы только к причинным (хронологическим или нулевым) кривым, поскольку только времениподобным или нулевым касательным векторам можно присвоить ориентацию относительно времени.

Замкнутая времяподобная кривая — это замкнутая кривая, которая везде времениподобна, направленная в будущее (или всюду времениподобна, направленная в прошлое).
Замкнутая нулевая кривая — это замкнутая кривая, которая везде имеет нулевое значение, направленное в будущее (или всюду нулевое, направленное в прошлое).
Голономия отношения скорости изменения аффинного параметра вокруг замкнутой нулевой геодезической является фактором красного смещения .

Причинно-следственные связи

существует несколько причинно-следственных связей Между точками $x$ и $y$ в многообразии $M$ .

$x$ хронологически предшествует $y$ (часто обозначается $\,x\ll y$ ), если существует направленная в будущее хронологическая (времяподобная) кривая от $x$ к $y$ .
$x$ строго причинно предшествует $y$ (часто обозначается $x<y$ ), если существует направленная в будущее причинная (непространственноподобная) кривая из $x$ к $y$ .
$x$ причинно предшествует $y$ (часто обозначается $x\prec y$ или $x\leq y$ ) если $x$ строго причинно предшествует $y$ или $x=y$ .
$x$ Горизмос $y$ ^[3] (часто обозначается $x\to y$ или $x\nearrow y$ ) если $x=y$ или существует направленная в будущее нулевая кривая из $x$ к $y$ ^[4] (или, что то же самое, $x\prec y$ и $x\not \ll y$ ).

Эти отношения удовлетворяют следующим свойствам:

$x\ll y$ подразумевает $x\prec y$ (это тривиально следует из определения) ^[5]
$x\ll y$ , $y\prec z$ подразумевает $x\ll z$ ^[5]
$x\prec y$ , $y\ll z$ подразумевает $x\ll z$ ^[5]
$\ll$ , $<$ , $\prec$ являются транзитивными . ^[5] $\to$ не является транзитивным. ^[6]
$\prec$ , $\to$ являются рефлексивными ^[4]

Для точки $x$ в многообразии $M$ мы определяем ^[5]

Хронологическое будущее $x$ , обозначенный $\,I^{+}(x)$ , как множество всех точек $y$ в $M$ такой, что $x$ хронологически предшествует $y$ :

\,I^{+}(x)=\{y\in M|x\ll y\}

Хронологическое прошлое $x$ , обозначенный $\,I^{-}(x)$ , как множество всех точек $y$ в $M$ такой, что $y$ хронологически предшествует $x$ :

\,I^{-}(x)=\{y\in M|y\ll x\}

Аналогично определяем

Причинное будущее (также называемое абсолютным будущим ) $x$ , обозначенный $\,J^{+}(x)$ , как множество всех точек $y$ в $M$ такой, что $x$ причинно предшествует $y$ :

\,J^{+}(x)=\{y\in M|x\prec y\}

Причинное прошлое (также называемое абсолютным прошлым ) $x$ , обозначенный $\,J^{-}(x)$ , как множество всех точек $y$ в $M$ такой, что $y$ причинно предшествует $x$ :

\,J^{-}(x)=\{y\in M|y\prec x\}

Будущий нулевой конус $x$ как совокупность всех точек $y$ в $M$ такой, что $x\to y$ .
Прошлый нулевой конус $x$ как совокупность всех точек $y$ в $M$ такой, что $y\to x$ .
Световой конус $x$ как будущие и прошлые нулевые конусы $x$ вместе. ^[7]
в другом месте как точки, не находящиеся в световом конусе, причинном будущем или причинном прошлом. ^[7]

Точки, содержащиеся в $\,I^{+}(x)$ , например, можно добраться из $x$ по времениподобной кривой, направленной в будущее.Суть $x$ можно добраться, например, из точек, содержащихся в $\,J^{-}(x)$ направленной в будущее непространственноподобной кривой.

В пространстве-времени Минковского множество $\,I^{+}(x)$ — это внутренняя часть будущего светового конуса на $x$ . Набор $\,J^{+}(x)$ это полный световой конус будущего в $x$ , включая сам конус.

Эти наборы $\,I^{+}(x),I^{-}(x),J^{+}(x),J^{-}(x)$ определено для всех $x$ в $M$ в совокупности называются причинной структурой $M$ .

Для $S$ подмножество $M$ мы определяем ^[5]

I^{\pm }[S]=\bigcup _{x\in S}I^{\pm }(x)

J^{\pm }[S]=\bigcup _{x\in S}J^{\pm }(x)

Для $S,T$ два подмножества $M$ мы определяем

Хронологическое будущее $S$ относительно $T$ , $I^{+}[S;T]$ , это хронологическое будущее $S$ рассматривается как подмногообразие $T$ . Обратите внимание, что это совершенно другая концепция $I^{+}[S]\cap T$ что дает набор точек в $T$ которого можно достичь с помощью времяподобных кривых, направленных в будущее, начиная с $S$ . В первом случае кривые должны лежать в $T$ во втором случае нет. См. Хокинг и Эллис.
Причинное будущее $S$ относительно $T$ , $J^{+}[S;T]$ , является причинным будущим $S$ рассматривается как подмногообразие $T$ . Обратите внимание, что это совершенно другая концепция $J^{+}[S]\cap T$ что дает набор точек в $T$ которого можно достичь с помощью причинно-следственных кривых, направленных в будущее, начиная с $S$ . В первом случае кривые должны лежать в $T$ во втором случае нет. См. Хокинг и Эллис.
— Будущее множество это множество, закрытое в хронологическом будущем.
— Прошлый набор это набор, закрытый по хронологическому прошлому.
Неразложимое прошлое множество (IP) — это прошлое множество, которое не является объединением двух разных подмножеств открытого прошлого.
IP, который не совпадает с прошлым какой-либо точки в $M$ называется терминальным неразложимым прошлым множеством (TIP).
Правильный неразложимый набор прошлого (PIP) — это IP, который не является TIP. $I^{-}(x)$ является собственным неразложимым прошлым множеством (PIP).
Будущее развитие Коши $S$ , $D^{+}(S)$ это совокупность всех точек $x$ для которого каждое прошлое направляло нерастяжимую причинную кривую через $x$ пересекает $S$ хотя бы один раз. То же самое и с прошлым развитием Коши. Развитие Коши представляет собой объединение будущих и прошлых разработок Коши. Разработки Коши важны для изучения детерминизма .
Подмножество $S\subset M$ является хрональным, если не существует $q,r\in S$ такой, что $r\in I^{+}(q)$ или, что то же самое, если $S$ не пересекается с $I^{+}[S]$ .

Поверхность Коши представляет собой замкнутое хрональное множество, развитие Коши которого $M$ .
Метрика называется глобально гиперболической , если она расслаивается на поверхности Коши.
Множеством , нарушающим хронологию, называется множество точек, через которые проходят замкнутые времениподобные кривые.
Множество , нарушающее причинность, — это множество точек, через которые проходят замкнутые причинные кривые.
Границей множества, нарушающего причинность, является горизонт Коши . Если горизонт Коши создается замкнутыми нулевыми геодезическими, то с каждой из них связан коэффициент красного смещения.
Для причинно-следственной кривой $\gamma$ , алмаз причинный $J^{+}(\gamma (t_{1}))\cap J^{-}(\gamma (t_{2}))$ (здесь мы используем более широкое определение «кривой», согласно которому это просто набор точек), будучи точкой $\gamma (t_{1})$ в причинно-следственном прошлом $\gamma (t_{2})$ . Словами: причинный ромб мировой линии частицы. $\gamma$ совокупность всех событий, которые лежат как в прошлом, так и в каком-то моменте $\gamma$ и будущее какого-то момента в $\gamma$ . В дискретной версии причинный ромб представляет собой совокупность всех причинных путей, соединяющих $\gamma (t_{2})$ от $\gamma (t_{1})$ .

Характеристики

См. Пенроуз (1972), стр. 13.

точка $x$ находится в $\,I^{-}(y)$ тогда и только тогда, когда $y$ находится в $\,I^{+}(x)$ .
$x\prec y\implies I^{-}(x)\subset I^{-}(y)$
$x\prec y\implies I^{+}(y)\subset I^{+}(x)$
$I^{+}[S]=I^{+}[I^{+}[S]]\subset J^{+}[S]=J^{+}[J^{+}[S]]$
$I^{-}[S]=I^{-}[I^{-}[S]]\subset J^{-}[S]=J^{-}[J^{-}[S]]$
Горизм порождается нулевыми геодезическими конгруэнтностями.

Топологические свойства:

$I^{\pm }(x)$ открыт для всех точек $x$ в $M$ .
$I^{\pm }[S]$ открыт для всех подмножеств $S\subset M$ .
$I^{\pm }[S]=I^{\pm }[{\overline {S}}]$ для всех подмножеств $S\subset M$ . Здесь ${\overline {S}}$ это закрытие подмножества $S$ .
$I^{\pm }[S]\subset {\overline {J^{\pm }[S]}}$

Конформная геометрия

Две метрики $\,g$ и ${\hat {g}}$ связаны конформно ^[8] если ${\hat {g}}=\Omega ^{2}g$ для какой-то реальной функции $\Omega$ называется конформным фактором . (См. конформную карту ).

Глядя на определения того, какие касательные векторы являются времениподобными, нулевыми и пространственноподобными, мы видим, что они остаются неизменными, если мы используем $\,g$ или ${\hat {g}}$ . В качестве примера предположим $X$ является времениподобным касательным вектором относительно $\,g$ метрика. Это означает, что $\,g(X,X)<0$ . Тогда у нас есть это ${\hat {g}}(X,X)=\Omega ^{2}g(X,X)<0$ так $X$ является времениподобным касательным вектором относительно ${\hat {g}}$ слишком.

Отсюда следует, что причинная структура лоренцева многообразия не изменяется при конформном преобразовании .

Нулевая геодезическая остается нулевой геодезической при конформном изменении масштаба.

Конформная бесконечность

Бесконечная метрика допускает геодезические бесконечной длины/собственного времени. Однако иногда мы можем выполнить конформное масштабирование метрики с конформным коэффициентом, который достаточно быстро падает до 0 по мере приближения к бесконечности, чтобы получить конформную границу многообразия. Топологическая структура конформной границы зависит от причинной структуры.

Ориентированная в будущее времяподобная геодезическая система в конечном итоге оказывается $i^{+}$ , будущее время подобно бесконечности .
Направленная в прошлое времениподобная геодезическая система в конечном итоге оказывается на $i^{-}$ , прошедшее время подобно бесконечности .
Ориентированные на будущее нулевые геодезические оказываются на ℐ ⁺, будущая нулевая бесконечность .
Направленные в прошлое нулевые геодезические оказываются на ℐ ⁻, прошлая нулевая бесконечность .
Пространственноподобные геодезические оказываются на пространственноподобной бесконечности .

В различных помещениях:

Пространство Минковского : $i^{\pm }$ - точки, ℐ ^± являются нулевыми листами, а пространственноподобная бесконечность имеет коразмерность 2.
Пространство Антиде Ситтера : не существует времениподобной или нулевой бесконечности, а пространственноподобная бесконечность имеет коразмерность 1.
Пространство де Ситтера : будущее и прошлое времениподобной бесконечности имеют коразмерность 1.

Гравитационная сингулярность

Если геодезическая заканчивается после конечного аффинного параметра и невозможно расширить многообразие для расширения геодезической, то мы имеем особенность .

Для черных дыр заканчивается сингулярностью . будущая времяподобная граница в некоторых местах
Для Большого взрыва прошедшая времяподобная граница также является сингулярностью.

Абсолютный горизонт событий — это нулевой конус будущего времениподобной бесконечности. Он создается нулевыми геодезическими, которые подчиняются оптическому уравнению Райчаудхури .

См. также

Примечания

^ Хокинг и Израиль 1979 , с. 255
^ Галлоуэй, Грегори Дж. «Заметки о лоренцевой причинности» (PDF) . Летняя школа ESI-EMS-IAMP по математической теории относительности . Университет Майами. п. 4 . Проверено 2 июля 2021 г.
^ Пенроуз 1972 , с. 15
^ Jump up to: ^а ^б Пападопулос, Кириакос; Ачарджи, Сантану; Пападопулос, Бэзил К. (май 2018 г.). «Порядок на световом конусе и его индуцированная топология». Международный журнал геометрических методов в современной физике . 15 (5): 1850069–1851572. arXiv : 1710.05177 . Бибкод : 2018IJGMM..1550069P . дои : 10.1142/S021988781850069X . S2CID 119120311 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Пенроуз 1972 , с. 12
^ Стойка, ОК (25 мая 2016 г.). «Причинная структура и измерение пространства-времени на основе горизмотических отношений» . Журнал гравитации . 2016 : 1–6. arXiv : 1504.03265 . дои : 10.1155/2016/6151726 .
^ Jump up to: ^а ^б Сард 1970 , с. 78
^ Хокинг и Эллис 1973 , с. 42

Ссылки

Хокинг, Юго-Запад ; Эллис, GFR (1973), Крупномасштабная структура пространства-времени , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-20016-4
Хокинг, Юго-Запад ; Израиль, В. (1979), Общая теория относительности, обзор столетия Эйнштейна , издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-22285-0
Пенроуз, Р. (1972), Методы дифференциальной топологии в теории относительности , SIAM, ISBN 0898710057
Сард, Р.Д. (1970). Релятивистская механика - Специальная теория относительности и классическая динамика частиц . Нью-Йорк: WA Бенджамин. ISBN 978-0805384918 .

Дальнейшее чтение

Г.В. Гиббонс , С.Н. Солодухин; Геометрия малых причинных ромбов arXiv:hep-th/0703098 (Каузальные интервалы)
С.В. Хокинг , А.Р. Кинг, П.Дж. Маккарти; Новая топология искривленного пространства-времени, включающая причинную, дифференциальную и конформную структуры ; Дж. Математика. Физ. 17 2:174-181 (1976); (Геометрия, Причинная структура )
А.В. Левичев; Задание конформной геометрии лоренцева многообразия посредством его причинной структуры ; Советская математика. Докл. 35:452-455 (1987); (Геометрия, Причинная структура )
Д. Маламент ; Класс непрерывных времяподобных кривых определяет топологию пространства-времени ; Дж. Математика. Физ. 18 7:1399-1404 (1977); (Геометрия, Причинная структура )
А. А. Робб ; Теория времени и пространства ; Издательство Кембриджского университета, 1914 год; (Геометрия, Причинная структура )
А. А. Робб ; Абсолютные отношения времени и пространства ; Издательство Кембриджского университета, 1921; (Геометрия, Причинная структура )
А. А. Робб ; Геометрия времени и пространства ; Издательство Кембриджского университета, 1936; (Геометрия, Причинная структура )
Р.Д. Соркин , Э. Вулгар; Причинный порядок для пространства-времени с лоренцевой метрикой C^0: доказательство компактности пространства причинных кривых ; Классическая и квантовая гравитация 13: 1971–1994 (1996); arXiv:gr-qc/9508018 ( Причинная структура )

Внешние ссылки

[1] Хокинг и Израиль 1979 , с. 255

[2] Галлоуэй, Грегори Дж. «Заметки о лоренцевой причинности» (PDF) . Летняя школа ESI-EMS-IAMP по математической теории относительности . Университет Майами. п. 4 . Проверено 2 июля 2021 г.

[3] Пенроуз 1972 , с. 15

[Papadopoulos-4] Jump up to: ^а ^б Пападопулос, Кириакос; Ачарджи, Сантану; Пападопулос, Бэзил К. (май 2018 г.). «Порядок на световом конусе и его индуцированная топология». Международный журнал геометрических методов в современной физике . 15 (5): 1850069–1851572. arXiv : 1710.05177 . Бибкод : 2018IJGMM..1550069P . дои : 10.1142/S021988781850069X . S2CID 119120311 .

[Penrose12-5] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Пенроуз 1972 , с. 12

[6] Стойка, ОК (25 мая 2016 г.). «Причинная структура и измерение пространства-времени на основе горизмотических отношений» . Журнал гравитации . 2016 : 1–6. arXiv : 1504.03265 . дои : 10.1155/2016/6151726 .

[Sard78-7] Jump up to: ^а ^б Сард 1970 , с. 78

[8] Хокинг и Эллис 1973 , с. 42

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]