геликоид

Геликоид встроенную , также известный как винтовая поверхность , представляет собой гладкую поверхность, в трехмерное пространство . Это поверхность, очерченная бесконечной линией, которая одновременно вращается и поднимается вдоль своей фиксированной оси вращения. Это третья минимальная поверхность известная после плоскости и катеноида .

Описание

Он был описан Эйлером в 1774 году и Жаном Батистом Мёнье в 1776 году. Его название происходит от его сходства со спиралью : для каждой точки геликоида существует спираль, содержащаяся в геликоиде, которая проходит через эту точку. Поскольку считается, что плоскостной диапазон простирается на отрицательную и положительную бесконечность, внимательное наблюдение показывает появление двух параллельных или зеркальных плоскостей в том смысле, что если проследить наклон одной плоскости, можно увидеть, что соплоскость обошла или обошла. пропущено, хотя на самом деле соплоскость прослеживается и с противоположной точки зрения.

Геликоид также является линейчатой поверхностью (и прямым коноидом ), что означает, что это след линии. Альтернативно, для любой точки на поверхности существует линия, проходящая через нее. Действительно, в 1842 году Каталан доказал, что геликоид и плоскость являются единственными линейчатыми минимальными поверхностями . ^[1]

Геликоид также является поверхностью перемещения в смысле дифференциальной геометрии.

Геликоид и катеноид являются частями семейства минимальных поверхностей геликоид-катеноид.

Геликоид имеет форму винта Архимеда , но простирается бесконечно во всех направлениях. Его можно описать следующими параметрическими уравнениями в декартовых координатах :

x=\rho \cos(\alpha \theta ),\

y=\rho \sin(\alpha \theta ),\

z=\theta ,\

где $ρ$ и $θ$ варьируются от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности, а $α$ является константой. Если $α$ положительное значение, то геликоид правый, как показано на рисунке; если отрицательный, то левша.

Геликоид имеет главные кривизны. $\pm \alpha /(1+\alpha ^{2}\rho ^{2})\$ . Сумма этих величин дает среднюю кривизну (нуль, поскольку геликоид является минимальной поверхностью), а произведение дает гауссову кривизну .

Геликоид гомеоморфен плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ . Чтобы убедиться в этом, пусть $α$ уменьшается непрерывно от заданного значения до нуля . Каждое промежуточное значение $α$ будет описывать отдельный геликоид, пока $α = 0$ не будет достигнуто и геликоид не станет вертикальной плоскостью .

И наоборот, плоскость можно превратить в геликоид, выбрав линию или ось на плоскости, а затем повернув плоскость вокруг этой оси.

Если геликоид радиуса $R$ вращается на угол $θ$ вокруг своей оси, поднимаясь на высоту $h$ , площадь поверхности определяется выражением ^[2]

{\frac {\theta }{2}}\left[R{\sqrt {R^{2}+c^{2}}}+c^{2}\ln \left({\frac {R+{\sqrt {R^{2}+c^{2}}}}{c}}\right)\right],\ c={\frac {h}{\theta }}.

Геликоид и катеноид

Анимация, показывающая локальную изометрию сегмента геликоида и сегмента катеноида.

Геликоид и катеноид являются локально изометрическими поверхностями; см. Преобразование Катеноида#Геликоида .

См. также

Примечания

^ Элементы геометрии и топологии минимальных поверхностей в трехмерном пространстве. Фоменко А.Т. , Тужилин А.А. Автор А. А. Тужилин Издано книжным магазином AMS, 1991 г. ISBN 0-8218-4552-7 , ISBN 978-0-8218-4552-3 , с. 33
^ Вайсштейн, Эрик В. «Геликоид» . Математический мир . Проверено 8 июня 2020 г.

Внешние ссылки

[1] Элементы геометрии и топологии минимальных поверхностей в трехмерном пространстве. Фоменко А.Т. , Тужилин А.А. Автор А. А. Тужилин Издано книжным магазином AMS, 1991 г. ISBN 0-8218-4552-7 , ISBN 978-0-8218-4552-3 , с. 33

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Геликоид» . Математический мир . Проверено 8 июня 2020 г.

[1]

[2]