Связь энергии и импульса

В физике соотношение энергии -импульса , или релятивистское дисперсионное соотношение , представляет собой релятивистское уравнение, связывающее полную энергию (которую также называют релятивистской энергией ) с инвариантной массой (которая также называется массой покоя) и импульсом . Это расширение эквивалентности массы и энергии для тел или систем с ненулевым импульсом. Его можно записать в виде следующего уравнения:

$E^{2}=(p{\textrm {c}})^{2}+\left(m_{0}{\textrm {c}}^{2}\right)^{2}\,$

( 1 )

Это уравнение справедливо для тела или системы , такой как одна или несколько частиц , с полной энергией $E$ , инвариантной массой $m 0$ и импульсом величины $p$ ; константа $c$ — скорость света . Он предполагает относительности специальный случай плоского пространства-времени. ^[1]^[2]^[3]и что частицы свободны. Полная энергия представляет собой сумму энергии покоя и кинетической энергии , а инвариантная масса — это масса, измеренная в системе отсчёта центра импульса .

Для тел или систем с нулевым импульсом оно упрощается до уравнения массы-энергии. $E=m_{0}{\textrm {c}}^{2}$ , где полная энергия в данном случае равна энергии покоя (также обозначается как $E 0$ ).

Модель моря Дирака , которая использовалась для предсказания существования антиматерии , тесно связана с соотношением энергии и импульса.

Подключение к $E = mc 2$ [ редактировать ]

Соотношение энергия-импульс согласуется со знакомым соотношением масса-энергия в обеих его интерпретациях: $E = mc. 2$ связывает полную энергию $E$ с (общей) релятивистской массой $m$ (альтернативно обозначаемой $m rel$ или $m tot$ ), в то время как $E 0 = m 0 c 2$ связывает энергию покоя $E 0$ с (инвариантной) массой покоя $m 0$ .

В отличие от любого из этих уравнений, уравнение энергии-импульса ( 1 ) связывает полную энергию с покоя массой $m 0$ . Все три уравнения справедливы одновременно.

Особые случаи [ править ]

Если тело является безмассовой частицей ( $m 0 = 0$ ), то ( 1 ) сводится к $E = pc$ . Для фотонов это соотношение, открытое в классическом электромагнетизме XIX века , между лучистым импульсом (вызывающим радиационное давление ) и лучистой энергией .
Если скорость тела $v$ много меньше $c$ , то ( 1 ) сводится к $E = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2 м 0 В 2 + м 0 с 2$ ; то есть полная энергия тела — это просто его классическая кинетическая энергия ( $1/2 м 0 В 2$ ) плюс его энергия покоя.
Если тело покоится ( $v = 0$ ), т. е. находится в своей системе отсчета с центром импульса ( $p = 0$ ), мы имеем $E = E 0$ и $m = m 0$ ; таким образом, соотношение энергия-импульс и обе формы отношения масса-энергия (упомянутые выше) становятся одинаковыми.

справедлива более общая форма соотношения ( 1 ) Для общей теории относительности .

Инвариантная масса (или масса покоя) является инвариантом для всех систем отсчета (отсюда и название), не только в инерциальных системах отсчета в плоском пространстве-времени, но и в ускоренных системах отсчета , перемещающихся в искривленном пространстве-времени (см. ниже). Однако полная энергия частицы $E$ и ее релятивистский импульс $p$ зависят от системы отсчета; относительное движение между двумя кадрами заставляет наблюдателей в этих кадрах измерять разные значения энергии и импульса частицы; один кадр измеряет $E$ и $p$ , а другой кадр измеряет $E'$ и $p'$ , где $E' \neq E$ и $p' \neq p$ , если только между наблюдателями нет относительного движения, и в этом случае каждый наблюдатель измеряет одну и ту же энергию и импульсы. Хотя в плоском пространстве-времени у нас все еще есть:

{E'}^{2}-\left(p'c\right)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,.

Величины $E$ , $p$ , $E'$ , $p'$ связаны преобразованием Лоренца . Соотношение позволяет обойти преобразования Лоренца при определении только величин энергии и импульса путем приравнивания соотношений в разных системах отсчета. Опять же, в плоском пространстве-времени это означает;

{E}^{2}-\left(pc\right)^{2}={E'}^{2}-\left(p'c\right)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,.

Поскольку $m 0$ не меняется от кадра к кадру, соотношение энергия-импульс используется в расчетах релятивистской механики и физики элементарных частиц , поскольку энергия и импульс задаются в системе покоя частицы (то есть $E'$ и $p'$ как наблюдатель, движущийся с частицей) и измеряется в лабораторных условиях (т.е. $E$ и $p$ определяются физиками элементарных частиц в лаборатории, а не движутся вместе с частицами).

В релятивистской квантовой механике оно является основой построения релятивистских волновых уравнений , поскольку если релятивистское волновое уравнение, описывающее частицу, согласуется с этим уравнением – оно согласуется с релятивистской механикой и является лоренц-инвариантным . В релятивистской квантовой теории поля она применима ко всем частицам и полям. ^[4]

уравнения вывод Происхождение и

Соотношение энергия-импульс восходит к Макса Планка. статье ^[5]опубликовано в 1906 году. Его использовал Уолтер Гордон в 1926 году, а затем Поль Дирак в 1928 году под формой ${\textstyle E={\sqrt {c^{2}p^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}}}+V}$ , где V — количество потенциальной энергии. ^[6]^[7]

Уравнение можно получить разными способами, два из самых простых:

Из релятивистской динамики массивной частицы:
Путем оценки нормы четырехимпульса системы . Этот метод применим как к массивным, так и к безмассовым частицам и может быть распространен на многочастичные системы с относительно небольшими усилиями (см. § Многочастичные системы ниже).

Эвристический подход частиц для массивных

Для массивного объекта, движущегося с трехскоростью $u = (u x, u y, u z)$ с магнитудой $| ты | = u$ в лабораторной системе : ^[1]

E=\gamma _{(\mathbf {u} )}m_{0}c^{2}

- полная энергия движущегося объекта в лабораторной системе координат,

\mathbf {p} =\gamma _{(\mathbf {u} )}m_{0}\mathbf {u}

— трехмерный релятивистский импульс объекта в лабораторной системе координат с магнитудой $| р | = п$ . Релятивистская энергия $E$ и импульс $p$ включают фактор Лоренца , определяемый следующим образом:

\gamma _{(\mathbf {u} )}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {u}{c}}\right)^{2}}}}

Некоторые авторы используют релятивистскую массу, определяемую как:

m=\gamma _{(\mathbf {u} )}m_{0}

хотя масса покоя $m 0$ будет использоваться в первую очередь вместо релятивистской массы $m$ имеет более фундаментальное значение и в этой статье .

Возведение в квадрат 3-импульса дает:

p^{2}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} ={\frac {m_{0}^{2}\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}={\frac {m_{0}^{2}u^{2}}{1-\left({\frac {u}{c}}\right)^{2}}}

тогда решу за $тебя 2$ и подставляя в фактор Лоренца, получаем его альтернативную форму в терминах 3-импульса и массы, а не 3-скорости:

\gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}

Включение этой формы фактора Лоренца в уравнение энергии дает:

E=m_{0}c^{2}{\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}

с последующей перестановкой получается ( 1 ). Устранение фактора Лоренца также устраняет неявную зависимость частицы от скорости в ( 1 ), а также любые выводы о «релятивистской массе» массивной частицы. Этот подход не является универсальным, поскольку безмассовые частицы не рассматриваются. Наивная установка $m 0 = 0$ будет означать, что $E = 0$ и $p = 0$ , и никакое соотношение энергии и импульса не может быть получено, что неверно.

Норма четырехимпульса [ править ]

Специальная теория относительности [ править ]

В пространстве Минковского энергия (деленная на $c$ Минковского ) и импульс являются двумя компонентами четырехвектора , а именно четырехимпульса ; ^[8]

\mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)\,,

(это контравариантные компоненты).

⟨ Скалярное произведение Минковского $, ⟩$ этого вектора на самого себя дает квадрат нормы этого вектора, оно пропорционально квадрату массы покоя $m$ тела:

\left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=\left(m_{0}c\right)^{2}\,,

Лоренц - инвариантная величина и, следовательно, независимая от системы отсчета . Используя метрику Минковского $η$ с метрической сигнатурой $(- + + +)$ , внутренний продукт равен

\left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=-\left(m_{0}c\right)^{2}\,,

и

\left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =P^{\alpha }\eta _{\alpha \beta }P^{\beta }={\begin{pmatrix}{\frac {E}{c}}&p_{x}&p_{y}&p_{z}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {E}{c}}\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}=-\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}+p^{2}\,,

так

-\left(m_{0}c\right)^{2}=-\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}+p^{2}

или, в натуральных единицах, где $c$ = 1,

|\mathbf {P} |^{2}+(m_{0})^{2}=0

.

Общая теория относительности [ править ]

В общей теории относительности 4-импульс представляет собой четырехвектор, определенный в локальной системе координат, хотя по определению внутренний продукт аналогичен продукту специальной теории относительности:

\left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=\left(m_{0}c\right)^{2}\,,

в котором метрика Минковского $η$ заменена метрическим тензорным полем $g$ :

\left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=P^{\alpha }g_{\alpha \beta }P^{\beta }\,,

решено из уравнений поля Эйнштейна . Затем: ^[9]

P^{\alpha }g_{\alpha \beta }P^{\beta }=\left(m_{0}c\right)^{2}\,.

Выполнение суммирования по индексам с последующим сбором терминов «времяподобного», «пространственно-временного» и «пространственноподобного» дает:

\underbrace {g_{00}{\left(P^{0}\right)}^{2}} _{\text{time-like}}+2\underbrace {g_{0i}P^{0}P^{i}} _{\text{spacetime-like}}+\underbrace {g_{ij}P^{i}P^{j}} _{\text{space-like}}=\left(m_{0}c\right)^{2}\,.

где коэффициент 2 возникает потому, что метрика является симметричным тензором и используется соглашение о латинских индексах $i, j$ , принимающих пространственные значения 1, 2, 3. Поскольку каждый компонент метрики в целом зависит от пространства и времени; это значительно сложнее, чем формула, приведенная в начале; см. в метрическом тензоре (общая теория относительности) дополнительную информацию .

Единицы энергии, массы и импульса [ править ]

В натуральных единицах , где $c = 1$ , уравнение энергии-импульса сводится к

E^{2}=p^{2}+m_{0}^{2}\,.

В физике элементарных частиц энергия обычно выражается в единицах электрон-вольт (эВ), а импульс — в единицах эВ· $с.$ ⁻¹, а масса в единицах эВ· $с$ ⁻². В электромагнетизме и из-за релятивистской инвариантности полезно иметь электрическое поле $E$ и магнитное поле $B$ в одной и той же единице ( Гаусс ), используя систему единиц СГС (гауссова) , где энергия дается в единицах эрг , масса в граммах (г) и импульс в г·см·с. ⁻¹.

Энергия также теоретически может быть выражена в граммах, хотя на практике требуется большое количество энергии, чтобы быть эквивалентным массам в этом диапазоне. Например, первая атомная бомба выделила около 1 грамма тепла , а самые крупные термоядерные бомбы выделили килограмм и более тепла. Энергию термоядерных бомб обычно измеряют в десятках килотонн и мегатонн, имея в виду энергию, выделяющуюся при взрыве такого количества тринитротолуола (тротила).

Особые случаи [ править ]

Система центра импульса (одна частица) [ править ]

Для тела в системе покоя импульс равен нулю, поэтому уравнение упрощается до

E_{0}=m_{0}c^{2}\,,

где $m 0$ – масса покоя тела.

Безмассовые частицы [ править ]

Если объект безмассовый, как в случае фотона , то уравнение сводится к

E=pc\,.

Это полезное упрощение. Его можно переписать и другими способами, используя соотношения де Бройля :

E={\frac {hc}{\lambda }}=\hbar ck\,.

если длина волны $λ$ или волновое число $k$ заданы .

Принцип переписки [ править ]

Переписав соотношение для массивных частиц как:

E=m_{0}c^{2}{\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}\,,

и разложение в степенной ряд по биномиальной теореме (или ряду Тейлора ):

E=m_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{4}+\cdots \right]\,,

в пределе, когда $u ≪ c$ , мы имеем $γ (u) \approx 1$ , поэтому импульс имеет классическую форму $p \approx m 0 u$ , затем в первом порядке по $(п / м 0 в) 2$ (т.е. сохранить термин $(п / м 0 в) 2 2н$ для $n = 1$ и пренебрегая всеми членами для $n \geq 2$ ), имеем

E\approx m_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {m_{0}u}{m_{0}c}}\right)^{2}\right]\,,

или

E\approx m_{0}c^{2}+{\frac {1}{2}}m_{0}u^{2}\,,

где второй член — классическая кинетическая энергия , а первый — энергия покоя частицы. Это приближение неприменимо для безмассовых частиц, поскольку для расширения требовалось деление импульса на массу. Кстати, в классической механике нет безмассовых частиц.

Многочастичные системы [ править ]

четырех импульсов Сложение

В случае многих частиц с релятивистскими импульсами $p n$ и энергией $En (вплоть до общего числа частиц) ,$ , где $n = 1, 2, ...$ просто помечает частицы, измеренные в конкретной системе отсчета, четырех- импульсы в этой системе координат можно добавить;

\sum _{n}\mathbf {P} _{n}=\sum _{n}\left({\frac {E_{n}}{c}},\mathbf {p} _{n}\right)=\left(\sum _{n}{\frac {E_{n}}{c}},\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)\,,

а потом принять норму; чтобы получить соотношение для системы многих частиц:

\left|\left(\sum _{n}\mathbf {P} _{n}\right)\right|^{2}=\left(\sum _{n}{\frac {E_{n}}{c}}\right)^{2}-\left(\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)^{2}=\left(M_{0}c\right)^{2}\,,

где $M 0$ — инвариантная масса всей системы и не равна сумме масс покоя частиц, если только все частицы не покоятся ( см. Масса в специальной теории относительности более подробно ). Замена и перестановка дают обобщение ( 1 );

$\left(\sum _{n}E_{n}\right)^{2}=\left(\sum _{n}\mathbf {p} _{n}c\right)^{2}+\left(M_{0}c^{2}\right)^{2}$

( 2 )

Все энергии и импульсы в уравнении зависят от системы отсчета, а $M 0$ не зависит от системы отсчета.

Кадр центра импульса [ править ]

В кадре центра импульса (кадре COM) по определению мы имеем:

\sum _{n}\mathbf {p} _{n}={\boldsymbol {0}}\,,

с учетом ( 2 ), что инвариантная масса также является массой-энергией центра импульса (COM), помимо $c 2$ фактор:

\left(\sum _{n}E_{n}\right)^{2}=\left(M_{0}c^{2}\right)^{2}\Rightarrow \sum _{n}E_{\mathrm {COM} \,n}=E_{\mathrm {COM} }=M_{0}c^{2}\,,

и это верно для всех кадров, поскольку $M 0$ не зависит от кадра. Энергии $E COM n$ — это энергии в системе COM, а не в лабораторной системе координат. Однако во многих знакомых связанных системах лабораторный кадр используется как COM-кадр, поскольку сама система не находится в движении, и поэтому все импульсы сводятся к нулю. Примером может служить простой объект (где колебательные моменты атомов компенсируются) или контейнер с газом, в котором контейнер покоится. В таких системах все энергии системы измеряются как масса. Например, тепло в объекте на шкале или сумма кинетических энергий в контейнере с газом на шкале — все они измеряются по шкале как масса системы.

Массы покоя и инвариантная масса [ править ]

Либо энергии, либо импульсы частиц, измеренные в некоторой системе отсчета, можно исключить, используя соотношение энергии-импульса для каждой частицы:

E_{n}^{2}-\left(\mathbf {p} _{n}c\right)^{2}=\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}\,,

позволяя $выразить M 0$ через энергии и массы покоя или импульсы и массы покоя. В конкретном кадре квадраты сумм можно переписать как суммы квадратов (и произведений):

\left(\sum _{n}E_{n}\right)^{2}=\left(\sum _{n}E_{n}\right)\left(\sum _{k}E_{k}\right)=\sum _{n,k}E_{n}E_{k}=2\sum _{n<k}E_{n}E_{k}+\sum _{n}E_{n}^{2}\,,

\left(\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)^{2}=\left(\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)\cdot \left(\sum _{k}\mathbf {p} _{k}\right)=\sum _{n,k}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}=2\sum _{n<k}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}+\sum _{n}\mathbf {p} _{n}^{2}\,,

поэтому подставив суммы, мы можем ввести их массы покоя $m n$ в ( 2 ):

\sum _{n}\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}+2\sum _{n<k}\left(E_{n}E_{k}-c^{2}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}\right)=\left(M_{0}c^{2}\right)^{2}\,.

Энергии можно устранить следующими способами:

E_{n}={\sqrt {\left(\mathbf {p} _{n}c\right)^{2}+\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}}}\,,\quad E_{k}={\sqrt {\left(\mathbf {p} _{k}c\right)^{2}+\left(m_{k}c^{2}\right)^{2}}}\,,

аналогично импульс можно устранить следующим образом:

\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}=\left|\mathbf {p} _{n}\right|\left|\mathbf {p} _{k}\right|\cos \theta _{nk}\,,\quad |\mathbf {p} _{n}|={\frac {1}{c}}{\sqrt {E_{n}^{2}-\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}}}\,,\quad |\mathbf {p} _{k}|={\frac {1}{c}}{\sqrt {E_{k}^{2}-\left(m_{k}c^{2}\right)^{2}}}\,,

где $θnk —$ угол между $pn pk$ и $. векторами$ импульса

Перестановка:

\left(M_{0}c^{2}\right)^{2}-\sum _{n}\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}=2\sum _{n<k}\left(E_{n}E_{k}-c^{2}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}\right)\,.

Поскольку инвариантная масса системы и массы покоя каждой частицы не зависят от системы отсчета, правая часть также является инвариантом (хотя все энергии и импульсы измеряются в определенной системе отсчета).

Волны материи [ править ]

Используя соотношения де Бройля для энергии и импульса для волн материи ,

E=\hbar \omega \,,\quad \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \,,

где $ω$ — угловая частота , а $k$ — волновой вектор величины $| к | = k$ , равный волновому числу , связь энергия-импульс может быть выражена через волновые величины:

\left(\hbar \omega \right)^{2}=\left(c\hbar k\right)^{2}+\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,,

и привести в порядок путем деления на $(ħc) 2$ через:

$\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}=k^{2}+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\,.$

( 3 )

Это также можно получить из величины четырехволнового вектора

\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},\mathbf {k} \right)\,,

аналогично четырехимпульсу, описанному выше.

Поскольку приведенная постоянная Планка $ħ$ и скорость света $c$ появляются и засоряют это уравнение, именно здесь естественные единицы особенно полезны. Нормализовав их так, что $ħ = c = 1$ , получим:

\omega ^{2}=k^{2}+m_{0}^{2}\,.

Тахион и экзотическая материя [ править ]

Скорость брадиона с релятивистской зависимостью энергия-импульс

E^{2}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}\,.

никогда не может превышать $c$ . Напротив, $вид$ для тахиона , уравнение энергии-импульса которого имеет ^[10]

E^{2}=p^{2}c^{2}-m_{0}^{2}c^{4}\,.

Напротив, гипотетическая экзотическая материя имеет отрицательную массу. ^[11] и уравнение энергии-импульса имеет вид

E^{2}=-p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}\,.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б Клеппнер, Дэниел ; Роберт Дж. Коленков (2010) [1973]. Введение в механику . Издательство Кембриджского университета. стр. 499–500 . ISBN 978-0-521-19821-9 .
^ Дж. Р. Форшоу; А.Г. Смит (2009). Динамика и относительность . Уайли. стр. 149 , 249. ISBN. 978-0-470-01460-8 .
^ Д. МакМахон (2006). Относительность . Демистифицируется. МакГроу Хилл (США). п. 20 . ISBN 0-07-145545-0 .
^ Д. МакМахон (2008). Квантовая теория поля . Демистифицируется. МакГроу Хилл (США). стр. 11 , 88. ISBN. 978-0-07-154382-8 .
^ Планк, Макс (1906). «Принцип относительности и основные уравнения механики» . Переговоры Немецкого физического общества . 8 (7): 136–141.
^ Гордон, Уолтер (1926). «Эффект Комптона по теории Шрёдингера». З. Физ . 40 : 117–133. дои : 10.1007/BF01390840 . S2CID 122254400 .
^ Дирак, Поль (1928). «Квантовая теория электрона» . Учеб. Рой. Соц. Лондон сер. А. 117 (778): 610–624. Бибкод : 1928RSPSA.117..610D . дои : 10.1098/rspa.1928.0023 .
^ Дж. Р. Форшоу; А.Г. Смит (2009). Динамика и относительность . Уайли. стр. 258–259 . ISBN 978-0-470-01460-8 .
^ Дж. А. Уилер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co., стр. 201 , 649, 1188. ISBN 0-7167-0344-0 .
^ Г. Фейнберг (1967). «Возможность частиц со скоростью, превышающей скорость света». Физический обзор . 159 (5): 1089–1105. Бибкод : 1967PhRv..159.1089F . дои : 10.1103/PhysRev.159.1089 .
^ ЗЫВанг (2016). «Современная теория электромагнитных метаматериалов». Плазмоника . 11 (2): 503–508. дои : 10.1007/s11468-015-0071-7 . S2CID 122346519 .

А. Халперн (1988). 3000 решенных задач по физике, серия Шаума . МакГроу-Хилл. стр. 704–705. ISBN 978-0-07-025734-4 .
Г. Воан (2010). Кембриджский справочник физических формул . Издательство Кембриджского университета. п. 65 . ISBN 978-0-521-57507-2 .
CB Паркер (1994). Энциклопедия физики МакГроу-Хилла (2-е изд.). МакГроу-Хилл. стр. 1192, 1193 . ISBN 0-07-051400-3 .
Р. Г. Лернер ; Г.Л. Тригг (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издательство ВХК. п. 1052 . ISBN 0-89573-752-3 .

[KleppnerKolenkow1973-1] Перейти обратно: ^а ^б Клеппнер, Дэниел ; Роберт Дж. Коленков (2010) [1973]. Введение в механику . Издательство Кембриджского университета. стр. 499–500 . ISBN 978-0-521-19821-9 .

[2] Дж. Р. Форшоу; А.Г. Смит (2009). Динамика и относительность . Уайли. стр. 149 , 249. ISBN. 978-0-470-01460-8 .

[3] Д. МакМахон (2006). Относительность . Демистифицируется. МакГроу Хилл (США). п. 20 . ISBN 0-07-145545-0 .

[4] Д. МакМахон (2008). Квантовая теория поля . Демистифицируется. МакГроу Хилл (США). стр. 11 , 88. ISBN. 978-0-07-154382-8 .

[5] Планк, Макс (1906). «Принцип относительности и основные уравнения механики» . Переговоры Немецкого физического общества . 8 (7): 136–141.

[6] Гордон, Уолтер (1926). «Эффект Комптона по теории Шрёдингера». З. Физ . 40 : 117–133. дои : 10.1007/BF01390840 . S2CID 122254400 .

[7] Дирак, Поль (1928). «Квантовая теория электрона» . Учеб. Рой. Соц. Лондон сер. А. 117 (778): 610–624. Бибкод : 1928RSPSA.117..610D . дои : 10.1098/rspa.1928.0023 .

[8] Дж. Р. Форшоу; А.Г. Смит (2009). Динамика и относительность . Уайли. стр. 258–259 . ISBN 978-0-470-01460-8 .

[9] Дж. А. Уилер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co., стр. 201 , 649, 1188. ISBN 0-7167-0344-0 .

[10] Г. Фейнберг (1967). «Возможность частиц со скоростью, превышающей скорость света». Физический обзор . 159 (5): 1089–1105. Бибкод : 1967PhRv..159.1089F . дои : 10.1103/PhysRev.159.1089 .

[11] ЗЫВанг (2016). «Современная теория электромагнитных метаматериалов». Плазмоника . 11 (2): 503–508. дои : 10.1007/s11468-015-0071-7 . S2CID 122346519 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

Подключение к E = mc 2 [ редактировать ]

Особые случаи [ править ]

уравнения вывод Происхождение и

Эвристический подход частиц для массивных

Норма четырехимпульса [ править ]

Специальная теория относительности [ править ]

Общая теория относительности [ править ]

Единицы энергии, массы и импульса [ править ]

Особые случаи [ править ]

Система центра импульса (одна частица) [ править ]

Безмассовые частицы [ править ]

Принцип переписки [ править ]

Многочастичные системы [ править ]

четырех импульсов Сложение ​

Кадр центра импульса [ править ]

Массы покоя и инвариантная масса [ править ]

Волны материи [ править ]

Тахион и экзотическая материя [ править ]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Подключение к $E = mc 2$ [ редактировать ]

четырех импульсов Сложение