Плотная упаковка равных сфер

Иллюстрация плотной упаковки равных сфер в решетках HCP (слева) и FCC (справа).

В геометрии сфер плотная упаковка равных — это плотное расположение конгруэнтных сфер в бесконечном регулярном расположении (или решетке ). Карл Фридрих Гаусс доказал, что наибольшая средняя плотность, то есть наибольшая доля пространства, занимаемого сферами, которая может быть достигнута с помощью решетчатой ​​упаковки, равна

${\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\approx 0.74048$.

Такая же плотность упаковки может быть достигнута и за счет попеременной укладки одних и тех же плотноупакованных плоскостей сфер, в том числе структур, апериодических в направлении упаковки. Гипотеза Кеплера утверждает, что это наивысшая плотность, которой можно достичь при любом расположении сфер, как правильном, так и неправильном. Эта гипотеза была доказана Т.С. Хейлсом . Наибольшая плотность известна только для 1, 2, 3, 8 и 24 измерений.

Многие кристаллические структуры основаны на плотной упаковке атомов одного типа или плотной упаковке крупных ионов с более мелкими ионами, заполняющими пространства между ними. Кубическая и шестиугольная формы очень близки друг к другу по энергии, и может быть трудно предсказать, какая форма будет предпочтительнее, исходя из первых принципов.

Решетки FCC и HCP

Расположение FCC видно в направлении 4-кратной оси

ФКС		медицинский работник
Расположение FCC может быть ориентировано в двух разных плоскостях: квадратной или треугольной. Их можно увидеть в кубооктаэдре с 12 вершинами, представляющими положения 12 соседних сфер вокруг одной центральной сферы. Расположение HCP расположении сферы чередуются можно увидеть в треугольной ориентации, но в треугольном ортобикупольном .

Есть две простые регулярные решетки, которые достигают этой самой высокой средней плотности. Их называют гранецентрированными кубическими ( FCC ) (также называемыми кубическими плотноупакованными ) и гексагональными плотноупакованными ( HCP ), в зависимости от их симметрии . Оба основаны на листах сфер, расположенных в вершинах треугольной мозаики; они отличаются тем, как листы укладываются друг на друга. Решетка FCC также известна математикам как решетка, порожденная _A3 корневой системой .

Проблема с пушечным ядром

Основная статья: Проблема с пушечным ядром

Пушечные ядра уложены на треугольное (спереди) и прямоугольное (сзади) основание, оба — FCC . решетки

Проблема плотной упаковки сфер была впервые математически проанализирована Томасом Хэрриотом задал ему вопрос о складировании пушечных ядер на кораблях . около 1587 года, после того как сэр Уолтер Рэли во время их экспедиции в Америку Ядра обычно складывали в прямоугольную или треугольную деревянную раму, образуя трехстороннюю или четырехстороннюю пирамиду. Обе схемы создают гранецентрированную кубическую решетку с разной ориентацией относительно земли. Гексагональная плотная упаковка приведет к образованию шестигранной пирамиды с шестиугольным основанием.

Коллекции снежков, расположенных в форме пирамиды. Передняя пирамида шестиугольная плотноупакованная, задняя – гранецентрированная кубическая.

Задача о пушечном ядре состоит в том, какие плоские и квадратные ядра можно сложить в квадратную пирамиду. Эдуард Лукас сформулировал проблему как диофантово уравнение. $\sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}$ или ${\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)=M^{2}$ и предположил, что единственными решениями являются $N=1,M=1,$ и $N=24,M=70$. Здесь $N$ - количество слоев в пирамидальной укладке и $M$ — количество ядер вдоль края плоского квадрата.

Позиционирование и интервал

Как в соглашениях FCC, так и в HCP каждая сфера имеет двенадцать соседей. Для каждой сферы существует один разрыв, окруженный шестью сферами ( октаэдрический ), и два меньших разрыва, окруженный четырьмя сферами (тетраэдрический). Расстояния до центров этих зазоров от центров окружающих сфер составляют √ 3 ⁄ 2 для тетраэдра и √ 2 для октаэдра, когда радиус сферы равен 1.

Относительно эталонного слоя с позиционированием A возможны еще два позиционирования B и C. Любая последовательность A, B и C без непосредственного повторения одной и той же возможна и дает одинаково плотную упаковку для сфер данного радиуса.

Самые регулярные из них

• FCC = ABC ABC ABC... (каждый третий слой одинаковый)
• HCP = AB AB AB AB... (все остальные слои одинаковы).

Существует бесчисленное множество неупорядоченных расположений плоскостей (например, ABCACBABABAC...), которые иногда вместе называются «упаковками Барлоу», в честь кристаллографа Уильяма Барлоу .

При плотной упаковке расстояние между центрами сфер в плоскости xy представляет собой простую сотовую мозаику с шагом (расстоянием между центрами сфер) в один диаметр сферы. Расстояние между центрами сфер, проецируемых на ось z (вертикальную), составляет:

${\text{pitch}}_{Z}={\sqrt {6}}\cdot {d \over 3}\approx 0.816\,496\,58d,$

где d – диаметр сферы; это следует из тетраэдрического расположения плотноупакованных сфер.

Координационное число HCP и FCC равно 12, а их коэффициенты упаковки атомов (APF) равны упомянутому выше числу 0,74.

Сравнение HCP и FCC
Рисунок 1 – Решетка HCP (слева) и решетка FCC (справа). Контур каждой соответствующей решетки Браве показан красным. Буквы указывают, какие слои одинаковы. В матрице HCP есть два слоя «А», где все сферы находятся в одном и том же положении. Все три уровня в стеке FCC различны. Обратите внимание, что стек FCC можно преобразовать в стек HCP путем перемещения самой верхней сферы, как показано пунктирным контуром.

Рис. 2   Томас Харриот, ок. В 1585 году впервые задумались над математикой устройства пушечных ядер или стопки пушечных ядер, которая имеет решетку FCC. Обратите внимание, как два шара, обращенные к зрителю на втором уровне сверху, касаются одного и того же шара на нижнем уровне. Этого не происходит в решетке HCP (левая организация на рисунке 1 выше и на рисунке 4 ниже).

Рисунок 3. Здесь показана модифицированная форма стопки пушечных ядер, в которой были добавлены три дополнительные сферы, чтобы показать все восемь сфер в трех верхних ярусах решетки FCC, показанной на рисунке 1 .

Рисунок 4. Здесь показаны все одиннадцать сфер решетки HCP, показанной на рисунке 1 . Разница между этой стопкой и тремя верхними ярусами стопки пушечных ядер заключается в нижнем ярусе, который повернут на половину диаметра сферы (60 °). Обратите внимание, что два шара, обращенные к зрителю на втором уровне сверху, не касаются одного и того же шара на нижнем уровне.

Рис. 5. Этот анимированный вид помогает проиллюстрировать трехстороннюю пирамидальную ( тетраэдрическую ) форму устройства пушечного ядра.

Генерация решетки

При формировании любой решетки упаковки сфер первое, на что следует обратить внимание, это то, что всякий раз, когда две сферы соприкасаются, можно провести прямую линию от центра одной сферы к центру другой, пересекающую точку контакта. Таким образом, расстояние между центрами по кратчайшему пути, а именно по этой прямой линии, будет равно r ₁ + r ₂ , где r ₁ — радиус первой сферы, а r ₂ — радиус второй. В плотной упаковке все сферы имеют общий радиус r . Следовательно, расстояние между двумя центрами будет просто 2r .

Простая решетка HCP

Анимация генерации решетки плотной упаковки. Примечание. Если третий слой (не показан) находится непосредственно над первым слоем, то строится решетка HCP. Если третий слой разместить поверх отверстий в первом слое, то будет создана решетка ГЦК.

Для образования плотной гексагональной упаковки сфер ABAB-... координатными точками решетки будут центры сфер. Предположим, цель — заполнить коробку сферами согласно HCP. Коробка будет помещена в x - y - z координатное пространство .

Сначала сформируйте ряд сфер. Все центры будут лежать на одной прямой. Их координата x будет меняться на 2 r, поскольку расстояние между центрами соприкасающихся сфер равно 2 r . Координата y и координата z будут одинаковыми. Для простоты скажем, что шары — это первый ряд, а их координаты y и z — это просто r , так что их поверхности опираются на нулевые плоскости. Координаты центров первого ряда будут иметь вид (2 r , r , r ), (4 r , r , r ), (6 r , r , r ), (8 r , r , r ),... .

Теперь сформируйте следующий ряд сфер. Опять же, все центры будут лежать на прямой линии с x разницей в координатах 2 r , но произойдет сдвиг расстояния r в направлении x , так что центр каждой сферы в этом ряду совпадет с x координатой . где две сферы соприкасаются в первом ряду. Это позволяет сферам нового ряда скользить ближе к первому ряду, пока все сферы в новом ряду не коснутся двух сфер первого ряда. Поскольку новые сферы соприкасаются с двумя сферами, их центры образуют равносторонний треугольник с центрами этих двух соседей. Все длины сторон равны 2 r , поэтому разница по высоте или координате y между строками равна √ 3 r . Таким образом, эта строка будет иметь такие координаты:

$\left(r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(3r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(5r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(7r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\dots .$

Первая сфера этого ряда касается только одной сферы в исходном ряду, но ее расположение соответствует остальной части ряда.

Следующая строка соответствует этой схеме смещения координаты x на r и координаты y на √ 3 . Добавляйте строки, пока не достигнете x и y максимальных границ поля .

В схеме наложения ABAB-... плоскости сфер с нечетными номерами будут иметь точно такие же координаты, за исключением разницы в шаге координат z с четными номерами , а плоскости сфер будут иметь одни и те же координаты x и y . Оба типа плоскостей формируются с использованием упомянутого выше шаблона, но начальное место для первой сферы первого ряда будет другим.

Используя плоскость, описанную выше как плоскость № 1, плоскость А, поместите сферу поверх этой плоскости так, чтобы она касалась трех сфер в плоскости А. Все три сферы уже касаются друг друга, образуя равносторонний треугольник, а поскольку все они касаются новой сферы, четыре центра образуют правильный тетраэдр . Все стороны равны 2r , так как все стороны образованы соприкасающимися двумя сферами. Высота которой или разница в координатах z между двумя «плоскостями» равна ⁠ √ 6 р 2 / 3 ⁠ . Это, в сочетании со смещениями по координатам x и y, дает центры первой строки в плоскости B:

$\left(r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(3r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(5r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(7r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\dots .$

Координаты второй строки соответствуют шаблону, описанному выше, и следующие:

$\left(2r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(4r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(6r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(8r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\dots .$

Разница со следующим самолетом, самолетом А, снова ⁠ √ 6 r 2 / 3 ⁠ в направлении z и сдвиг по x и y , чтобы они соответствовали координатам x и y первой плоскости A.

В общем случае координаты центров сфер можно записать как:

${\begin{bmatrix}2i+((j\ +\ k){\bmod {2}})\\{\sqrt {3}}\left[j+{\frac {1}{3}}(k{\bmod {2}})\right]\\{\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}k\end{bmatrix}}r$

где i , j и k — индексы, начинающиеся с 0 для координат x , y и z .

Индексы Миллера

Основная статья: Индекс Миллера

Индекс Миллера–Браве для решетки ГПУ

Кристаллографические особенности систем HCP, такие как векторы и семейства атомных плоскостей, можно описать с помощью четырехзначного обозначения индекса Миллера ( hkil ), в котором третий индекс i обозначает вырожденный, но удобный компонент, равный − h − k . Направления индексов h , i и k разделены на 120° и, таким образом, не ортогональны; компонент l взаимно перпендикулярен направлениям индексов h , i и k .

Заполняем оставшееся пространство

Упаковки FCC и HCP являются наиболее плотными из известных упаковок равных сфер с высочайшей симметрией (наименьшими повторяющимися единицами). более плотные упаковки сфер Известны , но они подразумевают неравную упаковку сфер .Плотность упаковки 1, полностью заполняющая пространство, требует несферических форм, таких как соты .

Замена каждой точки контакта между двумя сферами ребром, соединяющим центры соприкасающихся сфер, дает тетраэдры и октаэдры с равными длинами ребер.Схема FCC создает тетраэдрически-октаэдрические соты .Расположение HCP создает вращающиеся тетраэдрически-октаэдрические соты .Если вместо этого каждая сфера дополняется точками в пространстве, которые находятся ближе к ней, чем к любой другой сфере, создаются двойники этих сот: ромбические додекаэдрические соты для FCC и трапезо-ромбические додекаэдрические соты для HCP.

Сферические пузырьки появляются в мыльной воде в устройствах FCC или HCP, когда вода в промежутках между пузырьками стекает. Этот узор также приближается к ромбическим додекаэдрическим сотам или трапезо-ромбическим додекаэдрическим сотам . Однако такие пены FCC или HCP с очень малым содержанием жидкости нестабильны, так как не удовлетворяют законам Плато . Пена Кельвина и пена Вейра-Фелана более стабильны, имеют меньшую межфазную энергию в пределе очень малого содержания жидкости.

Существует два типа межузельных отверстий, оставленных конформациями ГКП и ГЦК; тетраэдрическая и октаэдрическая пустота. Четыре сферы окружают тетраэдрическую дыру, причем три сферы находятся в одном слое и одна сфера - в следующем слое. Шесть сфер окружают октаэдрические пустоты, причем три сферы исходят из одного слоя, а три сферы - из следующего слоя. Например, структуры многих простых химических соединений часто описываются в терминах маленьких атомов, занимающих тетраэдрические или октаэдрические дырки в плотноупакованных системах, образованных из более крупных атомов.

Слоистые структуры образуются путем чередования пустых и заполненных октаэдрических плоскостей. Два октаэдрических слоя обычно допускают четыре структурных расположения, которые могут быть заполнены ГПЦ или ГЦК-упаковочными системами. При заполнении тетраэдрических дыр полное заполнение приводит к массиву полей ГЦК. В элементарных ячейках заполнение дырок иногда может приводить к образованию многогранных массивов со смесью слоев ГПУ и ГЦК.

См. также

• Кубическая кристаллическая система
• постоянный отшельник
• Случайная закрытая упаковка
• Сферическая упаковка
• Упаковка цилиндрической сферы

Внешние ссылки

• П. Кришна и Д. Панди, «Плотноупакованные структуры», Международный союз кристаллографии, издательство University College Cardiff Press. Кардифф, Уэльс. PDF