Дзета-функция Гурвица

В математике дзета- функция Гурвица является одной из многих дзета-функций . Формально он определяется для комплексных переменных s с Re( s ) > 1 и a ≠ 0, −1, −2, … формулой

$\zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)^{s}}}.$

Этот ряд абсолютно сходится при заданных значениях s и a и может быть продолжен до мероморфной функции, определенной для всех s ≠ 1 . Дзета- функция Римана равна ζ( s ,1) . Дзета-функция Гурвица названа в честь Адольфа Гурвица , который ввел ее в 1882 году.

Дзета-функция Гурвица, соответствующая a = 1/3 . Он генерируется как график Matplotlib с использованием версии метода раскраски домена .

Дзета-функция Гурвица, соответствующая a = 24/25 .

Дзета-функция Гурвица как функция a с s = 3 + 4 i .

Интегральное представление

Дзета-функция Гурвица имеет интегральное представление

$\zeta (s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-ax}}{1-e^{-x}}}dx$

для $\operatorname {Re} (s)>1$ и $\operatorname {Re} (a)>0.$ (Этот интеграл можно рассматривать как преобразование Меллина .) Формулу можно получить, грубо говоря, записав

$\zeta (s,a)\Gamma (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)^{s}}}\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-x}{\frac {dx}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }y^{s}e^{-(n+a)y}{\frac {dy}{y}}$

а затем поменять местами сумму и интеграл.

Интегральное представление, приведенное выше, можно преобразовать в контурное интегральное представление.

$\zeta (s,a)=-\Gamma (1-s){\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {(-z)^{s-1}e^{-az}}{1-e^{-z}}}dz$

где $C$ представляет собой контур Ганкеля против часовой стрелки вокруг положительной действительной оси, а главная ветвь используется для комплексного возведения в степень $(-z)^{s-1}$. интеграл действителен для всех s и действительно является целой функцией s В отличие от предыдущего интеграла, этот .

Контурное интегральное представление обеспечивает продолжение аналитическое $\zeta (s,a)$ всем $s\neq 1$. В $s=1$, он имеет простой полюс с вычетом $1$.

Формула Гурвица

Дзета-функция Гурвица удовлетворяет тождеству, которое обобщает функциональное уравнение дзета-функции Римана :

$\zeta (1-s,a)={\frac {\Gamma (s)}{(2\pi )^{s}}}\left(e^{-\pi is/2}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{2\pi ina}}{n^{s}}}+e^{\pi is/2}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{-2\pi ina}}{n^{s}}}\right),$

справедливо для Re( s ) > 1 и 0 < a ≤ 1. Дзета-функциональное уравнение Римана представляет собой частный случай a = 1:

$\zeta (1-s)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi )^{s}}}\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\zeta (s)$

Формулу Гурвица можно также выразить как

$\zeta (s,a)={\frac {2\Gamma (1-s)}{(2\pi )^{1-s}}}\left(\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(2\pi na)}{n^{1-s}}}+\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi na)}{n^{1-s}}}\right)$

(для Re( s ) < 0 и 0 < a ≤ 1).

Формула Гурвица имеет множество различных доказательств. Одно доказательство использует представление контурного интегрирования вместе с теоремой о вычетах . Второе доказательство использует тождество тэта-функции или, что то же самое, суммирование Пуассона . Эти доказательства аналогичны двум доказательствам функционального уравнения для дзета-функции Римана в статье Римана 1859 года . Другое доказательство формулы Гурвица использует суммирование Эйлера – Маклорена для выражения дзета-функции Гурвица в виде интеграла.

$\zeta (s,a)=s\int _{-a}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor -x+{\frac {1}{2}}}{(x+a)^{s+1}}}dx$

(−1 < Re( s ) < 0 и 0 < a ≤ 1), а затем разложив числитель в ряд Фурье .

Функциональное уравнение для рационального a

Когда a — рациональное число, формула Гурвица приводит к следующему функциональному уравнению : Для целых чисел $1\leq m\leq n$,

$\zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{k=1}^{n}\left[\cos \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)\right]$

справедливо для всех значений s .

Это функциональное уравнение можно записать в другой эквивалентной форме:

$\zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{k=1}^{n}\left[e^{\frac {\pi is}{2}}e^{-{\frac {2\pi ikm}{n}}}\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)+e^{-{\frac {\pi is}{2}}}e^{\frac {2\pi ikm}{n}}\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)\right]$.

Некоторые конечные суммы

С функциональным уравнением тесно связаны следующие конечные суммы, некоторые из которых можно вычислить в замкнутой форме:

$\sum _{r=1}^{m-1}\zeta \left(s,{\frac {r}{m}}\right)\cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}={\frac {m\Gamma (1-s)}{(2\pi m)^{1-s}}}\sin {\frac {\pi s}{2}}\cdot \left\{\zeta \left(1-s,{\frac {k}{m}}\right)+\zeta \left(1-s,1-{\frac {k}{m}}\right)\right\}-\zeta (s)$

$\sum _{r=1}^{m-1}\zeta \left(s,{\frac {r}{m}}\right)\sin {\dfrac {2\pi rk}{m}}={\frac {m\Gamma (1-s)}{(2\pi m)^{1-s}}}\cos {\frac {\pi s}{2}}\cdot \left\{\zeta \left(1-s,{\frac {k}{m}}\right)-\zeta \left(1-s,1-{\frac {k}{m}}\right)\right\}$

$\sum _{r=1}^{m-1}\zeta ^{2}\left(s,{\frac {r}{m}}\right)={\big (}m^{2s-1}-1{\big )}\zeta ^{2}(s)+{\frac {2m\Gamma ^{2}(1-s)}{(2\pi m)^{2-2s}}}\sum _{l=1}^{m-1}\left\{\zeta \left(1-s,{\frac {l}{m}}\right)-\cos \pi s\cdot \zeta \left(1-s,1-{\frac {l}{m}}\right)\right\}\zeta \left(1-s,{\frac {l}{m}}\right)$

где m – целое положительное число, большее 2, а s – комплексное, см., например, Приложение B.

Представление серии

Представление сходящегося ряда Ньютона, определенное для (действительного) a > 0 и любого комплекса s ≠ 1, было дано Гельмутом Хассе в 1930 году:

$\zeta (s,a)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(a+k)^{1-s}.$

Этот ряд сходится равномерно на компактных подмножествах - плоскости s к целой функции . Под внутренней суммой можно понимать n -ю прямую разность $a^{1-s}$; то есть,

$\Delta ^{n}a^{1-s}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(a+k)^{1-s}$

где ∆ — оператор прямой разности . Таким образом, можно написать:

${\begin{aligned}\zeta (s,a)&={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\Delta ^{n}a^{1-s}\\&={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }a^{1-s}\end{aligned}}$

Серия Тейлора

Частная производная дзета во втором аргументе представляет собой сдвиг :

${\frac {\partial }{\partial a}}\zeta (s,a)=-s\zeta (s+1,a).$

Таким образом, ряд Тейлора можно записать как:

$\zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x).$

Альтернативно,

$\zeta (s,q)={\frac {1}{q^{s}}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-q)^{n}{s+n-1 \choose n}\zeta (s+n),$

с $|q|<1$.

Тесно связана формула Штарка – Кейпера :

$\zeta (s,N)=\sum _{k=0}^{\infty }\left[N+{\frac {s-1}{k+1}}\right]{s+k-1 \choose s-1}(-1)^{k}\zeta (s+k,N)$

что справедливо для целого N и произвольного s . См. также формулу Фаульхабера для аналогичного соотношения для конечных сумм степеней целых чисел.

Лоран серии

Разложение в ряд Лорана можно использовать для определения обобщенных констант Стилтьеса , входящих в ряд

$\zeta (s,a)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(a)(s-1)^{n}.$

В частности, постоянный член определяется выражением

$\lim _{s\to 1}\left[\zeta (s,a)-{\frac {1}{s-1}}\right]={\frac {-\Gamma '(a)}{\Gamma (a)}}=-\psi (a)$

где $\Gamma$ и функция гамма - $\psi =\Gamma '/\Gamma$ это дигамма-функция . В качестве частного случая $\gamma _{0}(1)=-\psi (1)=\gamma _{0}=\gamma$.

Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье дзета-функции Гурвица относительно порядка s представляет собой хи-функцию Лежандра .

Особые ценности

Отрицательные целые числа

Значения ζ ( s , a ) при s = 0, −1, −2, ... связаны с полиномами Бернулли :

$\zeta (-n,a)=-{\frac {B_{n+1}(a)}{n+1}}.$

Например, $n=0$ случай дает

$\zeta (0,a)={\frac {1}{2}}-a.$

s- производная

Частная производная по s при s = 0 связана с гамма-функцией:

$\left.{\frac {\partial }{\partial s}}\zeta (s,a)\right|_{s=0}=\log \Gamma (a)-{\frac {1}{2}}\log(2\pi )$

В частности, ${\textstyle \zeta '(0)=-{\frac {1}{2}}\log(2\pi ).}$ Формула принадлежит Лерху .

Связь с тета-функцией Якоби

Если $\vartheta (z,\tau )$ Якоби – тэта-функция , тогда

$\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]$

держится за $\Re s>0$ и z комплексное, но не целое число. Для z = n целое число это упрощается до

$\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s).$

где ζ здесь – дзета-функция Римана . Обратите внимание, что эта последняя форма представляет собой функциональное уравнение для дзета-функции Римана, первоначально заданное Риманом. Различие, основанное на том, что z является целым числом или нет, объясняет тот факт, что тета-функция Якоби сходится к периодической дельта-функции или гребенке Дирака по z как $t\rightarrow 0$.

Связь с L -функциями Дирихле.

При рациональных аргументах дзета-функция Гурвица может быть выражена как линейная комбинация L-функций Дирихле и наоборот: дзета-функция Гурвица совпадает с дзета-функцией Римана ζ( s ) при a = 1, при a = 1/2 она равна до (2 ^с −1)г( с ), и если a = n / k с k > 2, ( n , k ) > 1 и 0 < n < k , то

$\zeta (s,n/k)={\frac {k^{s}}{\varphi (k)}}\sum _{\chi }{\overline {\chi }}(n)L(s,\chi ),$

сумма, пробегающая все символы Дирихле по модулю k . В противоположном направлении имеем линейную комбинацию

$L(s,\chi )={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{n=1}^{k}\chi (n)\;\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right).$

Еще есть теорема умножения

$k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right),$

полезным обобщением которого является соотношение распределения

$\sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa).$

(Эта последняя форма действительна, когда q — натуральное число, а 1 − qa — нет.)

Нули

Если a = 1, дзета-функция Гурвица сводится к самой дзета-функции Римана ; если a = 1/2, оно сводится к дзета-функции Римана, умноженной на простую функцию комплексного аргумента s ( см. выше ), что в каждом случае приводит к трудному изучению нулей дзета-функции Римана. В частности, не будет нулей с вещественной частью, большей или равной 1. Однако если 0< a <1 и a ≠1/2, то нули дзета-функции Гурвица есть в полосе 1<Re( s ) <1+ε для любого положительного действительного числа ε. Это было доказано Давенпортом и Хейльбронном для рационального или трансцендентального иррационального а . и Касселсом для алгебраического иррационального a .

Рациональные ценности

Дзета-функция Гурвица встречается в ряде ярких тождеств при рациональных значениях. В частности, значения в терминах полиномов Эйлера $E_{n}(x)$:

$E_{2n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n-1)!}{(2\pi q)^{2n}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\cos {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}$

и

$E_{2n}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n)!}{(2\pi q)^{2n+1}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n+1,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\sin {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}$

У одного также есть

$\zeta \left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)=2(2q)^{s-1}\sum _{k=1}^{q}\left[C_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\cos \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)+S_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\sin \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)\right]$

что справедливо для $1\leq p\leq q$. Здесь $C_{\nu }(x)$ и $S_{\nu }(x)$ определяются с помощью функции Лежандра хи $\chi _{\nu }$ как

$C_{\nu }(x)=\operatorname {Re} \,\chi _{\nu }(e^{ix})$

и

$S_{\nu }(x)=\operatorname {Im} \,\chi _{\nu }(e^{ix}).$

Для целых значений ν они могут быть выражены через полиномы Эйлера. Эти соотношения можно получить, используя функциональное уравнение вместе с формулой Гурвица, приведенной выше.

Приложения

Дзета-функция Гурвица встречается в различных дисциплинах. Чаще всего это происходит в теории чисел , где ее теория является наиболее глубокой и развитой. Однако это также происходит при изучении фракталов и динамических систем . В прикладной статистике это встречается в законе Ципфа и законе Ципфа-Мандельброта . В физике элементарных частиц это встречается в формуле Джулиана Швингера : давая точный результат для скорости рождения пар электрона Дирака в однородном электрическом поле.

Особые случаи и обобщения

Дзета-функция Гурвица с целым положительным числом m связана с полигамма-функцией :

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)\ .$

Дзета- функция Барнса обобщает дзета-функцию Гурвица.

обобщает Трансцендент Лерха дзету Гурвица:

$\Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}$

и таким образом

$\zeta (s,a)=\Phi (1,s,a).\,$

Гипергеометрическая функция

$\zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}F_{s}(1,a_{1},a_{2},\ldots a_{s};a_{1}+1,a_{2}+1,\ldots a_{s}+1;1)$ где $a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{s}=a{\text{ and }}a\notin \mathbb {N} {\text{ and }}s\in \mathbb {N} ^{+}.$

G-функция Мейера

$\zeta (s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1\;\left|\;{\begin{matrix}0,1-a,\ldots ,1-a\\0,-a,\ldots ,-a\end{matrix}}\right)\right.\qquad \qquad s\in \mathbb {N} ^{+}.$

Ссылки

• Апостол, ТМ (2010), «Дзета-функция Гурвица» , в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• См. главу 12 Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3 , МР   0434929 , Збл   0335.10001
• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стеган, Справочник по математическим функциям , (1964) Dover Publications, Нью-Йорк. ISBN   0-486-61272-4 . (См. параграф 6.4.10 относительно связи с полигамма-функцией.)
• Давенпорт, Гарольд (1967). Мультипликативная теория чисел . Лекции по высшей математике. Том. 1. Чикаго: Маркхэм. Збл   0159.06303 .
• Миллер, Джефф; Адамчик, Виктор С. (1998). «Производные дзета-функции Гурвица для рациональных аргументов» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 100 (2): 201–206. дои : 10.1016/S0377-0427(98)00193-9 .
• Мезё, Иштван; Дил, Айхан (2010). «Гипергармонический ряд с участием дзета-функции Гурвица». Журнал теории чисел . 130 (2): 360–369. дои : 10.1016/j.jnt.2009.08.005 . HDL : 2437/90539 .
• Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж. Н. (1927). Курс современного анализа (4-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета .

Внешние ссылки

• Джонатан Сондоу и Эрик В. Вайсштейн. «Дзета-функция Гурвица» . Математический мир .