Мощность континуума

В теории множеств мощность континуума — это мощность или «размер» множества действительных . чисел $\mathbb {R}$ , иногда называемый континуумом . Это бесконечное кардинальное число и обозначается ${\mathbf {\mathfrak {c}}}$ (строчная Fraktur " c ") или ${\mathbf {|}}{\mathbf {\mathbb {R} }}{\mathbf {|}}$ ^[1]

Реальные цифры $\mathbb {R}$ их больше, чем натуральных чисел $\mathbb {N}$ . Более того, $\mathbb {R}$ имеет то же количество элементов, что и мощности набор $\mathbb {N}$ . Символически, если мощность $\mathbb {N}$ обозначается как $\aleph _{0}$ , мощность континуума равна

{\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}.

Это было доказано Георгом Кантором в его доказательстве неисчислимости 1874 года, являвшемся частью его новаторского исследования различных бесконечностей. Неравенство позже было сформулировано более просто в его диагональном аргументе в 1891 году. Кантор определил мощность в терминах биективных функций : два множества имеют одинаковую мощность тогда и только тогда, когда между ними существует биективная функция.

Между любыми двумя действительными числами a < b , как бы близко они ни находились друг к другу, всегда существует бесконечно много других действительных чисел, и Кантор показал, что их столько же, сколько содержится во всем множестве действительных чисел. Другими словами, интервал ( a , b ) равнозначен открытый $\mathbb {R}$ , а также с некоторыми другими бесконечными множествами, такими как любое n -мерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ (см. кривую заполнения пространства ). То есть,

|(a,b)|=|\mathbb {R} |=|\mathbb {R} ^{n}|.

Наименьшее бесконечное кардинальное число — это $\aleph _{0}$ ( алеф-ноль ). Второй по величине – это $\aleph _{1}$ ( алеф-один ). Гипотеза континуума , утверждающая, что не существует множеств, мощность которых находится строго между $\aleph _{0}$ и ${\mathfrak {c}}$ , означает, что ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$ . ^[2] Истинность или ложность этой гипотезы неразрешима и не может быть доказана в рамках широко используемой теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).

Характеристики

Несчетность

Георг Кантор ввел понятие мощности для сравнения размеров бесконечных множеств. Он продемонстрировал, что множество действительных чисел неисчислимо бесконечно . То есть, ${\mathfrak {c}}$ строго больше мощности натуральных чисел , $\aleph _{0}$ :

\aleph _{0}<{\mathfrak {c}}.

На практике это означает, что действительных чисел строго больше, чем целых чисел. Кантор доказал это утверждение несколькими различными способами. Дополнительную информацию по этой теме см. в первом доказательстве несчетности Кантора и диагональном аргументе Кантора .

Кардинальные равенства

Вариант диагонального аргумента Кантора можно использовать для доказательства теоремы Кантора , которая утверждает, что мощность любого набора строго меньше мощности его набора мощности . То есть, $|A|<2^{|A|}$ (и чтобы набор мощности $\wp (\mathbb {N} )$ натуральных чисел $\mathbb {N}$ неисчислимо). ^[3] Фактически мощность $\wp (\mathbb {N} )$ , по определению $2^{\aleph _{0}}$ , равно ${\mathfrak {c}}$ . Это можно показать, обеспечив взаимно однозначные отображения в обоих направлениях между подмножествами счетного множества и действительными числами, а также применив теорему Кантора – Бернштейна – Шредера, согласно которой два множества с взаимно однозначными отображениями в обоих направлениях имеют одинаковую мощность. ^[4]^[5] С одной стороны, вещественные числа можно приравнять к дедекиндовым сечениям , наборам рациональных чисел, ^[4] или с их двоичными расширениями . ^[5] В обратном направлении двоичные разложения чисел в полуоткрытом интервале $[0,1)$ , рассматриваемые как наборы позиций, где расширение равно единице, почти дают взаимно однозначное отображение подмножеств счетного набора (набора позиций в расширениях) с действительными числами, но оно не может быть взаимно однозначным. для чисел с завершающимся двоичным расширением, которое также может быть представлено бесконечным расширением, которое заканчивается повторяющейся последовательностью единиц. Это можно преобразовать во взаимно однозначное отображение, добавив единицу к бесконечным расширениям с повторяющейся единицей, отображая их в $[1,2)$ . ^[5] Таким образом, мы приходим к выводу, что ^[4]^[5]

{\mathfrak {c}}=|\wp (\mathbb {N} )|=2^{\aleph _{0}}.

Кардинальное равенство ${\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}}$ можно продемонстрировать с помощью кардинальной арифметики :

{\mathfrak {c}}^{2}=(2^{\aleph _{0}})^{2}=2^{2\times {\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}.

Используя правила кардинальной арифметики, можно также показать, что

{\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\aleph _{0}}^{\aleph _{0}}=n^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}^{n}=\aleph _{0}{\mathfrak {c}}=n{\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}

где n — любой конечный кардинал ≥ 2 и

{\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=(2^{\aleph _{0}})^{\mathfrak {c}}=2^{{\mathfrak {c}}\times \aleph _{0}}=2^{\mathfrak {c}}

где $2^{\mathfrak {c}}$ - мощность набора мощности R , и $2^{\mathfrak {c}}>{\mathfrak {c}}$ .

Альтернативное объяснение 𝔠 = 2 ^{А ₀}

Каждое действительное число имеет хотя бы одно бесконечное десятичное представление . Например,

1/2 = 0.50000...

1/3 = 0.33333...

π = 3,14159...

(Это верно даже в случае повторения расширения, как в первых двух примерах.)

В любом данном случае количество десятичных знаков счетно, поскольку их можно привести во взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел. $\mathbb {N}$ . Поэтому имеет смысл говорить, скажем, о первом, сотом или миллионном десятичном знаке числа π. Поскольку натуральные числа имеют мощность $\aleph _{0},$ каждое действительное число имеет $\aleph _{0}$ цифры в его расширении.

Поскольку каждое действительное число можно разбить на целую часть и десятичную дробь, получим:

{\mathfrak {c}}\leq \aleph _{0}\cdot 10^{\aleph _{0}}\leq 2^{\aleph _{0}}\cdot {(2^{4})}^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}+4\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}

где мы использовали тот факт, что

\aleph _{0}+4\cdot \aleph _{0}=\aleph _{0}\,

С другой стороны, если мы отобразим $2=\{0,1\}$ к $\{3,7\}$ и учитывая, что десятичные дроби, содержащие только 3 или 7, являются лишь частью действительных чисел, то получим

2^{\aleph _{0}}\leq {\mathfrak {c}}\,

и таким образом

{\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}\,.

Числа Бет

Последовательность номеров ставок определяется установкой $\beth _{0}=\aleph _{0}$ и $\beth _{k+1}=2^{\beth _{k}}$ . Так ${\mathfrak {c}}$ — второе число ставки, beth-one :

{\mathfrak {c}}=\beth _{1}.

Третье число бета, beth-two , представляет собой мощность набора степеней $\mathbb {R}$ (т.е. набор всех подмножеств реальной строки ):

2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}.

Гипотеза континуума

Гипотеза континуума утверждает, что ${\mathfrak {c}}$ также является вторым числом алефа , $\aleph _{1}$ . ^[2] Другими словами, гипотеза континуума утверждает, что не существует множества $A$ мощность которого лежит строго между $\aleph _{0}$ и ${\mathfrak {c}}$

\nexists A\quad :\quad \aleph _{0}<|A|<{\mathfrak {c}}.

Теперь известно, что это утверждение не зависит от аксиом теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора (ZFC), как показали Курт Гёдель и Пол Коэн . ^[6]^[7]^[8] То есть как гипотеза, так и ее отрицание согласуются с этими аксиомами. В самом деле, для любого ненулевого натурального числа n равенство ${\mathfrak {c}}$ = $\aleph _{n}$ не зависит от ZFC (случай $n=1$ это гипотеза континуума). То же самое верно и для большинства других алефов, хотя в некоторых случаях равенство может быть исключено по теореме Кенига на основании конфинальности (например, ${\mathfrak {c}}\neq \aleph _{\omega }$ ). В частности, ${\mathfrak {c}}$ может быть либо $\aleph _{1}$ или $\aleph _{\omega _{1}}$ , где $\omega _{1}$ является первым неисчисляемым порядковым числом , поэтому он может быть либо кардиналом-преемником , либо предельным кардиналом , либо обычным кардиналом , либо единственным кардиналом .

Множества с мощностью континуума

Очень многие множества, изучаемые в математике, имеют мощность, равную ${\mathfrak {c}}$ . Некоторые распространенные примеры:

настоящие цифры $\mathbb {R}$
любой ( невырожденный ) закрытый или открытый интервал в $\mathbb {R}$ (например, единичный интервал $[0,1]$ )
иррациональные числа
трансцендентные числа
Множество действительных алгебраических чисел счетно бесконечно (каждой формуле присвойте число Гёделя ). Таким образом, мощность действительных алгебраических чисел равна $\aleph _{0}$ . Более того, действительные алгебраические числа и действительные трансцендентные числа представляют собой непересекающиеся множества, объединение которых равно $\mathbb {R}$ . Таким образом, поскольку мощность $\mathbb {R}$ является ${\mathfrak {c}}$ , мощность действительных трансцендентных чисел равна ${\mathfrak {c}}-\aleph _{0}={\mathfrak {c}}$ . Аналогичный результат следует для комплексных трансцендентных чисел, если мы доказали, что $\left\vert \mathbb {C} \right\vert ={\mathfrak {c}}$ .
Кантора набор
Евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ ^[9]
комплексные числа $\mathbb {C}$
Согласно доказательству Кантора мощности евклидова пространства, ^[9] $\left\vert \mathbb {R} ^{2}\right\vert ={\mathfrak {c}}$ . По определению любой $c\in \mathbb {C}$ может быть однозначно выражено как $a+bi$ для некоторых $a,b\in \mathbb {R}$ . Поэтому мы определяем биекцию
${\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} ^{2}&\to \mathbb {C} \\(a,b)&\mapsto a+bi\end{aligned}}$
набор степеней натуральных чисел ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ (множество всех подмножеств натуральных чисел)
набор последовательностей целых чисел (т.е. все функции $\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z}$ , часто обозначаемый $\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }$ )
набор последовательностей действительных чисел, $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$
множество всех непрерывных функций из $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R}$
Евклидова топология на $\mathbb {R} ^{n}$ (т.е. множество всех открытых множеств в $\mathbb {R} ^{n}$ )
борелевскую σ-алгебру на $\mathbb {R}$ (т.е. набор всех борелевских множеств в $\mathbb {R}$ ).

Наборы с большей мощностью

Наборы с мощностью больше, чем ${\mathfrak {c}}$ включать:

совокупность всех подмножеств $\mathbb {R}$ (т.е. набор мощности ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$ )
набор 2 ^Р индикаторных функций, определенных на подмножествах реалов (множество $2^{\mathbb {R} }$ изоморфен ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$ – индикаторная функция выбирает для включения элементы каждого подмножества)
набор $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ всех функций из $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R}$
Лебега σ- алгебра $\mathbb {R}$ , т. е. множество всех измеримых по Лебегу множеств в $\mathbb {R}$ .
множество всех интегрируемых по Лебегу функций из $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R}$
множество всех измеримых по Лебегу функций из $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R}$
Стоуна -Чеха компактификации $\mathbb {N}$ , $\mathbb {Q}$ , и $\mathbb {R}$
множество всех автоморфизмов (дискретного) поля комплексных чисел.

Все они имеют мощность $2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}$ ( бет два )

См. также

Кардинальная характеристика континуума

Ссылки

^ «Трансфинитное число | математика» . Британская энциклопедия . Проверено 12 августа 2020 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Континуум» . mathworld.wolfram.com . Проверено 12 августа 2020 г.
^ «Теорема Кантора» . Энциклопедия математики . ЭМС Пресс . 2001 [1994].
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Стиллвелл, Джон (2002). «Проблема континуума». Американский математический ежемесячник . 109 (3): 286–297. дои : 10.1080/00029890.2002.11919865 . JSTOR 2695360 . МР 1903582 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Джонсон, Д.Л. (1998). Глава 6: Кардинальные числа . Элементы логики через числа и множества. Серия Springer по математике для студентов. Спрингер Лондон. стр. 113–130. дои : 10.1007/978-1-4471-0603-6_6 . ISBN 9781447106036 .
^ Гёдель, Курт (31 декабря 1940 г.). Непротиворечивость гипотезы континуума. (АМ-3) . дои : 10.1515/9781400881635 . ISBN 9781400881635 .
^ Коэн, Пол Дж. (декабрь 1963 г.). «Независимость гипотезы континуума» . Труды Национальной академии наук . 50 (6): 1143–1148. Бибкод : 1963PNAS...50.1143C . дои : 10.1073/pnas.50.6.1143 . ISSN 0027-8424 . ПМК 221287 . ПМИД 16578557 .
^ Коэн, Пол Дж. (январь 1964 г.). «Независимость гипотезы континуума, II» . Труды Национальной академии наук . 51 (1): 105–110. Бибкод : 1964PNAS...51..105C . дои : 10.1073/pnas.51.1.105 . ISSN 0027-8424 . ПМК 300611 . ПМИД 16591132 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Был ли Кантор удивлен? , Фернандо К. Гувеа , American Mathematical Monthly , март 2011 г.

Библиография

Пол Халмос , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Компания Д. Ван Ностранда, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag).
Джех, Томас , 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Спрингер. ISBN 3-540-44085-2 .
Кунен, Кеннет , 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9 .

статья включает в себя материалы из множества континуумов PlanetMath Эта , которые доступны под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[1] «Трансфинитное число | математика» . Британская энциклопедия . Проверено 12 августа 2020 г.

[:0-2] Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Континуум» . mathworld.wolfram.com . Проверено 12 августа 2020 г.

[3] «Теорема Кантора» . Энциклопедия математики . ЭМС Пресс . 2001 [1994].

[stillwell-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с Стиллвелл, Джон (2002). «Проблема континуума». Американский математический ежемесячник . 109 (3): 286–297. дои : 10.1080/00029890.2002.11919865 . JSTOR 2695360 . МР 1903582 .

[johnson-5] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Джонсон, Д.Л. (1998). Глава 6: Кардинальные числа . Элементы логики через числа и множества. Серия Springer по математике для студентов. Спрингер Лондон. стр. 113–130. дои : 10.1007/978-1-4471-0603-6_6 . ISBN 9781447106036 .

[6] Гёдель, Курт (31 декабря 1940 г.). Непротиворечивость гипотезы континуума. (АМ-3) . дои : 10.1515/9781400881635 . ISBN 9781400881635 .

[7] Коэн, Пол Дж. (декабрь 1963 г.). «Независимость гипотезы континуума» . Труды Национальной академии наук . 50 (6): 1143–1148. Бибкод : 1963PNAS...50.1143C . дои : 10.1073/pnas.50.6.1143 . ISSN 0027-8424 . ПМК 221287 . ПМИД 16578557 .

[8] Коэн, Пол Дж. (январь 1964 г.). «Независимость гипотезы континуума, II» . Труды Национальной академии наук . 51 (1): 105–110. Бибкод : 1964PNAS...51..105C . дои : 10.1073/pnas.51.1.105 . ISSN 0027-8424 . ПМК 300611 . ПМИД 16591132 .

[Gouvea-9] Перейти обратно: ^а ^б Был ли Кантор удивлен? , Фернандо К. Гувеа , American Mathematical Monthly , март 2011 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]