Уравнения телеграфиста

( Уравнения телеграфиста или просто телеграфные уравнения ) представляют собой набор двух связанных линейных уравнений, которые предсказывают распределения напряжения и тока в линейной линии электропередачи . Уравнения важны, поскольку они позволяют анализировать линии передачи с использованием теории цепей . Уравнения и их решения применимы от 0 Гц (т.е. постоянного тока) до частот, на которых структура линии передачи может поддерживать не-TEM-режимы более высокого порядка . Уравнения могут быть выражены как во временной , так и в частотной области . Во временной области независимыми переменными являются расстояние и время. Полученные уравнения во временной области представляют собой уравнения в частных производных как времени, так и расстояния. В частотной области независимыми переменными являются расстояние $x$ и либо частота , $\omega$, или комплексная частота , $s$. Переменные частотной области могут быть приняты как преобразование Лапласа или преобразование Фурье переменных временной области, или они могут быть приняты как векторы . Полученные уравнения в частотной области представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения расстояний. Преимущество подхода в частотной области состоит в том, что дифференциальные операторы во временной области становятся алгебраическими операциями в частотной области.

Уравнения взяты из Оливера Хевисайда , который разработал модель линии передачи, начиная с статьи « О дополнительном токе» , вышедшей в августе 1876 года . Модель демонстрирует, что электромагнитные волны могут отражаться от провода и вдоль линии могут образовываться волновые узоры. Первоначально разработанная для описания телеграфных проводов, теория также может быть применена к радиочастоты проводникам , звуковой частоты (например, телефонных линий ), низкой частоты (например, линий электропередачи) и импульсов постоянного тока .

Распределенные компоненты

Схематическое изображение элементарных компонентов линии электропередачи.

Уравнения телеграфиста, как и все другие уравнения, описывающие электрические явления, вытекают из уравнений Максвелла . При более практичном подходе предполагается, что проводники состоят из бесконечного ряда двухполюсных элементарных компонентов, каждый из которых представляет бесконечно короткий сегмент линии передачи:

• Распределенное сопротивление $R$ проводников представлен последовательным резистором (выраженным в омах на единицу длины). В практических проводниках на более высоких частотах $R$ увеличивается примерно пропорционально корню квадратному из частоты из-за скин-эффекта .
• Распределенная индуктивность $L$ (из-за магнитного поля вокруг проводов, самоиндукции и т. д.) представлен последовательным индуктором ( генри на единицу длины).
• Емкость ​ $C$ между двумя проводниками представлен шунтирующий конденсатор $C$ ( фарады на единицу длины).
• проводимость ​ $G$ диэлектрического материала, разделяющего два проводника, представлен шунтирующим резистором между сигнальным проводом и обратным проводом ( сименс на единицу длины). Этот резистор в модели имеет сопротивление $R_{\text{shunt}}={\frac {1}{G}}\,\mathrm {ohms}$. $\ G\$ учитывает как объемную проводимость диэлектрика, так и диэлектрические потери . Если диэлектрик представляет собой идеальный вакуум, то $G\equiv 0\,$.

Модель состоит из бесконечного ряда бесконечно малых элементов, показанных на рисунке, и значения компонентов указаны на единицу длины, поэтому изображение компонента может вводить в заблуждение. Альтернативное обозначение состоит в использовании $R'$, $L'$, $C'$, и $G'$ чтобы подчеркнуть, что значения являются производными по длине и что единицы измерения сочетаются правильно. Эти величины также могут быть известны как константы первичной линии, чтобы отличать их от констант вторичной линии, полученных из них: характеристического импеданса , постоянной распространения , постоянной затухания и фазовой постоянной . Все эти константы постоянны по отношению ко времени, напряжению и току. Они могут быть непостоянными функциями частоты.

Роль различных компонентов

Схема, показывающая волну, текущую вправо по линии передачи без потерь. Черные точки представляют электроны , а стрелки показывают электрическое поле.

Роль различных компонентов можно визуализировать на основе анимации справа.

Индуктивность L

Индуктивность связывает ток с энергией, запасенной в магнитном поле. Создаётся впечатление, что ток имеет инерцию – т.е. при большой индуктивности трудно увеличить или уменьшить силу тока в любой заданной точке. Большая индуктивность L заставляет волну двигаться медленнее, точно так же, как волны движутся медленнее по тяжелой веревке, чем по легкой струне. Большая индуктивность также увеличивает линии импульсное сопротивление ( требуется большее напряжение). для пропускания того же переменного тока через линию

Емкость С

Емкость связывает напряжение с энергией, запасенной в электрическом поле. Он контролирует, насколько сгруппированные электроны внутри каждого проводника отталкивают, притягивают или отклоняют электроны в другом проводнике. Отклоняя некоторые из этих сгруппированных электронов, скорость волны и ее сила (напряжение) уменьшаются. При большей емкости C отталкивание меньше, поскольку другая линия (которая всегда имеет противоположный заряд) частично компенсирует эти силы отталкивания внутри каждого проводника. Большая емкость соответствует более слабым восстанавливающим силам , что заставляет волну двигаться немного медленнее, а также дает линии передачи более низкий импульсный импеданс ( меньшее напряжение, необходимое для пропускания того же переменного тока через линию).

Сопротивление R

Сопротивление соответствует сопротивлению внутри двух линий, вместе взятых. Это сопротивление R связывает ток с омическими потерями , которые немного снижают напряжение вдоль линии за счет выделения тепла в проводник, оставляя ток неизменным. Как правило, сопротивление линии очень низкое по сравнению с индуктивным реактивным сопротивлением ωL на радиочастотах, и для простоты рассматривается как равное нулю, при этом любое рассеяние напряжения или нагрев провода учитывается как поправки к расчету «линии без потерь» или просто игнорируется.

Проводимость G

Проводимость между линиями показывает, насколько хорошо ток может «протекать» из одной линии в другую. Проводимость связывает напряжение с диэлектрическими потерями, выделяющимися в виде тепла во все, что служит изоляцией между двумя проводниками. G уменьшает распространяющийся ток, шунтируя его между проводниками. Как правило, изоляция проводов (включая воздух) довольно хорошая, а проводимость практически незначительна по сравнению с емкостной проводимостью ωC и для простоты считается равной нулю.

Все четыре параметра L , C , R и G зависят от материала, используемого для изготовления кабеля или питающей линии. Все четыре изменяются с частотой: R и G имеют тенденцию увеличиваться при более высоких частотах, а L и C имеют тенденцию уменьшаться при повышении частоты.На рисунке справа показана линия передачи без потерь, где R и G равны нулю, что является самой простой и, безусловно, наиболее распространенной формой используемых телеграфных уравнений, но немного нереалистичной (особенно в отношении R ).

Значения основных параметров телефонного кабеля

Репрезентативные данные параметров для телефонного кабеля с полиэтиленовой изоляцией (PIC) калибра 24 при температуре 70 °F (294 К)

Частота	Р		л		Г		С
Гц	Ω ⁄ km	Ом ⁄ 1000 футов	μH ⁄ km	мкГн ⁄ 1000 футов	μS ⁄ km	мкСм ⁄ 1000 футов	nF ⁄ km	нФ ⁄ 1000 футов
1 Гц	172.24	52.50	612.9	186.8	0.000	0.000	51.57	15.72
1 кГц	172.28	52.51	612.5	186.7	0.072	0.022	51.57	15.72
10 кГц	172.70	52.64	609.9	185.9	0.531	0.162	51.57	15.72
100 кГц	191.63	58.41	580.7	177.0	3.327	1.197	51.57	15.72
1 МГц	463.59	141.30	506.2	154.3	29.111	8.873	51.57	15.72
2 МГц	643.14	196.03	486.2	148.2	53.205	16.217	51.57	15.72
5 МГц	999.41	304.62	467.5	142.5	118.074	35.989	51.57	15.72

Эти данные взяты из Reeve (1995). Вариация $R$ и $L$ в основном из-за скин-эффекта и эффекта близости . Постоянство емкости является следствием преднамеренного проектирования.

Об изменении G можно судить по Терману: «Коэффициент мощности... имеет тенденцию быть независимым от частоты, поскольку доля энергии, теряемой во время каждого цикла... существенно не зависит от количества циклов в секунду в широком диапазоне частот. ." Функция формы $$G(f)=G_{1}\cdot \left({\frac {f}{f_{1}}}\right)^{g_{\mathrm {e} }}$$с $g_{\mathrm {e} }$ близкое к 1,0 соответствует утверждению Термана. Чен дает уравнение аналогичного вида. В то время как G (·) представляет собой проводимость как функцию частоты, $G_{1},\,f_{1}$, и $g_{e}$ все реальные константы.

Обычно резистивные потери растут пропорционально $f^{1/2}$ и диэлектрические потери растут пропорционально $f^{g_{\mathrm {e} }}$ с $g_{\mathrm {e} }\approx 1$ поэтому при достаточно высокой частоте диэлектрические потери будут превышать резистивные потери. На практике, прежде чем эта точка будет достигнута, используется линия передачи с лучшим диэлектриком. В жестких коаксиальных кабелях на большие расстояния , чтобы добиться очень низких диэлектрических потерь, твердый диэлектрик можно через определенные промежутки заменять воздухом с пластиковыми прокладками, чтобы центральный проводник оставался на оси.

Уравнения

Временной интервал

Уравнения телеграфиста во временной области: $${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)&=-L\,{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)-RI(x,t)\\[1ex]{\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)&=-C\,{\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)-GV(x,t)\end{aligned}}$$

Их можно объединить, чтобы получить два уравнения в частных производных, каждое из которых имеет только одну зависимую переменную: $V$ или $I$: $${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}V(x,t)-LC\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}V(x,t)&=\left(RC+GL\right){\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)+GR\,V(x,t)\\[1ex]{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}I(x,t)-LC\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}I(x,t)&=\left(RC+GL\right){\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)+GR\,I(x,t)\end{aligned}}$$

За исключением зависимой переменной ( $V$ или $I$) формулы идентичны.

Частотная область

Уравнения телеграфиста в частотной области развиты в аналогичных формах в следующих источниках: Краус, Хейт, Маршалл, садик, Харрингтон, Каракаш, Мецгер. $${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {V} _{\omega }(x)&=-\left(j\omega L_{\omega }+R_{\omega }\right)\mathbf {I} _{\omega }(x),\\[1ex]{\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {I} _{\omega }(x)&=-\left(j\omega C_{\omega }+G_{\omega }\right)\mathbf {V} _{\omega }(x).\end{aligned}}$$Первое уравнение означает, что $\mathbf {V} _{\omega }(x)\,$, распространяющееся напряжение в точке $x$, уменьшается за счет потерь напряжения, вызванных $\mathbf {I} _{\omega }(x)\,$, ток в этой точке проходит через последовательное сопротивление $R+j\omega L$. Второе уравнение означает, что $\mathbf {I} _{\omega }(x)\,$, распространяющийся ток в точке $x$, уменьшается на текущие потери, вызванные $\mathbf {V} _{\omega }(x)\,$, напряжение в этой точке, возникающее на проводимости шунта $G+j\omega C\,$.

Индекс ω указывает на возможную частотную зависимость. $\mathbf {I} _{\omega }(x)$ и $\mathbf {V} _{\omega }(x)$ являются векторами .

Эти уравнения можно объединить для получения двух дифференциальных уравнений в частных производных с одной переменной . $${\begin{aligned}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\mathbf {V} _{\omega }(x)&=\gamma ^{2}\mathbf {V} _{\omega }(x)\\[1ex]{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\mathbf {I} _{\omega }(x)&=\gamma ^{2}\mathbf {I} _{\omega }(x)\end{aligned}}$$где ${\textstyle \gamma \equiv \alpha +j\beta \equiv {\sqrt {\left(R_{\omega }+j\omega L_{\omega }\right)\left(G_{\omega }+j\omega C_{\omega }\right)}}}$
$\alpha$ называется константой затухания и $\beta$ называется фазовой постоянной .

Гомогенные решения

Каждое из предыдущих уравнений в частных производных имеет два однородных решения в бесконечной линии передачи.

Для уравнения напряжения $${\begin{aligned}\mathbf {V} _{\omega ,F}(x)=\mathbf {V} _{\omega ,F}(a)\,e^{+\gamma (a-x)}\,;\\[1ex]\mathbf {V} _{\omega ,R}(x)=\mathbf {V} _{\omega ,R}(b)\,e^{-\gamma (b-x)}\,;\end{aligned}}$$$$\mathbf {V} _{\omega }(x)=\mathbf {V} _{\omega ,F}(x)+\mathbf {V} _{\omega ,R}(x)\,.$$

Для текущего уравнения $${\begin{aligned}\mathbf {I} _{\omega ,F}(x)=\mathbf {I} _{\omega ,F}(a)\,e^{+\gamma (a-x)}\,;\\\mathbf {I} _{\omega ,R}(x)=\mathbf {I} _{\omega ,R}(b)\,e^{-\gamma (b-x)}\,;\end{aligned}}$$$$\mathbf {I} _{\omega }(x)=\mathbf {I} _{\omega ,F}(x)-\mathbf {I} _{\omega ,R}(x)\,.$$

Знак минус в предыдущем уравнении указывает на то, что ток обратной волны движется в противоположном направлении.

Примечание: $${\begin{aligned}\mathbf {V} _{\omega ,F}(x)=\mathbf {Z} _{c}\,\mathbf {I} _{\omega ,F}(x),\\[0.4ex]\mathbf {V} _{\omega ,R}(x)=\mathbf {Z} _{c}\,\mathbf {I} _{\omega ,R}(x),\end{aligned}}$$$$\mathbf {Z} _{c}={\sqrt {\frac {R_{\omega }+j\omega L_{\omega }}{G_{\omega }+j\omega C_{\omega }}}}\,,$$где справедливы следующие определения символов:

Определения символов

Символ	Определение
$a$	точка, в которой известны значения прямых волн
$b$	точка, в которой известны значения обратных волн
$\mathbf {V} _{\omega }(x)$	значение полного напряжения в точке x
$\mathbf {V} _{\omega ,F}(x)$	значение прямой волны напряжения в точке x
$\mathbf {V} _{\omega ,R}(x)$	значение волны обратного напряжения в точке x
$\mathbf {V} _{\omega ,F}(a)$	значение прямой волны напряжения в точке а
$\mathbf {V} _{\omega ,R}(b)$	значение волны обратного напряжения в точке b
$\mathbf {I} _{\omega }(x)$	значение полного тока в точке x
$\mathbf {I} _{\omega ,F}(x)$	значение волны прямого тока в точке x
$\mathbf {I} _{\omega ,R}(x)$	значение волны обратного тока в точке x
$\mathbf {I} _{\omega ,F}(a)$	значение волны прямого тока в точке a
$\mathbf {I} _{\omega ,R}(b)$	значение волны обратного тока в точке b
$\mathbf {Z} _{c}$	Характеристический импеданс

Конечная длина

Коаксиальная линия передачи с одним источником и одной нагрузкой

Джонсон дает следующее решение: $${\begin{aligned}{\frac {\mathbf {V} _{\mathsf {L}}}{\mathbf {V} _{\mathsf {S}}}}&=\left[\left({\frac {\mathbf {H} ^{-1}+\mathbf {H} }{2}}\right)\left(1+{\frac {\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}}{\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}}}\right)+\left({\frac {\mathbf {H} ^{-1}-\mathbf {H} }{2}}\right)\left({\frac {\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}}{\mathbf {\mathbf {Z} } _{\mathsf {C}}}}+{\frac {\mathbf {Z} _{\mathsf {C}}}{\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}}}\right)\right]^{-1}\\[2ex]&={\frac {\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}\mathbf {Z} _{\mathsf {C}}}{\mathbf {Z} _{\mathsf {C}}\left(\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}+\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}\right)\cosh \left({\boldsymbol {\gamma }}x\right)+\left(\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}+\mathbf {Z} _{\mathsf {C}}^{2}\right)\sinh \left({\boldsymbol {\gamma }}x\right)}}\end{aligned}}$$где $\mathbf {H} \equiv e^{-{\boldsymbol {\gamma }}x},$ и $x$ длина линии передачи.

В частном случае, когда все импедансы равны, $\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}=\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}=\mathbf {Z} _{\mathsf {C}},$ решение сводится к ${\frac {\mathbf {V} _{\mathsf {L}}}{\mathbf {V} _{\mathsf {S}}}}={\frac {1}{2}}e^{-{\boldsymbol {\gamma }}x}\,$.

Передача без потерь

Когда $\omega L\gg R$ и $\omega C\gg G$сопротивлением провода и проводимостью изоляции можно пренебречь, а линия передачи рассматривается как идеальная структура без потерь. В этом случае модель зависит только от L и C. элементов Уравнения телеграфиста затем описывают взаимосвязь между напряжением V и током I вдоль линии передачи, каждое из которых является функцией положения x и времени t : $${\begin{aligned}V&=V(x,t)\\[.5ex]I&=I(x,t)\end{aligned}}$$

Уравнения для линий передачи без потерь

Сами уравнения состоят из пары связанных уравнений в частных производных первого порядка . Первое уравнение показывает, что индуцированное напряжение связано со скоростью изменения тока через индуктивность кабеля во времени, а второе аналогичным образом показывает, что ток, потребляемый емкостью кабеля, связан со скоростью изменения во времени. изменение напряжения. $${\frac {\partial V}{\partial x}}=-L{\frac {\partial I}{\partial t}}$$$${\frac {\partial I}{\partial x}}=-C{\frac {\partial V}{\partial t}}$$

Эти уравнения можно объединить в два точных волновых уравнения : одно для напряжения. $V$, другой для текущего $I$: $${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}-{\tilde {v}}^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}&=0\\[1ex]{\frac {\partial ^{2}I}{\partial t^{2}}}-{\tilde {v}}^{2}{\frac {\partial ^{2}I}{\partial x^{2}}}&=0\end{aligned}}$$где $${\tilde {v}}\equiv {\frac {1}{\sqrt {LC}}}$$ – скорость распространения волн, проходящих по линии передачи. Для линий передачи, состоящих из параллельных идеальных проводников с вакуумом между ними, эта скорость равна скорости света.

Синусоидальный установившийся

В случае синусоидального установившегося состояния (т. е. когда приложено чисто синусоидальное напряжение и переходные процессы прекратились), напряжение и ток принимают форму однотональных синусоидальных волн: $${\begin{aligned}V(x,t)&={\mathcal {R_{e}}}{\bigl \{}V(x)\,e^{j\omega t}{\bigr \}}\,,\\[1ex]I(x,t)&={\mathcal {R_{e}}}{\bigl \{}I(x)\,e^{j\omega t}{\bigr \}}\,,\end{aligned}}$$где $\omega$ – угловая частота установившейся волны. В этом случае уравнения телеграфиста сводятся к $${\begin{aligned}{\frac {dV}{dx}}=-j\omega LI=-L{\frac {dI}{dt}}\\[1ex]{\frac {dI}{dx}}=-j\omega CV=-C{\frac {dV}{dt}}\end{aligned}}$$

Аналогично волновые уравнения сводятся к $${\begin{aligned}{\frac {d^{2}V}{dx^{2}}}+k^{2}V&=0\\[1ex]{\frac {d^{2}I}{dx^{2}}}+k^{2}I&=0\\[1ex]\end{aligned}}$$где k – волновое число: $$k\equiv \omega {\sqrt {LC}}={\frac {\omega }{\tilde {v}}}.$$

Каждое из этих двух уравнений имеет форму одномерного уравнения Гельмгольца .

В случае без потерь можно показать, что $$V(x)=V_{1}\,e^{-jkx}+V_{2}\,e^{+jkx}$$и $$I(x)={\frac {V_{1}}{Z_{\mathsf {o}}}}\,e^{-jkx}-{\frac {V_{2}}{Z_{\mathsf {o}}}}\,e^{+jkx}$$где в этом особом случае $k$ - это действительная величина, которая может зависеть от частоты и $Z_{\mathsf {o}}$ - характеристическое сопротивление линии передачи, которое для линии без потерь определяется выражением $$Z_{\mathsf {o}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}$$и $V_{1}$ и $V_{2}$ — произвольные константы интегрирования, которые определяются двумя граничными условиями (по одному для каждого конца линии передачи).

Этот импеданс не меняется по длине линии, поскольку L и C постоянны в любой точке линии при условии, что геометрия поперечного сечения линии остается постоянной.

Линия без потерь и линия без искажений обсуждаются в Садику (1989). и Маршалл (1987) .

Случай без потерь, общее решение

В случае без потерь ( $R=G=0$), наиболее общим решением волнового уравнения для напряжения является сумма прямой бегущей волны и обратной бегущей волны: $$V(x,t)=f_{1}(x-{\tilde {v}}t)+f_{2}(x+{\tilde {v}}t)$$где

• $f_{1}$ и $f_{2}$ могут быть любые две аналитические функции и
• ${\tilde {v}}\equiv {\frac {1}{\sqrt {LC}}}$ сигнала — это скорость распространения (также известная как фазовая скорость ).

Здесь, $f_{1}$ представляет собой амплитудный профиль волны, бегущей слева направо – в положительном $x$ направление – пока $f_{2}$ представляет собой амплитудный профиль волны, бегущей справа налево. Видно, что мгновенное напряжение в любой точке $x$ на линии находится сумма напряжений обеих волн.

Используя текущий $I$ и напряжение $V$ отношений, заданных уравнениями телеграфиста, можно записать $$I(x,t)={\frac {1}{Z_{\mathsf {o}}}}{\Bigl [}f_{1}(x-{\tilde {v}}t)-f_{2}(x+{\tilde {v}}t){\Bigr ]}\,.$$

Линия передачи с потерями

При наличии потерь решение телеграфного уравнения имеет как затухание, так и дисперсию, что заметно по сравнению с решением волнового уравнения без потерь.

Когда элементы потерь $R$ и $G$ слишком существенны, чтобы их можно было игнорировать, дифференциальные уравнения, описывающие элементарный сегмент линии, имеют вид $${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)&=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)-R\,I(x,t)\,,\\[6pt]{\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)&=-C{\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)-G\,V(x,t)\,.\end{aligned}}$$

Дифференцируя оба уравнения по x и некоторой алгебре, мы получаем пару гиперболических уравнений в частных производных, каждое из которых включает только одно неизвестное: $${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}V&=LC{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}V+\left(RC+GL\right){\frac {\partial }{\partial t}}V+GRV,\\[6pt]{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}I&=LC{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}I+\left(RC+GL\right){\frac {\partial }{\partial t}}I+GRI.\end{aligned}}$$

Эти уравнения напоминают однородное волновое уравнение с дополнительными членами в V и I и их первыми производными. Эти дополнительные члены приводят к затуханию и распространению сигнала со временем и расстоянием. Если линия передачи имеет лишь незначительные потери ( $R\ll \omega L$ и $G\ll \omega C$), уровень сигнала будет затухать с расстоянием, так как $e^{-\alpha x}$ где $\alpha \approx {\frac {R}{2Z_{0}}}+{\frac {GZ_{0}}{2}}~$.

Решения уравнений телеграфиста как компоненты схемы

Эквивалентная схема несбалансированной линии передачи (например, коаксиального кабеля), где: 2/ Z _o — коэффициент пропускания VCCS (источника тока, управляемого напряжением), x — длина линии передачи, Z ( s ) ≡ Z _o ( s). ) — характеристический импеданс, T ( s ) — функция распространения, γ ( s ) — «постоянная распространения», s ≡ j ω и j ² ≡ −1 .

Решения телеграфных уравнений можно вставлять непосредственно в схему в качестве компонентов. Схема на рисунке реализует решения уравнений телеграфиста.

Решение уравнений телеграфиста можно выразить в виде двухпортовой сети ABCD со следующими определяющими уравнениями: $${\begin{aligned}V_{1}&=V_{2}\cosh(\gamma x)+I_{2}Z_{\mathsf {o}}\sinh(\gamma x)\,,\\[1ex]I_{1}&={\frac {V_{2}}{Z_{\mathsf {o}}}}\sinh(\gamma x)+I_{2}\cosh(\gamma x)\,.\end{aligned}}$$где $$Z_{\mathsf {o}}\equiv {\sqrt {\frac {R_{\omega }+j\omega L_{\omega }}{G_{\omega }+j\omega C_{\omega }}}},$$и $$\gamma \equiv {\sqrt {\left(R_{\omega }+j\omega L_{\omega }\right)\left(G_{\omega }+j\omega C_{\omega }\right)}},$$так же, как и в предыдущих разделах. Параметры линии R _ω , L _ω , G _ω и C _ω имеют индекс ω , чтобы подчеркнуть, что они могут быть функциями частоты.

Двухпортовый тип ABCD дает $V_{1}$ и $I_{1}$ как функции $V_{2}$ и $I_{2}\,$. Соотношения напряжения и тока симметричны: оба уравнения, показанные выше, при решении для $V_{1}$ и $I_{1}$ как функции $V_{2}$ и $I_{2}$ дают точно такие же отношения, только с обратными индексами «1» и «2», а $\sinh$ знаки терминов стали отрицательными («направление 1» → «2» меняется на противоположное «1» ← «2», отсюда и смена знака).

Каждая двухпроводная или симметричная линия передачи имеет неявный (или в некоторых случаях явный) третий провод, который называется экраном , оболочкой, общим, землей или землей. Таким образом, каждая двухпроводная симметричная линия передачи имеет два режима, которые номинально называются дифференциальным режимом и синфазным режимом . Схема, показанная на нижней диаграмме, может моделировать только дифференциальный режим.

В верхней схеме удвоители напряжения, разностные усилители и импедансы Z _o ( s ) за взаимодействие линии передачи с внешней цепью отвечают . Эта схема является полезным эквивалентом несбалансированной линии передачи, такой как коаксиальный кабель .

Они не уникальны: возможны и другие эквивалентные схемы.

См. также

• Отражения сигналов на проводящих линиях
• Закон квадратов , лорда Кельвина по этому вопросу. предварительная работа