Величина (математика)

В математике величина это свойство, которое определяет , или размер — математического объекта является ли объект больше или меньше других объектов того же типа. Более формально, величина объекта — это отображаемый результат упорядочения ( или ранжирования) класса объектов , к которому он принадлежит. Величина как концепция возникла в Древней Греции и применялась как мера расстояния от одного объекта к другому. Для чисел абсолютное значение числа обычно применяется как мера единиц между числом и нулем.

В векторных пространствах евклидова норма — это мера величины, используемая для определения расстояния между двумя точками пространства. В физике величину можно определить как количество или расстояние. Порядок величины обычно определяется как единица расстояния между одним числом и числовыми знаками другого в десятичной шкале.

История

Древние греки различали несколько типов величин: ^[1] включая:

Положительные дроби
Сегменты линий (отсортированы по длине )
Плоские фигуры (упорядочены по площади )
Твердые вещества (отсортированы по объему )
Углы (в порядке угловой величины)

Они доказали, что первые две не могут быть одинаковыми или даже изоморфными системами величин. ^[2] Они не считали отрицательные величины значимыми, и величина по-прежнему в основном используется в контекстах, в которых ноль является либо наименьшим размером, либо меньше всех возможных размеров.

Числа

Величина любого числа $x$ обычно называют его абсолютным значением или модулем , обозначаемым $|x|$ . ^[3]

Реальные числа

Абсолютное значение действительного числа r определяется следующим образом: ^[4]

\left|r\right|=r,{\text{ if }}r{\text{ ≥ }}0

\left|r\right|=-r,{\text{ if }}r<0.

числа Абсолютное значение также можно рассматривать как расстояние от нуля на прямой числовой линии . Например, абсолютное значение как 70, так и -70 равно 70.

Комплексные числа

Комплексное число z можно рассматривать как положение точки P в двумерном пространстве , называемом комплексной плоскостью . Абсолютное значение (или модуль ) z можно рассматривать как расстояние P от начала этого пространства. Формула абсолютного значения z = a + bi аналогична формуле для евклидовой нормы вектора в двумерном евклидовом пространстве : ^[5]

\left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}

где действительные числа a и b представляют собой и мнимую части z действительную соответственно. Например, модуль −3 + 4 i равен ${\sqrt {(-3)^{2}+4^{2}}}=5$ . Альтернативно, величина комплексного числа z может быть определена как квадратный корень произведения самого себя и его комплексно-сопряженного числа : ${\bar {z}}$ , где для любого комплексного числа $z=a+bi$ , его комплексно-сопряженное ${\bar {z}}=a-bi$ .

\left|z\right|={\sqrt {z{\bar {z}}}}={\sqrt {(a+bi)(a-bi)}}={\sqrt {a^{2}-abi+abi-b^{2}i^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}

(где $i^{2}=-1$ ).

Векторные пространства

Евклидово векторное пространство

Евклидов вектор представляет положение точки P в евклидовом пространстве . Геометрически его можно описать как стрелку от начала пространства (хвост вектора) к этой точке (кончик вектора). вектор x в n -мерном евклидовом пространстве можно определить как упорядоченный список из n действительных чисел ( декартовы координаты P ) : x = [ x1 _{Математически} , x2 _, ..., ] _xn . Его величина или длина , обозначаемая $\|x\|$ , ^[6] чаще всего определяется как евклидова норма (или евклидова длина): ^[7]

\|\mathbf {x} \|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.

Например, в трехмерном пространстве величина [3, 4, 12] равна 13, потому что ${\sqrt {3^{2}+4^{2}+12^{2}}}={\sqrt {169}}=13.$ Это эквивалентно квадратному корню из скалярного произведения вектора на самого себя:

\|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}.

Евклидова норма вектора — это всего лишь частный случай евклидова расстояния : расстояние между его хвостом и кончиком. Два аналогичных обозначения используются для евклидовой нормы вектора x :

$\left\|\mathbf {x} \right\|,$
$\left|\mathbf {x} \right|.$

Недостатком второго обозначения является то, что его можно использовать и для обозначения , что абсолютного значения скаляров вносит элемент неоднозначности и определителей матриц .

Нормированные векторные пространства

По определению все евклидовы векторы имеют величину (см. выше). Однако вектор в абстрактном векторном пространстве не обладает величиной.

Векторное пространство, наделенное нормой , такое как евклидово пространство, называется нормированным векторным пространством . ^[8] Нормой вектора v в нормированном векторном пространстве можно считать величину v .

Псевдоевклидово пространство

В псевдоевклидовом пространстве величина вектора — это значение квадратичной формы этого вектора.

Логарифмические величины

При сравнении величин логарифмическую шкалу часто используют . Примеры включают громкость звука . измеряется в децибелах ), яркость звезды ( и шкалу Рихтера для интенсивности землетрясения Логарифмические величины могут быть отрицательными. В естественных науках логарифмическую величину обычно называют уровнем .

Порядок величины

Порядки величины обозначают разницу в числовых величинах, обычно измерениях, в 10 раз, то есть разницу в одну цифру в расположении десятичной точки.

Другие математические меры

В математике понятие меры — это обобщение и формализация геометрических мер ( длины , площади , объёма ) и других распространенных понятий, таких как величина, масса и вероятность событий. Эти, казалось бы, разные концепции имеют много общего и часто могут рассматриваться вместе в едином математическом контексте. Меры являются основополагающими в теории вероятностей и теории интегрирования , и их можно обобщить, приняв отрицательные значения , как в случае с электрическим зарядом . Далеко идущие обобщения меры (такие как спектральные меры и проекционнозначные меры ) широко используются в квантовой физике и физике в целом.

Интуиция, лежащая в основе этой концепции, восходит к Древней Греции , когда Архимед пытался вычислить площадь круга . ^[9]^[10] Но только в конце 19 — начале 20 веков теория меры стала разделом математики. Основы современной теории меры были заложены в работах Эмиля Бореля , Анри Лебега , Николая Лузина , Иоганна Радона , Константина Каратеодори и Мориса Фреше и других.

См. также

Ссылки

^ Хит, Томас Смд. (1956). Тринадцать книг «Элементов Евклида» (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: Cambridge University Press, 1925] изд.). Нью-Йорк: Dover Publications.
^ Блох, Итан Д. (2011), Действительные числа и реальный анализ , Springer, стр. 52, ISBN 9780387721774 – через Google Книги . Идея несоизмеримых пар длин отрезков была открыта в Древней Греции.
^ «Определение величины (Иллюстрированный математический словарь)» . mathsisfun.com . Проверено 23 августа 2020 г.
^ Мендельсон, Эллиотт (2008). Схема начального исчисления Шаума . МакГроу-Хилл Профессионал. п. 2. ISBN 978-0-07-148754-2 .
^ Альфорс, Ларс В. (1953). Комплексный анализ . Токио: Макгроу Хилл Когакуша.
^ Никамп, Дуэйн. «Величина векторного определения» . Математическое понимание . Проверено 23 августа 2020 г.
^ Говард Антон; Крис Роррес (12 апреля 2010 г.). Элементарная линейная алгебра: версия для приложений . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-470-43205-1 – через Google Книги .
^ Голан, Джонатан С. (январь 2007 г.), Линейная алгебра, которую должен знать начинающий аспирант (2-е изд.), Springer, ISBN 978-1-4020-5494-5
^ Архимед, измеряющий круг
^ Хит, ТЛ (1897 г.). «Измерение круга». Работы Архимеда . Османский университет, Цифровая библиотека Индии. Издательство Кембриджского университета. стр. 91–98.

[1] Хит, Томас Смд. (1956). Тринадцать книг «Элементов Евклида» (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: Cambridge University Press, 1925] изд.). Нью-Йорк: Dover Publications.

[2] Блох, Итан Д. (2011), Действительные числа и реальный анализ , Springer, стр. 52, ISBN 9780387721774 – через Google Книги . Идея несоизмеримых пар длин отрезков была открыта в Древней Греции.

[3] «Определение величины (Иллюстрированный математический словарь)» . mathsisfun.com . Проверено 23 августа 2020 г.

[4] Мендельсон, Эллиотт (2008). Схема начального исчисления Шаума . МакГроу-Хилл Профессионал. п. 2. ISBN 978-0-07-148754-2 .

[5] Альфорс, Ларс В. (1953). Комплексный анализ . Токио: Макгроу Хилл Когакуша.

[6] Никамп, Дуэйн. «Величина векторного определения» . Математическое понимание . Проверено 23 августа 2020 г.

[AntonRorres2010-7] Говард Антон; Крис Роррес (12 апреля 2010 г.). Элементарная линейная алгебра: версия для приложений . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-470-43205-1 – через Google Книги .

[8] Голан, Джонатан С. (январь 2007 г.), Линейная алгебра, которую должен знать начинающий аспирант (2-е изд.), Springer, ISBN 978-1-4020-5494-5

[9] Архимед, измеряющий круг

[10] Хит, ТЛ (1897 г.). «Измерение круга». Работы Архимеда . Османский университет, Цифровая библиотека Индии. Издательство Кембриджского университета. стр. 91–98.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]