Kazhdan–Lusztig polynomial

В математической области теории представлений полином Каждана –Люстига $P_{y,w}(q)$ является членом семейства целочисленных полиномов, введенных Дэвидом Кажданом и Джорджем Люстигом ( 1979 ). Они индексируются парами элементов y , w группы Кокстера W , которая, в частности, может быть группой Вейля группы Ли .

Мотивация и история

Весной 1978 года Каждан и Люстиг изучали представления Спрингера группы Вейля алгебраической группы на $\ell$ -адические группы когомологий, относящиеся к классам сопряженности , которые являются унипотентными . Они нашли новую конструкцию этих представлений над комплексными числами ( Каждан и Люстиг 1980а ). Представление имело две естественные базы, и матрица перехода между этими двумя базисами по существу задается полиномами Каждана – Люстига. Реальная конструкция Каждана–Люстига их полиномов более элементарна. Каждан и Люстиг использовали это для построения канонического базиса в алгебре Гекке группы Коксетера и ее представлений.

В своей первой статье Каждан и Люстиг упомянули, что их полиномы связаны с нарушением локальной двойственности Пуанкаре для многообразий Шуберта . В Каждане и Люстиге (1980b) они переосмыслили это в терминах когомологий пересечения и Марка Горески Роберта Макферсона и дали другое определение такого базиса в терминах размерностей определенных групп когомологий пересечения .

Два базиса представления Спрингера напомнили Каждану и Люстигу два базиса группы Гротендика некоторых бесконечномерных представлений полупростых алгебр Ли, заданных модулями Верма и простыми модулями . Эта аналогия, а также работа Йенса Карстена Янцена и Энтони Джозефа, связывающих примитивные идеалы обертывающих алгебр с представлениями групп Вейля, привели к гипотезам Каждана-Люстига.

Определение

Зафиксируйте группу Кокстера W с порождающим набором S и напишите $\ell (w)$ для длины элемента w (наименьшая длина выражения для w как произведения элементов S ). Алгебра Гекке W элементов имеет базис из $T_{w}$ для $w\in W$ по рингу $\mathbb {Z} [q^{1/2},q^{-1/2}]$ , с умножением, определяемым

{\begin{aligned}T_{y}T_{w}&=T_{yw},&&{\mbox{if }}\ell (yw)=\ell (y)+\ell (w)\\(T_{s}+1)(T_{s}-q)&=0,&&{\mbox{if }}s\in S.\end{aligned}}

Второе квадратичное соотношение означает, что каждый генератор $T s$ обратим в алгебре Гекке с обратным $T s -1 = q -1 Т с + д -1 - 1$ . Эти обратные удовлетворяют соотношению $(T s -1 + 1)(Т s -1 - q -1) = 0$ (получено умножением квадратичного соотношения для $T s$ на $-T s$ ⁻²д ⁻¹), а также отношения кос . Отсюда следует, что алгебра Гекке имеет автоморфизм D , который переводит q ^1/2 в q ^−1/2 и каждый $T s$ до $T s -1$ . В более общем плане у человека есть $D(T_{w})=T_{w^{-1}}^{-1}$ ; также можно рассматривать D как инволюцию.

Полиномы Каждана-Люстига P _yw ( q ) индексируются парой элементов y , w из W и однозначно определяются следующими свойствами.

Они равны 0, если y ≤ w (в порядке Брюа W ) , 1, если y = w , и для y < w их степень не превышает ( ℓ ( w ) − ℓ ( y ) − 1)/2.
Элементы

C'_{w}=q^{-{\frac {\ell (w)}{2}}}\sum _{y\leq w}P_{y,w}T_{y}

инвариантны относительно инволюции D алгебры Гекке. Элементы

C'_{w}

составляют основу алгебры Гекке как

\mathbb {Z} [q^{1/2},q^{-1/2}]

-module, called the Kazhdan–Lusztig basis.

Чтобы установить существование полиномов Каждана-Люстига, Каждан и Люстиг предложили простую рекурсивную процедуру для вычисления полиномов P _yw ( q ) через более элементарные полиномы, обозначенные R _yw ( q ). определяется

T_{y^{-1}}^{-1}=\sum _{x}D(R_{x,y})q^{-\ell (x)}T_{x}.

Их можно вычислить с помощью рекурсивных соотношений

R_{x,y}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x\not \leq y\\1,&{\mbox{if }}x=y\\R_{sx,sy},&{\mbox{if }}sx<x{\mbox{ and }}sy<y\\R_{xs,ys},&{\mbox{if }}xs<x{\mbox{ and }}ys<y\\(q-1)R_{sx,y}+qR_{sx,sy},&{\mbox{if }}sx>x{\mbox{ and }}sy<y\end{cases}}

Полиномы Каждана – Люстига затем можно вычислить рекурсивно, используя соотношение

q^{{\frac {1}{2}}(\ell (w)-\ell (x))}D(P_{x,w})-q^{{\frac {1}{2}}(\ell (x)-\ell (w))}P_{x,w}=\sum _{x<y\leq w}(-1)^{\ell (x)+\ell (y)}q^{{\frac {1}{2}}(-\ell (x)+2\ell (y)-\ell (w))}D(R_{x,y})P_{y,w}

используя тот факт, что два члена слева являются полиномами от q ^1/2 и q ^−1/2 без постоянных условий . Эти формулы утомительно использовать вручную для ранга выше 3, но они хорошо адаптированы для компьютеров, и единственным ограничением при вычислении с их помощью полиномов Каждана – Люстига является то, что для большого ранга количество таких полиномов превышает емкость памяти компьютеров. .

Примеры

Если y ≤ w, то P _{y , w} имеет постоянный член 1.
Если y ≤ w и $ℓ (w) - ℓ (y) \in {0, 1, 2}$ , то P _{y , w} = 1.
Если w = w0 _то — самый длинный элемент конечной группы Кокстера, Py , _{1 w =} для всех y .
Если W — группа Кокстера A ₁ или A ₂ (или, в более общем случае, любая группа Кокстера ранга не более 2), то P _{y , w} равно 1, если y ≤ w, и 0 в противном случае.
Если W — группа Кокстера A ₃ с порождающим набором S = { a , b , c } с a и c коммутирующими , то P _{b , bacb} = 1 + q и P _{ac , acbca} = 1 + q , давая примеры непостоянных полиномы.
Простые значения полиномов Каждана–Люстига для групп низкого ранга не типичны для групп более высокого ранга. Например, для расщепленной формы E ₈ наиболее сложный полином Люстига–Вогана (разновидность полиномов Каждана–Люстига: см. ниже) равен

{\begin{aligned}152q^{22}&+3,472q^{21}+38,791q^{20}+293,021q^{19}+1,370,892q^{18}+4,067,059q^{17}+7,964,012q^{16}\\&+11,159,003q^{15}+11,808,808q^{14}+9,859,915q^{13}+6,778,956q^{12}+3,964,369q^{11}+2,015,441q^{10}\\&+906,567q^{9}+363,611q^{8}+129,820q^{7}+41,239q^{6}+11,426q^{5}+2,677q^{4}+492q^{3}+61q^{2}+3q\end{aligned}}

Поло (1999) показал, что любой полином с постоянным членом 1 и неотрицательными целыми коэффициентами является полиномом Каждана – Люстига для некоторой пары элементов некоторой симметричной группы.

Kazhdan–Lusztig conjectures

Полиномы Каждана–Люстига возникают как коэффициенты перехода между их каноническим базисом и естественным базисом алгебры Гекке. В статье Inventiones также были выдвинуты две эквивалентные гипотезы, известные теперь как гипотезы Каждана-Люстига, которые связали значения их полиномов в единице с представлениями комплексных полупростых групп Ли и алгебр Ли , решая давнюю проблему в теории представлений.

Пусть W — конечная группа Вейля . Для каждого w ∈ W через $M w$ обозначим модуль Вермы старшего веса $- w (ρ) - ρ$ , где ρ — полусумма положительных корней (или вектор Вейля ), и пусть $L w$ — его неприводимый фактор, простой модуль наибольшего веса наибольшего веса $- ш (ρ) - ρ$ . И $M w,$ и $L w$ являются локально-конечными весовыми модулями над комплексной полупростой алгеброй Ли g с группой Вейля W и, следовательно, допускают алгебраический характер . Обозначим ch( X ) характер g -модуля X . Гипотезы Каждана-Люстига гласят:

\operatorname {ch} (L_{w})=\sum _{y\leq w}(-1)^{\ell (w)-\ell (y)}P_{y,w}(1)\operatorname {ch} (M_{y})

\operatorname {ch} (M_{w})=\sum _{y\leq w}P_{w_{0}w,w_{0}y}(1)\operatorname {ch} (L_{y})

где $w 0$ — элемент максимальной длины группы Вейля.

Эти гипотезы были независимо доказаны над алгебраически замкнутыми полями характеристики 0 Александром Бейлинсоном и Джозефом Бернштейном ( 1981 ), а также Жаном-Люком Брылинским и Масаки Кашивара ( 1981 ). Методы, представленные в ходе доказательства, направляли развитие теории представлений на протяжении 1980-х и 1990-х годов под названием геометрическая теория представлений .

Примечания

1. Известно, что обе гипотезы эквивалентны. Более того, принцип перевода Борхо-Янтцена подразумевает, что $w (ρ) - ρ$ можно заменить на $w (λ + ρ) - ρ$ для любого доминирующего целого веса $λ$ . Таким образом, гипотезы Каждана–Люстига описывают кратности Йордана–Гельдера модулей Вермы в любом регулярном целочисленном блоке категории Бернштейна–Гельфанда–Гельфанда O .

2. Подобная интерпретация всех коэффициентов полиномов Каждана–Люстига следует из гипотезы Янцена , которая грубо гласит, что отдельные коэффициенты $P y,w$ являются кратностями $L y$ в некотором подфакторе модуля Верма, определяемом канонической фильтрацией, Янцена фильтрация . Гипотеза Янцена в случае регулярного интеграла была доказана в более поздней статье Бейлинсона и Бернштейна ( 1993 ).

3. Дэвид Воган в результате гипотез показал, что

P_{y,w}(q)=\sum _{i}q^{i}\dim(\operatorname {Ext} ^{\ell (w)-\ell (y)-2i}(M_{y},L_{w}))

и этот $доб. дж (My, обращается в нуль , L w)$ если $j + ℓ (w) + ℓ (y)$ нечетно, поэтому размерности всех таких групп Ext в категории O определяются через коэффициенты полиномов Каждана – Люстига. Этот результат показывает, что все коэффициенты полиномов Каждана–Люстига конечной группы Вейля являются неотрицательными целыми числами. Однако положительность для случая конечной группы Вейля W была уже известна из интерпретации коэффициентов полиномов Каждана–Люстига как размерностей групп когомологий пересечения, независимо от гипотез. И наоборот, связь между полиномами Каждана–Люстига и группами Ext теоретически может быть использована для доказательства гипотез, хотя такой подход к их доказательству оказался более трудным для реализации.

4. Некоторые частные случаи гипотез Каждана–Люстига легко проверяются. Например, M ₁ — антидоминантный модуль Верма, который, как известно, прост. Это означает, что M ₁ = L ₁ , что доказывает вторую гипотезу для w = 1, поскольку сумма сводится к одному слагаемому. С другой стороны, первая гипотеза для w = w ₀ следует из формулы характера Вейля и формулы характера модуля Вермы , а также того факта, что все полиномы Каждана–Люстига $P_{y,w_{0}}$ равны 1.

5. Кашивара (1990) доказал обобщение гипотез Каждана–Люстига на симметризуемые алгебры Каца–Муди .

Связь с когомологиями пересечений многообразий Шуберта

По разложению Брюа пространство G / B алгебраической группы G группой Вейля W представляет собой несвязное объединение аффинных пространств Xw _, параметризованных элементами w из W. с Замыкания этих пространств $X w$ называются многообразиями Шуберта , а Каждан и Люстиг, следуя предложению Делиня, показали, как выражать полиномы Каждана–Люстига через группы когомологий пересечения многообразий Шуберта.

Точнее, полином Каждана–Люстига P _{y , w} ( q ) равен

P_{y,w}(q)=\sum _{i}q^{i}\dim IH_{X_{y}}^{2i}({\overline {X_{w}}})

справа означает: возьмите комплекс IC пучков, гипергомология которого является гомологией пересечения w многообразия Шуберта ( где каждый член замыкание ячейки $X w$ ), возьмите его когомологии степени $2 i$ , а затем возьмите размерность стебель этого пучка в любой точке клетки $Xy,$ замыканием которой является многообразие Шуберта клетки y . Нечетномерные группы когомологий не появляются в сумме, поскольку все они равны нулю.

Это дало первое доказательство того, что все коэффициенты полиномов Каждана–Люстига для конечных групп Вейля являются неотрицательными целыми числами.

Обобщение на реальные группы

Полиномы Люстига-Вогана (также называемые полиномами Каждана-Люстига или полиномами Каждана-Люстига-Вогана ) были введены в работе Люстига и Вогана (1983) . Они аналогичны полиномам Каждана-Люстига, но адаптированы к представлениям вещественных полупростых групп Ли и играют важную роль в предположительном описании их унитарных двойников . Их определение более сложное, отражающее относительную сложность представлений реальных групп по сравнению с комплексными группами.

Различие в случаях, непосредственно связанных с теорией представлений, объясняется на уровне двойных смежных классов ; или, другими словами, действия на аналогах комплексных многообразий флагов G / B , где G — комплексная группа Ли, а B — борелевская подгруппа . Исходный случай (KL) посвящен деталям разложения.

B\backslash G/B

,

классическая тема разложения Брюа , а до этого — ячеек Шуберта в грассманиане . Случай LV принимает вещественную форму $G R$ группы G , максимальную компактную подгруппу $K R$ в этой полупростой группе $G R$ и осуществляет комплексификацию K группы $K R$ . Тогда соответствующим объектом исследования является

K\backslash G/B

.

В марте 2007 года вышел совместный проект «Атлас лжи». группы и представления», объявил, что полиномы L–V были рассчитаны для расщепленной формы E ₈ . ^{[ 1 ]}

Обобщение на другие объекты теории представлений

Вторая статья Каждана и Люстига установила геометрическую основу для определения полиномов Каждана–Люстига, а именно геометрию особенностей многообразий Шуберта в многообразии флагов . Большая часть более поздних работ Люстига исследовала аналоги полиномов Каждана-Люстига в контексте других естественных сингулярных алгебраических многообразий, возникающих в теории представлений, в частности, замыканий нильпотентных орбит и колчанных многообразий . Оказалось, что теория представлений квантовых групп , модулярных алгебр Ли и аффинных алгебр Гекке жестко контролируется соответствующими аналогами полиномов Каждана–Люстига. Они допускают элементарное описание, но более глубокие свойства этих полиномов, необходимые для теории представлений, следуют из сложных методов современной алгебраической геометрии и гомологической алгебры , таких как использование когомологий пересечения , перверсивных пучков и разложения Бейлинсона-Бернштейна-Делиня .

Предполагается, что коэффициенты полиномов Каждана–Люстига являются размерностями некоторых пространств гомоморфизмов в категории бимодулей Зёргеля. Это единственная известная положительная интерпретация этих коэффициентов для произвольных групп Кокстера.

Комбинаторная теория

Комбинаторные свойства полиномов Каждана–Люстига и их обобщений являются предметом активных текущих исследований. Учитывая их значение в теории представлений и алгебраической геометрии, были предприняты попытки разработать теорию полиномов Каждана – Люстига чисто комбинаторным способом, в некоторой степени опираясь на геометрию, но без ссылки на когомологии пересечений и другие передовые методы. Это привело к захватывающим разработкам в алгебраической комбинаторике , таким как явление избегания шаблонов . Некоторые ссылки даны в учебнике Бьёрнера и Бренти (2005) . Исследовательская монография на эту тему – Billey & Lakshmibai (2000) .

Неравенство

Кобаяши (2013) доказал, что значения полиномов Каждана – Люстига при $q=1$ для кристаллографических групп Кокстера удовлетворяют некоторому строгому неравенству: Позволять $(W,S)$ быть кристаллографической системой Кокстера и ${P_{uw}(q)}$ its Kazhdan–Lusztig polynomials. If $u<w$ и $P_{uw}(1)>1$ , то существует отражение $t$ такой, что $P_{uw}(1)>P_{tu,w}(1)>0$ .

Примечания

^ ван Леувен, Марк (2008), «Вычисление полиномов Каждана-Люстига-Вогана для разделения $E 8$ » (PDF) , Новый архив математики , 9 (2): 113–116, MR 2454587

Ссылки

Бейлинсон, Александр ; Бернштейн, Джозеф (1981), Локализация g-модулей , сер. Я Матем., вып. 292, Париж: CR Acad. наук, стр. 15–18 .
Бейлинсон, Александр ; Бернштейн, Джозеф (1993), Доказательство гипотез Янцена , Успехи советской математики, том. 16, стр. 1–50 .
Билли, Сара ; Лакшмибай, В. (2000), Особые локусы многообразий Шуберта , Progress in Mathematics, vol. 182, Бостон, Массачусетс: Биркхойзер, ISBN 0-8176-4092-4 .
Бьёрнер, Андерс ; Бренти, Франческо (2005), «Глава 5: Каждана – Люстига и R- полиномы», Комбинаторика групп Кокстера , Тексты для аспирантов по математике, том. 231, Спрингер , ISBN 978-3-540-44238-7 .
Бренти, Франческо (2003), «Полиномы Каждана – Люстига: история, проблемы и комбинаторная инвариантность» , Séminaire Lotharingien de Combinatoire , 49 , Элльванген: Haus Schönenberg: Исследовательская статья B49b .
Брылински, Жан-Люк ; Кашивара, Масаки (октябрь 1981 г.), «Гипотеза Каждана-Люстига и голономные системы», Inventiones Mathematicae , 64 (3), Springer-Publishers : 387–410, Бибкод : 1981InMat..64..387B , doi : 10.1007/BF01389272 , ISSN 0020-9910 , 18403883S2CID
Кашивара, Масаки (1990), «Гипотеза Каждана – Люстига для симметризуемых алгебр КацМуди», The Grothendieck Festschrift, II , Progress in Mathematics, vol. 87, Бостон: Биркхаузер, стр. 407–433, MR 1106905 .
Каждан, Давид ; Люстиг, Джордж (июнь 1979 г.), «Представления групп Кокстера и алгебр Гекке», Inventiones Mathematicae , 53 (2), Springer-Verlag : 165–184, Bibcode : 1979InMat..53..165K , doi : 10.1007/BF01390031 , ISSN 0020-9910 , S2CID 120098142 .
Каждан, Давид ; Люстиг, Джордж (1980a), «Топологический подход к представлениям Спрингера», Advances in Mathematics , 38 (2): 222–228, doi : 10.1016/0001-8708(80)90005-5 .
Каждан, Давид ; Люстиг, Джордж (1980b), Многообразия Шуберта и двойственность Пуанкаре , Труды симпозиумов по чистой математике, том. XXXVI, Американское математическое общество , стр. 185–203, номер документа : 10.1090/pspum/036/573434 , ISBN. 9780821814390 .
Люстиг, Георг ; Воган, Дэвид (1983), «Особенности замыканий K-орбит на многообразиях флагов», Inventiones Mathematicae , 71 (2), Springer-Verlag : 365–379, Bibcode : 1983InMat..71..365L , doi : 10.1007 /BF01389103 , ISSN 0020-9910 , S2CID 120917588 .
Поло, Патрик (1999), «Построение произвольных полиномов Каждана – Люстига в симметричных группах», Теория представлений , 3 (4): 90–104, doi : 10.1090/S1088-4165-99-00074-6 , ISSN 1088-4165 , МР 1698201 .
Зёргель, Вольфганг (2006), «Полиномы Каждана – Люстига и неразложимые бимодули над кольцами полиномов», Журнал Института математики Жюсье , 6 (3): 501–525, arXiv : math/0403496 , doi : 10.1017/S1474748007000023 , S2CID 120459494 .
Кобаяши, Масато (2013), «Неравенства на графах Брюа, R- и полиномы Каждана-Люстига», Журнал комбинаторной теории, серия A , 120 (2): 470–482, arXiv : 1211.4305 , doi : 10.1016/j.jcta.2012.10.001 , S2CID 205929043 .

Внешние ссылки

Readings from Spring 2005 course on Kazhdan–Lusztig Theory at U.C. Davis by Monica Vazirani
Горески, Марк . «Таблицы полиномов Каждана – Люстига» .
GAP Программы для вычисления полиномов Каждана–Люстига.
Fokko du Cloux Программное обеспечение Коксетера для вычисления полиномов Каждана – Люстига для любой группы Кокстера.
Atlas software for computing Kazhdan–Lusztig-Vogan polynomials.

[1] ван Леувен, Марк (2008), «Вычисление полиномов Каждана-Люстига-Вогана для разделения $E 8$ » (PDF) , Новый архив математики , 9 (2): 113–116, MR 2454587

[ 1 ]