Z-преобразование

Не путать с z-преобразованием Фишера .

В математике и обработке сигналов Z -преобразование преобразует сигнал дискретного времени , который представляет собой или комплексных последовательность действительных чисел , в комплекснозначное представление частотной области ( z-домен или z-плоскость ).

Его можно рассматривать как эквивалент преобразования Лапласа в дискретном времени ( s-домен или s-плоскость ). Это сходство исследуется в теории исчисления шкалы времени .

В то время как преобразование Фурье в непрерывном времени оценивается на вертикальной оси s-домена (мнимой оси), преобразование Фурье в дискретном времени z-домена оценивается вдоль единичного круга . s-домена Левая полуплоскость отображается на область внутри единичного круга z-домена, а правая полуплоскость s-домена отображается на область за пределами единичного круга z-домена.

Один из способов разработки цифровых фильтров — взять аналоговые конструкции, подвергнуть их билинейному преобразованию , которое отображает их из s-домена в z-домен, а затем создать цифровой фильтр путем проверки, манипуляции или числовой аппроксимации. Такие методы, как правило, не являются точными, за исключением случаев, близких к комплексной единице, то есть на низких частотах.

История

Основополагающая концепция, ныне известная как Z-преобразование, которая является краеугольным камнем в анализе и проектировании цифровых систем управления, не была совершенно новой, когда она появилась в середине 20-го века. Его зачаточные принципы можно проследить до работы французского математика Пьера-Симона Лапласа , который более известен благодаря преобразованию Лапласа , тесно связанному математическому методу. Однако явная формулировка и применение того, что мы сейчас понимаем как Z-преобразование, были значительно продвинуты в 1947 году Витольдом Гуревичем и его коллегами. Их работа была мотивирована проблемами, возникающими в системах управления выборочными данными, которые в тот период становились все более актуальными в контексте радиолокационных технологий. Z-преобразование предоставило систематический и эффективный метод решения линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами, которые повсеместно используются при анализе сигналов и систем с дискретным временем.

Этот метод был усовершенствован и получил свое официальное название «Z-преобразование» в 1952 году благодаря усилиям Джона Р. Рагаццини и Лотфи А. Заде , которые входили в контрольную группу выборочных данных в Колумбийском университете. Их работа не только укрепила математическую основу Z-преобразования, но и расширила сферу его применения, особенно в области электротехники и систем управления.

Разработка Z-преобразования не остановилась на Рагаццини и Заде. Заметное расширение, известное как модифицированное или расширенное Z-преобразование, было позже представлено Элиаху И. Джури . Работа Жюри расширила применимость и надежность Z-преобразования, особенно при обработке начальных условий, и обеспечила более полную основу для анализа цифровых систем управления. Эта усовершенствованная формула сыграла ключевую роль в проектировании и анализе устойчивости систем управления с дискретным временем, внеся значительный вклад в область цифровой обработки сигналов.

Интересно, что концептуальные основы Z-преобразования пересекаются с более широкой математической концепцией, известной как метод производящих функций , мощным инструментом в комбинаторике и теории вероятностей. На эту связь намекнул еще в 1730 году Авраам де Муавр , пионер в развитии теории вероятностей. Де Муавр использовал производящие функции для решения вероятностных задач, закладывая основу для того, что в конечном итоге превратилось в Z-преобразование. С математической точки зрения Z-преобразование можно рассматривать как конкретный экземпляр ряда Лорана , где исследуемая последовательность чисел интерпретируется как коэффициенты в разложении (Лорана) аналитической функции . Эта точка зрения не только подчеркивает глубокие математические корни Z-преобразования, но также иллюстрирует его универсальность и широкую применимость в различных областях математики и техники.

Определение

Z-преобразование можно определить как одностороннее или двустороннее преобразование . (Точно так же, как у нас есть одностороннее преобразование Лапласа и двустороннее преобразование Лапласа .)

Двустороннее Z-преобразование

Двустороннее . или двустороннее Z-преобразование сигнала дискретного времени $x[n]$ формальный степенной ряд $X(z)$ определяется как:

$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$

где $n$ является целым числом и $z$ вообще-то комплексное число . В полярной форме $z$ может быть записано как:

$z=Ae^{j\phi }=A\cdot (\cos {\phi }+j\sin {\phi })$

где $A$ это величина $z$, $j$ – мнимая единица , а $\phi$ — комплексный аргумент (также называемый углом или фазой ) в радианах .

Одностороннее Z-преобразование

Альтернативно, в тех случаях, когда $x[n]$ определяется только для $n\geq 0$, одностороннее или одностороннее Z-преобразование определяется как:

$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}.$

В обработке сигналов это определение можно использовать для оценки Z-преобразования единичной импульсной характеристики с дискретным временем причинной системы .

Важным примером одностороннего Z-преобразования является функция, порождающая вероятность , где компонента $x[n]$ — вероятность того, что дискретная случайная величина примет это значение. Свойства Z-преобразований (перечисленные в § Свойства ) имеют полезные интерпретации в контексте теории вероятностей.

Обратное Z-преобразование

Обратное Z -преобразование:

$x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz$

где $C$ представляет собой замкнутый путь против часовой стрелки, охватывающий начало координат и полностью находящийся в области конвергенции (ROC). В случае, когда ROC является причинным (см. Пример 2 ), это означает путь $C$ должен охватить все полюса $X(z)$.

Особый случай этого контурного интеграла возникает, когда $C$ является единичным кругом. Этот контур можно использовать, когда ROC включает единичную окружность, что всегда гарантируется при $X(z)$ устойчив, то есть когда все полюса находятся внутри единичного круга. С помощью этого контура обратное Z-преобразование упрощается до обратного преобразования Фурье с дискретным временем или ряда Фурье периодических значений Z-преобразования вокруг единичной окружности:

$x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega .$

Z-преобразование с конечным диапазоном $n$ и конечное число равномерно расположенных $z$ значения могут быть эффективно вычислены с помощью алгоритма Блюстейна БПФ . Дискретное преобразование Фурье (DTFT) — не путать с дискретным преобразованием Фурье (DFT) — является частным случаем такого Z-преобразования, полученного путем ограничения $z$ лежать на единичной окружности.

Область конвергенции

См. Также: полюс – нулевой график § Системы дискретного времени.

Область сходимости (ROC) — это набор точек на комплексной плоскости, для которых суммирование Z-преобразования сходится (т.е. не увеличивается по величине до бесконечности):

$\mathrm {ROC} =\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}$

Пример 1 (без ROC)

Позволять $x[n]=(.5)^{n}\ .$ Расширение $x[n]$ на интервале $(-\infty ,\infty )$ это становится

$x[n]=\left\{\dots ,(.5)^{-3},(.5)^{-2},(.5)^{-1},1,(.5),(.5)^{2},(.5)^{3},\dots \right\}=\left\{\dots ,2^{3},2^{2},2,1,(.5),(.5)^{2},(.5)^{3},\dots \right\}.$

Глядя на сумму

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .$

Поэтому нет значений $z$ которые удовлетворяют этому условию.

Пример 2 (причинный ROC)

РПЦ (синий), | г | = 0,5 (пунктирный черный кружок) и единичный кружок (пунктирный серый кружок).

Позволять $x[n]=(.5)^{n}\,u[n]$ (где $u$ – ступенчатая функция Хевисайда ). Расширение $x[n]$ на интервале $(-\infty ,\infty )$ это становится

$x[n]=\left\{\dots ,0,0,0,1,(.5),(.5)^{2},(.5)^{3},\dots \right\}.$

Глядя на сумму

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }(.5)^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-(.5)z^{-1}}}.$

Последнее равенство возникает из бесконечной геометрической прогрессии и имеет место только в том случае, если $|(.5)z^{-1}|<1,$ который можно переписать в терминах $z$ как $|z|>(.5).$ Таким образом, РПЦ является $|z|>(.5).$ В этом случае ROC представляет собой комплексную плоскость с «выбитым» диском радиуса 0,5 в начале координат.

Пример 3 (антипричинный ROC)

РПЦ (синий), | г | = 0,5 (пунктирный черный кружок) и единичный кружок (пунктирный серый кружок).

Позволять $x[n]=-(.5)^{n}\,u[-n-1]$ (где $u$ – ступенчатая функция Хевисайда ). Расширение $x[n]$ на интервале $(-\infty ,\infty )$ это становится

$x[n]=\left\{\dots ,-(.5)^{-3},-(.5)^{-2},-(.5)^{-1},0,0,0,0,\dots \right\}.$

Глядя на сумму

${\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,z^{-n}&=-\sum _{n=-\infty }^{-1}(.5)^{n}\,z^{-n}\\&=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{.5}}\right)^{m}\\&=-{\frac {(.5)^{-1}z}{1-(.5)^{-1}z}}\\&=-{\frac {1}{(.5)z^{-1}-1}}\\&={\frac {1}{1-(.5)z^{-1}}}\\\end{aligned}}$

и снова используя бесконечную геометрическую прогрессию , равенство имеет место только в том случае, если $|(.5)^{-1}z|<1$ который можно переписать в терминах $z$ как $|z|<(.5).$ Таким образом, РПЦ является $|z|<(.5).$ В этом случае ROC представляет собой диск с центром в начале координат и радиусом 0,5.

Этот пример от предыдущего отличает только РПЦ. Это сделано намеренно, чтобы продемонстрировать, что одного результата преобразования недостаточно.

Примеры заключения

Примеры 2 и 3 ясно показывают, что Z-преобразование $X(z)$ из $x[n]$ уникален тогда и только тогда, когда указан ROC. Создание графика полюс-ноль для причинного и антипричинного случая показывает, что ROC для любого случая не включает полюс, равный 0,5. Это распространяется и на случаи с несколькими полюсами: РПЦ никогда не будет содержать полюсов.

В примере 2 причинная система дает ROC, который включает в себя $|z|=\infty$ в то время как антикаузальная система в примере 3 дает ROC, включающий $|z|=0.$

ROC отображается синим кольцом 0,5 < | г | < 0,75

В многополюсных системах ROC может не включать ни $|z|=\infty$ ни $|z|=0.$ РПЦ создает круговую полосу. Например,

$x[n]=(.5)^{n}\,u[n]-(.75)^{n}\,u[-n-1]$

имеет полюса 0,5 и 0,75. ROC составит 0,5 < | г | < 0,75, что не включает ни начало координат, ни бесконечность. Такая система называется системой смешанной причинности, поскольку она содержит причинный член. $(.5)^{n}\,u[n]$ и антикаузальный термин $-(.75)^{n}\,u[-n-1].$

Стабильность . системы также можно определить, зная только ROC Если ROC содержит единичную окружность (т. е. | z | = 1), то система устойчива. В рассмотренных выше системах причинная система (пример 2) устойчива, поскольку | г | > 0,5 содержит единичный круг.

Предположим, нам дано Z-преобразование системы без ROC (т. е. неоднозначное $x[n]$). Мы можем определить уникальный $x[n]$ при условии, что мы желаем следующего:

• Стабильность
• Причинность

Для стабильности ROC должен содержать единичный круг. Если нам нужна причинная система, то РПЦ должна содержать бесконечность, а функция системы будет правосторонней последовательностью. Если нам нужна антикаузальная система, то ROC должна содержать начало координат, а функция системы будет левосторонней последовательностью. Если нам нужны и стабильность, и причинность, все полюса функции системы должны находиться внутри единичного круга.

Уникальный $x[n]$ тогда можно будет найти.

Характеристики

Свойства z-преобразования

Свойство	Временной интервал	Z-домен	Доказательство	РПЦ
Определение Z-преобразования	$x[n]$	$X(z)$	$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}$ (определение z-преобразования) $x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}$ (определение обратного z-преобразования)	$r_{2}<|z|<r_{1}$
Линейность	$a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]$	$a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)$	${\begin{aligned}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n])z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]\,z^{-n}+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}[n]\,z^{-n}\\&=a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\end{aligned}}$	Содержит ROC 1 ∩ ROC 2
Расширение времени	$x_{K}[n]={\begin{cases}x[r],&n=Kr\\0,&n\notin K\mathbb {Z} \end{cases}}$ с $K\mathbb {Z} :=\{Kr:r\in \mathbb {Z} \}$	$X(z^{K})$	${\begin{aligned}X_{K}(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{K}[n]z^{-n}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x[r]z^{-rK}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x[r](z^{K})^{-r}\\&=X(z^{K})\end{aligned}}$	$R^{\frac {1}{K}}$
Децимация	$x[Kn]$	${\frac {1}{K}}\sum _{p=0}^{K-1}X\left(z^{\tfrac {1}{K}}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{K}}p}\right)$	ohio-state.edu или ee.ic.ac.uk
Задержка времени	$x[n-k]$ с $k>0$ и $x:x[n]=0\ \forall \,n<0$	$z^{-k}X(z)$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x[n-k]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}&&j=n-k\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}z^{-k}\\&=z^{-k}\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}\\&=z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}&&x[\beta ]=0,\beta <0\\&=z^{-k}X(z)\end{aligned}}$	РПЦ, кроме $z{=}0$ если $k>0$ и $z{=}\infty$ если $k<0$
Время вперед	$x[n+k]$ с $k>0$	Двустороннее Z-преобразование: $$z^{k}X(z)$$ Одностороннее Z-преобразование: $$z^{k}\,X(z)-z^{k}\sum _{n=0}^{k-1}x[n]\,z^{-n}$$
Первое отличие назад	$x[n]-x[n-1]$ с $x[n]{=}0$ для $n<0$	$(1-z^{-1})\,X(z)$		Содержит пересечение РПЦ $X_{1}(z)$ и $z\neq 0$
Первое отличие нападающего	$x[n+1]-x[n]$	$(z-1)\,X(z)-z\,x[0]$
Обращение времени	$x[-n]$	$X(z^{-1})$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[-n]z^{-n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]z^{m}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]{(z^{-1})}^{-m}\\&=X(z^{-1})\\\end{aligned}}$	${\tfrac {1}{r_{1}}}<|z|<{\tfrac {1}{r_{2}}}$
Масштабирование в z-домене	$a^{n}x[n]$	$X(a^{-1}z)$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\left\{a^{n}x[n]\right\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x[n]z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n](a^{-1}z)^{-n}\\&=X(a^{-1}z)\end{aligned}}$	$|a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}$
Комплексное сопряжение	$x^{*}[n]$	$X^{*}(z^{*})$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x^{*}(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*}[n]z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[x[n](z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n](z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=X^{*}(z^{*})\end{aligned}}$
Реальная часть	$\operatorname {Re} \{x[n]\}$	${\tfrac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]$
Мнимая часть	$\operatorname {Im} \{x[n]\}$	${\tfrac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]$
Дифференциация в z-домене	$n\,x[n]$	$-z{\frac {dX(z)}{dz}}$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{n\,x(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }n\,x[n]z^{-n}\\&=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }n\,x[n]z^{-n-1}\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n](-n\,z^{-n-1})\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]{\frac {d}{dz}}(z^{-n})\\&=-z{\frac {dX(z)}{dz}}\end{aligned}}$	РПЦ, если $X(z)$ рационален; РПЦ возможно без учета границы, если $X(z)$ иррационально
Свертка	$x_{1}[n]*x_{2}[n]$	$X_{1}(z)\,X_{2}(z)$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}&={\mathcal {Z}}\left\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}[l]x_{2}[n-l]\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}[n-l]\right]z^{-n}\\&=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}[l]\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}[n-l]z^{-n}\right]\\&=\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}\right]\!\!\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}[n]z^{-n}\right]\\&=X_{1}(z)X_{2}(z)\end{aligned}}$	Содержит ROC 1 ∩ ROC 2
Взаимная корреляция	$r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]$	$R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}^{*}({\tfrac {1}{z^{*}}})X_{2}(z)$		Содержит пересечение РПЦ $X_{1}({\tfrac {1}{z^{*}}})$ и $X_{2}(z)$
Накопление	$\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)$	${\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]z^{-n}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+\cdots )z^{-n}\\&=X(z)\left(1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right)\\&=X(z)\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\&=X(z){\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{aligned}}$
Умножение	$x_{1}[n]\,x_{2}[n]$	${\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\tfrac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v$		-

Теорема Парсеваля

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v$

Теорема о первоначальном значении : если $x[n]$ является причинным, то

$x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z).$

Окончательная теорема о ценности : если полюса $(z-1)X(z)$ находятся внутри единичного круга, то

$x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).$

Таблица распространенных пар Z-преобразований

Здесь:

$u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}$

– единичная (или ступенчатая) функция Хевисайда и

$\delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}$

– это единичная импульсная функция с дискретным временем (ср. дельта-функция Дирака, которая представляет собой версию с непрерывным временем). Обе функции выбираются вместе так, что функция единичного шага представляет собой накопление (промежуточный итог) единичной импульсной функции.

	Сигнал, $x[n]$	Z-преобразование, $X(z)$	РПЦ
1	$\delta [n]$	1	все з
2	$\delta [n-n_{0}]$	$z^{-n_{0}}$	$z\neq 0$
3	$u[n]\,$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$	$|z|>1$
4	$-u[-n-1]$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$	$|z|<1$
5	$nu[n]$	${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$	$|z|>1$
6	$-nu[-n-1]\,$	${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$	$|z|<1$
7	$n^{2}u[n]$	${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$	$|z|>1\,$
8	$-n^{2}u[-n-1]\,$	${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$	$|z|<1\,$
9	$n^{3}u[n]$	${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$	$|z|>1\,$
10	$-n^{3}u[-n-1]$	${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$	$|z|<1\,$
11	$a^{n}u[n]$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$|z|>|a|$
12	$-a^{n}u[-n-1]$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$|z|<|a|$
13	$na^{n}u[n]$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$|z|>|a|$
14	$-na^{n}u[-n-1]$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$|z|<|a|$
15	$n^{2}a^{n}u[n]$	${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$	$|z|>|a|$
16	$-n^{2}a^{n}u[-n-1]$	${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$	$|z|<|a|$
17	$\left({\begin{array}{c}n+m-1\\m-1\end{array}}\right)a^{n}u[n]$	${\frac {1}{(1-az^{-1})^{m}}}$, для положительного целого числа $m$	$|z|>|a|$
18	$(-1)^{m}\left({\begin{array}{c}-n-1\\m-1\end{array}}\right)a^{n}u[-n-m]$	${\frac {1}{(1-az^{-1})^{m}}}$, для положительного целого числа $m$	$|z|<|a|$
19	$\cos(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$|z|>1$
20	$\sin(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$|z|>1$
21	$a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|$
22	$a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|$

Связь с рядом Фурье и преобразованием Фурье

Дополнительная информация: Преобразование Фурье дискретного времени § Связь с Z-преобразованием

Для значений $z$ в регионе $|z|{=}1$, известный как единичный круг , мы можем выразить преобразование как функцию одной действительной переменной $\omega$ определяя $z{=}e^{j\omega }.$ И двустороннее преобразование сводится к ряду Фурье :

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ z^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n},$    

( Уравнение 1 )

которое также известно как преобразование Фурье дискретного времени (DTFT) $x[n]$ последовательность. Этот $2\pi$-периодическая функция представляет собой периодическое суммирование преобразования Фурье , что делает ее широко используемым инструментом анализа. Чтобы понять это, позвольте $X(f)$ быть преобразованием Фурье любой функции, $x(t)$, чьи выборки на некотором интервале $T$ равный $x[n]$ последовательность. Тогда DTFT $x[n]$ последовательность можно записать следующим образом.

$\underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ e^{-j2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(f-k/T),$    

( Уравнение 2 )

где $T$ имеет единицы секунды, $f$ имеет единицы герцы . Сравнение двух серий показывает, что $\omega {=}2\pi fT$ — нормированная частота в радианах на выборку . Значение $\omega {=}2\pi$ соответствует ${\textstyle f{=}{\frac {1}{T}}}$. И вот с заменой ${\textstyle f{=}{\frac {\omega }{2\pi T}},}$ Уравнение 1 можно выразить через $X({\tfrac {\omega -2\pi k}{2\pi T}})$ (преобразование Фурье):

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-{\tfrac {k}{T}}\right)} _{X\left({\frac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right)}.$    

( Уравнение 3 )

При изменении параметра T отдельные члены уравнения 2 перемещаются дальше или ближе друг к другу вдоль оси f . Однако в уравнении 3 центры остаются на расстоянии 2 π друг от друга, а их ширина расширяется или сжимается. Когда последовательность $x(nT)$ представляет импульсную характеристику системы LTI , эти функции также известны как ее частотная характеристика . Когда $x(nT)$ последовательность является периодической, ее DTFT расходится на одной или нескольких частотах гармоник и равен нулю на всех остальных частотах. Это часто выражается в использовании изменяющихся по амплитуде дельта-функций Дирака на гармонических частотах. Из-за периодичности существует только конечное число уникальных амплитуд, которые легко вычисляются с помощью гораздо более простого дискретного преобразования Фурье (ДПФ). (См. Преобразование Фурье дискретного времени § Периодические данные .)

Связь с преобразованием Лапласа

Дополнительная информация: преобразование Лапласа § Z-преобразование.

Билинейное преобразование

Основная статья: Билинейное преобразование

Билинейное преобразование можно использовать для преобразования фильтров непрерывного времени (представленных в области Лапласа) в фильтры дискретного времени (представленных в Z-области) и наоборот. Используется следующая замена:

$s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}$

преобразовать некоторую функцию $H(s)$ в области Лапласа к функции $H(z)$ в Z-домене ( преобразование Тастина ), или

$z=e^{sT}\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}$

из Z-домена в область Лапласа. Посредством билинейного преобразования комплексная s -плоскость (преобразования Лапласа) отображается в комплексную z-плоскость (z-преобразования). Хотя это отображение (обязательно) нелинейно, оно полезно тем, что отображает всю $j\omega$ ось s -плоскости на единичную окружность в z-плоскости. Таким образом, преобразование Фурье (которое представляет собой преобразование Лапласа, вычисляемое по $j\omega$ оси) становится преобразованием Фурье дискретного времени. Это предполагает, что преобразование Фурье существует; то есть, что $j\omega$ ось находится в области сходимости преобразования Лапласа.

Помеченное преобразование

Основная статья: Помеченное преобразование

Учитывая одностороннее Z-преобразование $X(z)$ функции с дискретизацией по времени соответствующее преобразование со звездочкой создает преобразование Лапласа и восстанавливает зависимость от $T$ (параметр выборки):

${\bigg .}X^{*}(s)=X(z){\bigg |}_{\displaystyle z=e^{sT}}$

Обратное преобразование Лапласа — это математическая абстракция, известная как функция с импульсной выборкой .

Линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами

Линейное уравнение разности постоянных коэффициентов (LCCD) представляет собой представление линейной системы, основанное на уравнении авторегрессии скользящего среднего :

$\sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}.$

Обе части приведенного выше уравнения можно разделить на $\alpha _{0}$ если оно не равно нулю. Нормализуя с помощью $\alpha _{0}{=}1,$ уравнение LCCD можно записать

$y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}.$

Эта форма уравнения LCCD позволяет сделать более явным, что «текущий» выходной сигнал $y[n]$ является функцией прошлых результатов $y[n-p],$ токовый вход $x[n],$ и предыдущие входы $x[n-q].$

Передаточная функция

Z-преобразование приведенного выше уравнения (с использованием законов линейности и сдвига во времени) дает:

$Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}$

где $X(z)$ и $Y(z)$ являются z-преобразованием $x[n]$ и $y[n],$ соответственно. (Соглашения об обозначениях обычно используют заглавные буквы для обозначения z-преобразования сигнала, обозначаемого соответствующей строчной буквой, аналогично соглашению, используемому для обозначения преобразований Лапласа.)

системы Перестановка результатов в передаточной функции :

$H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}.$

Нули и полюса

Из теоремы алгебры числитель имеет основной $M$ корни (соответствующие нулям $H$) и знаменатель имеет $N$ корни (соответствующие полюсам). Переписывание передаточной функции в терминах нулей и полюсов

$H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}},$

где $q_{k}$ это $k^{\text{th}}$ ноль и $p_{k}$ это $k^{\text{th}}$ столб. Нули и полюса обычно являются комплексными, и при построении их на комплексной плоскости (z-плоскости) это называется графиком полюс-ноль .

Кроме того, в точках могут существовать нули и полюса. $z{=}0$ и $z{=}\infty .$ Если мы примем во внимание эти полюса и нули, а также нули и полюса множественного порядка, количество нулей и полюсов всегда будет равным.

Путем факторизации знаменателя можно использовать разложение на частичные дроби , которое затем можно преобразовать обратно во временную область. В результате получим импульсную характеристику и линейное уравнение разности постоянных коэффициентов системы.

Выходной ответ

Если такая система $H(z)$ управляется сигналом $X(z)$ тогда выход $Y(z)=H(z)X(z).$ Выполнив частичные дроби разложение на $Y(z)$ а затем выполняя обратное Z-преобразование вывода $y[n]$ можно найти. На практике часто бывает полезно дробно разложить $\textstyle {\frac {Y(z)}{z}}$ прежде чем умножить это количество на $z$ создать форму $Y(z)$ который имеет члены с легко вычислимыми обратными Z-преобразованиями.

См. также

• Расширенное Z-преобразование
• Билинейное преобразование
• Разностное уравнение (рекуррентное соотношение)
• Дискретная свертка
• Преобразование Фурье дискретного времени
• Конечная импульсная характеристика
• Формальный степенной ряд
• Генерирующая функция
• Преобразование порождающей функции
• Преобразование Лапласа
• Лоран серии
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов
• Функция, генерирующая вероятность
• Звездная трансформация
• Зак трансформирует
• Регуляризация дзета-функции

Дальнейшее чтение

• Рефаат Эль Аттар, Конспекты лекций по Z-преобразованию , Lulu Press, Моррисвилл, Северная Каролина, 2005. ISBN   1-4116-1979-X .
• Огата, Кацухико, Дискретные системы управления временем, 2-е изд ., Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN   0-13-034281-5 .
• Алан В. Оппенгейм и Рональд В. Шафер (1999). Обработка сигналов в дискретном времени, 2-е издание, Серия по обработке сигналов Прентис Холла. ISBN   0-13-754920-2 .

Внешние ссылки

• «Z-преобразование» . Энциклопедия математики . ЭМС Пресс . 2001 [1994].
• Меррих-Баят, Фаршад (2014). «Два метода численного обращения Z-преобразования». arXiv : 1409.1727 [ мат.NA ].
• Таблица Z-преобразований некоторых распространенных преобразований Лапласа
• Запись Mathworld о Z-преобразовании
• Потоки Z-преобразования в Comp.DSP
• Изображение связи между s-плоскостью преобразования Лапласа и Z-плоскостью преобразования Z.
• Видеообъяснение Z-Transform для инженеров
• Что такое z-преобразование?