Фильтр (обработка сигнала)

В обработке сигналов фильтр — это устройство или процесс, который удаляет из сигнала некоторые нежелательные компоненты или характеристики . Фильтрация — это класс обработки сигналов , определяющей особенностью фильтров является полное или частичное подавление некоторых аспектов сигнала. Чаще всего это означает удаление некоторых частот или полос частот. Однако фильтры действуют не только в частотной области ; особенно в области обработки изображений существует множество других целей для фильтрации. Корреляции можно удалить для определенных частотных составляющих, но не для других, без необходимости действовать в частотной области. Фильтры широко используются в электронике и телекоммуникациях , в радио , телевидении , звукозаписи , радиолокации , системах управления , синтезе музыки , обработке изображений , компьютерной графике , структурной динамике .

Существует множество различных оснований классификации фильтров, и они по-разному пересекаются; простой иерархической классификации не существует. Фильтры могут быть:

нелинейный или линейный
временной вариант или временной инвариант , также известный как сдвиговая инвариантность. Если фильтр работает в пространственной области, то его характеристикой является пространственная инвариантность.
причинный или непричинный: фильтр является непричинным, если его текущий результат зависит от будущих входных данных. Фильтры, обрабатывающие сигналы временной области в реальном времени, должны быть причинными, но не фильтры, действующие на сигналы пространственной области или обработку сигналов временной области с отсрочкой времени.
аналоговый или цифровой
дискретное время (выборочное) или непрерывное время
пассивный или активный тип фильтра непрерывного действия
с бесконечной импульсной характеристикой (IIR) или конечной импульсной характеристикой (FIR). Тип дискретного или цифрового фильтра

Линейные непрерывные фильтры

Линейная схема с непрерывным временем, пожалуй, является наиболее распространенным значением слова «фильтр» в мире обработки сигналов, и просто «фильтр» часто воспринимается как синоним. Эти схемы обычно предназначены для удаления определенных частот и пропускания других. Схемы, выполняющие эту функцию, обычно имеют линейную реакцию или, по крайней мере, приблизительно линейную. Любая нелинейность потенциально может привести к тому, что выходной сигнал будет содержать частотные компоненты, отсутствующие во входном сигнале.

Современная методология проектирования линейных фильтров непрерывного времени называется сетевым синтезом . Вот некоторые важные семейства фильтров, разработанные таким образом:

Фильтр Чебышева имеет наилучшее приближение к идеальному отклику любого фильтра для заданного порядка и пульсаций.
Фильтр Баттерворта , имеет максимально ровную АЧХ.
Фильтр Бесселя , имеет максимально плоскую фазовую задержку .
Эллиптический фильтр , имеет самый крутой срез среди всех фильтров для заданного порядка и пульсаций.

Разница между этими семействами фильтров заключается в том, что все они используют разные полиномиальные функции для приближения к идеальному отклику фильтра . Это приводит к тому, что каждый из них имеет различную передаточную функцию .

Еще одна старая, менее используемая методология — метод параметров изображения . Фильтры, разработанные по этой методологии, архаично называются «волновыми фильтрами». Вот некоторые важные фильтры, разработанные с помощью этого метода:

Фильтр константы k — оригинальная и простейшая форма волнового фильтра.
m-производный фильтр , модификация константы k с улучшенной крутизной среза и согласованием импедансов .

Терминология

Некоторые термины, используемые для описания и классификации линейных фильтров:

Частотную характеристику можно разделить на несколько различных форм полос, описывающих, какие полосы частот пропускает фильтр ( полоса пропускания ), а какие отклоняет (полоса задерживания ):
- Фильтр нижних частот – низкие частоты пропускаются, высокие частоты ослабляются.
- Фильтр верхних частот – высокие частоты пропускаются, низкие частоты ослабляются.
- Полосовой фильтр – пропускаются только частоты в определенной полосе частот.
- Полосовой фильтр или режекторный фильтр – ослабляются только частоты в определенной полосе частот.
- Режекторный фильтр – подавляет только одну конкретную частоту – полосовой фильтр.
- Гребенчатый фильтр – имеет несколько равномерно расположенных узких полос пропускания, придающих форме полосы вид гребенки.
- Всепропускающий фильтр – все частоты пропускаются, но фаза выходного сигнала изменяется.
Частота среза — это частота, выше которой фильтр не пропускает сигналы. Обычно он измеряется при определенном затухании, например 3 дБ.
Спад — это скорость, с которой затухание увеличивается за пределы частоты среза.
Переходная полоса — (обычно узкая) полоса частот между полосой пропускания и полосой задерживания.
Пульсация фильтра — это изменение вносимых потерь в полосе пропускания.
Порядок фильтра — это степень аппроксимирующего полинома , а в пассивных фильтрах — количество элементов, необходимых для его построения. Увеличение порядка увеличивает спад и приближает фильтр к идеальному отклику.

Одним из важных применений фильтров является телекоммуникация .Многие телекоммуникационные системы используют мультиплексирование с частотным разделением каналов , при котором разработчики системы делят широкую полосу частот на множество более узких полос частот, называемых «слотами» или «каналами», и каждому потоку информации выделяется один из этих каналов.Люди, которые разрабатывают фильтры для каждого передатчика и каждого приемника, стараются как можно точнее сбалансировать прохождение полезного сигнала, сохраняя помехи от других взаимодействующих передатчиков и источников шума вне системы как можно ниже и при разумных затратах.

Для многоуровневых и многофазных систем цифровой модуляции требуются фильтры с плоской фазовой задержкой (линейной фазой в полосе пропускания) для сохранения целостности импульса во временной области. ^[1]дающие меньше межсимвольных помех , чем другие виды фильтров.

С другой стороны, аналоговые аудиосистемы , использующие аналоговую передачу, могут выдерживать гораздо большие пульсации фазовой задержки , поэтому разработчики таких систем часто намеренно жертвуют линейной фазой, чтобы получить фильтры, которые лучше в других отношениях — лучшее подавление полосы задерживания, меньшая амплитуда полосы пропускания. пульсация, более низкая стоимость и т. д.

Технологии

Фильтры могут быть построены с использованием различных технологий. Одна и та же передаточная функция может быть реализована несколькими разными способами, то есть математические свойства фильтра одинаковы, но физические свойства совершенно разные. Часто компоненты в различных технологиях напрямую аналогичны друг другу и выполняют в своих фильтрах одну и ту же роль. Например, резисторы, катушки индуктивности и конденсаторы в электронике соответствуют соответственно демпферам, массам и пружинам в механике. Аналогично, соответствующие компоненты имеются в фильтрах с распределенными элементами .

Электронные фильтры изначально были полностью пассивными и состояли из сопротивления, индуктивности и емкости. Активная технология упрощает проектирование и открывает новые возможности в характеристиках фильтров.
Цифровые фильтры работают с сигналами, представленными в цифровой форме. Сущность цифрового фильтра состоит в том, что он непосредственно реализует в своей программе или микрокоде математический алгоритм, соответствующий заданной передаточной функции фильтра.
Механические фильтры состоят из механических компонентов. В подавляющем большинстве случаев они используются для обработки электронного сигнала, а преобразователи предназначены для преобразования его в механическую вибрацию и обратно. Однако существуют примеры фильтров, которые были разработаны для работы исключительно в механической области.
Фильтры с распределенными элементами состоят из компонентов, состоящих из небольших частей линии передачи или других распределенных элементов . В фильтрах с распределенными элементами есть структуры, которые непосредственно соответствуют сосредоточенным элементам электронных фильтров, а также другие, уникальные для этого класса технологий.
Волноводные фильтры состоят из волноводных компонентов или компонентов, вставленных в волновод. Волноводы представляют собой класс линий передачи, и многие структуры фильтров с распределенными элементами, например шлейф , также могут быть реализованы в волноводах.
Оптические фильтры изначально были разработаны для целей, отличных от обработки сигналов, таких как освещение и фотография. Однако с развитием волоконно-оптических технологий оптические фильтры все чаще находят применение в обработке сигналов, и терминология фильтров обработки сигналов, такая как длиннопропускной и короткопроходной фильтры , входит в эту область.
Трансверсальный фильтр , или фильтр линии задержки, работает путем суммирования копий входных данных после различных временных задержек. Это может быть реализовано с помощью различных технологий, включая аналоговые линии задержки , активные схемы, линии задержки CCD или полностью в цифровой области.

Цифровые фильтры

Цифровая обработка сигналов позволяет недорого создавать самые разнообразные фильтры. Сигнал дискретизируется, и аналого-цифровой преобразователь преобразует сигнал в поток чисел. Компьютерная программа, работающая на ЦП или специализированном DSP (или реже работающая на аппаратной реализации алгоритма ) , вычисляет выходной числовой поток. Этот выходной сигнал можно преобразовать в сигнал, пропустив его через цифро-аналоговый преобразователь . Существуют проблемы с шумом, вносимым преобразованиями, но их можно контролировать и ограничивать с помощью многих полезных фильтров. Из-за задействованной выборки входной сигнал должен иметь ограниченное частотное содержание, иначе наложение спектров произойдет .

Кварцевые фильтры и пьезоэлектрики

В конце 1930-х годов инженеры поняли, что небольшие механические системы, изготовленные из твердых материалов, таких как кварц, будут акустически резонировать на радиочастотах, то есть от слышимых частот ( звуковых ) до нескольких сотен мегагерц. Некоторые ранние резонаторы были сделаны из стали , но предпочтение быстро завоевал кварц. Самым большим преимуществом кварца является то, что он пьезоэлектрический . Это означает, что кварцевые резонаторы могут напрямую преобразовывать собственное механическое движение в электрические сигналы. Кварц также имеет очень низкий коэффициент теплового расширения, что означает, что кварцевые резонаторы могут создавать стабильные частоты в широком диапазоне температур. Кварцевые фильтры имеют гораздо более высокую добротность, чем фильтры LCR. Когда требуется более высокая стабильность, кристаллы и их схемы управления можно установить в « кристаллическую печь » для контроля температуры. Для очень узкополосных фильтров иногда последовательно включают несколько кристаллов.

Большое количество кристаллов можно объединить в единый компонент, установив на кристалле кварца гребнеобразные испарения металла. В этой схеме « линия задержки » усиливает желаемые частоты, когда звуковые волны текут по поверхности кристалла кварца. Линия задержки с отводом стала общей схемой создания фильтров высокой добротности разными способами.

ПАВ-фильтры

Фильтры на ПАВ ( поверхностных акустических волнах ) представляют собой электромеханические устройства, обычно используемые в радиочастотных приложениях. Электрические сигналы преобразуются в механическую волну в устройстве, изготовленном из пьезоэлектрического кристалла или керамики; эта волна задерживается по мере распространения по устройству, а затем преобразуется обратно в электрический сигнал с помощью дополнительных электродов . Задержанные выходы рекомбинируются для получения прямой аналоговой реализации фильтра с конечной импульсной характеристикой . Этот гибридный метод фильтрации также используется в аналоговом дискретном фильтре .Фильтры SAW ограничены частотами до 3 ГГц. Фильтры были разработаны профессором Тедом Пейджем и другими. ^[2]

BAW-фильтры

Фильтры BAW (объемные акустические волны) представляют собой электромеханические устройства. Фильтры BAW могут реализовывать лестничные или решетчатые фильтры. Фильтры BAW обычно работают на частотах от 2 до 16 ГГц и могут быть меньше или тоньше, чем эквивалентные фильтры SAW. В устройствах используются два основных варианта фильтров BAW: тонкопленочный объемный акустический резонатор или FBAR и объемные акустические резонаторы с твердым креплением (SMR).

Гранатовые фильтры

Другой метод фильтрации на микроволновых частотах от 800 МГц до примерно 5 ГГц заключается в использовании синтетической монокристаллической сферы из иттрий-железного граната, изготовленной из химической комбинации иттрия и железа (YIGF или фильтр из железо-иттриевого граната). Гранат сидит на металлической полоске, управляемой транзистором , а небольшая рамочная антенна касается вершины сферы. Электромагнит . изменяет частоту, которую будет проходить гранат Преимущество этого метода в том, что гранат можно перестраивать в очень широком диапазоне частот, изменяя силу магнитного поля .

Атомные фильтры

Для еще более высоких частот и большей точности необходимо использовать вибрации атомов. В атомных часах используются цезиевые мазеры в качестве фильтров сверхвысокой добротности для стабилизации первичных генераторов. Другой метод, используемый на высоких фиксированных частотах с очень слабыми радиосигналами, заключается в использовании линии задержки с рубиновой мазерной отводкой.

Передаточная функция

Передаточная функция фильтра чаще всего определяется в области комплексных частот. Переход туда и обратно в/из этой области осуществляется с помощью преобразования Лапласа и его обратного преобразования (поэтому здесь ниже термин «входной сигнал» следует понимать как «преобразование Лапласа» временного представления входного сигнала, и скоро).

Передаточная функция $H(s)$ фильтра - это отношение выходного сигнала $Y(s)$ к входному сигналу $X(s)$ как функция комплексной частоты $s$ :

H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}

с $s=\sigma +j\omega$ .

Для фильтров, состоящих из дискретных компонентов ( элементов с сосредоточенными параметрами ):

Их передаточная функция будет представлять собой отношение полиномов от $s$ , т.е. рациональная функция $s$ . Порядок передаточной функции будет представлять собой наибольшую степень $s$ встречается либо в числителе, либо в полиноме знаменателя.
Все полиномы передаточной функции будут иметь действительные коэффициенты. Следовательно, полюсы и нули передаточной функции будут либо вещественными, либо встречаться комплексно-сопряженными парами.
Поскольку фильтры считаются стабильными, действительная часть всех полюсов (т.е. нули знаменателя) будет отрицательной, т.е. они будут лежать в левой полуплоскости в комплексном частотном пространстве.

Фильтры с распределенными элементами , как правило, не имеют передаточных функций рациональных функций, но могут их аппроксимировать.

Построение передаточной функции включает в себя преобразование Лапласа , в связи с чем необходимо принять нулевые начальные условия, поскольку

{\mathcal {L}}\left\{{\frac {df}{dt}}\right\}=s\cdot {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}-f(0),

А когда f (0) = 0, мы можем избавиться от констант и использовать обычное выражение

{\mathcal {L}}\left\{{\frac {df}{dt}}\right\}=s\cdot {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}

Альтернативой передаточным функциям является представление поведения фильтра как свертки фильтра входного сигнала во временной области с импульсной характеристикой . Теорема о свертке , справедливая для преобразований Лапласа, гарантирует эквивалентность с передаточными функциями.

Классификация

Некоторые фильтры могут быть указаны по семейству и форме полосы. Семейство фильтров определяется используемым аппроксимирующим полиномом, и каждый из них приводит к определенным характеристикам передаточной функции фильтра. Некоторые распространенные семейства фильтров и их особые характеристики:

Фильтр Баттерворта – отсутствие пульсаций усиления в полосе пропускания и полосе задерживания, медленная граница среза
Фильтр Чебышева (Тип I) – отсутствие пульсаций усиления в полосе задерживания, умеренная граница среза
Фильтр Чебышева (Тип II) – отсутствие пульсаций усиления в полосе пропускания, умеренная граница среза
Фильтр Бесселя – отсутствие пульсаций групповой задержки , отсутствие пульсаций усиления в обеих полосах, медленная граница усиления
Эллиптический фильтр – усиление пульсаций в полосе пропускания и задерживания, быстрая обрезка
Оптимальный фильтр «L»
Фильтр Гаусса – отсутствие пульсаций в ответ на ступенчатую функцию
Фильтр повышенного косинуса

Каждому семейству фильтров может быть присвоен определенный порядок. Чем выше порядок, тем больше фильтр будет приближаться к «идеальному» фильтру; но также чем длиннее импульсная характеристика и тем дольше будет задержка. Идеальный фильтр имеет полное пропускание в полосе пропускания, полное затухание в полосе заграждения и резкий переход между двумя полосами, но этот фильтр имеет бесконечный порядок (т. е. отклик не может быть выражен в виде линейного дифференциального уравнения с конечной суммой). ) и бесконечная задержка (т. е. его компактная поддержка в преобразовании Фурье делает его временной отклик вечным).

Вот изображение, сравнивающее фильтры Баттерворта, Чебышева и эллиптические фильтры. Все фильтры на этой иллюстрации являются фильтрами нижних частот пятого порядка. Конкретная реализация – аналоговая или цифровая, пассивная или активная – не имеет значения; их выход будет одинаковым. Как видно из изображения, эллиптические фильтры резче остальных, но они показывают пульсацию по всей полосе пропускания.

Любое семейство может использоваться для реализации определенной формы полосы, частоты которой передаются, а которые за пределами полосы пропускания более или менее ослабляются. Передаточная функция полностью определяет поведение линейного фильтра, но не конкретную технологию, используемую для его реализации. Другими словами, существует множество различных способов достижения определенной передаточной функции при проектировании схемы. Особую форму полосы фильтра можно получить путем преобразования прототипа фильтра этого семейства.

Согласование импеданса

Структуры согласования импеданса неизменно принимают форму фильтра, то есть сети недиссипативных элементов. Например, в реализации пассивной электроники это, скорее всего, будет иметь форму лестничной топологии из катушек индуктивности и конденсаторов. Конструкция согласующих сетей имеет много общего с фильтрами, и в качестве побочного следствия такая конструкция неизменно будет иметь фильтрующее действие. Хотя основной целью согласующей сети является не фильтрация, часто обе функции объединяются в одной схеме. Необходимость в согласовании импеданса не возникает, пока сигналы находятся в цифровой области.

Аналогичные комментарии можно сделать относительно делителей мощности и направленных ответвителей . При реализации в формате с распределенными элементами эти устройства могут принимать форму фильтра с распределенными элементами . Необходимо согласовать четыре порта, и для расширения полосы пропускания требуются структуры, подобные фильтрам. Верно и обратное: фильтры с распределенными элементами могут принимать форму связанных линий.

Некоторые фильтры для конкретных целей

Аудио фильтр
Линейный фильтр
Масштабированная корреляция , фильтр верхних частот для корреляций
Фильтрация текстур

Фильтры для удаления шума из данных

См. также

Ссылки

^ Ричард Маркелл. «Линейно-фазовые фильтры «лучше, чем Бесселя» для передачи данных» .1994.п. 3.
^ Эш, Эрик А; Э. Питер Рейнс (декабрь 2009 г.). «Эдвард Джордж Сидней Пейдж. 18 июля 1930 г. - 20 февраля 2004 г.». Биографические мемуары членов Королевского общества . 55 : 185–200. дои : 10.1098/rsbm.2009.0009 . S2CID 73310283 .

Мирослав Д. Лутовач, Деян В. Тошич, Брайан Лоуренс Эванс, Проектирование фильтров для обработки сигналов с использованием MATLAB и Mathematica , Мирослав Лутовац, 2001 г. ISBN 0201361302 .
Б. А. Шеной, Введение в цифровую обработку сигналов и проектирование фильтров , John Wiley & Sons, 2005 г. ISBN 0471656380 .
Л.Д. Паарманн, Проектирование и анализ аналоговых фильтров: перспектива обработки сигналов , Springer, 2001 г. ISBN 0792373731 .
АОХитоде, Цифровая обработка сигналов , Технические публикации, 2009 г. ISBN 8184316461 .
Леланд Б. Джексон, Цифровые фильтры и обработка сигналов , Springer, 1996 г. ISBN 079239559X .

[1] Ричард Маркелл. «Линейно-фазовые фильтры «лучше, чем Бесселя» для передачи данных» .1994.п. 3.

[ash-2] Эш, Эрик А; Э. Питер Рейнс (декабрь 2009 г.). «Эдвард Джордж Сидней Пейдж. 18 июля 1930 г. - 20 февраля 2004 г.». Биографические мемуары членов Королевского общества . 55 : 185–200. дои : 10.1098/rsbm.2009.0009 . S2CID 73310283 .

[1]

[2]