Критика нестандартного анализа

Нестандартный анализ и его ответвление, нестандартное исчисление , подверглись критике со стороны нескольких авторов, в частности Эрретта Бишопа , Пола Халмоша и Алена Конна . Эта критика анализируется ниже.

Введение

Оценка нестандартного анализа в литературе сильно различается. Пол Халмос описал это как особое техническое достижение математической логики. Теренс Тао подвел итог преимуществам гиперреальной структуры, отметив, что она

позволяет строго манипулировать такими вещами, как «множество всех малых чисел», или строго говорить такие вещи, как «η ₁ меньше, чем все, что включает в себя η ₀ », при этом значительно уменьшая проблемы управления эпсилоном за счет автоматического сокрытия многих кванторов в свой аргумент.

— Теренс Тао, «Структура и случайность» , Американское математическое общество (2008).

Характер критики не связан напрямую с логическим статусом результатов, доказанных с помощью нестандартного анализа. С точки зрения традиционных математических основ классической логики такие результаты вполне приемлемы, хотя обычно сильно зависят от выбора. анализ Абрахама Робинсона не нуждается в каких-либо аксиомах, кроме теории множеств Цермело-Френкеля (ZFC) (как явно показано Вильгельма Люксембурга сверхстепенной конструкцией гиперреальности Нестандартный ), в то время как его вариант Эдварда Нельсона , известный как внутренняя теория множеств , аналогично консервативное ZFC расширение . Это дает уверенность в том, что новизна нестандартного анализа заключается исключительно в стратегии доказательства, а не в диапазоне результатов. Кроме того, теоретико-модельный нестандартный анализ, например, основанный на надстройках, который сейчас является широко используемым подходом, не нуждается в каких-либо новых теоретико-множественных аксиомах, кроме аксиом ZFC.

Разногласия существовали по вопросам математической педагогики. Кроме того, нестандартный анализ в том виде, в каком он развит, не является единственным кандидатом на достижение целей теории бесконечно малых (см. Гладкий бесконечно малый анализ ). Филип Дж. Дэвис написал в рецензии на книгу « Левый защитник: век неудачных школьных реформ». автор Дайан Равич:

Существовало движение за нестандартный анализ преподавания элементарного исчисления. Его акции немного выросли, прежде чем механизм рухнул из-за внутренней сложности и недостаточной необходимости.

Нестандартное исчисление в классе было проанализировано в исследовании К. Салливана школ в районе Чикаго, что отражено в средней литературе в разделе « Влияние нестандартного анализа» . Салливан показал, что студенты, прошедшие курс нестандартного анализа, лучше могли интерпретировать смысл математического формализма исчисления, чем студенты контрольной группы, обучавшиеся по стандартной программе. Это также было отмечено Артигом (1994), стр. 172; Чихара (2007); и Добен (1988).

Критика епископа

По мнению Эрретта Бишопа , классическая математика, которая включает подход Робинсона к нестандартному анализу, была неконструктивной и, следовательно, несовершенной в числовом значении ( Феферман 2000 ). Бишоп был особенно обеспокоен использованием нестандартного анализа в обучении, о чем он говорил в своем эссе «Кризис в математике» ( Bishop 1975 ). В частности, после обсуждения формалистической программы Гильберта он написал:

Более поздняя попытка освоить математику с помощью формального изящества — это нестандартный анализ. Насколько я понимаю, это имело определенный успех, не знаю, за счет ли предоставления значительно менее значимых доказательств. Мой интерес к нестандартному анализу заключается в том, что предпринимаются попытки внедрить его в курсы математического анализа. Трудно поверить, что принижение смысла могло зайти так далеко.

Кац и Кац (2010) отмечают, что ряд критических замечаний был озвучен участвующими математиками и историками после выступления Бишопа «Кризис» на семинаре Американской академии искусств и наук в 1974 году. Однако участники не сказали ни слова о Бишопом Унижение теории Робинсона. Кац и Кац отмечают, что недавно выяснилось, что Бишоп на самом деле не сказал ни слова о теории Робинсона на семинаре, а лишь добавил свое уничижительное замечание на этапе гранки публикации. Это помогает объяснить отсутствие критической реакции на семинаре. Кац и Кац приходят к выводу, что это поднимает вопросы честности со стороны Бишопа, чей опубликованный текст не сообщает о том факте, что «унижающий достоинство» комментарий был добавлен на этапе гранки и, следовательно, не был услышан участниками семинара, создавая ложное впечатление, что они не согласился с замечаниями.

Тот факт, что Бишоп рассматривал введение нестандартного анализа в классе как «унижение смысла», отмечал Ж. Добен. Этот термин был разъяснен Бишопом (1985, стр. 1) в его тексте «Шизофрения в современной математике» (впервые опубликованном в 1973 году) следующим образом:

Критика Брауэром классической математики была связана с тем, что я буду называть «унижением смысла».

Таким образом, Бишоп сначала применил термин «ухудшение значения» к классической математике в целом, а позже применил его к бесконечно малым числам Робинсона в классе. В своих «Основах конструктивного анализа» (1967, стр. ix) Бишоп писал:

Наша программа проста: придать числовое значение как можно большему количеству классического абстрактного анализа. Нашей мотивацией является хорошо известный скандал, подробно разоблаченный Брауэром (и другими) о том, что классическая математика лишена числового значения.

Замечания Бишопа подтверждаются дискуссией после его лекции:

• Джордж Макки (Гарвард): «Я не хочу думать об этих вопросах. Я верю, что то, что я делаю, будет иметь какой-то смысл…»
• Гаррет Биркгофф (Гарвард): «...Я думаю, именно к этому призывает Бишоп. Нам следует следить за своими предположениями и сохранять непредвзятость».
• Шрирам Абхьянкар: (Purdue): «Моя статья полностью соответствует позиции Бишопа».
• Ж.П. Кахане (Парижский университет): «...Я должен уважать работу Бишопа, но нахожу ее скучной...»
• Бишоп (UCSD): «Большинство математиков считают, что математика имеет смысл, но им утомительно пытаться выяснить, что это такое...»
• Кахане: «Я чувствую, что оценка Бишопа имеет большее значение, чем мое отсутствие оценки».

Обзор епископа

Бишоп сделал рецензию на книгу «Элементарное исчисление: бесконечно малый подход» Говарда Джерома Кейслера , в которой представлено элементарное исчисление с использованием методов нестандартного анализа. Бишоп был выбран своим советником Полом Халмосом для рецензирования книги. Обзор появился в Бюллетене Американского математического общества в 1977 году. На эту статью ссылается Дэвид О. Талл ( Tall 2001 ), обсуждая использование нестандартного анализа в образовании. Талль написал:

однако использование аксиомы выбора в нестандартном подходе вызывает резкую критику со стороны таких людей, как Бишоп (1977), которые настаивали на явном построении концепций в интуиционистской традиции.

В обзоре Бишопа приведены несколько цитат из книги Кейслера, например:

В 1960 году Робинсон решил проблему трехсотлетней давности, дав точное описание бесконечно малых величин. Достижение Робинсона, вероятно, будет признано одним из крупнейших математических достижений двадцатого века.

и

Обсуждая реальную линию, мы заметили, что у нас нет возможности узнать, что на самом деле представляет собой линия в физическом пространстве. Это может быть гиперреальная линия, реальная линия или ни то, ни другое. Однако в приложениях исчисления полезно представить линию в физическом пространстве как гиперреальную линию.

В обзоре текст Кейслера подвергся критике за то, что он не предоставил доказательств в поддержку этих утверждений, а также за принятие аксиоматического подхода, когда студентам не было ясно, что существует какая-либо система, удовлетворяющая аксиомам ( Tall 1980 ). Обзор закончился следующим образом:

Технические сложности, вызванные подходом Кейслера, незначительны.важность. Настоящий ущерб заключается в запутывании и девитализации тех, кого [Кейслер]замечательные идеи [стандартного исчисления]. Никакие ссылки на Ньютона и Лейбница не оправдаютразвивая исчисление с использованием аксиом V* и VI* — на том основании, что обычноеопределение предела слишком сложно!

и

Хотя это кажется бесполезным, я всегда говорю своим студентам, изучающим математический анализ, что математика не эзотерика: это здравый смысл. (Даже пресловутое (ε, δ)-определение предела является здравым смыслом, и более того, оно занимает центральное место в важных практических задачах аппроксимации и оценки.) Они мне не верят. На самом деле эта идея вызывает у них дискомфорт, поскольку противоречит их предыдущему опыту. Теперь у нас есть текст по математическому анализу, который можно использовать для подтверждения их опыта в математике как эзотерическом и бессмысленном техническом упражнении.

Ответы

В своем ответе в « Уведомлениях » Кейслер (1977, стр. 269) спросил:

почему Пол Халмос , редактор рецензии на книги Bulletin , выбрал конструктивиста ? в качестве рецензента

Сравнивая использование закона исключенного третьего (отвергаемого конструктивистами) с вином, Кейслер сравнил выбор Халмоса с «выбором трезвенника для дегустации вина».

Рецензия на книгу Бишопа впоследствии подверглась критике в том же журнале со стороны Мартина Дэвиса , написавшего на стр. 1008 Дэвиса (1977) :

Книга Кейслера представляет собой попытку вернуть интуитивно наводящие на размышления методы Лейбница, которые доминировали в преподавании математического анализа до сравнительно недавнего времени и от которых никогда не отказывались в некоторых частях прикладной математики. Читатель рецензии Эрретта Бишопа на книгу Кейслера вряд ли мог бы представить, что Кейслер именно это и пытался сделать, поскольку в рецензии не обсуждаются ни цели Кейслера, ни степень, в которой его книга их реализует.

Дэвис добавил (стр. 1008), что Бишоп высказал свои возражения.

не информируя своих читателей о конструктивистском контексте, в котором предположительно следует понимать это возражение.

Физик Вадим Комков (1977, с. 270) писал:

Бишоп — один из ведущих исследователей, сторонников конструктивного подхода к математическому анализу. Конструктивисту трудно симпатизировать теориям, заменяющим действительные числа гиперреальными .

Комков заметил, что Бишоп обеспокоен тем, можно ли провести нестандартный анализ конструктивно.

Философ математики Джеффри Хеллман (1993, стр. 222) писал:

Некоторые замечания Бишопа (1967) предполагают, что его позиция принадлежит к категории [радикального конструктивизма]…

Историк математики Джозеф Добен проанализировал критику Бишопа в (1988, стр. 192). После упоминаний об «успехе» нестандартного анализа

на самом элементарном уровне, на котором его можно было бы ввести, а именно, на котором математический анализ преподается впервые,

Добен заявил:

существует также более глубокий уровень смысла, на котором работает нестандартный анализ.

Добен упомянул «впечатляющие» приложения в

физике, особенно квантовой теории и термодинамике , а также в экономике , где изучение экономики обмена особенно поддается нестандартной интерпретации.

На этом «более глубоком» уровне значения, заключил Добен,

Взгляды Бишопа можно подвергнуть сомнению и показать, что они столь же необоснованны, как и его возражения против нестандартного педагогического анализа.

Ряд авторов прокомментировали тон рецензии на книгу Бишопа. Артиг (1992) описал его как вирулентный ; Добен (1996) как язвительный ; Дэвис и Хаузер (1978) — враждебно ; Высокий (2001), как крайний .

Ян Стюарт (1986) сравнил просьбу Халмоса написать рецензию на книгу Кейслера с предложением Маргарет Тэтчер написать рецензию на «Капитал» .

Кац и Кац (2010) отмечают, что

Бишоп критикует яблоки за то, что они не апельсины: критик (Бишоп) и критикуемый (нестандартный анализ Робинсона) не имеют общей основополагающей основы.

Они далее отмечают, что

Озабоченность Бишопа искоренением закона исключенного третьего заставила его критиковать классическую математику в целом столь же язвительно, как и его критика нестандартного анализа.

Г. Стольценберг ответил на критику Кейслера в «Уведомлениях» по поводу рецензии Бишопа в письме, также опубликованном в «Уведомлениях». Стольценберг утверждает, что критика рецензии Бишопа на книгу Кейслера по исчислению основана на ложном предположении, что они были сделаны в конструктивистском мышлении, тогда как Стольценберг считает, что Бишоп прочитал ее так, как она должна была быть прочитана: с классическим мышлением.

Критика Конна

В статье «Спонтанное нарушение симметрии и геометрия со спектральной точки зрения», Journal of Geometry and Physics 23 (1997), 206–234, Ален Конн писал:

«Ответ, который дает нестандартный анализ, а именно нестандартное вещественное число, столь же разочаровывает: каждое нестандартное вещественное число канонически определяет (Лебеговое) неизмеримое подмножество интервала [0, 1], так что это невозможно (Штерн , 1985), чтобы продемонстрировать одно [нестандартное действительное число]. Предлагаемый нами формализм даст существенный и вычислимый ответ на этот вопрос».

В своей статье 1995 года «Некоммутативная геометрия и реальность» Конн развивает исчисление бесконечно малых, основанное на операторах в гильбертовом пространстве. Он переходит к «объяснению, почему формализм нестандартного анализа неадекватен» для его целей. Конн указывает на следующие три аспекта гиперреализма Робинсона:

(1) нестандартная гиперреальность «не может быть продемонстрирована» (причина заключается в ее отношении к неизмеримым множествам);

(2) «практическое использование такого понятия ограничивается вычислениями, в которых окончательный результат не зависит от точного значения указанной выше бесконечно малой величины. Именно так используются нестандартный анализ и ультрапродукты [...]».

(3) гиперреалы коммутативны.

Кац и Кац анализируют критику Конна в отношении нестандартного анализа и оспаривают конкретные утверждения (1) и (2). Что касается (1), собственные бесконечно малые числа Конна аналогичным образом полагаются на неконструктивный основополагающий материал, такой как существование следа Диксмье . Что касается (2), Конн представляет независимость выбора бесконечно малых как особенность своей собственной теории.

Кановей и др. (2012) анализируют утверждение Конна о том, что нестандартные числа «химеричны». Они отмечают, что содержание его критики заключается в том, что ультрафильтры являются «химерическими», и отмечают, что Конн существенно использовал ультрафильтры в своих более ранних работах по функциональному анализу. Они анализируют утверждение Конна о том, что теория гиперреальности просто «виртуальна». Ссылки Конна на работы Роберта Соловея предполагают, что Конн имеет в виду критику гиперреальности за то, что она якобы не поддается определению. Если это так, то утверждение Конна относительно гиперреальности явно неверно, учитывая существование определимой модели гиперреальности, построенной Владимиром Кановеем и Сахароном Шелахом (2004). Кановей и др. (2012) также предоставляют хронологическую таблицу все более язвительных эпитетов, используемых Конном для очернения нестандартного анализа в период с 1995 по 2007 год, начиная с «неадекватного» и «разочаровывающего» и заканчивая «концом пути к «явности»». ".

Кац и Лейхтнам (2013) отмечают, что «две трети критики Конном бесконечно малого подхода Робинсона можно назвать бессвязными, в том смысле, что они не соответствуют тому, что Конн пишет (одобрительно) о своем собственном бесконечно малом подходе».

Высказывания Халмоша

Пол Халмос пишет в «Инвариантных подпространствах», American Mathematical Monthly 85 (1978) 182–183 следующее:

«Распространение на полиномиально компактные операторы было получено Бернштейном и Робинсоном (1966). Они представили свой результат на метаматематическом языке, называемом нестандартным анализом, но, как очень скоро выяснилось, это был вопрос личных предпочтений, а не необходимости. ."

Халмос пишет в (Halmos 1985) следующее (стр. 204):

Доказательство Бернштейна-Робинсона [ гипотезы Халмоша об инвариантном подпространстве ] использует нестандартные модели языков предикатов высшего порядка, и когда [Робинсон] прислал мне свою перепечатку, мне действительно пришлось попотеть, чтобы точно определить и перевести ее математическую суть.

Комментируя «роль нестандартного анализа в математике», Халмош пишет (стр. 204):

Для некоторых других [... математиков], которые против этого (например, Эрретта Бишопа ), это столь же эмоциональный вопрос...

Халмос завершает свое обсуждение нестандартного анализа следующим образом (стр. 204):

это особый инструмент, слишком особенный, и другие инструменты могут делать все, что он делает. Это все дело вкуса.

Кац и Кац (2010) отмечают, что

Стремление Халмоша оценить теорию Робинсона могло быть связано с конфликтом интересов [...] Халмош вложил значительную эмоциональную энергию (и пот , как он незабываемо выразился в своей автобиографии) в свой перевод результата Бернштейна-Робинсона [...] [Х]а резкие и нелестные комментарии, кажется, задним числом оправдывают его переводческую попытку отклонить влияние одного из первых впечатляющих применений теории Робинсона.

Комментарии Боса и Медведева

Историк Лейбница Хенк Бос (1974) признал, что гиперреальность Робинсона обеспечивает

[а] предварительное объяснение того, почему исчисление могло развиваться на ненадежной основе принятия бесконечно малых и бесконечно больших величин.

Ф. Медведев (1998) далее указывает, что

[н]онстандартный анализ позволяет ответить на деликатный вопрос, связанный с более ранними подходами к истории классического анализа. Если бесконечно малые и бесконечно большие величины рассматриваются как противоречивые понятия, то как они могли [послужить] основой для построения столь [великолепного] здания одной из важнейших математических дисциплин?

См. также

• Конструктивный нестандартный анализ
• Влияние нестандартного анализа

Ссылки

• Альбеверио, С.; Гвидо, Д.; Поносов А.; Скарлатти, С. (1996). «Особые следы и компактные операторы» . Дж. Функц. Анал . 137 (2): 281–302. дои : 10.1006/jfan.1996.0047 . S2CID   55846784 .
• Артиг, Мишель (1994), Анализ , Продвинутое математическое мышление (под ред. Дэвида О. Талла ), Springer-Verlag, стр. 172, ИСБН  0-7923-2812-4
• Бишоп, Эрретт (1975), «Кризис современной математики», Historia Math. , 2 (4): 507–517, дои : 10.1016/0315-0860(75)90113-5
• Бишоп, Эрретт (1977), «Обзор: Х. Джером Кейслер, Элементарное исчисление» , Bull. амер. Математика. Соц. , 83 : 205–208, doi : 10.1090/s0002-9904-1977-14264-x
• Бишоп, Э. (1983). «Шизофрения в современной математике». Написано в Сан-Диего, Калифорния. Эрретт Бишоп: размышления о нем и его исследованиях . Созерцание Математика. Том. 39. Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц. (опубликовано в 1985 г.). стр. 1–32.
• Бос, Хенк Дж. М. (1974), «Дифференциалы, дифференциалы высшего порядка и производная в исчислении Лейбница», Архив истории точных наук , 14 : 1–90, doi : 10.1007/BF00327456 , S2CID   120779114
• Чихара, К. (2007). «Критика номиналистических реконструкций Бёрджесса-Розена». Филос. Математика . 15 (1): 54–78. дои : 10.1093/philmat/nkl023 .
• Конн, А. (1997). «Спонтанное нарушение симметрии и геометрия со спектральной точки зрения» (PDF) . Журнал геометрии и физики . 23 (3–4): 206–234. Бибкод : 1997JGP....23..206C . дои : 10.1016/s0393-0440(97)80001-0 .
• Конн, А. (1995). «Некоммутативная геометрия и реальность» (PDF) . Дж. Математика. Физ . 36 (11): 6194–6231. Бибкод : 1995JMP....36.6194C . дои : 10.1063/1.531241 .
• Добен, Дж. (1988). «Авраам Робинсон и нестандартный анализ: история, философия и основы математики» (PDF) . В Эспрее, Уильям; Китчер, Филип (ред.). История и философия современной математики . Миннесотский стад. Филос. наук. Том. XI. Миннеаполис, Миннесота: Univ. Миннесота Пресс. стр. 177–200.
• Добен, Дж. (1992). Написано в Эссене. «Аргументы, логика и доказательство: математика, логика и бесконечное. История математики и образования: идеи и опыт». Стад. Висс. Соз. Бильдунгсгеш. Математика . 11 . Геттинген: Vandenhoeck & Ruprecht (опубликовано в 1996 г.): 113–148.
• Дэвис, Мартин (1977), «Обзор: Дж. Дональд Монк, Математическая логика» , Bull. амер. Математика. Соц. , 83 : 1007–1011, doi : 10.1090/S0002-9904-1977-14357-7
• Дэвис, М.; Хауснер, М. (1978). «Рецензия на книгу. Радость бесконечно малых. Элементарное исчисление Дж. Кейслера». Математический интеллект . 1 : 168–170. дои : 10.1007/BF03023265 . S2CID   121679411 .
• Феферман, Соломон (2000), «Отношения между конструктивными, предикативными и классическими системами анализа», Synthese Library , 125 (292), Kluwer Academic Publishers Group: 317–332, doi : 10.1023/A:1005223128130 , S2CID   46283088 ; онлайн PDF .
• Гордон, Э.И.; Кусраев, А.Г. (2002). Кутателадзе С. С. Инфинитезимальный анализ . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN  978-1-4020-0738-5 . .
• Халмос, Пол Р. (1985). Я хочу быть математиком: Автоматография . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-96078-3 .
• Хеллман, Джеффри (1993). «Конструктивная математика и квантовая механика: неограниченные операторы и спектральная теорема». Журнал философской логики . 12 (3): 221–248. дои : 10.1007/BF01049303 . S2CID   8676552 .
• Кановей, Владимир ; Кац Михаил Георгиевич ; Морманн, Томас (2012), «Инструменты, объекты и химеры: Конн о роли гиперреальности в математике», Foundations of Science , 18 (2): 259–296, arXiv : 1211.0244 , Bibcode : 2012arXiv1211.0244K , doi : 10.1007/s10699-012-9316-5 , S2CID   7631073
• Кановей, Владимир; Шела, Сахарон (2004). «Определимая нестандартная модель реальности». Журнал символической логики . 69 (1): 159–164. arXiv : math/0311165 . дои : 10.2178/jsl/1080938834 . S2CID   15104702 .
• Кац, Карин; Кац, Михаил (2010). «Когда 0,999... меньше 1?» . Энтузиаст математики из Монтаны . 7 (1): 3–30. дои : 10.54870/1551-3440.1381 . S2CID   11544878 . Архивировано из оригинала 20 июля 2011 г.
• Кац, Карин Усади; Кац, Михаил Г. (2011), «Смысл в классической математике: противоречит ли он интуиционизму?», Intellectica , 56 (2): 223–302, arXiv : 1110.5456 , Bibcode : 2011arXiv1110.5456U
• Кац Михаил Георгиевич ; Лейхтнам, Эрик (2013), «Коммутирующие и некоммутирующие бесконечно малые числа», American Mathematical Monthly , 120 (7): 631–641, arXiv : 1304.0583 , Bibcode : 2013arXiv1304.0583K , doi : 10.4169/amer.math.monthly.120.0 7,631 , S2CID   35391617
• Кейслер, Х. Джером (1977). «Письмо в редакцию». Замечания амер. Математика. Соц . 24 : 269.
• Комков, Вадим (1977). «Письмо в редакцию». Замечания амер. Математика. Соц . 24 (5): 269–271.
• Медведев Ф.А. (1998). «Нестандартный анализ и история классического анализа. Перевод Эйба Шенитцера». амер. Математика. Ежемесячно . 105 (7): 659–664. дои : 10.2307/2589253 . JSTOR   2589253 .
• Столценберг, Габриэль (1978). «Письма в редакцию» (PDF) . Замечания амер. Математика. Соц . 25 (4): 242.
• Стюарт, Ян (1986). «Возвращение к лягушке и мышке». Математический интеллект : 78–82.
• Салливан, Кэтлин (1976), «Преподавание элементарного исчисления с использованием подхода нестандартного анализа», The American Mathematical Monthly , 83 (5): 370–375, doi : 10.2307/2318657 , JSTOR   2318657
• Талл, Дэвид (1980), Интуитивные бесконечно малые в исчислении (плакат) (PDF) , Четвертый Международный конгресс по математическому образованию, Беркли
• Талл, Дэвид (2001), «Естественные и формальные бесконечности», Образовательные исследования по математике , 48 (2–3), Springer Нидерланды

Внешние ссылки

• Онлайн-версия « Элементарного исчисления: бесконечно малый подход»
• С. Кутателадзе «Обучение математическому анализу»