Кубики Рубика разного размера.

Оригинальный кубик Рубика представлял собой механическую головоломку размером 3×3×3, изобретенную в 1974 году венгерским скульптором и профессором архитектуры Эрне Рубиком . Расширения кубика Рубика существуют уже давно и выпускаются как в аппаратной, так и в программной форме. Основным расширением стала доступность кубов большего размера и более сложных кубов с отмеченными центрами. Свойства кубиков семейства Рубика любого размера вместе с особым вниманием к программным кубикам являются основной темой этой статьи. Многие свойства носят математический характер и являются функциями переменной размера куба.

Определения

В основном используемая здесь терминология соответствует общепринятой. В других местах некоторые термины используются в разных значениях. Во избежание недоразумений значения большинства терминов, используемых в этой статье, определены ниже.

Размер куба	Стандартный кубик Рубика часто называют кубиком 3х3х3. Этот куб будет называться кубом размера 3 и вообще $n\times n\times n$ куб будет называться размером $n$ куб.
Семейство кубиков Рубика	Кубики, которые имеют свойства вращения, аналогичные стандартному кубику Рубика размера 3, и подчиняются обобщенным правилам для размера. $n$ кубики считаются членами семейства кубиков Рубика. Доступны кубики размером 2 и выше, соответствующие этому условию.
Куби	Отдельные элементы куба будут называться кубами (другие иногда называют их «кулетами»). Существует три типа кубиков: угловые кубики (три цветные поверхности), краевые кубики (две цветные поверхности) и центральные кубики (одна цветная поверхность). Кубы абсолютного центра для кубов нечетного размера расположены на центральных осях шести граней, и их относительные положения никогда не меняются.
Кабинка	Кабина — это отсек, в котором находится куб. При перестановке (определенной ниже) считается, что ячейки занимают фиксированные позиции в пространстве, занимаемом объектом-кубом, но их содержимое (кубы) может смещать положение.
Фейслет	Грань — это видимая цветная поверхность куба (угловые кубики имеют три грани, краевые — две, а центральные — одну).
Кубический стиль	Здесь упоминаются два стиля куба: во-первых, стандартный куб с неотмеченными центрами и, во-вторых, куб с отмеченными центрами.
Состояние куба	Определенное расположение кубов будет называться состоянием куба. То, что выглядит одинаково, считается одинаковым (если не указано иное). Каждое состояние имеет равную вероятность возникновения после настоящей случайной последовательности скремблирования. Вращение всего куба не меняет рассматриваемое здесь состояние. В других текстах различные состояния часто называют перестановками или упорядочениями.
Слой куба	Слой куба — это срез куба толщиной в один куб, перпендикулярный его оси вращения. Внешние слои (грани) содержат больше кубов, чем внутренние слои. Для куба размером $n$, будет $n$ слоев вдоль любой заданной оси.
Лицо куба	Значение грани куба зависит от контекста, в котором он используется. Обычно это означает один из шести трехмерных внешних слоев, но может также относиться только к поверхности внешнего слоя, которая перпендикулярна его оси вращения. Грани обычно обозначаются как верхняя (U), нижняя (D), передняя (F), задняя (B), левая (L) и правая (R).
Установить состояние	Установленное (или решенное) состояние куба — это состояние, при котором на каждой из шести граней появляется однородный цвет. Для кубов с отмеченными центрами установленное состояние характеризуется уникальным расположением всех центральных кубов, и маркировка этих кубов должна отражать это.
Зашифрованное состояние	Зашифрованное состояние является отправной точкой для дескремблирования куба. Оно возникает, когда куб в наборе или любом другом состоянии подвергается большому количеству случайно выбранных вращений слоев.
«Неподвижные в пространстве» оси вращения	имеет три взаимно перпендикулярные оси Куб вращения. Можно считать, что один набор осей, определенный в терминах D, U, B, F, L и R, имеет фиксированную ориентацию в пространстве. Думайте об этих осях как о принадлежащих контейнеру в форме куба, в котором объект-куб может располагаться в любой из 24 ориентаций. Через центры граней D и U можно провести одну ось (ось DU). Остальные — оси BF и LR.
Оси вращения «Объект-куба»	Другой набор осей можно определить для самого объекта куба. Эти оси относятся к цветам лица, наиболее распространенными из которых являются белый, красный, оранжевый, желтый, зеленый и синий. Оси обычно желто-белые, красно-оранжевые и сине-зеленые. Для кубов нечетного размера эти оси всегда фиксированы относительно внутренней рамки объекта-куба. Для кубов четного размера эти оси остаются фиксированными относительно внутренней рамки объекта-куба после первоначального выбора. Началом осей является центр объекта-куба.
Вращение слоев	Единственный способ изменить состояние куба — это вращение слоев куба вокруг их осей вращения. Все изменения состояния включают этапы вращения, которые можно рассматривать как последовательность четвертьвитков одного слоя.
Орбита	Для базового четвертьоборота слоя кубов для кубов всех размеров наборы из четырех кубов движутся по отдельным траекториям из четырех кубов. Когда все возможные траектории для данного типа куба рассматриваются для всего куба, мы будем называть все возможные позиции движения находящимися на данной орбите. Мы считаем, что куб размера 3 имеет две орбиты: одну, на которой вынуждены двигаться восемь угловых кубиков, и другую, на которой вынуждены двигаться 12 реберных кубиков. Перенос кубов между этими орбитами невозможен. Для кубов размером 4 и выше мы также определим орбиту реберного куба как содержащую 12 кубов, но будем использовать термин «дополнительная орбита» для описания пары орбит, между которыми могут перемещаться реберные кубы. Пара дополнительных реберных кубических орбит содержит в общей сложности 24 куба. Кубы размером 4 и выше включают центральные кубические орбиты, содержащие 24 куба. Перенос кубов между одной такой орбитой и другой невозможен (касается кубов размером 5 и выше).
Двигаться	Ход — это поворот слоя на четверть оборота или последовательность таких четвертей оборотов, которые человек применил бы как один шаг.
Переместить обозначение	Четверть оборота внешнего слоя по часовой стрелке обычно обозначается как U, D, F, B, L или R. В остальном используемые обозначения различаются у разных авторов. Например, поворот внешнего слоя на четверть оборота против часовой стрелки может быть выражен как U', D', F', B', L' или R'.
Алгоритм	Алгоритм определяет последовательность вращений слоев для преобразования данного состояния в другое (обычно менее зашифрованное) состояние. Обычно алгоритм выражается в виде печатной последовательности символов в соответствии с некоторыми обозначениями хода. Алгоритм можно считать «умным» ходом. Все алгоритмы являются ходами, но лишь немногие ходы считаются алгоритмами.
перестановка	Перестановка куба, используемая здесь, означает действие перестановки (т.е. перестановки) положений кубиков. Перестановка — это всеобъемлющий термин, который включает в себя последовательность четвертей оборота любой длины. Даже решение куба из зашифрованного состояния представляет собой перестановку. Термин «перестановка» широко используется математиками, которые используют теорию групп для количественной оценки процесса, связанного с перестановкой кубов. Термин «перестановка» также часто используется для обозначения состояния куба, которое получается после его перестановки, но это значение здесь не будет использоваться. В таких случаях будет использоваться термин «состояние куба». Это позволяет использовать термин «перестановка», когда перестановка не приводит к изменению состояния - область особого интереса для перестановок кубиков семейства Рубика.
Паритет	Перестановку куба можно представить множеством перестановок двух кубов. Если это число четное, перестановка имеет четность, а если число нечетное, перестановка имеет нечетную четность.

Типы кубов

Аппаратные кубики

Аппаратные (физические) кубики основаны на оригинальном кубике размера 3, изобретенном Эрно Рубиком в 1974 году. На гранях этих кубиков обычно используются цветные наклейки для идентификации кубиков. Стандартный кубик Рубика размера 3 приобрел пик интереса в 1980-х годах, за ним последовал кубик размера 4 («Месть Рубика»). Другие аппаратные формы куба, обычно доступные совсем недавно, бывают размера 2 (Pocket Cube), размера 5 (Professor's Cube), размера 6 (V-Cube 6) и размера 7 (V-Cube 7). Также производятся менее известные аппаратные кубики большего размера. В настоящее время самый большой аппаратный куб имеет размер 34, а самый крупный серийно выпускаемый - размер 21.

Программные кубы

Параллельно с аппаратной формой куба доступно множество программных форм, подчиняющихся тем же правилам, что и аппаратные формы. кубов На программные эмуляторы не распространяются физические ограничения, налагающие ограничения на размер аппаратных форм. Следовательно, единственные действительно большие кубы доступны в виде программного обеспечения. Кроме того, в отличие от аппаратных форм, одна программа может легко обрабатывать различные размеры кубов. Конструктивные характеристики программ, которые позволяют пользователям расшифровывать кубы, значительно различаются, при этом часто доступны такие функции, как возможность позволить пользователю сохранять частично расшифрованное состояние.

Программные кубы использовались в 1980-х годах, когда широко использовались монохромные мониторы. Отсутствие цвета означало, что требовался другой способ идентификации лица. Программа , которая сохранила возможности монохромного изображения 1980-х годов (с использованием цифр от 1 до 6 для обозначения граней) для кубов размером от 2 до 11, была выпущена в 1991 году (вместе с возможностью цвета в диапазоне размеров от 2 до 15). В недавно разработанных программных кубах используются цветные грани, как и в аппаратных кубах.

Самый распространенный, но ни в коем случае не универсальный подход заключается в эмуляции куба путем обеспечения «трехмерного» отображения куба, что делает его похожим на настоящий аппаратный куб. Недостатком «трехмерного» отображения является то, что без каких-либо дополнительных улучшений состояние частей куба для любого заданного представления скрыто.

Некоторые программисты также используют другие подходы к интерактивному программному обеспечению, которые не имитируют трехмерный куб. Как правило, цель таких подходов состоит в том, чтобы позволить постоянно видеть состояние всех кубов, но имеет тот недостаток (для некоторых зрителей), что отображение не похоже на реальный куб. Одним из подходов является обычное двумерное (развернутое) отображение, при котором все элементы куба имеют одинаковый размер. Также используется другая форма отображения, при которой все элементы куба не имеют одинакового размера. Верхний предел размера куба для программных кубов ограничен доступными пикселями монитора и тем, что зрители считают приемлемым, что, в свою очередь, зависит от их остроты зрения. Для кубов большого размера может оказаться полезным разрешить прокручивать часть куба вне поля зрения.

Все эмуляторы предоставляют пользователю возможность шаг за шагом изменять состояние куба и расшифровывать куб. Большинство эмуляторов используют движения мыши для управления вращением элементов куба, другие используют команды клавиатуры, а некоторые используют комбинацию того и другого. Некоторые из них также включают в себя функцию, позволяющую компьютеру автоматически находить самые быстрые серии движений для решения виртуального куба и выполнять их.

Программные кубы предоставляют некоторые важные возможности, недоступные аппаратным кубам. Мгновенный возврат в заданное состояние доступен всегда. Если программа позволяет сохранять частично расшифрованное состояние, то, регулярно обновляя сохраненное состояние, пользователи не должны отчаиваться, если они делают что-то, что оставляет их куб в беспорядке. Они могут вернуться в ранее записанное состояние и продолжить оттуда. Чем больше куб, тем полезнее становится такая возможность.

некоторые бесплатные реализации больших кубов (размером более 10) Доступны .

Варианты конструкции куба

Хотя существует несколько вариантов, здесь будут рассмотрены только два:

• Стандартные кубики с немаркированными центрами.
• Кубики с отмеченными центрами.

Стандартные кубики с немаркированными центрами

Двухслойный куб (размер 2) имеет только угловые кубики.

Кубы размера 2 и 3 имеют одно решение, а это означает, что все элементы куба могут иметь только одно правильное расположение для решенного куба.

Центральные кубики отличаются от угловых и краевых кубиков тем, что их ориентация или положение имеют множество возможностей. Для кубов нечетного размера будет центральный куб, расположенный в центре грани куба, и этот куб имеет только одно правильное местоположение для решенного куба. Однако для решенного куба применимо несколько местоположений всех других центральных кубиков. Центральные кубики (кроме единственного центрального для кубов нечетного размера) образуют наборы из четырех на каждой грани и наборы из 24 для всего куба для различных орбит. Эти центральные кубики имеют четыре возможных конечных положения (их ориентация меняется в зависимости от положения, но не может быть изменена независимо), которые удовлетворяют решенному состоянию.

Кубики с отмеченными центрами

Обычно аппаратные кубы с отмеченными центрами используют изображения или логотипы на гранях, чтобы указать, какая ориентация центрального куба(ов) требуется для решенного куба. Такие кубы также называют «суперкубами», и применение маркировки этого типа обычно ограничивается кубиками очень маленького размера.

Решение куба с отмеченными центрами значительно сложнее, чем решение стандартных кубов. Использование разметки изображениями в виде лобзика на кубиках большого размера еще больше усложнило бы сложную задачу. В настоящее время в программных кубах используются две возможности: использование числового изображения в диапазоне от «1» до «4» и использование изображения угловой маркировки.

Существует прямое соответствие между числовой и угловой маркировкой. Маркировка квадранта в верхнем левом углу эквивалентна числовой маркировке 1, второго квадранта — 2, третьего квадранта — 3 и четвертого квадранта — 4. На следующем изображении показаны эти различные формы маркировки.

Поскольку перенос кубов между орбитами невозможен, для каждой орбиты можно использовать одну и ту же маркировку 1-2-3-4. За исключением абсолютных центральных кубов для кубов нечетного размера, на каждой орбите имеется 24 центральных куба (по 4 на каждую грань). Если $n$ размер куба, будет ${\frac {\left(n-2\right)^{2}-a}{4}}$ орбиты, где $a$ равен нулю, если $n$ четный или $a$ один, если $n$ странно.

Цифровая маркировка обычно применима для кубов размером примерно до 32. Угловая маркировка, хотя и менее удобна для пользователя, может позволить расширить диапазон отмеченных центров за пределы предела числовой маркировки.

За исключением маркировки абсолютного центра кубов нечетного размера, цифровая маркировка будет лучшим средством маркировки центрального куба для аппаратных кубов, поскольку диапазон их размеров ограничен. Ротация чисел будет означать небольшое неудобство по сравнению с невращающимися числами, которые можно использовать для программных кубов. Большим преимуществом чисел является то, что они уменьшают сложность решения последней грани куба, когда используются разметки (например, если последовательность из четырех чисел равна 1-3-4-2 (четная четность требует двух перестановок, чтобы стать требуется 1-2-3-4), тогда требования алгоритма ясны. Алгоритмы определены в разделе 1-2-3-4). и, конечно, в равной степени применимы и к аппаратным кубам.

Правила сборки кубиков Рубика

Куб является разрешимым, если заданное состояние существовало какое-то время в прошлом и если не произошло никакого вмешательства в куб (например, путем перестановки наклеек на аппаратных кубах или выполнения эквивалентных действий на программных кубах). Правила изготовления кубика Рубика 3 стандартного размера и для всего семейства кубиков Рубика были задокументированы. Эти правила ограничивают возможные расположения и означают, что из возможных неограниченных расположений кубов число недостижимых намного превышает количество достижимых.

Кубы всех размеров имеют три взаимно перпендикулярные оси, вокруг которых можно вращать один или несколько слоев. Все перемещения куба можно рассматривать как последовательность поворотов на четверть оборота вокруг этих осей. Возможности движения порождают набор правил (или законов), которые в большинстве случаев могут быть выражены в аналитических терминах.

Для куба размером $n$:

Количество угловых кубиков	$8$
Количество реберных кубов	$12\left(n-2\right)$
Количество центральных кубиков	$6\left(n-2\right)^{2}$
Количество граней	$6n^{2}$
Общее количество кубиков	$6\left(n-1\right)^{2}+2$
Увеличение общего количества кубов за единицу увеличения размера куба от $n$ к $\left(n+1\right)$	$12n-6$

Каждое перемещение куба можно рассматривать как перестановку. Связь между состоянием куба после перемещения и состоянием до перемещения может быть выражена математически с помощью теории групп. количественно оценить перестановки. Поскольку каждое движение можно рассматривать как последовательность поворотов на четверть оборота, уместно изучить, что включает в себя поворот на четверть оборота. За исключением абсолютного центрального куба для кубиков нечетного размера, во время четверти оборота кубики движутся по отдельным траекториям из четырех ячеек (также называемым движением с 4 циклами, поскольку четыре четверти оборота вернут кубики на указанной траектории в исходные положения). ). Четверть оборота набора из 4 кубиков можно представить тремя заменами, как указано ниже, где замена 1-2 означает, что содержимое ячейки 1 меняется местами с содержимым ячейки 2 и т. д.

Начинать

1/А	2/Б
4/Д	3/С

Обмен 1-2

Б	А
Д	С

Обмен 1-3

С	А
Д	Б

Обмен 1-4

Д	А
С	Б

Паритет перестановки относится к тому, является ли эта перестановка четной или нечетной. Четная перестановка — это та, которая может быть представлена ​​четным числом перестановок, а нечетная перестановка — это та, которая может быть представлена ​​нечетным числом перестановок. Нечетная перестановка, за которой следует нечетная перестановка, будет представлять собой в целом четную перестановку (сложение двух нечетных чисел всегда дает четное число). Поскольку четвертьвиток состоит из нескольких 4-циклов, каждый из которых включает три перестановки, если число 4-циклов нечетное, общая четность перестановки четвертьвитка будет нечетной, и наоборот.

Четвертьоборотная перестановка четности для размера $n$ куб приведен в следующей таблице.

Размер куба (нечетный или четный)	Тип слоя	Количество 4-тактных движений	Общий паритет
странный	внутренний	$n-1$	даже
странный	внешний	${\frac {\left(n-2\right)^{2}-1}{4}}+\left(n-1\right)$	даже
даже	внутренний	$n-1$	странный
даже	внешний	$\left({\frac {n}{2}}-1\right)^{2}+\left(n-1\right)$	даже если ${\frac {n}{2}}$ даже странно, если ${\frac {n}{2}}$ странно

Подводя итог вышеизложенным результатам паритета, мы заключаем:

• Все перестановки кубов нечетного размера имеют четную общую четность.
• Все отдельные четверти оборотов для кубов четного размера, где половина размера куба является нечетным числом, имеют общую нечетную четность.
• Для кубов четного размера, где половина размера куба является четным числом, четверти витков внутреннего слоя имеют нечетную общую четность, а четверти витков внешнего слоя имеют четную общую четность.

Приведенный выше анализ учитывал соотношение угловых (где применимо), краевых и центральных кубиков вместе взятых. Можно рассматривать их изолированно, и когда это будет сделано, четная комбинированная четвертьоборотная четность будет включать в себя ряд элементов нечетной четности.

Стандартные кубы (т.е. кубы с неотмеченными центрами) любого размера больше 3 ведут себя точно так же, как куб размера 3, если разрешено вращение только внешнего слоя. Правила четности диктуют, что для кубов нечетного размера замена двух кубиков в одном наборе ребер требует изменения положения центральных кубиков. Это можно показать что для куба размера 4 замена и инвертирование двух дополнительных кубов в одном наборе ребер может быть достигнуто без каких-либо изменений в положении любых других кубов. Также можно показать, что для кубов четного размера 6 и выше замена двух кубиков в одном наборе ребер требует изменения положения центральных кубиков.

Используемая здесь перестановка учитывает изменение положения кубиков, а не какое-либо изменение их ориентации. Для 24 наборов реберных кубов (состоящих из 12 дополнительных пар) ограничений на положение нет. Ориентация задается положением и не может быть изменена независимо от положения.

Угловые кубики ведут себя одинаково для кубов всех размеров. У них есть три возможные ориентации, состоящие из комбинации ${\frac {1}{3}}$ повороты, при которых полный поворот (вокруг оси, проведенной от угла куба к внутреннему углу куба) возвращает угловой куб в исходную ориентацию. Если обозначим единицу по часовой стрелке, поверните на ${\frac {1}{3}}$ и блок против часовой стрелки поверните на $-{\frac {1}{3}}$, то возможности поворота углового куба относительно любого заданного начального состояния (например, установленного состояния) равны 0, ${\frac {1}{3}}$ и $-{\frac {1}{3}}$. Сумма приращений поворота по всем угловым кубикам всегда должна быть целым числом (0, 1 или 2).

Когда вращение внутреннего слоя включено для кубов размером больше 3, некоторые ограничения на перемещение реберного куба, упомянутые выше, больше не применяются. Они подробно описаны в разделе «Проблемы финального слоя» .

Положение и ориентация куба имеют особое значение при расшифровке последнего слоя. Краевые кубы всегда должны оказаться в тех же позициях, которые они занимали в исходном установленном состоянии перед скремблированием. Если какой-либо реберный куб в заданном наборе ребер в последнем слое имеет неправильную ориентацию (применимо только к кубам размером больше 3), он должен находиться в неправильном положении, и его необходимо будет заменить дополнительным реберным кубом, также имеющим неправильную ориентацию. ориентация. Если все остальное на месте, угловые кубики могут находиться в правильном положении, но два или более могут иметь неправильную ориентацию. Для стандартных кубов размером больше 3 существует незначительная вероятность того, что центральные кубики (кроме абсолютных центральных кубиков для кубов нечетного размера) займут те же позиции, которые они занимали в исходном установленном состоянии (при условии, что центральные кубики не отмечены).

Кубы как четного, так и нечетного размера с отмеченными или неотмеченными центрами подчиняются правилу: «Любая перестановка, которая приводит только к перестановке центральных кубов на 24 кубических орбитах, должна иметь четную четность».

Если рассматривать перестановки граней, а не кубов, то будут учитываться как положение, так и ориентация кубов. Для программных кубов состояния (шесть цветовых вариантов) $6n^{2}$ фейселеты (в $6\times n\times n$ массив, например) — это то, что позволит сохранить полную информацию о состоянии куба для последующего использования.

Куб любого размера, подверженный повторениям одной и той же перестановки, в конечном итоге вернется в состояние (например, заданное состояние), которое он занимал до первого применения перестановки. Количество раз, которое необходимо применить перестановку, чтобы сначала вернуть куб в исходное состояние, называется порядком или длиной цикла перестановки и применимо к кубам всех размеров. Общая перестановка, которая не приводит к изменению состояния, называется перестановкой идентичности. Доступна программа, позволяющая определить длину цикла перестановки куба любого размера. и результаты продолжительности цикла выборки были задокументированы. Для данной перестановки длина цикла может варьироваться в зависимости от:

• Размер куба.
• Исходное состояние куба (для стандартных кубов с немаркированными центрами).
• Стиль куба (используются ли стандартные или отмеченные центры).
• Пространственная ориентация (проверка всех 24 из них, а не только одного, может дать другой результат).

Четность перестановки идентичности всегда четная. Этот результат для кубов нечетного размера, очевидно, верен, поскольку каждая четверть оборота имеет четную четность. Результат менее очевиден для кубов четного размера. Для кубов четного размера, если перестановка скремблирования относительно предыдущего заданного состояния нечетна, то любая перестановка для решения куба также должна иметь нечетную четность, и наоборот.

Обобщенное количество возможных состояний для размера $n$ куб рассматривается в разделе «Достижимые состояния для кубов всех размеров» .

Решение кубов

Решение людьми

Решение куба включает в себя начало с зашифрованного куба и постепенное вращение слоев, чтобы в конечном итоге получить решенный куб. Для кубов с неотмеченными центрами это означает, что все грани должны быть одного цвета. Для кубов с отмеченными центрами необходимо применить уникальное расположение всех центральных кубов в дополнение к требованию однородного цвета. Поскольку начальная точка всегда разная, никогда не может быть уникального набора вращений, который можно было бы применить для решения куба. Обычно люди прорабатывают решение с возможным использованием алгоритмов , в основном на последнем этапе расшифровки. Теоретически человек может написать компьютерную программу, которая «думает» как человек и решает куб без вмешательства человека (см. раздел «Решение с помощью компьютерной программы» ).

Целью большинства программных эмуляторов куба является предоставление пользователю средств взаимодействия с программой для решения (расшифровки) куба аналогично тому, как они расшифровывают аппаратный куб.

Эффективные последовательности вращения (алгоритмы) могут быть разработаны с использованием математики перестановок теории групп. Однако существует множество ссылок на соответствующие последовательности вращения, необходимые для решения кубов небольшого размера (см. некоторые ссылки на кубы размера 3, 4 и 5). ), и существует несколько подходов к тому, какие шаги можно использовать. Не существует неправильного способа решения куба. Шаги, необходимые для решения любого куба размера больше 4, являются довольно простым расширением шагов, необходимых для решения кубов размера 3 и 4. Однако наличие обобщенных инструкций, которые можно применять для решения кубов любого размера (особенно больших), ограничено. Обобщенное руководство по одному из способов решения стандартных кубиков и кубики с отмеченными центрами в наличии все размеры.

Любой, кто может собрать кубик размера 4, должен уметь собирать кубики большего размера, при условии, что он принимает увеличенный штраф за время решения. Возможности программного обеспечения, недоступные в аппаратных кубах, могут упростить процесс решения куба. Для заданного набора особенностей конструкции кубика сложность (трудность) решения кубика семейства Рубика увеличивается, если увеличивается количество достижимых состояний. На это число влияют три основных свойства:

1. Размер куба: количество размещаемых кубиков является квадратичной (полиномиальной) функцией размера куба и, следовательно, оказывает большое влияние на сложность решения куба.
2. Нечетный или четный размер. Кубы четного размера имеют дополнительный эффект по сравнению с размером куба, который увеличивает сложность по сравнению с кубами нечетного размера. Этот эффект относительно невелик и не зависит от размера куба (дополнительный вклад при изменении размера куба от $n$ к $\left(n+1\right)$ для $n$ нечетное является постоянным). Этот эффект будет расширен, когда количество достижимых состояний будет рассмотрено позже.
3. Неотмеченные или отмеченные центральные кубики: маркировка центрального кубика усложняет сборку куба.

Дополнительные алгоритмы, помогающие пользователям решить размер 3. и решить любой размер определены кубы с отмеченными центрами.

Проблемы с большими кубами

Доступны эмуляторы больших кубов, которые, как утверждается, поддерживают кубы размером до 100 и выше. Независимо от заявленного верхнего предела размера, доступные пиксели (которые различаются в зависимости от используемого монитора) и острота зрения пользователя будут налагать практические ограничения на максимальный размер куба, с которым человек может справиться.

Как указано в разделе «Правила для кубиков семейства Рубика» , общее количество кубиков составляет $\left\{6\left(n-1\right)^{2}+2\right\}$, а число центральных кубиков равно $6\left(n-2\right)^{2}$, где $n$ размер куба. Для кубов большого размера количество центральных кубиков становится очень доминирующим, как показано ниже.

Размер куба:	4	8	16	32	64
Всего кубов:	56	296	1352	5768	23816
Доля центрального куба от общего количества кубов (%):	42.8	73.0	87.0	93.6	96.8

Отсюда следует, что размещение центральных кубиков будет становиться все более важным, чем размещение других кубиков, по мере увеличения размера куба. Время на решение куба резко возрастает с увеличением размера куба. Например, в кубе размера 16 можно разместить примерно в 24 раза больше кубиков, чем в кубе размера 4. Если бы среднее время размещения куба было одинаковым в обоих случаях, то коэффициент времени 24 также применялся бы. Коэффициент 24, скорее всего, будет занижен, поскольку наличие большого количества кубов затрудняет (и отнимает много времени) определение того, что где находится.

Создать программу, позволяющую изменять состояние кубов большого размера, не намного сложнее, чем сделать то же самое для кубов малого размера. Однако решение больших кубов — гораздо более сложная и трудоемкая задача, чем решение тех же задач для маленьких кубов. Таким образом, вполне вероятно, что большинство действительно больших программных кубов, которые доступны, никогда не были решены.

Определение точных мест для поиска кубов (в основном наборов кубов с четырьмя центрами) является серьезной проблемой для больших кубов. Использование вторичной маркерной сетки может облегчить идентификацию. Например, можно использовать сетку маркеров для формирования сегментов 4×4 для куба размером 16 (по 16 таких сегментов на грань).

Общий набор из шести цветов кубов, принятый как для аппаратных, так и для программных кубов, включает белый, красный, оранжевый, желтый, зеленый и синий. Этот набор цветов может быть неоптимальным для программных кубов большого размера, где количество пикселей на куб мало. Например, различение белого и желтого может быть проблематичным. Уменьшив количество цветов в диапазоне от красного до синего с пяти до четырех и добавив фиолетовый (крайний цвет видимый спектр ) создает набор цветов, который можно считать более подходящим для кубов большого размера. Некоторые реализации программного куба позволяют пользователям при желании изменять набор цветов по умолчанию. Это полезное дополнение для пользователей, чье цветовосприятие отличается от нормы.

Решение с помощью компьютерной программы

Решение куба с помощью компьютерной программы (в отличие от обычного способа, которым люди решают куб) для кубиков небольшого размера (например, размера 3) были разработаны, и кубы большого размера одинаково легко решать с помощью компьютера.

Проблемы с последним слоем

Здесь «проблема последнего слоя» определяется как необходимость перестановки краевых кубов последнего слоя, чего невозможно достичь с помощью перемещений куба стандартного размера 3. Их часто называют проблемами или ошибками четности, но такая терминология может вводить в заблуждение. Если бы ходы были ограничены теми, которые доступны для куба размера 3, такие состояния были бы недостижимы (нарушались правила четности). Существует множество вариантов представления проблем финального слоя и алгоритмов их решения, но требования к исправлению будут аналогичны описанным ниже. Рассмотренные здесь проблемы в равной степени применимы как к стандартным кубам, так и к кубам с отмеченными центрами, но в последнем случае возникают дополнительные проблемы финального слоя для выравнивания центральных кубов. Проблемы для больших кубов можно рассматривать как прямое расширение тех, которые применимы к кубу размера 4. В принципе, могут возникнуть два типа проблем:

• В конечном наборе ребер необходимо перевернуть дополнительную пару или полный набор реберных кубиков. Это условие будет называться требованием OLL (ориентация последнего слоя).
• В последнем слое необходимо поменять местами два набора реберных кубиков. Это условие будет называться требованием PLL (перестановка последнего уровня).

OLL и PLL, используемые здесь, можно рассматривать как подмножества обычных определений этих терминов. Есть много ссылок на ходы, которые можно использовать для решения этих проблем. Меньше ссылок продемонстрировать, как эти ходы удовлетворяют правилам паритета. С точки зрения четности необходимо учитывать перестановку центральных кубов, которую нелегко наблюдать в кубах с немаркированными центрами. Здесь будет проиллюстрировано только соблюдение четности OLL.

Показана типичная поправка OLL для куба размера 9. Цветные кубики — единственные в кубе, которые меняют положение.

ОЛЛ до поправки на куб размера 9

ОЛЛ после поправки на куб размера 9

Для коррекции OLL есть $n-2$ обмен центральными кубиками и в целом есть $\left(n-1\right)$ меняется местами, когда включена пара ребер. Для кубиков нестандартного размера $\left(n-1\right)$ всегда четен (и соответствует универсальному требованию четности для кубов нечетного размера). Для кубиков одинакового размера $\left(n-1\right)$ всегда нечетно, что означает, что в этом случае всегда происходит изменение четности, допустимое условие четности для кубов четного размера.

Для полного переворота множества ребер (требование, которое может возникнуть только для кубов четного размера) количество перестановок будет равно $\left(n-1\right)\left({\frac {n}{2}}-1\right)$. Общее количество свопов будет даже если $\left({\frac {n}{2}}-1\right)$ четно (т.е. ${\frac {n}{2}}$ это странно). Общее количество свопов будет нечетным, если ${\frac {n}{2}}$ четный. Следовательно, общий паритет будет, даже если ${\frac {n}{2}}$ является странным и нечетным, если ${\frac {n}{2}}$ четный.

Разумеется, четность данного алгоритма можно также вывести из его содержания, используя правила, подробно описанные в разделе « Правила для кубиков семейства Рубика» .

Для стандартных кубов перестановка центральных кубов для решения проблем OLL и PLL не имеет значения. Для кубов с отмеченными центральными кубиками эффект такой перестановки этих кубиков является серьезным недостатком. Для кубов с отмеченными центрами невозможно (за исключением куба размера 4) выровнять все центральные кубы последнего слоя до тех пор, пока все краевые кубы не будут помещены в свои окончательные положения.

Алгоритмы

Инструкции для людей о том, как собирать кубики Рубика, обычно передаются либо в чисто графической форме, либо в виде последовательностей, определенных с использованием печатных символов. Последовательность символов, которую можно преобразовать и применить для выполнения последовательности вращений слоев для преобразования данного состояния в другое (обычно менее зашифрованное) состояние, часто называют алгоритмом . Алгоритмы чаще всего используются при расшифровке последней части куба, но при желании их можно применять более широко. Алгоритмы можно записать в виде инструкций, которые можно запомнить или найти в документе. Печатные символы, используемые (например, для обозначения четверти оборота против часовой стрелки, однослойной четверти оборота или многослойной четверти оборота) в инструкциях алгоритма, различаются у разных авторов, как и их позиции в инструкциях. То, как люди интерпретируют инструкции так, как они представлены, не имеет значения. Единственный случай, когда форма представления имеет значение, — это когда ввод с клавиатуры компьютера используется для изменения состояния программных кубов, а автоматическое обновление изображения на экране происходит всякий раз, когда получена действительная инструкция. Например, если F' используется для обозначения поворота лицевой панели на четверть оборота против часовой стрелки, то при вводе пользователем F произойдет четверть оборота по часовой стрелке, и потребуется коррекция, когда пользователь введет символ '. Конечный результат все равно будет правильным, но использование -F вместо F' устранит лишнее вращение. Любых текстовых улучшений, таких как верхние или нижние индексы, следует избегать при представлении последовательностей вращения куба, когда пользователи взаимодействуют с программными кубами с помощью команд клавиатуры. Когда используется ввод инструкций с клавиатуры компьютера, можно использовать макросы (которые сопоставляют короткую входную текстовую строку с более длинной строкой) как ярлыки алгоритмов.

Время собирать кубики

Спидкубинг (или скоростное решение) — это практика сборки кубика из семейства кубиков Рубика за максимально короткое время (что обычно подразумевает уменьшение количества требуемых ходов на четверть оборота). Чаще всего его применяют к кубам небольшого размера, и существует множество задокументированных методов решения. Международная группа исследователей, использующая компьютерные возможности Google, нашла все способы решения кубика Рубика стандартного размера 3 и показала, что собрать его можно за 20 ходов или меньше. для любого начального зашифрованного состояния (где ход здесь определяется как четверть или половина поворота лица). Как правило, методы быстрого решения больше применимы к специалистам-кубистам, чем к типичным кубистам, и более сложны, чем простые методы послойного моделирования, используемые большинством других людей.

Достижимые и недостижимые состояния для кубов всех размеров.

Если куб когда-либо ранее занимал заданное состояние, то любое состояние, которое может возникнуть после допустимых ходов, считается достижимым. Для кубов небольшого размера (размер 2, 3 или 4) недостижимым считается состояние, которого нельзя достичь допустимыми ходами. Для более крупных кубов необходимо уточнить, что подразумевается под недостижимым состоянием. В этой статье исключено условное движение между 24-кубовыми орбитами для реберных и центральных кубов.

Связь между достижимыми и недостижимыми состояниями

Если для куба любого размера m представляет количество достижимых состояний, u представляет количество недостижимых состояний, а t равно их сумме:

$t=u+m$

$t=km$ где $k$ является положительным целым числом

$u=\left(k-1\right)m$

И m , и k являются функциями размера куба . $n$. Значения m и k будут рассмотрены в следующих разделах. В других текстах «достижимые состояния» часто называют «перестановками».

Достижимые состояния для кубов всех размеров

Количество достижимых состояний зависит от:

• Стандартная математика перестановок и комбинаций .
• Коэффициенты уменьшения, которые необходимо применить к вышеуказанному, чтобы отразить ограничения на перемещение, характерные для кубиков семейства Рубика.

Количество различных состояний, достижимых для кубов любого размера, можно просто связать с числами, применимыми к кубам размера 3 и 4. Хофштадтер в своей статье 1981 года предоставил полный вывод количества состояний для кубика Рубика стандартного размера 3. Более поздние источники информации, которые адекватно обосновывают цифры для размера 3. и размер 4 кубики тоже есть. Ссылки, указывающие количество возможных состояний для размера. $n$ куб есть в наличии. В кратком материале, представленном ниже, представлены результаты в форме, использованной в одной из этих ссылок. который раскрывает эту тему гораздо более подробно.

Для кубов с неотмеченными центральными кубами применяются следующие положительные целочисленные константы (представленные P, Q, R и S). Эти константы согласуются с часто приводимыми цифрами для кубиков размера 3 и 4.

Возможности угловых кубиков для кубиков одинакового размера	П	(7!) 3 6	3.67416000000000 × 10 6
Возможности центрального ребра для кубов нечетного размера, умноженные на 24	вопрос	24 (12!) 2 10	1.17719433216000 × 10 13
Возможности Edge Cubie для каждого двойного набора (12 пар)	Р	24!	6.20448401733239 × 10 23
Возможности центрального куба для каждого четверного набора (6 групп по 4 шт.)	С	(24!)/(4!) 6	3.24667053711000 × 10 15
Примечание: ! — символ факториала (N! означает произведение 1 × 2 × ... × N).

Значение S может потребовать некоторого пояснения, поскольку обычно предполагается, что число возможных состояний для центральных кубиков с идентифицирующими метками для куба размера 4 равно 24! Использование этого значения гарантированно приведет к неправильному ответу, если рассматриваются кубы с отмеченными центрами. Первые 20 кубов можно разместить произвольно, что даст коэффициент 24!/4!. Однако для каждого возможного расположения реберных кубиков только половина из четырёх! гипотетические договоренности по последним четырем достижимы. Следовательно, правильное значение куба с отмеченными центрами — 24!/2. Если маркировку убрать, то получается "перестановка с некоторыми идентичными объектами" применяется. Для стандартного куба отмеченное значение куба необходимо разделить на (4!) ⁶ /2 (здесь также необходимо применить делитель 2). Это дает общее значение S для куба размера 4, равное 24!/(4!) ⁶ . Все состояния для орбит с 24 центральными кубиками для стандартных кубиков семейства Рубика достижимы (при необходимости даже четность всегда достижима, меняя местами местами пару центральных кубиков одного цвета).

$m={\textrm {P}}{\textrm {Q}}^{a}{\textrm {R}}^{b}{\textrm {S}}^{c}$

где $a$, $b$, и $c$ — целочисленные положительные переменные (функции размера куба $n$), как указано ниже.

$a=n{\textrm {mod}}2$ (т.е. 0, если $n$ четно или 1, если $n$ это странно)

$b={\frac {n-2-a}{2}}$

$c={\frac {\left(n-2\right)^{2}-a}{4}}$

Для кубиков одинакового размера ${\textrm {Q}}^{a}=1$ (см. возведение в степень ).

Для дальнейшего упрощения параметр $m$ также может быть выражено как $m=10^{y}$ где $y={\textrm {log}}_{10}m$. Параметр $y$ может быть связано с $n$ непрерывным квадратичным функционировать с учетом того ограничения, что $n$ должно быть целым числом больше 1 при обращении к возможным состояниям кубов:

$y={\textrm {A}}n^{2}+{\textrm {B}}n+{\textrm {C}}$

где A, B и C — константы. Константы A и B одинаковы для $n$ даже и для $n$ странно, но значение C другое.

Параметр	Ценить
А	3.87785955497335
Б	-3.61508538481188
С ЧЕТНЫМ	-1.71610938550614
C НЕЧЕТНЫЙ	-4.41947361312695
C ЧЕТНЫЙ - C НЕЧЕТНЫЙ	2.70336422762081

Графически, когда $y$ построен, задействованы две параболы совершенно одинаковой формы: «четные» значения куба лежат на одной, а «нечетные» значения куба лежат на другой. Разница незаметна, за исключением случаев, когда график построен в небольшом диапазоне значений. $n$, как показано на графиках, представленных ниже. Только семейные ценности Рубика для $n$ равные 2 и 3 включены во второй график.

Использование функции журнала y обеспечивает единственный практический способ построения графиков чисел, которые варьируются в таком огромном диапазоне, как для семейства кубиков Рубика. Разница между кривыми переводится как коэффициент 505,08471690483 (равный ${\frac {{\textrm {R}}^{0.5}{\textrm {S}}^{0.25}}{\textrm {Q}}}$). Это фактор, который определяет влияние четного размера по сравнению с нечетным на количество достижимых состояний для кубов с неотмеченными центрами.

Следовательно, при логарифмическом представлении количество состояний куба можно выразить с помощью всего четырех числа (A, B и два значения C). Более того, количество состояний куба образует ограниченный набор значений для более общей непрерывной квадратичной (параболической) функции, для которой $n$ может иметь нецелые и отрицательные значения. Вычисление значения m по соответствующему значению y — простой процесс.

Центральные кубики отличаются от угловых или краевых кубиков тем, что, если на них нет ориентировочной маркировки, существует множество возможностей для их окончательной ориентации и/или местоположения. Может представлять интерес количество различных способов расположения центральных кубиков для получения решенного куба с немаркированными центральными кубиками. Чтобы это рассчитать, необходимо оценить влияние маркировки центрального кубика. Определять $m_{\textrm {M}}$, ${\textrm {Q}}_{\textrm {M}}$, и ${\textrm {S}}_{\textrm {M}}$ быть измененными параметрами для отмеченных центральных кубов (P и R остаются неизменными).

${\textrm {Q}}_{\textrm {M}}={\textrm {TQ}}$ где ${\textrm {T}}={\frac {4^{6}}{2}}=2048$

${\textrm {S}}_{\textrm {M}}={\textrm {VS}}$ где ${\textrm {V}}={\frac {(4!)^{6}}{2}}=95551488$

$m_{\textrm {M}}={\textrm {P}}\left({\textrm {Q}}_{\textrm {M}}\right)^{a}{\textrm {R}}^{b}\left({\textrm {S}}_{\textrm {M}}\right)^{c}$

$m_{\textrm {M}}=m_{\textrm {D}}m$

$m_{\textrm {M}}={\textrm {T}}^{a}{\textrm {V}}^{c}$

Параметр $m_{\textrm {M}}$ определяет количество достижимых состояний для кубов с отмеченными центрами. Фактор $m_{\textrm {D}}$ дает количество различных расположений немаркированных центральных кубиков, которые дадут решенный размер. $n$ куб. Это также коэффициент, на который необходимо умножить количество различных состояний стандартного куба, когда применяются отмеченные центры.

Недостижимые состояния для кубов всех размеров

Число недостижимых состояний намного превышает количество достижимых состояний. Существует много упоминаний о количестве недостижимых состояний для куба размера 3, но очень мало для кубов большего размера.

Расположение недостижимых угловых и реберных кубов одинаково для кубов с отмеченными центрами или без них.

Если рассматривать угловой куб для кубиков любого размера, то поворот на 1/3 по часовой стрелке, оставляя все остальное неизменным, будет представлять собой недостижимое состояние, и аналогично поворот на 1/3 против часовой стрелки. Следовательно, достижима только 1/3 возможностей поворота.

Для куба с центральным ребром для кубов нечетного размера поведение такое же, как и для куба размера 3. Достижима только половина мыслимых позиций и достижима только половина мыслимых ориентаций. Следовательно, доступна только 1/4 возможностей перемещения кубиков по центральному краю.

Краевые кубы, состоящие из 12 дополнительных пар (всего 24 куба), ведут себя так, как будто дополнительные кубы не выглядят одинаково. Любой заданный реберный куб может переместиться в любую позицию на орбите из 24 кубов, но для любой данной позиции существует одна достижимая и одна недостижимая ориентация для этого куба. Обратное справедливо для куба с дополнительным ребром. Для данного куба (1-2) достижимая и недостижимая ориентации для данной грани для данной орбиты для куба размера 8 показаны ниже. Одна из 24 достижимых возможностей для данного реберного куба соответствует возможности заданного куба.

Число недостижимых состояний для набора из 24 реберных кубов такое же, как и количество достижимых состояний (24! в каждом случае).

В случае отмеченных центральных кубов достижима только половина мыслимых расположений для каждого набора из 24 кубов для любой данной орбиты. Те же правила четности, которые применяются к отмеченным центральным кубикам, также применяются и к немаркированным центральным кубикам. Четверть оборота набора из четырех центральных кубиков не может быть достигнута без изменения расположения в другом месте, чтобы удовлетворить требованию четности. Поскольку существует 95551488 способов расположить отдельные центральные кубики так, чтобы полученное расположение выглядело совершенно одинаковым, правила четности могут соблюдаться без каких-либо наблюдаемых указаний на то, как достигается соблюдение четности. Следовательно, для нормального случая (24 кубика, по четыре каждого из шести цветов) нет ограничений на достижимые состояния для центральных кубиков.

В следующей таблице используются значения, отмеченные выше, для представления коэффициентов k компонентов для размера. $n$ куб. Показатели a , b и c являются функциями размера куба . $n$ как определено выше.

Компоненты приведения для коэффициента k (для стандартного куба с немаркированными центрами) и для $k_{\textrm {M}}$ (для куба с отмеченными центрами)	Немаркированные центры тип куба	Отмеченные центры' тип куба
Фактор углового куба	3	3
Фактор центрального реберного куба (такие кубы существуют только для кубов нечетного размера)	$2^{2a}$	$2^{2a}$
Дополнительный коэффициент реберного куба для всех наборов из 12 пар вместе взятых.	$2^{b}$	$2^{b}$
Абсолютный коэффициент центрального куба (такие кубики существуют только для кубов нечетного размера)	1	$2^{a}$
Коэффициент центрального куба для всех комплектов на 24 куба вместе взятых	1	$2^{c}$

Взяв произведение этих факторов:

Для стандартного размера $n$ куб	$k=\left(3\right)2^{2a+b}$
Для размера отмеченных центров $n$ куб	$k_{\textrm {M}}=\left(3\right)2^{3a+b+c}$

Ниже приведены некоторые значения для кубиков небольшого размера.

Размер куба	2	3	4	5	6	7	8
Стоимость $k$	3	12	6	24	12	48	24
Стоимость $k_{\textrm {M}}$	3	24	12	192	192	6144	12288

Число недостижимых состояний определяется выражением $(k-1)m$ для стандартных кубиков и по $(k_{\textrm {M}}-1)m_{\textrm {M}}$ для кубиков с отмеченными центральными кубиками.