Частичная функция

В математике f частичная функция $из$ набора X $в$ набор $Y$ — это функция из подмножества $S$ из $X$ (возможно, всего $самого X$ в $Y.$ ) Подмножество $S$ , то есть область определения $f,$ рассматриваемая как функция, называется областью определения или естественной областью определения $f$ . Если $S$ равно $X$ , то есть если $f$ определена для каждого элемента в $X$ , то $f$ называется полной функцией .

С технической точки зрения частичная функция — это бинарное отношение над двумя наборами , которое связывает каждый элемент первого набора не более чем с одним элементом второго набора; таким образом, это одновалентное отношение . Это обобщает концепцию (общей) функции , не требуя, чтобы каждый элемент первого набора был связан с элементом второго набора.

Частичная функция часто используется, когда точная область ее определения неизвестна или ее трудно указать. Так обстоит дело в исчислении , где, например, частное двух функций является частичной функцией, область определения которой не может содержать нули знаменателя. По этой причине в исчислении и, в более общем плане, в математическом анализе частичную функцию обычно называют просто функцией . В теории вычислимости общерекурсивная функция — это частичная функция от целых чисел к целым числам; не может существовать алгоритма , позволяющего решить, является ли произвольная такая функция полной.

Когда стрелочное обозначение , частичная функция для функций используется $f$ от $X$ к $Y$ иногда пишется как $f:X\rightharpoonup Y,$ $f:X\nrightarrow Y,$ или $f:X\hookrightarrow Y.$ Однако общего соглашения не существует, и последнее обозначение чаще используется для карт включения или вложений . ^{[ нужна ссылка ]}

В частности, для частичной функции $f:X\rightharpoonup Y,$ и любой $x\in X,$ либо есть:

$f(x)=y\in Y$ (это один элемент в $Y$ ), или
$f(x)$ является неопределенным.

Например, если $f$ - функция извлечения квадратного корня, ограниченная целыми числами

f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} ,

определяется:

f(n)=m

тогда и только тогда, когда

m^{2}=n,

m\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {Z} ,

затем $f(n)$ определяется только в том случае, если $n$ является совершенным квадратом (т. е. $0,1,4,9,16,\ldots$ ). Так $f(25)=5$ но $f(26)$ является неопределенным.

Основные понятия

Частичная функция возникает в результате рассмотрения отображений между двумя множествами $X$ и $Y$ которые не могут быть определены на всем множестве $X.$ , Типичным примером является операция извлечения квадратного корня из действительных чисел. $\mathbb {R}$ : поскольку отрицательные действительные числа не имеют действительных квадратных корней, операцию можно рассматривать как частичную функцию из $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R} .$ Областью определения частичной функции является подмножество $S$ множества $X,$ на котором определена частичная функция; можно рассматривать как функцию от $S$ до $Y.$ в этом случае частичную функцию также В примере операции извлечения квадратного корня набор $S$ состоит из неотрицательных действительных чисел. $[0,+\infty ).$

Понятие частичной функции особенно удобно, когда точная область определения неизвестна или даже непознаваема. Пример последнего из компьютерных наук см. в разделе « Проблема остановки» .

В случае, если область определения $S$ равна всему множеству $X$ , частичная функция называется полной . Таким образом, полные частичные функции от $X$ до $Y$ совпадают с функциями от $X$ до $Y$ .

Многие свойства функций могут быть расширены в соответствующем смысле до частичных функций. Частичная функция называется инъективной , сюръективной или биективной, если функция, заданная ограничением частичной функции на область ее определения, является инъективной, сюръективной и биективной соответственно.

Поскольку функция тривиально сюръективна, если она ограничена своим образом, термин «частичная биекция» обозначает частичную функцию, которая является инъективной. ^[1]

Инъективную частичную функцию можно инвертировать в инъективную частичную функцию, а частичная функция, которая является одновременно инъективной и сюръективной, имеет инъективную функцию как обратную. Более того, инъективную функцию можно обратить в биективную частичную функцию.

Понятие преобразования можно обобщить и на частичные функции. Частичное преобразование — это функция $f:A\rightharpoonup B,$ где оба $A$ и $B$ являются подмножествами некоторого множества $X.$ ^[1]

Функциональные пространства

Для удобства обозначим множество всех частичных функций $f:X\rightharpoonup Y$ из набора $X$ в набор $Y$ к $[X\rightharpoonup Y].$ Это множество представляет собой объединение множеств функций, определенных на подмножествах $X$ с тем же кодоменом $Y$ :

[X\rightharpoonup Y]=\bigcup _{D\subseteq X}[D\to Y],

последний также пишется как ${\textstyle \bigcup _{D\subseteq {X}}Y^{D}.}$ В конечном случае его мощность равна

|[X\rightharpoonup Y]|=(|Y|+1)^{|X|},

потому что любую частичную функцию можно расширить до функции с любым фиксированным значением $c$ не содержится в $Y,$ так что кодомен $Y\cup \{c\},$ операция, которая является инъективной (единственной и обратимой по ограничению).

Обсуждение и примеры

Первая диаграмма в верхней части статьи представляет собой частичную функцию, которая не является функцией, поскольку элемент 1 в левом наборе не связан ни с чем в правом наборе. Принимая во внимание, что вторая диаграмма представляет собой функцию, поскольку каждый элемент в левом наборе связан ровно с одним элементом в правом наборе.

Натуральный логарифм

Рассмотрим функцию натурального логарифма, отображающую действительные числа сами в себя. Логарифм неположительного действительного числа не является действительным числом, поэтому функция натурального логарифма не связывает какое-либо действительное число в кодомене с каким-либо неположительным действительным числом в этой области. Следовательно, функция натурального логарифма не является функцией, если рассматривать ее как функцию от действительных чисел к самим себе, а является частичной функцией. Если область определения ограничена включением только положительных вещественных чисел (то есть, если функция натурального логарифма рассматривается как функция от положительных вещественных чисел к действительным числам), то натуральный логарифм является функцией.

Вычитание натуральных чисел

Вычитание натуральных чисел (в которых $\mathbb {N}$ — неотрицательные целые числа ) — частичная функция:

f:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \rightharpoonup \mathbb {N}

f(x,y)=x-y.

Оно определяется только тогда, когда $x\geq y.$

Нижний элемент

В денотационной семантике частичная функция рассматривается как возвращающая нижний элемент , когда он не определен.

В информатике частичная функция соответствует подпрограмме, которая вызывает исключение или бесконечно зацикливается. Стандарт IEEE с плавающей запятой определяет значение , не являющееся числом , которое возвращается, когда операция с плавающей запятой не определена и исключения подавляются, например, когда запрашивается квадратный корень из отрицательного числа.

В языке программирования , где параметры функции статически типизированы языка , функция может быть определена как частичная функция, поскольку система типов не может точно выразить область определения функции, поэтому программист вместо этого дает ей наименьшую область определения, которая может быть выражена как тип и содержит область определения функции.

В теории категорий

В теории категорий при рассмотрении операции композиции морфизмов в конкретных категориях используется операция композиции. $\circ \;:\;\hom(C)\times \hom(C)\to \hom(C)$ является функцией тогда и только тогда, когда $\operatorname {ob} (C)$ имеет один элемент. Причина этого в том, что два морфизма $f:X\to Y$ и $g:U\to V$ может быть составлено только как $g\circ f$ если $Y=U,$ то есть кодомен $f$ должен равняться домену $g.$

Категория множеств и частичных функций эквивалентна , но не изоморфна категории точечных множеств и отображений, сохраняющих точки. ^[2] В одном учебнике отмечается, что «Это формальное завершение множеств и частичных отображений путем добавления «несобственных», «бесконечных» элементов изобреталось заново много раз, в частности, в топологии ( одноточечная компактификация ) и в теоретической информатике ». ^[3]

Категория множеств и частичных биекций эквивалентна двойственной ей категории . ^[4] Это прототип обратной категории . ^[5]

В абстрактной алгебре

Частичная алгебра обобщает понятие универсальной алгебры на частичные операции . Примером может служить поле , в котором мультипликативная инверсия является единственной правильной частичной операцией (поскольку деление на ноль не определено). ^[6]

Набор всех частичных функций (частичных преобразований ) на заданном базовом наборе, $X,$ образует регулярную полугруппу , называемую полугруппой всех частичных преобразований (или полугруппой частичных преобразований на $X$ ), обычно обозначается ${\mathcal {PT}}_{X}.$ ^[7]^[8]^[9] Множество всех частичных биекций на $X$ образует симметричную обратную полугруппу . ^[7]^[8]

Диаграммы и атласы многообразий и пучков волокон

Диаграммы в атласах , задающие структуру многообразий и расслоений, являются частичными функциями. В случае многообразий областью определения является множество точек многообразия. В случае расслоений доменом является пространство расслоения. В этих приложениях наиболее важной конструкцией является карта перехода , которая представляет собой композицию одной диаграммы с инверсией другой. Первоначальная классификация многообразий и расслоений в основном выражается в терминах ограничений на эти отображения переходов.

Причина использования частичных функций вместо функций состоит в том, чтобы позволить представить общие глобальные топологии путем сшивания локальных фрагментов для описания глобальной структуры. «Патчи» — это области, в которых определены диаграммы.

См. также

Аналитическое продолжение - Расширение области определения аналитической функции (математика)
Многозначная функция – Обобщенная математическая функция.
Плотно определенный оператор - функция, которая определена почти везде (математика).

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Кристофер Холлингс (2014). Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп . Американское математическое общество. п. 251. ИСБН 978-1-4704-1493-1 .
^ Лутц Шредер (2001). «Категории: бесплатная экскурсия». В Юргене Козловски и Остине Мелтоне (ред.). Категориальные перспективы . Springer Science & Business Media. п. 10. ISBN 978-0-8176-4186-3 .
^ Нил Коблиц; Б. Зильбер; Ю. И. Манин (2009). Курс математической логики для математиков . Springer Science & Business Media. п. 290. ИСБН 978-1-4419-0615-1 .
^ Франсис Борсо (1994). Справочник по категориальной алгебре: Том 2, Категории и структуры . Издательство Кембриджского университета. п. 289. ИСБН 978-0-521-44179-7 .
^ Марко Грандис (2012). Гомологическая алгебра: взаимодействие гомологии с дистрибутивными решетками и ортодоксальными полугруппами . Всемирная научная. п. 55. ИСБН 978-981-4407-06-9 .
^ Питер Бурмейстер (1993). «Частичные алгебры – вводный обзор». В Иво Г. Розенберге; Герт Сабидусси (ред.). Алгебры и порядки . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-7923-2143-9 .
^ Jump up to: ^а ^б Альфред Хоблицелле Клиффорд; ГБ Престон (1967). Алгебраическая теория полугрупп. Том II . Американское математическое соц. п. xii. ISBN 978-0-8218-0272-4 .
^ Jump up to: ^а ^б Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета, Инкорпорейтед. п. 4. ISBN 978-0-19-853577-5 .
^ Александр Ганюшкин; Владимир Мазорчук (2008). Классические полугруппы конечного преобразования: введение . Springer Science & Business Media. стр. 16 и 24. ISBN. 978-1-84800-281-4 .

Мартин Дэвис (1958), Вычислимость и неразрешимость , McGraw – Hill Book Company, Inc, Нью-Йорк. Переиздано Дувром в 1982 году. ISBN 0-486-61471-9 .
Стивен Клини (1952), «Введение в метаматематику» , издательство North-Holland Publishing Company, Амстердам, Нидерланды, 10-е издание с исправлениями, добавленными в 7-е издание (1974). ISBN 0-7204-2103-9 .
Гарольд С. Стоун (1972), Введение в компьютерную организацию и структуры данных , McGraw – Hill Book Company, Нью-Йорк.

[Hollings2014-251-1] Jump up to: ^а ^б Кристофер Холлингс (2014). Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп . Американское математическое общество. п. 251. ИСБН 978-1-4704-1493-1 .

[KoslowskiMelton2001-2] Лутц Шредер (2001). «Категории: бесплатная экскурсия». В Юргене Козловски и Остине Мелтоне (ред.). Категориальные перспективы . Springer Science & Business Media. п. 10. ISBN 978-0-8176-4186-3 .

[KoblitzZilber2009-3] Нил Коблиц; Б. Зильбер; Ю. И. Манин (2009). Курс математической логики для математиков . Springer Science & Business Media. п. 290. ИСБН 978-1-4419-0615-1 .

[Borceux1994-4] Франсис Борсо (1994). Справочник по категориальной алгебре: Том 2, Категории и структуры . Издательство Кембриджского университета. п. 289. ИСБН 978-0-521-44179-7 .

[Grandis2012-5] Марко Грандис (2012). Гомологическая алгебра: взаимодействие гомологии с дистрибутивными решетками и ортодоксальными полугруппами . Всемирная научная. п. 55. ИСБН 978-981-4407-06-9 .

[RosenbergSabidussi1993-6] Питер Бурмейстер (1993). «Частичные алгебры – вводный обзор». В Иво Г. Розенберге; Герт Сабидусси (ред.). Алгебры и порядки . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-7923-2143-9 .

[CliffordPreston1967-7] Jump up to: ^а ^б Альфред Хоблицелле Клиффорд; ГБ Престон (1967). Алгебраическая теория полугрупп. Том II . Американское математическое соц. п. xii. ISBN 978-0-8218-0272-4 .

[Higgins1992-8] Jump up to: ^а ^б Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета, Инкорпорейтед. п. 4. ISBN 978-0-19-853577-5 .

[GanyushkinMazorchuk2008-9] Александр Ганюшкин; Владимир Мазорчук (2008). Классические полугруппы конечного преобразования: введение . Springer Science & Business Media. стр. 16 и 24. ISBN. 978-1-84800-281-4 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]