Подписанная область

В математике знаковая площадь или ориентированная область области аффинной плоскости — это ее площадь с ориентацией, заданной положительным или отрицательным знаком , то есть «плюсом» ( $+$) или «минус» ( $-$) . В более общем смысле, подписанная площадь произвольной области поверхности — это площадь ее поверхности с заданной ориентацией. Если граница области представляет собой простую кривую , область со знаком также указывает ориентацию границы.

Плоская область

Полигоны

В математике древней Месопотамии , Египта и Греции не было явного понятия отрицательных чисел или площадей со знаком, но существовали представления о формах, содержащихся в некоторых граничных линиях или кривых, площади которых можно было вычислить или сравнить, склеивая фигуры вместе или вырезая части. представляет собой сложение или вычитание площадей. Это было формализовано в Книге I « » Евклида Начал , которая приводит к нескольким общим понятиям, включая «если равные добавляются к равным, то целые равны» и «если равные вычитаются из равных, то остатки равны» (среди плоских фигур , жители одной и той же площади назывались «равными»). Положения в книге I касаются свойств треугольников и параллелограммов , в том числе, например, что параллелограммы с одинаковым основанием и одинаковыми параллелограммами равны и что любой треугольник с одинаковым основанием и одинаковыми параллелограммами имеет половину площади этих параллелограммов. и построение параллелограмма той же площади, что и любая «прямолинейная фигура» ( простой многоугольник ), путем разбиения его на треугольники . Греческие геометры часто сравнивали плоские площади с помощью квадратуры (построение квадрата той же площади, что и форма), а Книга II «Элементов » показывает, как построить квадрат той же площади, что и любой заданный многоугольник.

Точно так же, как отрицательные числа упрощают решение алгебраических уравнений , устраняя необходимость переворачивать знаки в отдельно рассматриваемых случаях, когда величина может быть отрицательной, понятие площади со знаком аналогичным образом упрощает геометрические вычисления и доказательства. Вместо вычитания одной области из другой можно сложить две знаковые области противоположной ориентации, и полученную область можно будет осмысленно интерпретировать независимо от ее знака. Например, положения II.12–13 «Начал » содержат геометрического предшественника закона косинусов , который разбивается на отдельные случаи в зависимости от того, является ли угол рассматриваемого треугольника тупым или острым , поскольку к конкретному прямоугольнику следует либо прибавить или вычитается соответственно ( косинус угла либо отрицательный, либо положительный). Если прямоугольнику разрешено иметь область со знаком, оба случая можно объединить в один с помощью одного доказательства (дополнительно охватывающего прямоугольный случай, когда прямоугольник исчезает).

Как и в случае с неориентированной площадью простых многоугольников в Elements , ориентированную площадь многоугольников на аффинной плоскости (в том числе с отверстиями или самопересечениями ) можно удобно свести к суммам ориентированных площадей треугольников, каждая из которых в свою очередь равна половине ориентированной площади параллелограмма. Ориентированную площадь любого многоугольника можно записать как коэффициент вещественного числа со знаком ( площадь со знаком фигуры), умноженную на ориентированную площадь обозначенного многоугольника, объявленного имеющим единичную площадь; в случае евклидовой плоскости это обычно единичный квадрат .

Один из самых простых в вычислительном отношении способов разбить произвольный многоугольник (описанный упорядоченным списком вершин) на треугольники — это выбрать произвольную исходную точку, а затем сформировать ориентированный треугольник между началом координат и каждой парой соседних вершин в треугольнике. Когда плоскости задана декартова система координат , этот метод аналогичен формуле шнурков XVIII века .

Изогнутые формы

У древних греков не было общего метода вычисления площадей фигур с изогнутыми границами, а квадратура круга с использованием только конечного числа шагов была нерешенной проблемой (которая оказалась невозможной в 19 веке). Однако Архимед точно вычислил квадратуру параболы с помощью метода исчерпывания , суммируя бесконечное количество треугольных площадей в предшественнике современного интегрального исчисления , и аппроксимировал квадратуру круга, сделав первые несколько шагов аналогичного процесса.

Интегралы

Синяя область над осью X может быть указана как положительная область, а желтая область под осью X — отрицательная область.

Интеграл представить можно действительной функции как область со знаком между $x$-ось и кривая $y=f(x)$ на интервале [ a , b ]. Площадь над $x$-ось может быть указана как положительная ( $+$) и область ниже $x$-ось может быть указана как отрицательная ( $-$) .

Отрицательная площадь возникает при изучении натурального логарифма как площадь со знаком под кривой. $y=1/x$ для $0<x<1$, то есть: $$\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}=-\int _{x}^{1}{\frac {dt}{t}}<0.$$

В дифференциальной геометрии знак площади области поверхности связан с ориентацией поверхности. Площадь множества A в дифференциальной геометрии получается как интегрирование плотности : $$\mu (A)=\int _{A}dx\wedge dy,$$ где d x и d y — дифференциальные 1-формы , составляющие плотность. Поскольку клиновое произведение обладает антикоммутативным свойством , $dy\wedge dx=-dx\wedge dy$. Плотность связана с плоской ориентацией, существующей локально в многообразии, но не обязательно глобально. В случае натурального логарифма, полученного интегрированием площади под гиперболой xy = 1, плотность d x ∧ d y положительна при x > 1, но поскольку интеграл $$\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}$$ привязан к 1, ориентация оси X меняется на обратную в единичном интервале . Для этого интегрирования ориентация (− d x ) дает плотность, противоположную той, которая использовалась для x > 1. При этой противоположной плотности площадь под гиперболой и над единичным интервалом принимается как отрицательная площадь, а естественная логарифм, следовательно, отрицателен в этой области.

Детерминанты

Подписанные области были связаны с определителями Феликсом Кляйном в 1908 году. Если треугольник задан тремя точками, его площадь равна: $${\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}.$$ Например, когда $(x_{3},\ y_{3})=(0,0),$ тогда площадь определяется выражением ${\frac {x_{1}y_{2}-x_{2}y_{3}}{2}}.$

Чтобы рассмотреть области, ограниченные кривой , кривая аппроксимируется тонкими треугольниками, одна сторона которых равна (d x ,d y ), площадь которых равна $${\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}0&0&1\\x&y&1\\x+dx&y+dy&1\end{vmatrix}}={\frac {1}{2}}(x\ dy-y\ dx).$$ Тогда « площадь сектора между кривой и двумя радиусами-векторами» определяется выражением $${\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}(x\ dy-y\ dx).$$ Например, обратная ориентация единичной гиперболы определяется выражением $x=\cosh t,\quad y=-\sinh t.$ Затем $$x\ dy-y\ dx=-\cosh ^{2}t\ dt+\sinh ^{2}t\ dt=-dt,$$ поэтому площадь гиперболического сектора между нулем и θ равна $${\frac {-1}{2}}\int _{0}^{\theta }dt={\frac {-t}{2}}{\big |}_{0}^{\theta }=-{\frac {\theta }{2}},$$ придание отрицательного гиперболического угла как площади отрицательного сектора.

Постник эквивалентность

Учебник Михаила Постникова 1979 года «Лекции по геометрии» обращается к определенным геометрическим преобразованиям , описываемым как функции пар координат. $(x,y)$ – для выражения «свободно плавающих элементов области». Картирование сдвига может быть одним из:

$${\begin{aligned}(x,y)&\to (x,\ y+kx),\\(x,y)&\to (x+ky,\ y)\end{aligned}}$$

для любого действительного числа $k$, в то время как отображение сжатое

$$(x,y)\to (\lambda x,\ y/\lambda )$$

для любого положительного действительного числа $\lambda$. Элемент площади связан $(\thicksim )$ в другое, если одно из преобразований приводит ко второму при применении к первому. В качестве отношения эквивалентности элементы площади сегментируются на классы эквивалентности связанных элементов, которые являются бивекторами Постникова .

Предложение: Если $(a_{1},b_{1})=(ka+\ell b,\ k_{1}a+\ \ell _{1}b)$ и

$\delta =k\ell _{1}-\ell k_{1}\neq 0,$ затем $(a,b)\thicksim (a_{1},\ ({\frac {1}{\delta }})b_{1}).$

доказательство: $(a,\ b)\thicksim (a+{\frac {\ell }{k}}b,\ b)$ картирование сдвига

$\thicksim (ka+\ell b,\ {\tfrac {1}{k}}b)$ картографирование сжатия

$\thicksim (ka+\ell b,\ {\tfrac {1}{k}}b+{\frac {k_{1}}{k\delta }}(ka+\ell b))$ картирование сдвига

$=(ka+\ell b,\ {\frac {k_{1}}{k\delta }}(ka+({\frac {\delta }{k_{1}}}+\ell )b)$

$=(ka+\ell b,\ {\frac {1}{\delta }}(k_{1}a+\ell _{1}b))\ \ {\text{since}}\ \ \ell +{\frac {\delta }{k_{1}}}={\frac {k}{k_{1}}}\ell _{1}$

$=(a_{1},\ {\frac {1}{\delta }}b_{1}).$

См. также

• Векторная область
• Форма объёма
• Расстояние со знаком
• Подписанная мера
• Подписанный том

Внешние ссылки

• Клейтман, Дэниел . «Глава 15: Площади и объемы параллельных фигур; определители» . Домашняя страница Клейтмана . Домашняя страница математического факультета Массачусетского технологического института.