Полиалмаз
Полиамид ( также полиамид или просто алмаз , а иногда и треугольное полимино [1] ) — полиформа , базовая форма которой — равносторонний треугольник . Слово «полиалмаз» является обратным образованием от слова «ромб» , поскольку это слово часто используется для описания формы пары равносторонних треугольников, помещенных основанием к основанию, а начальное «ди-» выглядит как греческий префикс, означающий «два-» ( хотя на самом деле слово «алмаз» происходит от греческого ἀδάμας – также основы слова «адамант»). Название было предложено писателем-любителем математики Томасом Х. О'Бейрном в журнале New Scientist 1961, номер 1, страница 164.
Подсчет
[ редактировать ]Основной комбинаторный вопрос : сколько существует различных полиалмазов с заданным числом ячеек? Как и полимино , полиалмазы могут быть как свободными, так и односторонними. Свободные полиалмазы инвариантны при отражении, а также при перемещении и вращении. Односторонние полиалмазы различают отражения.
Число свободных n -алмазов для n = 1, 2, 3,... равно:
Количество свободных полиалмазов с дырками дано OEIS : A070764 ; количество свободных полиалмазов без дырок дано OEIS : A070765 ; количество фиксированных полиалмазов определяется OEIS : A001420 ; количество односторонних полиалмазов определяется OEIS : A006534 .
| Имя | Количество форм | Формы | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Мониамонд | 1 |
| ||||||||||||
| Алмаз | 1 |
| ||||||||||||
| третий мир | 1 |
| ||||||||||||
| Тетриамонд | 3 |
| ||||||||||||
| Пентиамонд | 4 |
| ||||||||||||
| Гексиамонд | 12 |
|
Некоторые авторы также называют бриллиант ( ромб с углом 60°) калиссоном в честь французской конфеты аналогичной формы. [2] [3]
Симметрии
[ редактировать ]Возможными симметриями являются зеркальная симметрия, 2-, 3- и 6-кратная вращательная симметрия, каждая из которых сочетается с зеркальной симметрией.
Для 2-кратной вращательной симметрии с зеркальной симметрией и без нее требуется как минимум 2 и 4 треугольника соответственно. Шестикратная вращательная симметрия с зеркальной симметрией и без нее требует как минимум 6 и 18 треугольников соответственно. Асимметрия требует минимум 5 треугольников. Трехкратная вращательная симметрия без зеркальной симметрии требует как минимум 7 треугольников.
В случае только зеркальной симметрии можно выделить ось симметрии, совмещенную с сеткой или повернутую на 30 ° (требуется не менее 4 и 3 треугольников соответственно); то же самое касается 3-кратной вращательной симметрии в сочетании с зеркальной симметрией (требуется не менее 18 и 1 треугольника соответственно).
Обобщения
[ редактировать ]Подобно полимино , но в отличие от полигексов , полиалмазы имеют трехмерные аналоги , образованные путем агрегирования тетраэдров . Однако политетраэдры не замостили 3-пространство так, как полиалмазы могут замостить 2-пространство.
Мозаика
[ редактировать ]Каждый полиалмаз порядка 8 или меньше закрывает плоскость, за исключением V-гептиамда. [4]
Соответствие с многогексами
[ редактировать ]
Каждый полиалмаз соответствует полигексу , как показано справа. И наоборот, каждый многоугольник также является многоугольником, поскольку каждая шестиугольная ячейка многоугольника представляет собой объединение шести соседних равносторонних треугольников. Ни одно соответствие не является однозначным.
В популярной культуре
[ редактировать ]Набор из 22 полиромбов, от порядка 1 до порядка 6, представляет собой форму игровых фигур в настольной игре Blokus Trigon , где игроки пытаются выложить плоскость как можно большим количеством полиромбов в соответствии с правилами игры.
См. также
[ редактировать ]Внешние ссылки
[ редактировать ]- Вайсштейн, Эрик В. «Полиамонд» . Математический мир .
- Полиалмазы на сайте Poly Pages . Полиалмазные мозаики.
- VERHEXT — игра-головоломка 1960-х годов от Хайнца Хабера, основанная на шестигранниках ( архивировано 3 марта 2016 г., в Wayback Machine ).
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Слоан, Нью-Джерси (9 июля 2021 г.). «А000577» . ОЭИС . Фонд OEIS Inc. Проверено 9 июля 2021 г.
треугольные полимино (или треугольные полиформы, или полиромбы)
- ^ Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (31 декабря 2015 г.). Математическая космическая одиссея: твердотельная геометрия в XXI веке . ISBN 9781614442165 .
- ^ Дэвид, Гай; Томей, Карлос (1989). «Проблема Калиссонов» . Американский математический ежемесячник . 96 (5): 429–431. дои : 10.1080/00029890.1989.11972212 . JSTOR 2325150 .
- ^ «Все полиалмазы восьмого порядка или меньше, за исключением одного из гептиамондов, будут мозаичными на плоскости. Исключением является V-образный гептиамонд. Гарднер (6-я книга, стр.248) поставил задачу идентификации этого гептиамда и воспроизвел доказательство невозможности Грегори. Однако в сочетании с другими гептиамондами или другими полиалмазами можно получить мозаику с использованием этого V-образного гептиамда».
| Полимино | |
|---|---|
| Высшие измерения | |
| Другие | |
| Игры и головоломки | |
