Спектральная плотность

Эта статья посвящена обработке сигналов и соотношению спектра к временным ряду. Для дальнейших применений в физических науках см. Спектр (физические науки) .

«Спектральная плотность мощности» перенаправляет здесь. Не путать со спектральной силой .

Спектральная плотность флуоресцентного света в зависимости от оптической длины волны показывает пики при атомных переходах, что указывает пронумерованные стрелки.

Форма голосовой волны с течением времени (слева) имеет широкий спектр мощности аудио (справа).

При обработке сигнала спектр мощности $S_{xx}(f)$ непрерывного времени сигнала $x(t)$ описывает распределение мощности в частотных компонентах $f$ сочиняя этот сигнал. Согласно анализу Фурье , любой физический сигнал может быть разложен на ряд дискретных частот или спектр частот в непрерывном диапазоне. Статистическое среднее любого вида сигнала (включая шум ), проанализированное с точки зрения его частотного содержания, называется его спектром .

Когда энергия сигнала сосредоточена вокруг конечного интервала времени, особенно если его общая энергия конечна, можно вычислить плотность спектра энергии . Чаще используется спектральная плотность мощности (PSD или просто спектр мощности ), которая применяется к сигналам, существующим в течение всего времени, или в течение всего периода времени (особенно по отношению к продолжительности измерения), которые он также мог иметь был более бесконечным интервалом времени. Затем PSD относится к распределению спектральной энергии, которое будет найдено за единое время, поскольку общая энергия такого сигнала за все время, как правило, будет бесконечной. Суммирование или интеграция спектральных компонентов дает общую мощность (для физического процесса) или дисперсию (в статистическом процессе), идентично тому, что будет получено путем интеграции $x^{2}(t)$ За время, как продиктовано теоремой Парсевала .

Спектр физического процесса $x(t)$ часто содержит важную информацию о природе $x$Полем Например, шаг и тембр музыкального инструмента немедленно определяются из спектрального анализа. Цвет источника света определяется спектром электрического поля электромагнитной волны $E(t)$ поскольку он колеблется на чрезвычайно высокой частоте. Получение спектра от временных рядов, подобных этим, включает в себя преобразование Фурье и обобщения, основанные на анализе Фурье. Во многих случаях временная область конкретно не используется на практике, например, когда дисперсионная призма используется для получения спектра света в спектрографе или когда звук воспринимается через его влияние на слуховые рецепторы внутреннего уха, каждый из которых чувствителен к определенной частоте.

Однако эта статья концентрируется на ситуациях, в которых известны временные ряды (по крайней мере, в статистическом смысле) или непосредственно измеряются (например, микрофоном, отобранным компьютером). Спектр мощности важен в обработке статистической сигнала и в статистическом исследовании стохастических процессов , а также во многих других ветвях физики и инженерии . Как правило, процесс является функцией времени, но можно также обсуждать данные в пространственном домене, которые разлагаются с точки зрения пространственной частоты .

Единицы

См. Также: Фурье преобразовать § единицы

У физики сигнал может быть волной, такой как электромагнитная волна , акустическая волна или вибрация механизма. Спектральная плотность мощности (PSD) сигнала описывает мощность , присутствующую в сигнале как функцию частоты на единицу частоты. Спектральная плотность мощности обычно выражается в Si единицах ⁠ Watts / hertz ⁠ (сокращено как w / Гц).

Например , когда сигнал определяется только в терминах только напряжения , с указанной амплитудой не существует уникальной мощности. В этом случае «власть» просто учитывается с точки зрения квадрата сигнала, так как это всегда было бы пропорционально фактической мощности, предоставленной этим сигналом в заданный импеданс . Так что можно использовать единицы V ² Гц ⁻¹ для PSD. Энергетическая спектральная плотность (ESD) будет иметь единицы V ² S HZ ⁻¹ , поскольку энергия имеет единицы власти, умноженные на время (например, ватт-час ).

В общем случае единицы PSD будут соотношением единиц дисперсии на единицу частоты; Так, например, серия значений смещения (в метрах) с течением времени (в секундах) будет иметь PSD в единицах метров, квадратных на герц, m ² /Гц. В анализе случайных вибраций , единицы G ² Гц ⁻¹ часто используются для PSD ускорения , где G обозначает G-силу .

Математически не обязательно назначать физические измерения сигналу или независимой переменной. В следующем обсуждении значение x ( t ) останется неопределенным, но независимая переменная будет считаться значением времени.

Односторонний против двухстороннего

PSD может быть либо односторонней функцией только положительных частот, либо двусторонней функцией как положительных, так и отрицательных частот , но только с половиной амплитуды. Шум PSD, как правило, односторонний в инженерии и двусторонний по физике.

Определение

Энергетическая спектральная плотность

«Спектральная плотность энергии» перенаправляет здесь. Не путать с энергетическим спектром .

Спектральная плотность энергии описывает, как энергия сигнала или временного ряда распределяется с частотой. Здесь термин энергия используется в обобщенном смысле обработки сигнала; то есть энергия $E$ сигнала $x(t)$ является: $$E\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }\left|x(t)\right|^{2}\ dt.$$

Спектральная плотность энергии наиболее подходит для переходных процессов, то есть, как импульсные сигналы,-обладает конечной общей энергией. Конечно или нет, теорема Парсевала (или теорема Планировки) дает нам альтернативное выражение для энергии сигнала: $$\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}\,df,$$ где: $${\hat {x}}(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi ft}x(t)\ dt$$ это значение Фурье преобразования $x(t)$ на частоте $f$ (в Гц ). Теорема также верна в случаях дискретного времени. Поскольку интеграл с левой стороны является энергией сигнала, значение $\left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}df$ можно интерпретировать как функция плотности, умноженная на бесконечно малый интервал частоты, описывая энергию, содержащуюся в сигнале на частоте $f$ в частотном интервале $f+df$.

Следовательно, плотность энергетическая $x(t)$ определяется как:

${\bar {S}}_{xx}(f)\triangleq \left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}$ ( Уравнение 1 )

Функция ${\bar {S}}_{xx}(f)$ и автокорреляция ​ $x(t)$ Сформируйте пару преобразования Фурье, результат, также известный как теорема Винера -Хинчина (см. Также периодиаграмму ).

В качестве физического примера того, как можно измерить энергетическую спектральную плотность сигнала, предположим $V(t)$ Представляет потенциал (в вольт ) электрического импульса, распространяющегося вдоль прохождения импеданса линии $Z$, и предположим, что линия прекращается с помощью соответствующего резистора (так что вся энергия импульса доставляется в резистор, и ни одна из них не отражается назад). По закону Ома власть, доставляемую в резистор во время $t$ равен $V(t)^{2}/Z$, поэтому общая энергия обнаруживается путем интеграции $V(t)^{2}/Z$ Что касается времени в течение времени пульса. Чтобы найти значение энергетической спектральной плотности ${\bar {S}}_{xx}(f)$ на частоте $f$, можно вставить между линией передачи и резистором полосовым фильтром , который проходит только узкий диапазон частот ( $\Delta f$, скажем) вблизи частоты интереса, а затем измеряют общую энергию $E(f)$ рассеян через резистор. Значение энергетической спектральной плотности при $f$ затем оценивается как $E(f)/\Delta f$Полем В этом примере, так как власть $V(t)^{2}/Z$ имеет единицы V ² Ой ⁻¹ , энергия $E(f)$ имеет единицы V ² S OH ⁻¹ = J , и, следовательно, оценка $E(f)/\Delta f$ энергетической спектральной плотности имеет единицы J HZ ⁻¹ , по мере необходимости. Во многих ситуациях часто забывать о шаге деления $Z$ так что вместо этого есть энергетическая плотность, имеющая единицы V ² Гц ⁻¹ .

Это определение прямо обобщается для дискретного сигнала с указанием бесконечного числа значений $x_{n}$ такой как сигнал, отобранный в дискретное время $t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)$: $${\bar {S}}_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }(\Delta t)^{2}\underbrace {\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}} _{\left|{\hat {x}}_{d}(f)\right|^{2}},$$ где ${\hat {x}}_{d}(f)$ Является ли дискретное преобразование Фурье $x_{n}.$ Интервал выборки $\Delta t$ необходимо для сохранения правильных физических единиц и обеспечения того, чтобы мы восстановили непрерывный случай в пределе $\Delta t\to 0.$ Но в математических науках интервал часто устанавливается на 1, что упрощает результаты за счет общности. (Также см. Нормализованная частота )

Спектральная плотность мощности

Не путать с спектральным распределением мощности .

Спектр мощности измеренного космического микроволнового фонового излучения Анизотропия с точки зрения угловой шкалы. Сплошная линия является теоретической моделью для сравнения.

Приведенное выше определение энергетической спектральной плотности подходит для переходных процессов (импульсные сигналы), энергия которых сосредоточена в одном временном окне; Затем обычно существуют преобразования Фурье сигналов. Для непрерывных сигналов на протяжении всего времени нужно скорее определить спектральную плотность мощности (PSD), которая существует для стационарных процессов ; Это описывает, как мощность сигнала или временного ряда распределяется по частоте, как в простом примере, приведенном ранее. Здесь мощность может быть фактической физической силой или чаще, для удобства с абстрактными сигналами просто идентифицируется с квадратным значением сигнала. Например, статистики изучают дисперсию функции с течением времени $x(t)$ (или над другой независимой переменной), и, используя аналогию с электрическими сигналами (среди других физических процессов), обычно ссылаться на ее спектр мощности, даже если нет физической мощности. Если бы создал источник физического напряжения , который последовал $x(t)$ и применил его к терминалам с одним ом резистора , тогда действительно, мгновенная сила, рассеиваемая в этом резисторе $x^{2}(t)$ Уэтт ​

Средняя мощность $P$ сигнала $x(t)$ Поэтому в течение всего времени дается следующее среднее время, когда период $T$ сосредоточен на каком -то произвольном времени $t=t_{0}$: $$P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}-T/2}^{t_{0}+T/2}\left|x(t)\right|^{2}\,dt$$

Тем не менее, ради борьбы с последующей математикой, более удобно иметь дело с ограничениями по времени в самом сигнале, а не с ограничениями времени в границах интеграла. Таким образом, у нас есть альтернативное представление средней силы, где $x_{T}(t)=x(t)w_{T}(t)$ и $w_{T}(t)$ является единством в течение произвольного периода и нулевым в другом месте. $$P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|x_{T}(t)\right|^{2}\,dt.$$ Очевидно, что в тех случаях, когда вышеупомянутое выражение для P является ненулевым, интеграл должен расти без связанного, поскольку T растет без ограничения. Вот почему мы не можем использовать энергию сигнала, которая в таких случаях расходятся интеграл.

При анализе частотного содержания сигнала $x(t)$, можно было бы вычислить обычное преобразование Фурье ${\hat {x}}(f)$; Однако для многих представляющих интересов преобразования Фурье не существует формально. Несмотря на это, теорема Парсевала говорит нам, что мы можем переписать среднюю мощность следующим образом. $$P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}\,df$$

Затем спектральная плотность мощности просто определяется как интеграция выше.

$S_{xx}(f)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}\,$ ( Уравнение 2 )

Отсюда, из -за теоремы свертки , мы также можем просмотреть $|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}$ как преобразование временной сверты Фурье $x_{T}^{*}(-t)$ и $x_{T}(t)$, где * представляет сложный сопряжен. С учетом этого $${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)e^{i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)[e^{-i2\pi ft}]^{*}dt\\&=\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}(t)e^{-i2\pi ft}dt\right]^{*}\\&=\left[{\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\right]^{*}\\&=\left[{\hat {x}}_{T}(f)\right]^{*}\end{aligned}}$$ и делать, $u(t)=x_{T}^{*}(-t)$, у нас есть: $${\begin{aligned}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}&=[{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}\cdot {\hat {x}}_{T}(f)\\&={\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\mathbin {\mathbf {*} } x_{T}(t)\right\}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }u(\tau -t)x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau ,\end{aligned}}$$ где теорема свертки использовалась при перемещении от 3 -й к 4 -й линии.

Теперь, если мы разделим временную свертку выше по периоду $T$ и принять предел как $T\rightarrow \infty$, он становится функцией автокорреляции неизмученного сигнала $x(t)$, который обозначается как $R_{xx}(\tau )$, при условии, что $x(t)$ Эргодик . , что верно в большинстве, но не во всех, практических случаях $$\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau$$

Отсюда мы видим, снова предполагая эргодичность $x(t)$, что спектральная плотность мощности может быть найдена как преобразование Фурье автокорреляционной функции ( теорема Винера -Хинчина ).

$S_{xx}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }\,d\tau ={\hat {R}}_{xx}(f)$ ( Уравнение 3 )

Многие авторы используют это равенство, чтобы фактически определить спектральную плотность мощности.

Сила сигнала в данной полосе частот $[f_{1},f_{2}]$, где $0<f_{1}<f_{2}$, можно рассчитать путем интеграции по частоте. С $S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)$, равное количество мощности может быть связано с положительными и отрицательными полосами частот, что объясняет коэффициент 2 в следующей форме (такие тривиальные факторы зависят от используемых конвенций): $$P_{\textsf {bandlimited}}=2\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{xx}(f)\,df$$ В целом, аналогичные методы могут быть использованы для оценки изменяющейся во времени спектральной плотности. В этом случае интервал времени $T$ является конечным, а не приближается к бесконечности. Это приводит к снижению спектрального охвата и разрешению, поскольку частоты меньше, чем $1/T$ не отобраны, и результаты на частотах, которые не являются целым числом $1/T$ не независимы. Просто используя один такой временной ряд, расчетный спектр мощности будет очень «шумным»; однако это можно облегчить, если можно оценить ожидаемое значение (в вышеуказанном уравнении) с использованием большого (или бесконечного) числа краткосрочных спектров, соответствующих статистическим ансамбли реализации $x(t)$ Оценивается в течение указанного временного окна.

Как и в случае с спектральной плотностью энергии, определение спектральной плотности мощности может быть обобщено до дискретных временных переменных $x_{n}$Полем Как и прежде, мы можем рассмотреть окно $-N\leq n\leq N$ С сигналом, отобранным в дискретное время $t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)$ за общий период измерения $T=(2N+1)\,\Delta t$. $$S_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }{\frac {(\Delta t)^{2}}{T}}\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}$$ Обратите внимание, что единственная оценка PSD может быть получена через конечное количество выборки. Как и прежде, фактический PSD достигается, когда $N$ (и, таким образом $T$) подходит к бесконечности, и ожидаемое значение формально применяется. В реальном применении, как правило, можно среднего значения PSD конечных измерений в течение многих испытаний, чтобы получить более точную оценку теоретического PSD физического процесса, лежащего в основе отдельных измерений. Этот вычисленный PSD иногда называют периодограммой . Эта периодограмма сходится к истинному PSD как количество оценок, а также интервал времени усреднения $T$ Подход к бесконечности.

Если оба сигнала обладают спектральными плотностью мощности, то кросс-спектральная плотность можно рассчитать аналогичным образом; Поскольку PSD связан с автокорреляцией, так же как меша-спектральная плотность, связанная с поперечной корреляцией .

Свойства спектральной плотности мощности

Некоторые свойства PSD включают:

• Спектр мощности всегда является реальным и неотрицательным, а спектр реального ценного процесса также является даже функцией частоты: $S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)$.
• Для непрерывного стохастического процесса x (t) функция автокорреляции r _xx ( t ) может быть реконструирована из ее спектра мощности s _xx (f) с помощью обратного преобразования Фурье
• Используя теорему Парсеваля , можно вычислить дисперсию (среднюю мощность) процесса, интегрируя спектр мощности по всей частоте: $$P=\operatorname {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }\!S_{xx}(f)\,df$$
• Для реального процесса x ( t ) с спектральной плотностью мощности $S_{xx}(f)$, можно вычислить интегрированный спектр или спектральное распределение питания $F(f)$, что определяет среднюю мощность , ограниченную полосой, содержащуюся в частотах от DC до F, используя: $$F(f)=2\int _{0}^{f}S_{xx}(f')\,df'.$$ Обратите внимание, что предыдущее выражение для общей мощности (дисперсия сигнала) является особым случаем, когда F → ∞ .

Спектральная плотность перекрестной питания

См. Также: Когерентность (обработка сигнала)

Учитывая два сигнала $x(t)$ и $y(t)$, каждый из которых обладает плотностью спектра мощности $S_{xx}(f)$ и $S_{yy}(f)$, можно определить спектральную плотность поперечной мощности ( CPSD ) или поперечную спектральную плотность ( CSD ). Для начала давайте рассмотрим среднюю мощность такого комбинированного сигнала. $${\begin{aligned}P&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]^{*}\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]dt\\&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|x_{T}(t)|^{2}+x_{T}^{*}(t)y_{T}(t)+y_{T}^{*}(t)x_{T}(t)+|y_{T}(t)|^{2}dt\\\end{aligned}}$$

Используя те же обозначения и методы, которые использовались для получения спектральной плотности мощности, мы используем теорему Парсевала и получаем $${\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {x}}_{T}^{*}(f){\hat {y}}_{T}(f)\right]&S_{yx}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {y}}_{T}^{*}(f){\hat {x}}_{T}(f)\right]\end{aligned}}$$ где, опять же, вклад $S_{xx}(f)$ и $S_{yy}(f)$ уже поняты. Обратите внимание, что $S_{xy}^{*}(f)=S_{yx}(f)$Таким образом, полный вклад в перекрестную мощность, как правило, из -за вдвое больше реальной части любого отдельного CPSD . Как и прежде, отсюда мы пересасываем эти продукты как преобразование Фурье временной сверты, которая, когда она разделена на период и добывается до предела $T\to \infty$ становится преобразованием Фурье кросс-корреляционной функции. $${\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )y_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\S_{yx}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }y_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{yx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau ,\end{aligned}}$$ где $R_{xy}(\tau )$ это перекрестная корреляция $x(t)$ с $y(t)$ и $R_{yx}(\tau )$ это перекрестная корреляция $y(t)$ с $x(t)$Полем В свете этого PSD считается особым случаем CSD для $x(t)=y(t)$Полем Если $x(t)$ и $y(t)$ реальные сигналы (например, напряжение или ток), их преобразования Фурье ${\hat {x}}(f)$ и ${\hat {y}}(f)$ обычно ограничиваются положительными частотами по соглашению. Следовательно, при типичной обработке сигнала полная CPSD является лишь одним из CPSD S, масштабированным в два раза. $$\operatorname {CPSD} _{\text{Full}}=2S_{xy}(f)=2S_{yx}(f)$$

Для дискретных сигналов x _n и y _n взаимосвязь между межсетральной плотностью и меж-ковариацией $$S_{xy}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau _{n})e^{-i2\pi f\tau _{n}}\,\Delta \tau$$

Оценка

Основная статья: оценка спектральной плотности

Цель оценки спектральной плотности состоит в том, чтобы оценить спектральную плотность случайного сигнала из последовательности образцов времени. В зависимости от того, что известно о сигнале, методы оценки могут включать параметрические или непараметрические подходы и могут основываться на анализе временной области или частотной области. Например, общая параметрическая методика включает в себя установку наблюдений к авторегрессии модели . Общей непараметрической техникой является периодиаграмма .

Спектральная плотность обычно оценивается с использованием методов преобразования Фурье (например, метод Уэлча другие методы, такие как метод максимальной энтропии ), но также можно использовать .

Связанные концепции

Не путать с спектральной плотностью (физическая наука) .

• Спектральный центроид сигнала - это средняя точка его функции спектральной плотности, то есть частота, которая делит распределение на две равные части.
• Частота спектральных краев ( SEF ), обычно выражаемая как «SEF X », представляет частоту, ниже которой расположены x процента от общей мощности данного сигнала; Как правило, X находится в диапазоне от 75 до 95. Это особенно популярная мера, используемая в мониторинге ЭЭГ , и в этом случае SEF по -разному использовался для оценки глубины анестезии и стадий сна .
• Спектральная оболочка - это кривая огибающей плотности спектра. Он описывает один момент времени (одно окно, точнее). Например, в дистанционном зондировании с использованием спектрометра спектральная оболочка функции представляет собой границу ее спектральных свойств, как определено диапазоном уровней яркости в каждой из спектральных полос . интересующих
• Спектральная плотность является функцией частоты, а не функции времени. Тем не менее, спектральная плотность небольшого окна более длинного сигнала может быть рассчитана и нанесена на график по сравнению с временем, связанным с окном. Такой график называется спектрограммой . Это является основой ряда методов спектрального анализа, таких как кратковременное преобразование Фурье и вейвлеты .
• «Спектр», как правило, означает спектральную плотность мощности, как обсуждалось выше, которая отображает распределение содержания сигнала по частоте. Для передаточных функций (например, график Bode , CHIRP ) Полная частотная характеристика может быть графична в двух частях: частота мощности и фазы частота - плотность спектра фазы , фазовый спектр или спектральная фаза . Реже две части могут быть реальными и воображаемыми частями передаточной функции. Это не следует путать с частотной характеристикой передаточной функции, которая также включает фазу (или эквивалентно, реальную и воображаемую часть) как функция частоты. во временной области Импульсная реакция $h(t)$ Обычно не может быть уникально восстановлен из только плотности спектра мощности без фазовой части. Хотя это также пары преобразования Фурье, не существует симметрии (как есть для автокорреляции ), заставляя преобразование Фурье быть реальным. См. Ultrashort Pulse#спектральный фаза , фазовый шум , групповая задержка .
• Иногда один сталкивается с амплитудной спектральной плотностью ( ASD ), которая является квадратным корнем PSD; ASD сигнала напряжения имеет единицы V HZ ^−1/2 . Это полезно, когда форма спектра является довольно постоянной, поскольку изменения в РАС будут пропорциональны вариациям самого уровня напряжения сигнала. Но математически предпочтительнее использовать PSD, поскольку только в этом случае находится область под кривой, значимая с точки зрения фактической мощности по всей частоте или по указанной полосе пропускания.

Приложения

Дополнительная информация: спектр

Любой сигнал, который может быть представлен как переменная, которая изменяется во времени, имеет соответствующий частотный спектр. Это включает в себя знакомые сущности, такие как видимый свет (воспринимаемый как цвет ), музыкальные ноты (воспринимаются как высота ), радио/телевизор (указанный по их частоте, или иногда длины волны ) и даже регулярное вращение Земли. Когда эти сигналы рассматриваются в форме частотного спектра, выявляются некоторые аспекты полученных сигналов или основные процессы, производящие их. В некоторых случаях частотный спектр может включать в себя отчетливый пик, соответствующий компоненту синусоидальной волны . И, кроме того, могут быть пики, соответствующие гармоникам фундаментального пика, что указывает на периодический сигнал, который не является просто синусоидальным. Или непрерывный спектр может показать узкие частоты интервалы, которые сильно улучшаются, соответствующие резонансам, или интервалы частоты, содержащие почти нулевую мощность, как это было бы произведено с помощью Notch Filter .

Электротехника

Спектрограмма радиосигнала FM с частотой на горизонтальной оси и время увеличивается вверх по вертикальной оси.

Концепция и использование спектра мощности сигнала являются фундаментальными в электротехнике , особенно в электронных системах связи , включая радиосвязь , радары и связанные системы, а также пассивного дистанционного зондирования технологию . Электронные инструменты, называемые анализаторами спектра, используются для наблюдения и измерения спектров мощности сигналов.

Анализатор спектра измеряет величину кратковременного преобразования Фурье (STFT) входного сигнала. Если анализируемый сигнал может считаться стационарным процессом, STFT является хорошей сглаженной оценкой ее спектральной плотности мощности.

Космология

Первичные колебания , изменения плотности в ранней вселенной количественно определяются с помощью спектра мощности, который дает силу вариаций в зависимости от пространственного масштаба.

Смотрите также

• Биспектра
• Яркость температура
• Цвета шума
• Спектральный анализ наименьших квадратов
• Шумовая спектральная плотность
• Оценка спектральной плотности
• Спектральная эффективность
• Спектральная утечка
• Спектральное распределение мощности
• Вероятность Уиттла
• Оконная функция

Ссылки

• Birolini, Alessandro (2007). Инженерность надежности . Берлин; Нью -Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-49388-4 .
• Браун, Роберт Гровер; Hwang, Patrick YC (1997). Введение в случайные сигналы и прикладная фильтрация Калмана с упражнениями и решениями MATLAB . Нью-Йорк: Wiley-Liss. ISBN  978-0-471-12839-7 .
• Давенпорт, Уилбур Б. (младший); Рут, Уильям Л. (1987). Введение в теорию случайных сигналов и шума . Нью-Йорк: Wiley-Ieee Press. ISBN  978-0-87942-235-6 .
• Имтиаз, Сайед Анас; Родригес-Виллегас, Эстер (2014). «Низкий вычислительный алгоритм затрат для обнаружения RET Sleep с использованием одноканального ЭЭГ» . Анналы биомедицинской инженерии . 42 (11): 2344–59. doi : 10.1007/s10439-014-1085-6 . PMC   4204008 . PMID   25113231 .
• Иранманеш, Саам; Родригес-Виллегас, Эстер (2017). «Система обнаружения шпинделя с ультраловой силой на чипе». IEEE транзакции на биомедицинских цепях и системах . 11 (4): 858–866. doi : 10.1109/tbcas.2017.2690908 . HDL : 10044/1/46059 . PMID   28541914 . S2CID   206608057 .
• Марал, Джерард (2004). VSAT Networks . Западный Суссекс, Англия; Хобокен, Нью -Джерси: Уайли. ISBN  978-0-470-86684-9 .
• Миллер, Скотт; Чилдерс, Дональд (2012). Вероятность и случайные процессы . Бостон, Массачусетс: Академическая пресса. ISBN  978-0-12-386981-4 Полем OCLC   696092052 .
• Нортон, депутат; Karczub, DG (2003). Основы анализа шума и вибрации для инженеров . Кембридж: издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-49913-2 .
• Оппенгейм, Алан В.; Вергес, Джордж С. (2016). Сигналы, системы и вывод . Бостон: Пирсон. ISBN  978-0-13-394328-3 .
• Риск, Ханнес; Фрэнк, Till (1996). Уравнение Фоккера-Планка . Нью -Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-61530-9 .
• Stein, Jonathan Y. (2000). Цифровая обработка сигнала . Нью-Йорк Вайнхайм: Wiley-Interscience. ISBN  978-0-471-29546-4 .

Внешние ссылки

• Скрипты матлаба с спектральной плотностью мощности