Стандартные алгоритмы

Для компьютерных алгоритмов см. Список алгоритмов .

В элементарной арифметике стандартный алгоритм или метод — это особый метод вычислений, который традиционно преподается для решения конкретных математических задач. Эти методы несколько различаются в зависимости от страны и времени, но обычно включают в себя обмен, перегруппировку, деление в столбик и умножение в столбик с использованием стандартных обозначений и стандартных формул для среднего значения , площади и объема . Подобные методы также существуют для таких процедур, как извлечение квадратного корня и даже более сложных функций, но они выпали из общей учебной программы по математике в пользу калькуляторов (или таблиц и логарифмических линеек до них). Что касается стандартных алгоритмов элементарной математики, Фишер и др. (2019 ) утверждают, что продвинутые студенты используют стандартные алгоритмы более эффективно, чем сверстники, которые используют эти алгоритмы необоснованно (Fischer et al. 2019). Тем не менее, стандартные алгоритмы, такие как сложение, вычитание, а также упомянутые выше, представляют собой центральные компоненты элементарной математики.

Традиционные стандартные алгоритмы

Иллюстрация традиционных стандартных алгоритмов — сложение, вычитание, умножение, деление

Стандартные алгоритмы ориентированы на цифры, в основном правши (начинают операции с цифрами на месте единиц) и ориентированы на правила (Чарльз, 2020). Ниже описаны стандартные арифметические алгоритмы сложения, вычитания, умножения и деления.

Стандартный алгоритм сложения

Например, с помощью стандартного алгоритма сложения сумму можно получить, следуя трем правилам: а) выровнять цифры каждого слагаемого по разряду, слагаемые с более длинными цифрами должны идти сверху, б) каждое слагаемое можно разложить - единицы добавляются с единицами, десятки добавляются с десятками и так далее, и в) если сумма цифр текущего разряда равна десяти и больше, то число необходимо перегруппировать.

Стандартный алгоритм вычитания

В стандартном алгоритме вычитания первое число называется уменьшаемым, а второе число — вычитаемым. Что касается правил этого алгоритма, то значения разрядов чисел должны совпадать. Затем необходимо оценить, необходима ли перегруппировка или разгруппировка. Затем,

либо обрабатывайте каждый столбец разрядных значений отдельно, разгруппируйте и вычитайте, прежде чем двигаться дальше, либо сначала проверьте все потенциальные разгруппировки, а затем выполните все вычитания. ( Достичь Ядра , nd)

Стандартный алгоритм вычитания. Перегруппировка и разгруппировка.

Стандартный алгоритм умножения

Далее следуют основные правила стандартного алгоритма умножения целых чисел. В этой процедуре умножения «умножьте множимое на каждую цифру множителя, а затем сложите все соответствующим образом сдвинутые результаты». (Запад, 2011) Чтобы использовать этот метод, необходимо знать базовую таблицу умножения от нуля до девяти. (Запад 2011)

Стандартный алгоритм деления

В отличие от других стандартных алгоритмов, алгоритм деления начинается с больших (левых) разрядов (Ли 2007). Частное (округленное до ближайшего целого числа) становится первой цифрой результата. В этом процессе максимальная цифра приближается к виртуальному продукту (Леунг, 2006), что должно быть меньше значения лидирующего разряда дивиденда. В свою очередь, разница между значениями ведущих разрядов и виртуальным продуктом или остатком продвигается вперед, когда процесс повторяется со следующей цифрой делимого («перетягивая» следующую цифру до остатка) (Леунг, 2006). Когда все цифры обработаны и остатка не осталось или остаток меньше делителя, деление завершено.

Реформа математики и стандартные алгоритмы в школах

Концепции реформы математики , представленные NCTM в 1989 году , отдают предпочтение альтернативному подходу. Он предлагает более глубокое понимание основной теории вместо запоминания конкретных методов, что позволит студентам разрабатывать отдельные методы, которые решают одни и те же проблемы. Альтернативные алгоритмы учащихся часто столь же правильны, эффективны и обобщаемы, как и стандартные алгоритмы, и сохраняют акцент на значении задействованных величин, особенно в том, что касается разрядных значений (то, что обычно теряется при запоминании стандартных алгоритмов). Развитие сложных калькуляторов сделало ручные вычисления менее важными (см. примечание о квадратных корнях выше), а поверхностное обучение традиционным методам привело к неудачам среди многих студентов. Повышение успеваемости среди всех типов учащихся является одной из основных целей математического образования, поставленных NCTM . Некоторые исследователи, такие как Констанс Камии, предположили, что элементарная арифметика в том виде, в котором ее традиционно преподают, неуместна в начальной школе. Многие первые издания учебников, написанные в соответствии с оригинальным стандартом 1989 года, такие как TERC сознательно не поощрял преподавание какого-либо конкретного метода, вместо этого посвящая время занятий и домашних заданий решению нетривиальных задач, которые стимулируют учащихся разрабатывать свои собственные методы вычислений, основанные на чувстве числа и значении места. Этот акцент ни в коем случае не исключает изучения числовых фактов; действительно, главной целью раннего математического образования является свободное владение процедурами.

В последних версиях NCTM более четко обозначена необходимость изучения основных математических фактов и правильных и эффективных методов. Во многих новых изданиях основанных на стандартах текстов представлены стандартные методы и базовые навыки. Однако первоначальные рекомендации продолжают вызывать критику со стороны благонамеренных родителей и членов сообщества, некоторые из которых выступают за возвращение к традиционной математике . Успех конкретного текста зависит не только от его содержания, но и от готовности школьного сообщества допустить новую педагогику и содержание, а также взять на себя обязательства по рекомендуемому внедрению материалов.