«P-функция» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о функции фазового пространства, представляющей квантовое состояние, см. P-представление Глаубера – Сударшана .
«℘» перенаправляется сюда; этот символ также может использоваться для обозначения набора мощности .
В математике — эллиптические функции Вейерштрасса это эллиптические функции , которые принимают особенно простую форму. Они названы в честь Карла Вейерштрасса . Этот класс функций также называют ℘-функциями и обычно обозначаются символом ℘, уникальной буквой p . Они играют важную роль в теории эллиптических функций, т. е. мероморфных функций двоякопериодических , . ℘-функция вместе со своей производной может использоваться для параметризации эллиптических кривых , и они генерируют поле эллиптических функций относительно заданной решетки периодов.
Кубик формы , где являются комплексными числами с , не может быть рационально параметризован . [1] Тем не менее, все еще хочется найти способ параметризовать его.
Для квадрики ; единичный круг , существует (нерациональная) параметризация с использованием функции синуса и ее производной функции косинуса:
Из-за периодичности синуса и косинуса выбран в качестве области определения, поэтому функция является биективной.
Аналогичным образом можно получить параметризацию посредством двоякопериодического -функция (см. раздел «Связь с эллиптическими кривыми»). Эта параметризация имеет область определения , что топологически эквивалентно тору . [2]
Есть еще одна аналогия с тригонометрическими функциями. Рассмотрим интегральную функцию
Его можно упростить, заменив и :
Это значит . Таким образом, функция синус является обратной функцией целой функции. [3]
Обычно используется и в верхней полуплоскости как генераторы решетки . Деление на отображает решетку изоморфно на решетку с . Потому что можно заменить на , без ограничения общности можно считать , а затем определите .
Набор и . Тогда -функция удовлетворяет дифференциальному уравнению [6]
Это соотношение можно проверить, образовав линейную комбинацию степеней и устранить столб в . Это дает целую эллиптическую функцию, которая должна быть постоянной по теореме Лиувилля . [6]
Действительная часть инварианта g 3 как функция квадрата нома q на единичном круге. Мнимая часть инварианта g 3 как функция квадрата нома q на единичном круге.
Коэффициенты приведенного выше дифференциального уравнения g 2 и g 3 известны как инварианты . Потому что они зависят от решетки их можно рассматривать как функции в и .
Для этой кубики не существует рациональной параметризации, если . [1] В этом случае ее еще называют эллиптической кривой. Тем не менее существует параметризация в однородных координатах , использующая -функция и ее производная : [17]
Теперь карта является биективным и параметризует эллиптическую кривую .
Эллиптическая функция Вейерштрасса обычно записывается особой строчной буквой ℘, которая была собственной системой обозначений Вейерштрасса, введенной в его лекциях 1862–1863 годов. [сноска 1]
В вычислительной технике буква ℘ доступна как \wpв ТеХе . В Юникоде кодовая точка U+2118 ℘ ЗАГЛАВНАЯ ПИСЬМО P ( ℘, ℘ ), с более правильным псевдонимом Эллиптическая функция Вейерштрасса . [сноска 2] В HTML его можно экранировать как ℘.
Информация о персонаже
Предварительный просмотр
℘
Имя в Юникоде
СКРИПТ ЗАГЛАВНЫЙ P / ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ Вейерштрасса
^
Этот символ также использовался в версии лекций Вейерштрасса, опубликованной Шварцем в 1880-х годах. Он также использовался в первом издании « Курса современного анализа» Э. Т. Уиттакера в 1902 году. [22]
^
Консорциум Unicode признал две проблемы с названием буквы: на самом деле буква строчная и не является буквой класса «скрипт», как U+1D4C5 𝓅 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СЦЕНАРИЙ МАЛЕНЬКАЯ P , но буква, обозначающая эллиптическую функцию Вейерштрасса.
Unicode добавил псевдоним в качестве исправления. [23] [24]
^ Перейти обратно: а б Хулек, Клаус. (2012), Элементарная алгебраическая геометрия: основные термины и методы с многочисленными примерами и приложениями (на немецком языке) (2-е, исправленное и расширенное издание, 2012 г.), Висбаден: Vieweg+Teubner Verlag, стр. 8, ISBN 978-3-8348-2348-9
^ Рольф Бусам (2006), Теория функций 1 (на немецком языке) (4-е, исправленное и расширенное издание), Берлин: Springer, стр. 259, ISBN 978-3-540-32058-6
^ Джереми Грей (2015), Реальность и комплекс: история анализа в XIX веке (на немецком языке), Cham, стр. 71, ISBN 978-3-319-23715-2 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Рольф Бусам (2006), Теория функций 1 (на немецком языке) (4-е, исправленное и расширенное издание), Берлин: Springer, стр. 294, ISBN 978-3-540-32058-6
^ Бусам, Рольф (2006), Теория функций 1 (на немецком языке) (4-е, исправленное и расширенное издание), Берлин: Springer, стр. 270, ISBN 978-3-540-32058-6
^ Апостол, Том М. (1976), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел (на немецком языке), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 13, ISBN 0-387-90185-Х
^ К. Чандрасекхаран (1985), Эллиптические функции (на немецком языке), Берлин: Springer-Verlag, стр. 33, ISBN 0-387-15295-4
^ Корн Г.А., Корн ТМ (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 721. LCCN 59014456 .
^ Хулек, Клаус. (2012), Элементарная алгебраическая геометрия: основные термины и методы с многочисленными примерами и приложениями (на немецком языке) (2-е, исправленное и расширенное издание, 2012 г.), Висбаден: Vieweg+Teubner Verlag, стр. 12, ISBN 978-3-8348-2348-9
^ Хулек, Клаус. (2012), Элементарная алгебраическая геометрия: основные термины и методы с многочисленными примерами и приложениями (на немецком языке) (2-е, исправленное и расширенное издание, 2012 г.), Висбаден: Vieweg+Teubner Verlag, стр. 111, ISBN 978-3-8348-2348-9
^ Рольф Бусам (2006), Теория функций 1 (на немецком языке) (4-е, исправленное и расширенное издание), Берлин: Springer, стр. 287, ISBN 978-3-540-32058-6
^ Рольф Бусам (2006), Теория функций 1 (на немецком языке) (4-е, исправленное и расширенное издание), Берлин: Springer, стр. 288, ISBN 978-3-540-32058-6
Н. И. Ахиезер , Элементы теории эллиптических функций , (1970) Москва, перевод на английский язык как AMS Переводы математических монографий, том 79 (1990) AMS, Род-Айленд ISBN 0-8218-4532-2
Том М. Апостол , Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел, второе издание (1990), Спрингер, Нью-Йорк ISBN 0-387-97127-0 (см. главу 1.)
К. Чандрасекхаран, Эллиптические функции (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
Конрад Кнопп , Funktionentheorie II (1947), Dover Publications; Переиздано в английском переводе под названием « Теория функций» (1996), Dover Publications. ISBN 0-486-69219-1
Arc.Ask3.Ru Номер скриншота №: A2B294548F5D31EDF44D2CABAAC61B8F__1712216400 URL1:https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_p Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1: Weierstrass elliptic function - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть, любые претензии не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, денежную единицу можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)