Вычитание

«Вычтите» перенаправления здесь. Для других видов использования см. Вычитание (устранение неоднозначности) .

" 5 - 2 = 3" (устно, «пять минус два равны три»)

Плакат за пределами магазина в Бордо рекламной вычитание в размере 20% по сравнению с ценой второго приобретенного парфюма.

Вычитание (которое означает знак минус - ) является одной из четырех арифметических операций , а также с добавлением , умножением и делением . Вычитание - это операция, которая представляет удаление объектов из коллекции. Например, на соседней картине есть 5 - 2 персиков, что означает 5 персиков с 2 забранными, в результате чего в общей сложности 3 персика. Следовательно, разница 5 и 2 составляет 3; то есть 5 - 2 = 3 . Хотя вычитание в основном связано с естественными числами в арифметике , может также представлять собой удаление или уменьшение физических и абстрактных величин, используя различные виды объектов, включая отрицательные числа , фракции , иррациональные числа , векторы , десятичные десятички, функции и матрицы.

В некотором смысле вычитание является обратным дополнением. То есть c = a - b и только тогда, когда c + b = a . В словах: разница двух чисел - это число, которое дает первое при добавлении ко второму.

Вычитание следует за несколькими важными закономерностями. Это антимутативно , что означает, что изменение порядка меняет знак ответа. Это также не ассоциируется , что означает, что когда один вычитает более двух чисел, порядок, в котором вычитается, вопросы. Поскольку 0 является аддитивной идентичностью , вычитание ее не меняет число. Вычитание также подчиняется предсказуемым правилам, касающимся связанных операций, таких как добавление и умножение . Все эти правила могут быть доказаны , начиная с вычитания целых чисел и обобщения через реальные цифры и за его пределами. Общие бинарные операции , которые следуют этим шаблонам, изучаются в абстрактной алгебре .

В теории вычислений , учитывая вычитание не очень четко определено по естественным числам , операции между числами фактически определяются с использованием «усеченного вычитания» или монуса .

Обозначения и терминология

Вычитание чисел 0–10. Линейные метки = МИНУЭНД. X Axis = subtrahend. Y ось = разница.

Вычитание обычно записывается с использованием знака минус « -» между терминами; то есть в инфикс нотации . Результат выражается с признаком равных . Например,

$2-1=1$ (произносится как «два минус один равен один»)

$4-2=2$ (произносится как «Четыре минус два равны двум»)

$6-3=3$ (произносится как «шесть минус три равны три»)

$4-6=-2$ (произносится как «Четыре минус шесть равны отрицательному два»)

Есть также ситуации, когда вычитание «понято», хотя не появляется символ:

• Столбец из двух чисел с более низким числом в красном, обычно указывает на то, что нижнее число в столбце должно быть вычтено, с разницей, записанной ниже, под строкой. Это наиболее распространено в бухгалтерском учете.

Формально вычитается число, известно как подтрахни , в то время как число, из которого он вычитается, это Minuend . Результат - разница . То есть,

${\rm {minuend}}-{\rm {subtrahend}}={\rm {difference}}$.

Вся эта терминология происходит от латинской . « Вычитание » - это английское полученное из латинского глагола слово , , которое, в свою очередь, является соединением Sub « из -под» и Trahere , чтобы потянуть ». Таким образом, вычесть - значит рисовать снизу или забрать . Используя герундивный суффикс -nd приводит к «подтрахнику», «вещь должна быть вычтена». Аналогичным образом, от Минюра «до уменьшения или уменьшения», можно получить «Менуэнд», что означает «быть уменьшением».

Целых чисел и реальных чисел

Целые числа

Представьте себе линейный сегмент длины помеченный B с левым конец, помеченный A , и правый конец, c . Начиная с A , это требует шагов B вправо, чтобы C. достичь Это движение справа моделируется математически с добавлением :

a + b = c .

Из C требуются B шаги влево чтобы вернуться к . , Это движение слева моделируется вычитанием:

C - B = а .

Теперь линейный сегмент, помеченный числами 1 , 2 и 3 . С позиции 3 не предпринимает никаких шагов влево, чтобы остаться на 3, так что 3 - 0 = 3 . Требуется 2 шага влево, чтобы добраться до позиции 1, поэтому 3 - 2 = 1 . Эта картина неадекватна, чтобы описать, что произойдет после того, как пройдет 3 шага слева от позиции 3. Чтобы представить такую ​​операцию, линия должна быть расширена.

Чтобы вычесть произвольные натуральные числа , один начинается с линии, содержащей каждое естественное число (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...). Из 3 требуется 3 шага влево, чтобы добраться до 0, поэтому 3 - 3 = 0 . Но 3 - 4 все еще недействительны, так как он снова покидает линию. Натуральные числа не являются полезным контекстом для вычитания.

Решение состоит в том, чтобы рассмотреть целочисленную линию числа (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...). Таким образом, требуется 4 шага слева от 3, чтобы добраться до -1:

3 − 4 = −1 .

Натуральные числа

Вычитание натуральных чисел не закрыто : разница не является естественным числом, если нисходящая, если ничтожная не больше или равна подразделению. Например, 26 не может быть вычтено из 11, чтобы дать естественное число. Такой случай использует один из двух подходов:

1. Сделать вывод, что 26 не может быть вычтено из 11; Вычитание становится частичной функцией .
2. Дайте ответ как целое число , представляющее отрицательное число , поэтому результат вычитания 26 из 11 составляет -15.

Реальные числа

Поле дающие реальных чисел можно определить, указав только две бинарные операции, добавление и умножение, а также унарочные операции, аддитивные и мультипликативные конверты . Вычитание реального числа (подтрахри) из другого (минуэнд) может быть затем определено как добавление минаунд и аддитивную обратную обратную пробку. Например, 3 - π = 3 + ( - π ) . В качестве альтернативы, вместо того, чтобы требовать этих уникальных операций, бинарные операции вычитания и деления могут быть приняты как основные.

Характеристики

Анти-коммутативность

Вычитание является антикоммутативным , что означает, что если кто-то меняет термины в разнице слева направо, результатом является отрицательный результат исходного результата. Символично, если A и B являются какими -либо двумя числами, тогда

a - b = - ( b - a) .

Не ассоциация

Вычитание не является ассоциативным , которое возникает, когда кто-то пытается определить повторное вычитание. В общем, выражение

" a - b - c "

может быть определено как означать либо ( a - b ) - c , либо A - ( b - c ), но эти две возможности приводят к различным ответам. Чтобы решить эту проблему, нужно установить орден операций , при этом различные заказы дают разные результаты.

Предшественник

В контексте целых чисел вычитание одного также играет особую роль: для любого целого числа A целое число ( a - 1) является самым большим целым числом меньше, чем , также известное как предшественник A. A

Единицы измерения

При вычитании двух чисел с единицами измерения, такими как килограммы или фунты , они должны иметь одинаковую единицу. В большинстве случаев разница будет иметь тот же блок, что и исходные числа.

Процент

Изменения в процентах могут быть сообщены как минимум в двух формах: процентное изменение и процентное изменение точки. Процентное изменение представляет относительное изменение между двумя величинами в процентах, в то время как изменение процентного точки - это просто число, полученное путем вычитания двух процентов.

Например, предположим, что 30% виджетов, сделанных на фабрике, дефектны. Шесть месяцев спустя 20% виджетов дефектны. Процентное изменение ⁠ 20% − 30% / 30% ⁠ = − ⁠ 1 / 3 ⁠ = ⁠ -33 + 1/3 % . ⁠ , в то время как изменение процентной точки составляет -10 процентных пунктов

В вычислениях

Метод дополнений - это метод, используемый для вычитания одного числа из другого, используя только добавление положительных чисел. Этот метод обычно использовался в механических калькуляторах и до сих пор используется в современных компьютерах .

Бинарный цифра	Один дополнение
0	1
1	0

Чтобы вычесть двоичное число Y (подтрахри) из другого числа x (The Minuend), дополнение Y добавляется в x , а один добавляется к сумме. Ведущая цифра «1» результата затем отбрасывается.

Метод дополнений особенно полезен в двоичном языке (RADIX 2), так как «комплемент» очень легко получается путем инвертирования каждого бита (изменение «0» на «1» и наоборот). И добавление 1, чтобы получить дополнение двух, можно сделать путем моделирования переноса в наименее значительный бит. Например:

  01100100  (x, equals decimal 100)
- 00010110  (y, equals decimal 22)

становится суммой:

  01100100  (x)
+ 11101001  (ones' complement of y)
+        1  (to get the two's complement)
——————————
 101001110

Отбрасывание начального «1» дает ответ: 01001110 (равна десятичным 78)

Преподавание вычитания в школах

Методы, используемые для обучения вычитанию в начальной школе, варьируются от страны к стране, а в стране различные методы принимаются в разное время. В том, что известно в Соединенных Штатах как традиционную математику , в конце 1-го года (или в течение 2-го курса) обучают конкретный процесс для использования с множеством целых чисел и продлеваются либо в четвертом, либо в четвертом или Пятый класс, чтобы включить десятичные представления дробных чисел.

В Америке

Почти все американские школы в настоящее время преподают метод вычитания с использованием заимствования или перегруппировки (алгоритм разложения) и системе маркировки, называемых костылями. Хотя ранее был известен и опубликован метод заимствования, использование костылей в американских школах распространилось после того, как Уильям А. Браунелл опубликовал исследование, нацелив, что костыли были полезны для учащихся, использующих этот метод. Эта система быстро привлекла внимание, вытесняя другие методы вычитания в то время в Америке.

В Европе

В некоторых европейских школах используется метод вычитания, называемый австрийским методом, также известным как метод добавлений. В этом методе нет заимствований. Существуют также костыли (маркировки, чтобы помочь памяти), которые варьируются в зависимости от страны.

Сравнение двух основных методов

Оба эти метода разбивают вычитание как процесс вычитаний одной цифры по значению места. Начиная с наименее значимой цифры, вычитание подтрахну:

S _J S _{J -1} ... S ₁

из МИНУЕНДА

m _k m _{k −1} ... m ₁ ,

Там, где каждый s _i и m _i - это цифра, продолжается, записывая m ₁ - s ₁ , m ₂ - s ₂ и т. Д., До тех пор, пока S _i не превышает m _i . В противном случае M _I увеличивается на 10, а какая -то другая цифра модифицирована для коррекции для этого увеличения. Американский метод корректирует, пытаясь уменьшить цифру Minuend M _{I +1} одним (или продолжая заимствование влево, пока не появится ненулевая цифра для заимствования). Европейский метод корректирует путем увеличения цифры подпрофликта S _{I +1} на один.

Пример: 704 - 512.

${\begin{array}{rrrr}&\color {Red}-1\\&C&D&U\\&7&0&4\\&5&1&2\\\hline &1&9&2\\\end{array}}{\begin{array}{l}{\color {Red}\longleftarrow {\rm {carry}}}\\\\\longleftarrow \;{\rm {Minuend}}\\\longleftarrow \;{\rm {Subtrahend}}\\\longleftarrow {\rm {Rest\;or\;Difference}}\\\end{array}}$

Minuend составляет 704, подтрахри составляет 512. Цифры Minuend составляют M ₃ = 7 , M ₂ = 0 и M ₁ = 4 . Цифры подтрахри составляют S ₃ = 5 , S ₂ = 1 и S ₁ = 2 . Начиная с места, 4 составляет не менее 2, поэтому разница 2 записана на месте. В месте десяти 0 составляет менее 1, поэтому 0 увеличивается на 10, а разница с 1, которая составляет 9, записана на месте десяти. Американский метод исправляет увеличение на десять, уменьшив цифру в сотнях Минаэнд за одним. То есть 7 пробивается и заменяется 6. Вычитание затем проходит в сотнях места, где 6 составляет не менее 5, поэтому разница записана в результате сотни результатов. Теперь мы закончили, результат - 192.

Австрийский метод не уменьшает от 7 до 6. Скорее он увеличивает сотни цифры в сотнях. Небольшая отметка сделана рядом с этой цифрой или ниже (в зависимости от школы). Затем вычитание продолжается, спрашивая, какое число, когда увеличивается на 1, и 5 добавляется к нему 5, 7. Ответ составляет 1 и записан в сотнях результата.

Существует дополнительная тонкость в том, что студент всегда использует таблицу умственного вычитания в американском методе. Австрийский метод часто побуждает студента умственно использовать таблицу добавок в обратном направлении. В приведенном выше примере, вместо того, чтобы добавлять от 1 до 5, получение 6 и вычитать его из 7, студента просят рассмотреть, какое число, когда увеличивается на 1 и 5, добавляется к нему, делает 7.

Вычитание вручную

Австрийский метод

Пример:

• 
  1 + ... = 3
• 
  Разница написана под строкой.
• 
  9 + ... = 5
  Требуемая сумма (5) слишком мала.
• 
  Итак, мы добавляем 10 к нему и поместим 1 под следующим более высоким местом в подтрону.
• 
  9 + ... = 15
  Теперь мы можем найти разницу, как и раньше.
• 
  (4 + 1) + ... = 7
• 
  Разница написана под строкой.
• 
  Общая разница.

Вычитание слева направо

Пример:

• 
  7 − 4 = 3
  Этот результат только накапливается.
• 
  Поскольку следующая цифра Minuend меньше, чем подпора, мы вычитаем один из наших карандашных и умственно добавляем десять к другому.
• 
  15 − 9 = 6
• 
  Поскольку следующая цифра в Minuend не меньше, чем подтронка, мы сохраняем это число.
• 
  3 − 1 = 2

Американский метод

В этом методе каждая цифра подтронного значения вычитается из цифры над ней, начиная с справа налево. Если верхний номер слишком мал, чтобы вычесть нижний номер из него, мы добавляем в него 10; Это 10 "позаимствовано" с верхней цифры слева, из которой мы вычитаем 1. Затем мы переходим к вычтению следующей цифры и заимствуем по мере необходимости, пока каждая цифра не будет вычтена. Пример:

• 
  3 − 1 = ...
• 
  Мы пишем разницу под линией.
• 
  5 − 9 = ...
  Minuend (5) слишком мал!
• 
  Итак, мы добавим 10 в это. 10 "позаимствовано" с цифры слева, которая опускается на 1.
• 
  15 − 9 = ...
  Теперь вычитание работает, и мы пишем разницу под строкой.
• 
  6 − 4 = ...
• 
  Мы пишем разницу под линией.
• 
  Общая разница.

Торговля первым

Вариант американского метода, где все заимствования выполняются до всей вычитания.

Пример:

• 
  1 - 3 = невозможно.
  Мы добавляем 10 к 1. Поскольку 10 «позаимствовано» из близлежащих 5, 5 снижается на 1.
• 
  4 - 9 = невозможно.
  Таким образом, мы продолжаем как на шаге 1.
• 
  Работая справа налево:
  11 − 3 = 8
• 
  14 − 9 = 5
• 
  6 − 4 = 2

Частичные различия

Метод частичных различий отличается от других методов вертикальной вычитания, поскольку заимствования или переноса не происходит. Вместо этого один разместит плюс или минус знаки в зависимости от того, больше ли миньюэнд или меньше, чем подтрахни. Сумма частичных различий - общая разница.

Пример:

• 
  Меньшее число вычитается из большего:
  700 − 400 = 300
  Поскольку Minuend больше, чем подтрахну, эта разница имеет знак плюс.
• 
  Меньшее число вычитается из большего:
  90 − 50 = 40
  Поскольку Minuend меньше, чем подпора, эта разница имеет знак минус.
• 
  Меньшее число вычитается из большего:
  3 − 1 = 2
  Поскольку Minuend больше, чем подтрахну, эта разница имеет знак плюс.
• 
  +300 − 40 + 2 = 262

Неверные методы

Считать

Вместо того, чтобы найти разницу цифровой цифрой, можно подсчитать цифры между подтронными и миноэндами.

Пример: 1234 - 567 = можно найти следующими шагами:

• 567 + 3 = 570
• 570 + 30 = 600
• 600 + 400 = 1000
• 1000 + 234 = 1234

Сложите значение с каждого шага, чтобы получить общую разницу: 3 + 30 + 400 + 234 = 667 .

Разрушение вычитания

Другой метод, который полезен для умственной арифметики, - это разделить вычитание на небольшие шаги.

Пример: 1234 - 567 = может быть решено следующим образом:

• 1234 − 500 = 734
• 734 − 60 = 674
• 674 − 7 = 667

То же самое изменение

Тот же метод изменения использует тот факт, что добавление или вычитание того же числа из Minuend и Subtrahend не изменяет ответ. Один просто добавляет сумму, необходимую для получения нулей в подтронном виде.

Пример:

«1234 - 567 =» может быть решено следующим образом:

• 1234 − 567 = 1237 − 570 = 1267 − 600 = 667

Смотрите также

• Абсолютная разница
• Уменьшение
• Элементарная арифметика
• Метод дополнений
• Отрицательное число
• Плюс и минус знаки
• Монус (усеченная вычитание)

Библиография

• Браунелл, Вашингтон (1939). Обучение как реорганизация: экспериментальное исследование по арифметике третьего класса, издательство Duke University Press.
• Вычитание в Соединенных Штатах: историческая перспектива, Сьюзен Росс, Мэри Пратт-Коттер, математический педагог , вып. 8, № 1 (оригинальная публикация) и вып. 10, № 1 (Перепечатка.) PDF

Внешние ссылки

• «Вычитание» , Энциклопедия математики , Ems Press , 2001 [1994]
• Рабочие листы для печати: рабочие листы вычитания , однозначная вычитание , двухзначная вычитание , четыре цифровые вычитание и другие рабочие листы вычитания
• Игра вычитания в узел
• Вычитание на японском абакусе , отобранном из Abacus: Mystery of the Beak