Регуляризация дзета-функции

В математике и теоретической физике регуляризация дзета-функции — это тип метода регуляризации или суммирования , который присваивает конечные значения расходящимся суммам или произведениям и, в частности, может использоваться для определения определителей и следов некоторых самосопряженных операторов . В настоящее время этот метод широко применяется к задачам физики , но его происхождение связано с попытками придать точный смысл плохо обусловленным суммам, появляющимся в теории чисел .

Определение

Существует несколько различных методов суммирования, называемых регуляризацией дзета-функции, для определения суммы возможно расходящегося ряда a ₁ + a ₂ + ....

Один из методов состоит в том, чтобы определить его дзета-регуляризованную сумму как ζ _A (−1), если она определена, где дзета-функция определяется для больших Re( s ) по формуле

$\zeta _{A}(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+\cdots$

если эта сумма сходится, и путем аналитического продолжения в другом месте.

В случае, когда a _n = n , дзета-функция является обычной дзета-функцией Римана . Этот метод использовался Рамануджаном для «суммирования» ряда 1 + 2 + 3 + 4 + ... до ζ(−1) = −1/12.

Хокинг (1977) показал, что в плоском пространстве, в котором известны собственные значения лапласианов, дзета-функция, соответствующая статистической сумме, может быть вычислена явно. Рассмотрим скалярное поле φ, содержащееся в большом ящике объёмом V в плоском пространстве-времени при температуре T = β. ⁻¹ . Статистическая сумма определяется интегралом по путям по всем полям φ в евклидовом пространстве, полученным путем помещения τ = it , которые равны нулю на стенках ящика и являются периодическими по τ с периодом β . В этой ситуации из статистической суммы он вычисляет энергию, энтропию и давление излучения поля φ . В случае плоских пространств собственные значения, входящие в физические величины, обычно известны, а в случае искривленного пространства они неизвестны: в этом случае необходимы асимптотические методы.

Другой метод определяет возможно расходящиеся бесконечные произведения a ₁ a ₂ .... как exp(−ζ′ _A (0)). Рэй и Сингер (1971) использовали это для определения определителя положительного самосопряженного оператора A ( лапласиана риманова многообразия в их приложении) с собственными значениями a ₁ , a ₂ , .... и в данном случае дзета функция формально является следом A ^{− с} . Минакшисундарам и Плейжель (1949) показали, что если A является лапласианом компактного риманова многообразия, то дзета-функция Минакшисундарама–Плейеля сходится и имеет аналитическое продолжение как мероморфная функция на все комплексные числа, а Сили (1967) распространил это на эллиптические псевдо -дифференциальные операторы A на компактных римановых многообразиях. Таким образом, для таких операторов можно определить определитель, используя регуляризацию дзета-функции. См. « Аналитическое кручение ».

Хокинг (1977) предложил использовать эту идею для оценки интегралов по траекториям в искривленном пространстве-времени. Он изучал регуляризацию дзета-функции, чтобы вычислить статистические суммы для теплового гравитона и квантов материи на искривленном фоне, например, на горизонте черных дыр и на фоне де Ситтера, используя соотношение обратного преобразования Меллина со следом ядра тепла . уравнения .

Пример

Первый пример, в котором доступна регуляризация дзета-функции, появляется в эффекте Казимира, который происходит в плоском пространстве с объемными вкладами квантового поля в трех измерениях пространства. В этом случае мы должны вычислить значение дзета-функции Римана при –3, которая явно расходится. его можно Однако аналитически продолжить до s = –3, где, будем надеяться, нет полюса, что придаст выражению конечное значение. Подробный пример этой регуляризации в действии дан в статье, посвященной подробному примеру эффекта Казимира , где результирующая сумма явно представляет собой дзета-функцию Римана (и где, казалось бы, аналитическое продолжение Легердемена удаляет аддитивную бесконечность, оставляя физически значимое конечное число).

Примером регуляризации дзета-функции является вычисление значения энергии вакуумного среднего поля частицы в квантовой теории поля . В более общем смысле подход дзета-функции можно использовать для регуляризации всего тензора энергии-импульса как в плоском, так и в искривленном пространстве-времени. ^{[1] [2] [3]}

Нерегулируемое значение энергии определяется суммированием нулевой энергии всех мод возбуждения вакуума:

$\langle 0|T_{00}|0\rangle =\sum _{n}{\frac {\hbar |\omega _{n}|}{2}}$

Здесь, $T_{00}$ - это нулевой компонент тензора энергии-импульса, а сумма (которая может быть целым числом) понимается как распространяется на все (положительные и отрицательные) энергетические моды. $\omega _{n}$; абсолютное значение, напоминающее нам, что энергия считается положительной. Эта сумма, как написано, обычно бесконечна ( $\omega _{n}$ обычно линейна по n). Сумму можно регуляризовать, записав ее в виде

$\langle 0|T_{00}(s)|0\rangle =\sum _{n}{\frac {\hbar |\omega _{n}|}{2}}|\omega _{n}|^{-s}$

где s — некоторый параметр, принимаемый за комплексное число . Для больших действительных s больше 4 (для трехмерного пространства) сумма явно конечна и поэтому часто может быть оценена теоретически.

Дзета-регуляризация полезна, поскольку ее часто можно использовать таким образом, чтобы сохранять различные симметрии физической системы. Регуляризация дзета-функции используется в конформной теории поля , перенормировке и при определении критического измерения пространства-времени в теории струн .

Связь с другими регуляризациями

Регуляризация дзета-функции эквивалентна размерной регуляризации , см. ^[4] . Однако основное преимущество дзета-регуляризации заключается в том, что ее можно использовать всякий раз, когда размерная регуляризация не удалась, например, если внутри вычислений присутствуют матрицы или тензоры. $\epsilon _{i,j,k}$

Связь с серией Дирихле

Регуляризация дзета-функции придает аналитическую структуру любым суммам по арифметической функции f ( n ). Такие суммы известны как ряды Дирихле . Регуляризованная форма

${\tilde {f}}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}$

преобразует расходимости суммы в простые полюса на комплексной s -плоскости. В численных расчетах регуляризация дзета-функции неуместна, так как она сходится очень медленно. Для численных целей более быстро сходящаяся сумма — это экспоненциальная регуляризация, определяемая выражением

$F(t)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)e^{-tn}.$

Иногда это называют -преобразованием f t , где z = exp(− Z ). Аналитическая структура экспоненциальной и дзета-регуляризации родственна. Разложив экспоненциальную сумму в ряд Лорана

$F(t)={\frac {a_{N}}{t^{N}}}+{\frac {a_{N-1}}{t^{N-1}}}+\cdots$

обнаруживается, что дзета-ряд имеет структуру

${\tilde {f}}(s)={\frac {a_{N}}{s-N}}+\cdots .$

Структуры экспоненциального и дзета-регуляторов связаны посредством преобразования Меллина . Одно можно преобразовать в другое, используя интегральное представление гамма -функции :

$\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}e^{-t}\,dt$

что приводит к тождеству

$\Gamma (s){\tilde {f}}(s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}F(t)\,dt$

связывание экспоненциального и дзета-регуляторов и преобразование полюсов в s-плоскости в расходящиеся члены ряда Лорана.

Регуляризация теплового ядра

Сумма

$f(s)=\sum _{n}a_{n}e^{-s|\omega _{n}|}$

иногда называют тепловым ядром или регуляризованной суммой теплового ядра ; это название происходит от идеи, что $\omega _{n}$ иногда можно понимать как собственные значения теплового ядра . В математике такая сумма известна как обобщенный ряд Дирихле ; его использование для усреднения известно как абелевое среднее . Оно тесно связано с преобразованием Лапласа – Стилтьеса тем, что

$f(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\alpha (t)$

где $\alpha (t)$ является ступенчатой ​​функцией с шагами $a_{n}$ в $t=|\omega _{n}|$. Существует ряд теорем о сходимости такого ряда. Например, по тауберовой теореме Харди-Литтлвуда, если ^[5]

$L=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log \vert \sum _{k=1}^{n}a_{k}\vert }{|\omega _{n}|}}$

тогда сериал для $f(s)$ сходится в полуплоскости $\Re (s)>L$ и сходится равномерно на каждом компактном подмножестве полуплоскости $\Re (s)>L$. Почти во всех приложениях к физике имеется $L=0$

История

Большая часть ранних работ по установлению сходимости и эквивалентности рядов, регуляризованных с помощью методов регуляризации теплового ядра и дзета-функции, была проделана Г.Х. Харди и Дж.Э. Литтлвудом в 1916 г. ^[6] и основан на применении интеграла Каэна – Меллина . Была предпринята попытка получить значения для различных нечетких, условно сходящихся сумм, встречающихся в теории чисел .

Что касается применения в качестве регулятора в физических задачах, до Хокинга (1977) Дж. Стюарт Даукер и Раймонд Кричли в 1976 году предложили метод регуляризации дзета-функции для задач квантовой физики. ^[7] Эмилио Элизальде и другие также предложили метод, основанный на дзета-регуляризации для интегралов. $\int _{a}^{\infty }x^{m-s}dx$, здесь $x^{-s}$ является регулятором, а расходящийся интеграл зависит от чисел $\zeta (s-m)$ в пределе $s\to 0$ см . перенормировку . Также в отличие от других регуляризаций, таких как размерная регуляризация и аналитическая регуляризация, дзета-регуляризация не имеет контрчленов и дает только конечные результаты.

См. также

• Производящая функция – Формальный степенной ряд; коэффициенты кодируют информацию о последовательности, индексированной натуральными числами
• Формула Перрона - Формула для расчета суммы арифметической функции в аналитической теории чисел.
• Перенормировка - физический метод, используемый для работы с бесконечностями.
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ – Расходящийся ряд
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ – Расходящийся ряд
• Аналитическое кручение - топологический инвариант многообразий, который может различать гомотопически эквивалентные многообразия.
• Суммирование Рамануджана - Математические методы суммирования расходящихся бесконечных рядов
• Дзета-функция Минакшисундарама – Плейеля
• Дзета-функция (оператор)

Ссылки

• ^ Том М. Апостол, «Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел», «Springer-Verlag New York. (См. Главу 8.)»
• ^ А. Быценко, Г. Коньола, Э. Элизальде, В. Моретти и С. Зербини, «Аналитические аспекты квантовых полей», World Scientific Publishing, 2003, ISBN   981-238-364-6
• ^ GH Hardy и JE Littlewood, «Вклад в теорию дзета-функции Римана и теорию распределения простых чисел», Acta Mathematica , 41 (1916), стр. 119–196. (См., например, теорему 2.12)
• Хокинг, SW (1977), «Регуляризация дзета-функции интегралов по траекториям в искривленном пространстве-времени» , Communications in Mathematical Physics , 55 (2): 133–148, Bibcode : 1977CMaPh..55..133H , doi : 10.1007/BF01626516 , ISSN   0010-3616 , МР   0524257 , С2КИД   121650064
• ^ В. Моретти, «Подход с использованием прямой z-функции и перенормировка однопетлевого тензора напряжений в искривленном пространстве-времени» , Phys. Rev.D 56, 7797 (1997).
• Минакшисундарам, С.; Плейел, О. (1949), «Некоторые свойства собственных функций оператора Лапласа на римановых многообразиях», Canadian Journal of Mathematics , 1 (3): 242–256, doi : 10.4153/CJM-1949-021-5 , ISSN   0008-414X , МР   0031145
• Рэй, Д.Б.; Сингер, И.М. (1971), « R -кручение и лапласиан на римановых многообразиях», Успехи в математике , 7 (2): 145–210, doi : 10.1016/0001-8708(71)90045-4 , MR   0295381
• «Метод дзета-функции для регуляризации» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Сили, RT (1967), «Комплексные степени эллиптического оператора», в Кальдероне, Альберто П. (ред.), Сингулярные интегралы (Proc. Sympos. Pure Math., Чикаго, Иллинойс, 1966) , Труды симпозиумов в Чистая математика, вып. 10, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц., стр. 288–307, ISBN.  978-0-8218-1410-9 , МР   0237943
• ^ Даукер, Дж. С.; Кричли, Р. (1976), «Эффективный лагранжиан и тензор энергии-импульса в пространстве де Ситтера», Physical Review D , 13 (12): 3224–3232, Бибкод : 1976PhRvD..13.3224D , doi : 10.1103/PhysRevD.13.3224
• ^ Д. Ферми, Л. Пиццоккеро, « Локальная дзета-регуляризация и скалярный эффект Казимира. Общий подход, основанный на интегральных ядрах », World Scientific Publishing, ISBN   978-981-3224-99-5 (твердый переплет), ISBN   978-981-3225-01-5 (электронная книга). дои : 10.1142/10570 (2017).