1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

Первые четыре частичные суммы ряда 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ . Парабола ; их сглаженная асимптота — его y точка пересечения с осью равна -1/8, а площадь параболы под осью y равна -1/12.

Бесконечный ряд, членами которого являются натуральные числа 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, является расходящимся рядом . частичная n-я сумма ряда — это треугольное число

$\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}},$

которое неограниченно возрастает при стремлении n к бесконечности . Поскольку последовательность частичных сумм не сходится к конечному пределу , ряд не имеет суммы.

Хотя на первый взгляд кажется, что этот ряд вообще не имеет какой-либо значимой ценности, им можно манипулировать, чтобы получить ряд математически интересных результатов. Например, в математике многие методы суммирования используются для присвоения числовых значений даже расходящимся рядам. В частности, методы регуляризации дзета-функции и суммирования Рамануджана присваивают ряду значение ⁠− + 1/12 , ⁠ что выражается известной формулой:

$1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}},$

где левую часть следует интерпретировать как значение, полученное с помощью одного из вышеупомянутых методов суммирования, а не как сумму бесконечного ряда в его обычном понимании. Эти методы имеют приложения в других областях, таких как комплексный анализ , квантовая теория поля и теория струн .

В монографии по теории самогона математик Терри Гэннон из Университета Альберты называет это уравнение «одной из самых замечательных формул в науке».

Частичные суммы

Первые шесть треугольных чисел

Основная статья: Треугольное число

Частичные суммы ряда 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ⋯ равны 1, 3, 6, 10, 15 и т. д. n- я частичная сумма задается простой формулой:

$\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}.$

Это уравнение было известно пифагорейцам еще в шестом веке до нашей эры. Числа такой формы называются треугольными , поскольку их можно расположить в виде равностороннего треугольника.

Бесконечная последовательность треугольных чисел расходится к +∞, поэтому по определению бесконечный ряд 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ также расходится к +∞. Расхождение является простым следствием формы ряда: члены не стремятся к нулю, поэтому ряд расходится на член test .

Суммируемость

Среди классических расходящихся рядов 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ относительно сложно преобразовать в конечное значение. многие методы суммирования Для присвоения числовых значений расходящимся рядам используются , некоторые из которых более эффективны, чем другие. Например, суммирование Чезаро — это хорошо известный метод, который суммирует ряд Гранди , слегка расходящийся ряд 1 — 1 + 1 — 1 + ⋯ , до ⁠ 1/2 ​ ⁠ ​ . Суммирование Абеля — более мощный метод, который не только суммирует ряд Гранди, ⁠ 1 / 2 ⁠ , но также суммирует более сложную серию 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ до ⁠ 1 / 4 ⁠ .

В отличие от приведенного выше ряда, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ не суммируемо по Чезаро и не суммируемо по Абелю. Эти методы работают с колеблющимися расходящимися рядами, но они не могут дать конечный ответ для ряда, который расходится к +∞. Большинство более элементарных определений суммы расходящегося ряда стабильны и линейны, и любой метод, который является одновременно стабильным и линейным, не может суммировать 1 + 2 + 3 + ⋯ до конечного значения. (см. § Эвристика ниже) . Требуются более продвинутые методы, такие как регуляризация дзета-функции или суммирование Рамануджана . Также можно спорить о ценности ⁠− + 1/12 с использованием некоторых грубых эвристик , ⁠ связанных с этими методами.

Эвристика

Отрывок из первой записной книжки Рамануджана , описывающий «константу» ряда.

Шриниваса Рамануджан представил два вывода « 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = ⁠− + 1/12 » в . ⁠ главе 8 своей первой тетради Более простой и менее строгий вывод происходит в два этапа следующим образом.

Первый ключевой вывод заключается в том, что ряд положительных чисел 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ очень похож на чередующийся ряд 1 - 2 + 3 - 4 + ⋯ . Последний ряд также расходится, но с ним гораздо легче работать; существует несколько классических методов, придающих ему ценность, которые исследуются с 18 века.

Чтобы преобразовать ряд 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ в 1 - 2 + 3 - 4 + ⋯ , можно вычесть 4 из второго члена, 8 из четвертого члена, 12 из шестого члена и так далее. . Общая сумма, которую нужно вычесть, равна 4 + 8 + 12 + 16 + ⋯ , что в 4 раза превышает исходный ряд. Эти отношения можно выразить с помощью алгебры. Какой бы ни была «сумма» ряда, назовите ее c = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯. Затем умножьте это уравнение на 4 и вычтите второе уравнение из первого:

${\begin{alignedat}{7}c={}&&1+2&&{}+3+4&&{}+5+6+\cdots \\4c={}&&4&&{}+8&&{}+12+\cdots \\c-4c={}&&1-2&&{}+3-4&&{}+5-6+\cdots \end{alignedat}}$

Второй ключевой вывод заключается в том, что знакопеременный ряд 1 - 2 + 3 - 4 + ⋯ представляет собой формальное в степенной ряд . разложение функции ⁠ 1 / (1 + х ) ² ⁠, но с x, определенным как 1. (Это можно увидеть, приравняв ⁠ 1/1 , а затем дифференцируя и отрицая + x ⁠ к попеременной сумме неотрицательных степеней x обе части уравнения.) Соответственно, Рамануджан пишет

$-3c=1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{(1+1)^{2}}}={\frac {1}{4}}.$

Разделив обе части на −3, получим c = ⁠− + 1 / 12 ⁠ .

Вообще говоря, неправильно манипулировать бесконечными рядами, как если бы они были конечными суммами. Например, если в произвольные позиции расходящегося ряда вставить нули, можно получить результаты, которые не являются самосогласованными, не говоря уже о том, чтобы согласовываться с другими методами. В частности, шаг 4 c = 0 + 4 + 0 + 8 + ⋯ не оправдан только аддитивным законом тождества . В крайнем случае добавление одного нуля в начало ряда может привести к другому результату.

Один из способов исправить эту ситуацию и ограничить количество мест, где могут быть вставлены нули, — это отслеживать каждый член ряда, привязывая зависимость от некоторой функции. В ряду 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ каждый член n — это просто число. Если член n преобразуется в функцию n ^-с , где s — комплексная переменная, то можно гарантировать, что добавляются только одинаковые члены. Полученным рядом можно манипулировать более строго, а переменную s можно позже установить в -1. Реализация этой стратегии называется регуляризацией дзета-функции .

Регуляризация дзета-функции

График ζ ( s ). При s > 1 ряд сходится и ζ ( s ) > 1 . Аналитическое продолжение вокруг полюса при s = 1 приводит к области отрицательных значений, в том числе ζ (−1) = ⁠− + 1 / 12 ⁠ .

В регуляризации дзета-функции ряд ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }n}$ заменяется серией ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}.}$ Последняя серия является примером ряда Дирихле . Когда действительная часть s больше 1, ряд Дирихле сходится, и его сумма представляет собой дзета-функцию Римана ζ ( s ). С другой стороны, ряд Дирихле расходится, когда действительная часть s меньше или равна 1, поэтому, в частности, ряд 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ , полученный в результате установки s = −1, не сходится. . Преимущество введения дзета-функции Римана состоит в том, что ее можно определить для других значений s путем аналитического продолжения . Тогда можно определить дзета-регуляризованную сумму 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ как ζ (−1).

С этого момента есть несколько способов доказать, что ζ (−1) = ⁠− + 1 / 12 ⁠ . Один метод, соответствующий рассуждениям Эйлера, использует связь между дзета-функцией Римана и эта-функцией Дирихле η ( s ). Эта-функция определяется переменным рядом Дирихле, поэтому этот метод аналогичен более ранней эвристике. Там, где сходятся оба ряда Дирихле, возникают тождества:

${\begin{alignedat}{7}\zeta (s)&{}={}&1^{-s}+2^{-s}&&{}+3^{-s}+4^{-s}&&{}+5^{-s}+6^{-s}+\cdots &\\2\times 2^{-s}\zeta (s)&{}={}&2\times 2^{-s}&&{}+2\times 4^{-s}&&{}+2\times 6^{-s}+\cdots &\\\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)&{}={}&1^{-s}-2^{-s}&&{}+3^{-s}-4^{-s}&&{}+5^{-s}-6^{-s}+\cdots &=\eta (s).\end{alignedat}}$

Личность $(1-2^{1-s})\zeta (s)=\eta (s)$ продолжает выполняться, когда обе функции расширяются путем аналитического продолжения, чтобы включить значения s , для которых вышеуказанный ряд расходится. Подставив s = −1 , получим −3 ζ (−1) = η (−1) . Теперь вычисление η (−1) является более простой задачей, поскольку эта-функция равна сумме Абеля ее определяющего ряда: что является односторонним пределом :

$-3\zeta (-1)=\eta (-1)=\lim _{x\to 1^{-}}\left(1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots \right)=\lim _{x\to 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}.$

Разделив обе части на −3, получим ζ (−1) = ⁠− + 1 / 12 ⁠ .

Регуляризация отсечки

Ряд 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

После сглаживания

Асимптотика сглаживания. Пересечение Y равно параболы по оси ⁠− + 1 / 8 ⁠ .

Метод регуляризации с использованием функции отсечения может «сгладить» ряд, чтобы получить ⁠− + 1 / 12 ⁠ . Сглаживание — это концептуальный мост между регуляризацией дзета-функции, основанной на комплексном анализе , и суммированием Рамануджана с ее сокращением от формулы Эйлера-Маклорена . Вместо этого метод оперирует непосредственно консервативными преобразованиями ряда, используя методы реального анализа .

Идея состоит в том, чтобы заменить некорректный дискретный ряд $\textstyle \sum _{n=0}^{N}n$ со сглаженной версией

$\sum _{n=0}^{\infty }nf\left({\frac {n}{N}}\right),$

где f — обрезающая функция с соответствующими свойствами. Функция отсечки должна быть нормализована к f (0) = 1 ; это нормализация, отличная от той, которая используется в дифференциальных уравнениях. Функция отсечения должна иметь достаточно ограниченных производных, чтобы сгладить морщины в ряду, и она должна уменьшаться до 0 быстрее, чем растет ряд. Для удобства можно потребовать, чтобы f было гладким , ограниченным и имел компактный носитель . Затем можно доказать, что эта сглаженная асимптотична сумма ⁠− + 1/12 ​ ⁠ ​ + CN ² , где C — константа, зависящая от f . Постоянный член асимптотического разложения не зависит от f : это обязательно то же самое значение, заданное аналитическим продолжением, ⁠− + 1 / 12 ⁠ .

Суммирование Рамануджана

Сумма Рамануджана равна 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ также ⁠− + 1 / 12 ⁠ . Рамануджан писал в своем втором письме Г.Х. Харди от 27 февраля 1913 г.:

«Уважаемый сэр, я очень рад, что прочитал ваше письмо от 8 февраля 1913 года. Я ожидал от вас ответа, подобного тому, который написал профессор математики в Лондоне с просьбой внимательно изучить и Бромвича Бесконечный ряд не упасть. в ловушки расходящихся рядов... Я сказал ему, что сумма бесконечного числа членов ряда: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ =. ⁠− + 1/12 ⁠ по . моей теории Если я вам это скажу, вы сразу же укажете мне на сумасшедший дом как на мою цель. Я распространяюсь об этом просто для того, чтобы убедить вас, что вы не сможете следовать моим методам доказательства, если я укажу направления, по которым я буду действовать, в одном письме. ..."

Суммирование Рамануджана - это метод выделения постоянного члена в формуле Эйлера-Маклорена для частичных сумм ряда. Для функции f классическая сумма Рамануджана ряда $\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }f(k)$ определяется как

$c=-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0),$

где f ^{(2к -1 )} — (2 k − 1)-я производная от f , а B _{2 k} — (2 k )-е число Бернулли : B ₂ = ⁠ 1 / 6 ⁠ , B ₄ = ⁠− + 1/30 ⁠ . и так далее Полагая f ( x ) = x , первая производная f равна 1, а все остальные члены исчезают, поэтому

$c=-{\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{2!}}=-{\frac {1}{12}}.$

Чтобы избежать противоречий, современная теория суммирования Рамануджана требует, чтобы f было «регулярным» в том смысле, что производные f более высокого порядка затухают достаточно быстро, чтобы оставшиеся члены в формуле Эйлера-Маклорена стремились к 0. Рамануджан молчаливо предположил это. свойство. Требование регулярности не позволяет использовать суммирование Рамануджана для разнесенных рядов, таких как 0 + 2 + 0 + 4 + ⋯ , поскольку ни одна регулярная функция не принимает эти значения. Вместо этого такой ряд необходимо интерпретировать с помощью регуляризации дзета-функции. По этой причине Харди рекомендует «с большой осторожностью» применять суммы Рамануджана известных рядов для нахождения сумм связанных рядов.

Неудача устойчивых методов линейного суммирования

См. также: 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯.

метод суммирования Линейный и устойчивый не может суммировать ряд 1 + 2 + 3 + ⋯ до какого-либо конечного значения. (Стабильный означает, что добавление члена в начало ряда увеличивает сумму на значение добавленного члена.) Это можно увидеть следующим образом. Если

$1+2+3+\cdots =x,$

тогда добавление 0 к обеим сторонам дает

$0+1+2+3+\cdots =0+x=x$

по стабильности. По линейности можно вычесть второе уравнение из первого (вычитая каждый компонент второй строки из первой строки в столбцах), чтобы получить

$1+1+1+\cdots =x-x=0.$

Добавление 0 к обеим сторонам снова дает

$0+1+1+1+\cdots =0,$

и вычитание последних двух серий дает

$1+0+0+0+\cdots =0,$

противоречащая стабильности.

Следовательно, каждый метод, который дает конечное значение сумме 1 + 2 + 3 + ⋯, не является устойчивым или нелинейным.

Физика

В теории бозонных струн делается попытка вычислить возможные уровни энергии струны, в частности, самый низкий энергетический уровень. Говоря неформально, каждую гармонику струны можно рассматривать как совокупность D − 2 независимых квантовых гармонических осцилляторов , по одному на каждое поперечное направление , где D — размерность пространства-времени. Если основная частота колебаний равна ω , то энергия в генераторе, вносящая вклад в n- ю гармонику, равна nħω /2. Таким образом, используя расходящийся ряд, сумма по всем гармоникам равна − ħω ( D − 2)/24 . В конечном итоге именно этот факт в сочетании с теоремой Годдарда-Торна приводит к тому, что теория бозонных струн оказывается несогласованной в измерениях, отличных от 26.

Регуляризация 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ также участвует в вычислении силы Казимира для скалярного поля в одном измерении. Экспоненциальная функция обрезания достаточна для сглаживания ряда, что отражает тот факт, что моды сколь угодно высоких энергий не блокируются проводящими пластинами. Пространственная симметрия задачи ответственна за сокращение квадратичного члена разложения. Остается только постоянный член -1/12, а отрицательный знак этого результата отражает тот факт, что сила Казимира притягивает.

Аналогичный расчет проводится в трех измерениях, с использованием дзета-функции Эпштейна вместо дзета-функции Римана.

История

Неясно, суммировал ли этот ряд Леонард Эйлер. ⁠− + 1 / 12 ⁠ . По словам Морриса Клайна , ранние работы Эйлера по расходящимся рядам основывались на функциональных разложениях, из которых он пришел к выводу 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = ∞ . По мнению Раймонда Аюба, тот факт, что расходящиеся дзета-ряды не суммируются по Абелю, не позволял Эйлеру использовать дзета-функцию так же свободно, как и эта-функцию, и он «не мог придать этому ряду значение». Другие авторы приписали эту сумму Эйлеру, предполагая, что Эйлер расширил бы связь между дзета- и эта-функциями до отрицательных целых чисел. В основной литературе ряд 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ упоминается в публикации Эйлера 1760 года De seriebus divergentibus рядом с расходящимся геометрическим рядом 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ . Эйлер намекает, что ряды этого типа имеют конечные отрицательные суммы, и объясняет, что это означает для геометрических рядов, но не возвращается к обсуждению 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ . В той же публикации Эйлер пишет, что сумма 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ бесконечна.

В популярных СМИ

В романе Дэвида Ливитта 2007 года «Индийский клерк» есть сцена, где Харди и Литтлвуд обсуждают значение этого сериала. Они приходят к выводу, что Рамануджан заново открыл ζ (−1), и воспринимают фразу «сумасшедший дом» в его втором письме как знак того, что Рамануджан играет с ними.

В пьесе Саймона Макберни 2007 года «Исчезающее число» основное внимание уделяется сериалу в первой сцене. Главная героиня, Рут, заходит в лекционный зал и представляет идею расходящейся серии, а затем заявляет: «Я собираюсь показать вам кое-что действительно захватывающее», а именно 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = ⁠− + 1 / 12 ⁠ . Когда Рут приступает к выводу функционального уравнения дзета-функции, другой актер обращается к аудитории, признавая, что они актеры: «Но математика реальна. Это ужасно, но это реально».

В январе 2014 года Numberphile выпустил на YouTube видео об этом сериале, которое за первый месяц собрало более 1,5 миллиона просмотров. 8-минутное видео озвучивает Тони Падилья, физик из Ноттингемского университета . Падилья начинается с 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯ и 1 - 2 + 3 - 4 + ⋯ и связывает последнее с 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, используя почленное вычитание, аналогичное аргументу Рамануджана. Numberphile также выпустил 21-минутную версию видео с участием ноттингемского физика Эда Коупленда , который более подробно описывает, как 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ = ⁠ 1/4 1 ⁠ как сумма Абеля, и + 2 + 3 + 4 + ⋯ = ⁠− + 1/12 ζ ( ⁠ как −1 ) . Получив жалобы на недостаточную строгость в первом видео, Падилья также написал на своей веб-странице объяснение, связывающее манипуляции в видео с тождествами между аналитическими продолжениями соответствующего сериала Дирихле.

В репортаже The New York Times о видео Numberphile математик Эдвард Френкель прокомментировал: «Это вычисление — один из наиболее тщательно охраняемых секретов математики. Никто посторонний о нем не знает».

Освещение этой темы в Smithsonian журнале описывает видео Numberphile как вводящее в заблуждение и отмечает, что интерпретация суммы как ⁠− + 1/12 , взятое из ⁠ опирается на специальное значение знака равенства методов аналитического продолжения , в которых равенства средства связаны с . Видео Numberphile подверглось критике на аналогичных основаниях со стороны немецкого математика Буркарда Польстера на его канале Mathologer на YouTube в 2018 году, а к 2023 году его видео получило 2,7 миллиона просмотров.

Библиография

• Берндт, Брюс К.; Шриниваса Рамануджан Айянгар ; Рэнкин, Роберт А. (1995). Рамануджан: письма и комментарии . Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0287-9 .
• Харди, GH (1949). Дивергентный сериал . Кларендон Пресс.
• Зи, А. (2003). Квантовая теория поля в двух словах . Принстон, UP. ISBN  0-691-01019-6 .

Дальнейшее чтение

• Цвибах, Бартон (2004). Первый курс теории струн . Кембриджский университет ISBN  0-521-83143-1 . См. стр. 293.
• Элизальде, Эмилио (2004). «Космология: методы и приложения». Материалы II Международной конференции по фундаментальным взаимодействиям . arXiv : gr-qc/0409076 . Бибкод : 2004gr.qc.....9076E .
• Уотсон, Дж. Н. (апрель 1929 г.), «Теоремы, сформулированные Рамануджаном (VIII): Теоремы о расходящихся рядах», Журнал Лондонского математического общества , 1, 4 (2): 82–86, doi : 10.1112/jlms/s1-4.14 .82

Внешние ссылки

• Лэмб Э. (2014), « Действительно ли 1+2+3... равно –1/12? », Scientific American . Блоги
• Находки этой недели по математической физике (124-я неделя) , (126-я неделя) , (147-я неделя) , (213-я неделя)
  • Доказательство Эйлера, что 1 + 2 + 3 + ⋯ = -1/12 - Джон Баэз
  • Джон Баэз (19 сентября 2008 г.). «Мои любимые числа: 24» (PDF) .
• Формула Эйлера-Маклорена, числа Бернулли, дзета-функция и аналитическое продолжение с действительной переменной Теренса Тао
• Рекурсивная оценка дзета отрицательных целых чисел Любоша Мотла.
• Ссылка на видео Numberphile 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = –1/12
  • Сумма натуральных чисел (второе доказательство и дополнительные кадры) включает демонстрацию метода Эйлера.
  • Что мы получим, если просуммировать все натуральные числа? ответ на комментарии Тони Падиллы к видео
  • Соответствующая статья из New York Times
  • о золотом самородке Почему –1/12 — это продолжение видео Numberphile с Эдвардом Френкелем
• Расходящиеся ряды: почему 1 + 2 + 3 + ⋯ = −1/12 Брайдон Кейс из Университета Аризоны