Уравнение конвекции-диффузии

Уравнение конвекции-диффузии представляет собой комбинацию уравнений диффузии и конвекции ( адвекции ) и описывает физические явления, при которых частицы, энергия или другие физические величины передаются внутри физической системы за счет двух процессов: диффузии и конвекции . В зависимости от контекста одно и то же уравнение можно назвать уравнением адвекции -диффузии , дрейфа уравнением -диффузии , ^[1] или (общее) скалярное уравнение переноса . ^[2]

Уравнение

Общий

Общее уравнение в консервативной форме имеет вид ^[3]^[4] ${\frac {\partial c}{\partial t}}=\mathbf {\nabla } \cdot (D\mathbf {\nabla } c-\mathbf {v} c)+R$ где

$c$ — интересующая переменная (концентрация веществ для массопереноса , температура для теплопереноса ),
$D$ - коэффициент диффузии (также называемый коэффициентом диффузии ), такой как коэффициент диффузии массы для движения частиц или коэффициент температуропроводности для переноса тепла,
$v$ — поле скорости , с которым движется величина. Это функция времени и пространства. Например, в адвекции c $v$ может быть концентрацией соли в реке, а $—$ скоростью потока воды как функция времени и местоположения. Другой пример: $c$ может быть концентрацией маленьких пузырьков в спокойном озере, а тогда $v$ — это скорость пузырьков, поднимающихся к поверхности за счет плавучести (см. ниже ), в зависимости от времени и местоположения пузыря. Для многофазных потоков и потоков в пористых средах v $—$ (гипотетическая) приведенная скорость .
$R$ описывает источники или стоки количества $c$ , т.е. создание или уничтожение количества. Например, для химического вида $R > 0$ означает, что химическая реакция создает больше видов, а $R < 0$ означает, что химическая реакция уничтожает вид. Для переноса тепла $R > 0$ может возникнуть, если тепловая энергия генерируется за счет трения .

Например, если $c$ — концентрация молекулы, то $R$ описывает, как молекула может быть создана или разрушена в результате химических реакций. $R$ может быть функцией $c$ и других параметров. Часто существует несколько величин, каждая из которых имеет свое уравнение конвекции-диффузии, где разрушение одной величины влечет за собой создание другой. Например, при горении метана происходит не только разрушение метана и кислорода, но также образование углекислого газа и водяного пара. Следовательно, хотя каждое из этих химических веществ имеет свое собственное уравнение конвекции-диффузии, они связаны друг с другом и должны решаться как система одновременных дифференциальных уравнений.

$\nabla$ представляет собой градиент , а $\nabla \cdot$ представляет собой дивергенцию . В этом уравнении $\nabla c$ представляет собой градиент концентрации.

Понимание условий плотности тока

Уравнение конвекции-диффузии является частным примером уравнения сохранения. Уравнение сохранения имеет общий вид: ${\frac {\partial c}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {j} _{c}=R$ Где j _c — член плотности тока, связанный с интересующей переменной $c$ .

В уравнении конвекции-диффузии плотность тока величины $c$ представляет собой сумму двух слагаемых: $\mathbf {j} _{c}=-D\mathbf {\nabla } c+\mathbf {v} c$

Первый, $— D \nabla c$ , описывает диффузию по закону Фика . Представьте, что $c$ — это концентрация химического вещества. Когда концентрация где-то низкая по сравнению с окружающими областями (например, локальный минимум концентрации), вещество будет диффундировать из окружающей среды, поэтому концентрация увеличится. И наоборот, если концентрация высока по сравнению с окружающей средой (например, локальный максимум концентрации), то вещество будет диффундировать, и концентрация уменьшится. Чистая диффузия пропорциональна лапласиану ( или второй производной ) концентрации, если коэффициент диффузии $D$ является константой.
Второй вклад $vc ($ описывает конвекцию или адвекцию). Например, в уравнении непрерывности присутствует только этот член плотности тока. Представьте себе, что вы стоите на берегу реки и каждую секунду измеряете соленость воды (количество соли). Выше по течению кто-то сбрасывает в реку ведро соли. Некоторое время спустя вы увидите, как соленость внезапно повышается, а затем падает, когда зона соленой воды проходит мимо. Таким образом, концентрация в данном месте может меняться из-за потока.

Общие упрощения

В обычной ситуации коэффициент диффузии постоянен, нет источников и стоков, а поле скорости описывает несжимаемый поток (т. е. имеет нулевую дивергенцию ). Тогда формула упрощается до: ^[5]^[6]^[7] ${\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}c-\mathbf {v} \cdot \nabla c.$

В этой форме уравнение конвекции-диффузии сочетает в себе как параболические , так и гиперболические уравнения в частных производных .

В этом случае уравнение можно представить в простой конвективной форме : ${\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}c,$

где производная левой части является материальной производной переменной c .В невзаимодействующем материале $D=0$ (например, когда температура близка к абсолютному нулю , разбавленный газ имеет почти нулевой коэффициент диффузии ), следовательно, уравнение переноса представляет собой просто уравнение неразрывности: ${\frac {\partial c}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla c=0.$

Использование преобразования Фурье как во временной, так и в пространственной области (то есть с интегральным ядром $e^{j\omega t+j\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }$ его характеристическое уравнение ), можно получить : $j\omega {\tilde {c}}+\mathbf {v} \cdot j\mathbf {k} {\tilde {c}}=0\rightarrow \omega =-\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} ,$ что дает общее решение: $c=f(\mathbf {x} -\mathbf {v} t),$ где $f$ — любая дифференцируемая скалярная функция . На этом основано измерение температуры вблизи бозе-эйнштейновского конденсата. ^[8] методом времени полета . ^[9]

Стационарная версия

Стационарное уравнение конвекции-диффузии описывает установившееся поведение конвективно-диффузионной системы. В устойчивом состоянии, $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ ∂ c / ∂ t ⁠ = 0$ , поэтому уравнение, которое нужно решить, становится уравнением второго порядка: $\nabla \cdot (-D\nabla c+\mathbf {v} c)=R.$

Одномерный случай

В одном измерении оператор пространственного градиента выглядит просто:

$\nabla ={\frac {d}{dx}}$

поэтому уравнение, которое нужно решить, становится уравнением второго порядка с одной переменной: ${\frac {d}{dx}}\left(-D(x){\frac {dc(x)}{dx}}+v(x)c(x)\right)=R(x)$

Которую можно один раз проинтегрировать в пространственную переменную x, чтобы получить:

$D(x){\frac {dc(x)}{dx}}-v(x)c(x)=-\int _{x}R(x')dx'$

Если D не равно нулю, это неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами по переменной c(x):

$y'(x)=f(x)y(x)+g(x).$ где коэффициенты: $f(x)={\frac {v(x)}{D(x)}}$ и: $g(x)=-{\frac {1}{D(x)}}\int _{x}R(x')dx'$

На самом деле это уравнение имеет относительно простое аналитическое решение (см. ссылку выше на линейное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами ).

С другой стороны, в позициях x, где D=0, диффузионный член первого порядка исчезает, и решение становится просто соотношением:

$c(x)={\frac {1}{v(x)}}\int _{x}R(x')dx'$

Вывод

Уравнение конвекции-диффузии можно вывести простым способом. ^[4] из уравнения непрерывности , которое утверждает, что скорость изменения скалярной величины в дифференциальном контрольном объеме определяется потоком и диффузией в эту часть системы и из нее, а также любым образованием или потреблением внутри контрольного объема: ${\frac {\partial c}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =R,$ где $j$ — общий поток , а $R$ — чистый объемный источник $c$ . В этой ситуации есть два источника потока. Во-первых, возникает диффузионный поток за счет диффузии . Обычно это аппроксимируется первым законом Фика : $\mathbf {j} _{\text{diff}}=-D\nabla c$ т. е. поток диффундирующего материала (относительно объемного движения) в любой части системы пропорционален локальному градиенту концентрации . Во-вторых, когда существует общая конвекция или поток, возникает сопутствующий поток, называемый адвективным потоком : $\mathbf {j} _{\text{adv}}=\mathbf {v} c$ Полный поток (в стационарной системе координат) определяется суммой этих двух: $\mathbf {j} =\mathbf {j} _{\text{diff}}+\mathbf {j} _{\text{adv}}=-D\nabla c+\mathbf {v} c.$ Подключаемся к уравнению непрерывности: ${\frac {\partial c}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(-D\nabla c+\mathbf {v} c\right)=R.$

Сложные явления смешивания

В общем, $D$ , $v$ и $R$ могут меняться в зависимости от пространства и времени. В тех случаях, когда они также зависят от концентрации, уравнение становится нелинейным, что приводит к появлению многих характерных явлений смешивания, таких как конвекция Рэлея – Бенара , когда $v$ зависит от температуры в формулировке теплопередачи, и реакции-диффузии, формирование картины $когда R$ зависит от концентрации. в массообменной формулировке.

Скорость в ответ на силу

В некоторых случаях поле средней скорости $v$ существует благодаря силе; например, уравнение может описывать поток ионов, растворенных в жидкости, при этом электрическое поле тянет ионы в определенном направлении (как при гель-электрофорезе ). В этой ситуации его обычно называют уравнением дрейфа-диффузии или уравнением Смолуховского , ^[1] в честь Мариана Смолуховского, описавшего его в 1915 году. ^[10] (не путать с соотношением Эйнштейна-Смолуховского или уравнением коагуляции Смолуховского ).

Обычно средняя скорость прямо пропорциональна приложенной силе, что дает уравнение: ^[11]^[12] ${\frac {\partial c}{\partial t}}=\nabla \cdot (D\nabla c)-\nabla \cdot \left(\zeta ^{-1}\mathbf {F} c\right)+R$ где $F$ — сила, а $ζ$ характеризует трение или вязкое сопротивление . (Обратное $ζ -1$ называется мобильностью .)

Вывод соотношения Эйнштейна

Когда сила связана с потенциальной энергией $F = -\nabla U$ (см. консервативную силу ), стационарное решение приведенного выше уравнения (т. е. $0 = R = ⁠ \partial c / \partial t ⁠$ ) это: $c\propto \exp \left(-D^{-1}\zeta ^{-1}U\right)$ (при условии, что $D$ и $ζ$ постоянны). Другими словами, там больше частиц, у которых энергия ниже. Ожидается, что этот профиль концентрации будет соответствовать распределению Больцмана (точнее, мере Гиббса ). Исходя из этого предположения, соотношение Эйнштейна : можно доказать ^[12] $D\zeta =k_{\mathrm {B} }T.$

Как стохастическое дифференциальное уравнение

Уравнение конвекции-диффузии (без источников и стоков, $R = 0$ ) можно рассматривать как стохастическое дифференциальное уравнение , описывающее случайное движение с коэффициентом диффузии $D$ и смещением $v$ . Например, уравнение может описывать броуновское движение отдельной частицы, где переменная $c$ описывает распределение вероятности нахождения частицы в заданном положении в данный момент времени. Причина, по которой уравнение можно использовать таким образом, заключается в том, что нет математической разницы между распределением вероятностей отдельной частицы и профилем концентрации совокупности бесконечно многих частиц (пока частицы не взаимодействуют друг с другом).

Уравнение Ланжевена описывает адвекцию, диффузию и другие явления явно стохастическим образом. Одна из простейших форм уравнения Ланжевена — когда его «шумовой член» является гауссовым ; в этом случае уравнение Ланжевена в точности эквивалентно уравнению конвекции-диффузии. ^[12] Однако уравнение Ланжевена является более общим. ^[12]

Численное решение

Уравнение конвекции-диффузии лишь в редких случаях можно решить с помощью ручки и бумаги. Чаще всего для численной аппроксимации решения уравнения используются компьютеры, обычно с использованием метода конечных элементов . Подробнее и алгоритмы см.: Численное решение уравнения конвекции-диффузии .

Подобные уравнения в других контекстах

Уравнение конвекции-диффузии представляет собой относительно простое уравнение, описывающее потоки или, альтернативно, описывающее стохастически изменяющуюся систему. Следовательно, то же самое или подобное уравнение возникает во многих контекстах, не связанных с потоками в пространстве.

Формально оно идентично уравнению Фоккера–Планка для скорости частицы.
Оно тесно связано с уравнением Блэка – Шоулза и другими уравнениями финансовой математики. ^[13]
Оно тесно связано с уравнениями Навье-Стокса , поскольку поток импульса в жидкости математически подобен потоку массы или энергии. Соответствие наиболее очевидно в случае несжимаемой ньютоновской жидкости, и в этом случае уравнение Навье – Стокса имеет вид: ${\frac {\partial \mathbf {M} }{\partial t}}=\mu \nabla ^{2}\mathbf {M} -\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {M} +(\mathbf {f} -\nabla P)$

где $M$ — импульс жидкости (на единицу объема) в каждой точке (равный плотности $ρ,$ умноженной на скорость $v$ ), $μ$ — вязкость, $P$ — давление жидкости, а $f$ — любая другая массовая сила , например гравитация . В этом уравнении член в левой части описывает изменение импульса в данной точке; первый член справа описывает диффузию импульса за счет вязкости ; второй член справа описывает адвективный поток импульса; а последние два члена справа описывают внешние и внутренние силы, которые могут действовать как источники или поглотители импульса.

В физике полупроводников

В физике полупроводников это уравнение называется уравнением дрейфа-диффузии . Слово «дрейф» связано с дрейфовым током и скоростью дрейфа . Уравнение обычно записывается: ^[14] ${\begin{aligned}{\frac {\mathbf {J} _{n}}{-q}}&=-D_{n}\nabla n-n\mu _{n}\mathbf {E} \\{\frac {\mathbf {J} _{p}}{q}}&=-D_{p}\nabla p+p\mu _{p}\mathbf {E} \\{\frac {\partial n}{\partial t}}&=-\nabla \cdot {\frac {\mathbf {J} _{n}}{-q}}+R\\{\frac {\partial p}{\partial t}}&=-\nabla \cdot {\frac {\mathbf {J} _{p}}{q}}+R\end{aligned}}$ где

$n$ и $p$ — концентрации (плотности) электронов и дырок соответственно,
$q > 0$ – элементарный заряд ,
$J n$ и $J p$ — электрические токи электронов и дырок соответственно,
$⁠ J n / - q ⁠$ и $⁠ J p / q ⁠$ — соответствующие «токи частиц» электронов и дырок соответственно,
$R$ представляет собой генерацию носителей и рекомбинацию ( $R > 0$ для генерации электронно-дырочных пар, $R < 0$ для рекомбинации.)
$E$ — электрического поля вектор
$\mu _{n}$ и $\mu _{p}$ подвижность электронов и дырок .

Коэффициент диффузии и подвижность связаны соотношением Эйнштейна , как указано выше: ${\begin{aligned}D_{n}&={\frac {\mu _{n}k_{\mathrm {B} }T}{q}},\\D_{p}&={\frac {\mu _{p}k_{\mathrm {B} }T}{q}},\end{aligned}}$ где $k B$ — постоянная Больцмана , а $T$ — абсолютная температура . Дрейфовый ток и диффузионный ток относятся отдельно к двум слагаемым в выражениях для $J$ , а именно: ${\begin{aligned}{\frac {\mathbf {J} _{n,{\text{drift}}}}{-q}}&=-n\mu _{n}\mathbf {E} ,\\{\frac {\mathbf {J} _{p,{\text{drift}}}}{q}}&=p\mu _{p}\mathbf {E} ,\\{\frac {\mathbf {J} _{n,{\text{diff}}}}{-q}}&=-D_{n}\nabla n,\\{\frac {\mathbf {J} _{p,{\text{diff}}}}{q}}&=-D_{p}\nabla p.\end{aligned}}$

Это уравнение можно решить вместе с уравнением Пуассона численно. ^[15]

Справа показан пример результатов решения уравнения дрейфовой диффузии. Когда свет падает на центр полупроводника, носители тока генерируются в середине и диффундируют к двум концам. В этой структуре решается уравнение дрейфа-диффузии, и на рисунке показано распределение электронной плотности. Виден градиент несущей от центра к двум концам.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Чандрасекхар (1943). «Стохастические проблемы физики и астрономии». Преподобный Мод. Физ . 15 (1): 1. Бибкод : 1943РвМП...15....1С . дои : 10.1103/RevModPhys.15.1 . См. уравнение (312)
^ Баукал; Герштейн; Ли, ред. (2001). Вычислительная гидродинамика при промышленном горении . ЦРК Пресс. п. 67. ИСБН 0-8493-2000-3 – через Google Книги.
^ Стокер, Томас (2011). Введение в моделирование климата . Берлин: Шпрингер. п. 57. ИСБН 978-3-642-00772-9 – через Google Книги.
^ Jump up to: ^а ^б Соколофски, Скотт А.; Йирка, Герхард Х. «Уравнение адвективной диффузии» (PDF) . Конспекты лекций . Архивировано из оригинала (PDF) 25 июня 2010 г. Проверено 18 апреля 2012 г.
^ Бежан А. (2004). Конвекционная теплопередача .
^ Бёрд, Стюарт, Лайтфут (1960). Транспортные явления . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Пробштейн Р. (1994). Физико-химическая гидродинамика .
^ Кеттерле, В.; Дерфи, Д.С.; Стампер-Курн, Д.М. (1 апреля 1999 г.). «Создание, исследование и понимание конденсатов Бозе-Эйнштейна». arXiv : cond-mat/9904034 .
^ Бжозовский, Томаш М; Мачинская, Мария; Завада, Михал; Захоровский, Ежи; Гавлик, Войцех (14 января 2002 г.). «Времяпролетное измерение температуры холодных атомов на малых расстояниях ловушки-зондового пучка». Журнал оптики B: Квантовая и полуклассическая оптика . 4 (1): 62–66. Бибкод : 2002JOptB...4...62B . дои : 10.1088/1464-4266/4/1/310 . ISSN 1464-4266 . S2CID 67796405 .
^ Смолуховский, М. в. (1915). «О броуновском движении под действием внешних сил и связи с обобщенным уравнением диффузии» (PDF) . Энн. Физ. 4-й эпизод. 353 (48): 1103–1112. Нагрудный код : 1915АнП...353.1103С . дои : 10.1002/andp.19163532408 .
^ «Уравнение диффузии Смолуховского» (PDF) .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Дой и Эдвардс (1988). Теория динамики полимеров . стр. 46–52. ISBN 978-0-19-852033-7 – через Google Книги .
^ Арабас, С.; Фархат, А. (2020). «Производное ценообразование как транспортная проблема: решения MPDATA для уравнений типа Блэка-Шоулза». Дж. Компьютер. Прил. Математика . 373 : 112275. arXiv : 1607.01751 . дои : 10.1016/j.cam.2019.05.023 . S2CID 128273138 .
^ Ху, Юэ (2015). «Моделирование фотодетектора с частично обедненным поглотителем (PDA)». Оптика Экспресс . 23 (16): 20402–20417. Бибкод : 2015OExpr..2320402H . дои : 10.1364/OE.23.020402 . hdl : 11603/11470 . ПМИД 26367895 .
^ Ху, Юэ (2014). «Моделирование источников нелинейности в простом штыревом фотоприемнике» . Журнал световых технологий . 32 (20): 3710–3720. Бибкод : 2014JLwT...32.3710H . CiteSeerX 10.1.1.670.2359 . дои : 10.1109/JLT.2014.2315740 . S2CID 9882873 .

Дальнейшее чтение

Сьюэлл, Гранвилл (1988). Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных . Академическая пресса. ISBN 0-12-637475-9 .

[Chandrasekhar-1] Jump up to: ^а ^б Чандрасекхар (1943). «Стохастические проблемы физики и астрономии». Преподобный Мод. Физ . 15 (1): 1. Бибкод : 1943РвМП...15....1С . дои : 10.1103/RevModPhys.15.1 . См. уравнение (312)

[2] Баукал; Герштейн; Ли, ред. (2001). Вычислительная гидродинамика при промышленном горении . ЦРК Пресс. п. 67. ИСБН 0-8493-2000-3 – через Google Книги.

[3] Стокер, Томас (2011). Введение в моделирование климата . Берлин: Шпрингер. п. 57. ИСБН 978-3-642-00772-9 – через Google Книги.

[Socolofsky-4] Jump up to: ^а ^б Соколофски, Скотт А.; Йирка, Герхард Х. «Уравнение адвективной диффузии» (PDF) . Конспекты лекций . Архивировано из оригинала (PDF) 25 июня 2010 г. Проверено 18 апреля 2012 г.

[Bejan-5] Бежан А. (2004). Конвекционная теплопередача .

[Bird-6] Бёрд, Стюарт, Лайтфут (1960). Транспортные явления . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[Probstein-7] Пробштейн Р. (1994). Физико-химическая гидродинамика .

[8] Кеттерле, В.; Дерфи, Д.С.; Стампер-Курн, Д.М. (1 апреля 1999 г.). «Создание, исследование и понимание конденсатов Бозе-Эйнштейна». arXiv : cond-mat/9904034 .

[9] Бжозовский, Томаш М; Мачинская, Мария; Завада, Михал; Захоровский, Ежи; Гавлик, Войцех (14 января 2002 г.). «Времяпролетное измерение температуры холодных атомов на малых расстояниях ловушки-зондового пучка». Журнал оптики B: Квантовая и полуклассическая оптика . 4 (1): 62–66. Бибкод : 2002JOptB...4...62B . дои : 10.1088/1464-4266/4/1/310 . ISSN 1464-4266 . S2CID 67796405 .

[10] Смолуховский, М. в. (1915). «О броуновском движении под действием внешних сил и связи с обобщенным уравнением диффузии» (PDF) . Энн. Физ. 4-й эпизод. 353 (48): 1103–1112. Нагрудный код : 1915АнП...353.1103С . дои : 10.1002/andp.19163532408 .

[11] «Уравнение диффузии Смолуховского» (PDF) .

[Doi-12] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Дой и Эдвардс (1988). Теория динамики полимеров . стр. 46–52. ISBN 978-0-19-852033-7 – через Google Книги .

[13] Арабас, С.; Фархат, А. (2020). «Производное ценообразование как транспортная проблема: решения MPDATA для уравнений типа Блэка-Шоулза». Дж. Компьютер. Прил. Математика . 373 : 112275. arXiv : 1607.01751 . дои : 10.1016/j.cam.2019.05.023 . S2CID 128273138 .

[14] Ху, Юэ (2015). «Моделирование фотодетектора с частично обедненным поглотителем (PDA)». Оптика Экспресс . 23 (16): 20402–20417. Бибкод : 2015OExpr..2320402H . дои : 10.1364/OE.23.020402 . hdl : 11603/11470 . ПМИД 26367895 .

[15] Ху, Юэ (2014). «Моделирование источников нелинейности в простом штыревом фотоприемнике» . Журнал световых технологий . 32 (20): 3710–3720. Бибкод : 2014JLwT...32.3710H . CiteSeerX 10.1.1.670.2359 . дои : 10.1109/JLT.2014.2315740 . S2CID 9882873 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]