Функция передачи контраста

Функция передачи контраста ( CTF ) математически описывает, как аберрации в просвечивающем электронном микроскопе (ПЭМ) изменяют изображение образца. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Эта функция передачи контраста (CTF) устанавливает разрешение трансмиссионной электронной микроскопии высокого разрешения (HRTEM), также известной как фазовый контраст TEM.

Рассматривая записанное изображение как истинный объект, ухудшенный CTF, описание CTF позволяет провести реверс-инжиниринг настоящего объекта . Обычно это обозначается как CTF-коррекция, и она жизненно важна для получения структур высокого разрешения в трехмерной электронной микроскопии, особенно в электронной криомикроскопии . Ее эквивалентом в световой оптике является оптическая передаточная функция .

Фазовый контраст в HRTEM

Контраст в HRTEM возникает из-за интерференции в плоскости изображения фаз рассеянных электронных волн с фазой прошедшей электронной волны. Сложные взаимодействия происходят, когда электронная волна проходит через образец в ПЭМ. Над образцом электронную волну можно аппроксимировать плоской волной. Когда электронная волна, или волновая функция , проходит через образец, изменяются как фаза , так и амплитуда электронного луча. Результирующий рассеянный и прошедший электронный луч затем фокусируется объективом и отображается детектором в плоскости изображения.

Детекторы способны измерять только амплитуду, а не фазу напрямую. Однако при правильных параметрах микроскопа фазовую интерференцию можно измерить косвенно через интенсивность в плоскости изображения. Электроны очень сильно взаимодействуют с кристаллическими твердыми телами. В результате фазовые изменения из-за очень мелких деталей, вплоть до атомного масштаба, могут быть зарегистрированы с помощью HRTEM.

Теория переноса контраста

Теория переноса контраста предлагает количественный метод преобразования выходной волновой функции в окончательное изображение. Часть анализа основана на преобразованиях Фурье волновой функции электронного пучка. Когда волновая функция электрона проходит через линзу, она претерпевает преобразование Фурье. Это концепция оптики Фурье .

Теория переноса контраста состоит из четырех основных операций: ^{[ 1 ]}

Проведите преобразование Фурье выходной волны, чтобы получить амплитуду волны в задней фокальной плоскости объектива.
Измените волновую функцию в обратном пространстве с помощью фазового коэффициента, также известного как передаточная функция фазового контраста , чтобы учесть аберрации.
Обратное преобразование Фурье модифицированной волновой функции для получения волновой функции в плоскости изображения.
Найдите квадрат модуля волновой функции в плоскости изображения, чтобы найти интенсивность изображения (это сигнал, который записывается на детекторе и создает изображение)

Математическая форма

Если мы сделаем некоторые предположения о нашем образце, то можно найти аналитическое выражение как для фазового контраста, так и для передаточной функции фазового контраста. Как обсуждалось ранее, когда электронная волна проходит через образец, электронный луч взаимодействует с образцом посредством рассеяния и испытывает фазовый сдвиг. Это представлено волновой функцией электрона, выходящей из нижней части образца. Это выражение предполагает, что рассеяние вызывает сдвиг фазы (а не сдвиг амплитуды). Это называется аппроксимацией фазового объекта.

Выходная волновая функция

Следуя обозначениям Уэйда, ^{[ 1 ]} выражение выходной волновой функции представлено следующим образом:

\tau (r,z)=\tau _{o}\exp[-i\pi \lambda \int dz'U(r,z')]

\tau _{o}=\tau (r,0)

U(r,z)=2mV(r,z)/h^{2}

Где выходная волновая функция τ является функцией обоих $r$ в плоскости образца и $z$ перпендикулярно плоскости образца. $\tau _{o}$ представляет собой волновую функцию, падающую на верхнюю часть образца. $\lambda$ длина волны электронного луча, ^{[ 5 ]} которое задается ускоряющим напряжением. $U$ - эффективный потенциал образца, который зависит от атомных потенциалов внутри кристалла, представленный выражением $V$ .

В рамках выходной волновой функции фазовый сдвиг представлен:

\phi (r)=\pi \lambda \int dz'U(r,z')

Это выражение можно еще упростить, приняв во внимание еще некоторые предположения относительно выборки. Если образец считается очень тонким и слабым рассеивателем, так что фазовый сдвиг << 1, то волновую функцию можно аппроксимировать линейным полиномиальным разложением Тейлора . ^{[ 6 ]} Это приближение называется приближением слабого фазового объекта.

Тогда волновую функцию выхода можно выразить как:

\tau (r,z)=\tau _{o}[1+i\phi (r)]

Передаточная функция фазового контраста

Прохождение через объектив вызывает преобразование Фурье и фазовый сдвиг. Таким образом, волновую функцию в задней фокальной плоскости объектива можно представить следующим образом:

I(\theta )=\delta (\theta )+\Phi K(\theta )

$\theta$ = угол рассеяния между прошедшей электронной волной и рассеянной электронной волной

$\delta$ = дельта-функция, представляющая нерассеянную прошедшую электронную волну

$\Phi$ = преобразование Фурье фазы волновой функции

$K(\theta )$ = фазовый сдвиг, вызванный аберрациями микроскопа, также известный как функция передачи контраста:

K(\theta )=\sin[(2\pi /\lambda )W(\theta )]

W(\theta )=-z\theta ^{2}/2+C_{s}\theta ^{4}/4

$\lambda$ = релятивистская длина волны электронной волны, $C_{s}$ = Сферическая аберрация объектива

Передаточная функция контраста также может быть задана в терминах пространственных частот или обратного пространства. С отношениями ${\textstyle \theta =\lambda k}$ , передаточная функция фазового контраста принимает вид:

K(k)=\sin[(2\pi )W(k)]

W(k)=-z\lambda k^{2}/2+C_{s}\lambda ^{3}k^{4}/4

$z$ = расфокусировка объектива (если исходить из того, что недофокусировка положительна, а перефокусировка отрицательна), $\lambda$ = релятивистская длина волны электронной волны, $C_{s}$ = Сферическая аберрация объектива, $k$ = пространственная частота (единицы м ⁻¹)

Сферическая аберрация

Сферическая аберрация — это эффект размытия, возникающий, когда линза не способна сводить входящие лучи под большими углами падения к точке фокусировки, а фокусирует их в точке, расположенной ближе к линзе. Это приведет к распределению отображаемой точки (которая в идеале отображается как одна точка в гауссовой плоскости изображения) по диску конечного размера в плоскости изображения. Определение меры аберрации в плоскости, нормальной к оптической оси, называется поперечной аберрацией. Можно показать, что размер (радиус) аберрационного диска в этой плоскости пропорционален кубу угла падения (θ) в приближении малых углов, и что явная форма в этом случае имеет вид

r_{s}=C_{s}\cdot \theta ^{3}\cdot M

где $C_{s}$ сферическая аберрация и $M$ — это увеличение, причем оба параметра фактически являются константами настроек объектива. Далее можно отметить, что разница в угле преломления между идеальным лучом и лучом, страдающим от сферической аберрации, равна

\alpha _{s}=\arctan \left({\frac {b}{R}}\right)-\arctan \left({\frac {b}{R+r_{s}}}\right)

где $b$ - расстояние от линзы до гауссовой плоскости изображения и $R$ — радиальное расстояние от оптической оси до точки линзы, через которую прошел луч. Дальнейшее упрощение (без применения каких-либо приближений) показывает, что

\alpha _{s}=\arctan \left({\frac {br_{s}}{R^{2}+Rr_{s}+b^{2}}}\right)

Теперь можно применить два приближения, чтобы двигаться дальше прямым путем. Они полагаются на предположение, что оба $r_{s}$ и $R$ намного меньше, чем $b$ , что эквивалентно утверждению, что мы рассматриваем относительно малые углы падения и, следовательно, также очень малые сферические аберрации. При таком предположении два ведущих члена знаменателя не имеют значения и могут быть аппроксимированы как не вносящие вклада. Посредством этих предположений мы также неявно заявили, что саму дробь можно считать малой, и это приводит к исключению $\arctan()$ функция посредством малоуглового приближения;

\alpha _{s}\approx \arctan \left({\frac {br_{s}}{b^{2}}}\right)\approx {\frac {br_{s}}{b^{2}}}={\frac {r_{s}}{b}}={\frac {C_{s}\cdot \theta ^{3}\cdot M}{b}}

Если изображение считается примерно в фокусе, а угол падения $\theta$ снова считается малым, то

{\frac {R}{f}}\approx \tan \left(\theta \right)\approx \theta ~~{\text{and}}~~M\approx {\frac {b}{f}}

это означает, что приблизительное выражение разницы в угле преломления между идеальным лучом и лучом, страдающим сферической аберрацией, дается выражением

\alpha _{s}\approx {\frac {C_{s}\cdot R^{3}}{f^{4}}}

Расфокусировка

В отличие от сферической аберрации мы будем оценивать отклонение расфокусированного луча от идеала, констатируя продольную аберрацию; мера того, насколько луч отклоняется от фокуса вдоль оптической оси. Обозначая это расстояние $\Delta b$ , можно показать, что разница $\alpha _{f}$ Угол преломления между лучами, исходящими от сфокусированного и расфокусированного объекта, можно отнести к углу преломления как

{\sqrt {R^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(\alpha _{f})=\Delta b\cdot \sin(\theta '-\alpha _{f})

где $R$ и $b$ определяются так же, как и для сферической аберрации. Предполагая, что $\alpha _{f}<<\theta '$ (или, что то же самое, что $|b\cdot \sin(\alpha _{f})|<<|R|$ ), мы можем показать, что

\sin(\alpha _{f})\approx {\frac {\Delta b\sin(\theta ')}{\sqrt {R^{2}+b^{2}}}}={\frac {\Delta b\cdot R}{R^{2}+b^{2}}}

Поскольку нам требовалось $\alpha _{f}$ быть небольшим, и поскольку $\theta$ быть маленьким подразумевает $R<<b$ , нам дана аппроксимация $\alpha _{f}$ как

\alpha _{f}\approx {\frac {\Delta b\cdot R}{b^{2}}}

Из формулы тонкой линзы можно показать, что $\Delta b/b^{2}\approx \Delta f/f^{2}$ , что дает окончательную оценку разницы в углах преломления между лучами в фокусе и вне фокуса как

\alpha _{f}\approx {\frac {\Delta f\cdot R}{f^{2}}}

Примеры

Передаточная функция контраста определяет, какая часть фазового сигнала передается реальной пространственной волновой функции в плоскости изображения. Поскольку квадрат модуля волновой функции реального пространства дает сигнал изображения, передаточная функция контраста ограничивает объем информации, который в конечном итоге может быть преобразован в изображение. Вид передаточной функции контраста определяет качество формирования реального космического изображения в ТЭМ.

Это пример функции передачи контраста. Есть ряд вещей, на которые следует обратить внимание:

Функция существует в пространственно-частотной области или k-пространстве.
Всякий раз, когда функция равна нулю, это означает, что коэффициент пропускания отсутствует или фазовый сигнал не включен в реальное космическое изображение.
Первый раз, когда функция пересекает ось X, называется разрешением точки.
Чтобы максимизировать фазовый сигнал, обычно лучше использовать условия визуализации, которые повышают разрешение точки до более высоких пространственных частот.
Когда функция отрицательна, это представляет собой положительный фазовый контраст, приводящий к яркому фону с темными атомными особенностями.
Каждый раз, когда CTF пересекает ось X, происходит инверсия контраста.
Соответственно, за пределами точечного разрешения микроскопа информация о фазе не поддается прямой интерпретации и должна моделироваться с помощью компьютерного моделирования.

Расфокусировка Шерцера

Значение расфокусировки ( ${\textstyle z}$ ) можно использовать для противодействия сферической аберрации и обеспечения большего фазового контраста. Этот анализ был разработан Шерцером и называется дефокусировкой Шерцера. ^{[ 7 ]}

$z_{s}=(C_{s}\lambda )^{1/2}$

Переменные те же, что и в разделе математической обработки, с $z_{s}$ настройка конкретного расфокусировки Шерцера, $C_{s}$ как сферическая аберрация, а λ как релятивистская длина волны электронной волны.

На рисунке в следующем разделе показана функция CTF для микроскопа CM300 с дефокусировкой Шерцера. По сравнению с функцией CTF, показанной выше, существует большее окно, также известное как полоса пропускания, пространственных частот с высоким коэффициентом пропускания. Это позволяет большему количеству фазового сигнала проходить в плоскость изображения.

Функция конверта

Функция огибающей представляет собой эффект дополнительных аберраций, которые ослабляют передаточную функцию контраста и, в свою очередь, фазу. Члены огибающей, составляющие функцию огибающей, имеют тенденцию подавлять высокие пространственные частоты. Точная форма огибающих функций может отличаться от источника к источнику. Обычно они применяются путем умножения функции передачи контраста на член огибающей Et, представляющий временные аберрации, и член огибающей Es, представляющий пространственные аберрации. Это дает модифицированную или эффективную функцию передачи контраста:

$K_{eff}(k)=E_{t}E_{s}(\sin[(2\pi /\lambda )W(k)]$

Примеры временных аберраций включают хроматические аберрации, разброс энергии, разброс фокуса, нестабильность источника высокого напряжения и нестабильность тока линзы объектива. Пример пространственной аберрации включает конечную сходимость падающего луча. ^{[ 8 ]}

Как показано на рисунке, наиболее ограничительный член огибающей будет доминировать в демпфировании передаточной функции контраста. В этом конкретном примере термин временной оболочки является наиболее ограничительным. Поскольку члены огибающей затухают сильнее на более высоких пространственных частотах, наступает момент, когда фазовый сигнал больше не может пройти. Это называется информационным пределом микроскопа и является одной из мер разрешения.

Моделирование функции огибающей может дать представление как о конструкции прибора TEM, так и о параметрах визуализации. Моделируя различные аберрации с помощью огибающей, можно увидеть, какие аберрации больше всего ограничивают фазовый сигнал.

Было разработано различное программное обеспечение для моделирования как функции передачи контраста, так и функции огибающей для конкретных микроскопов, а также определенных параметров изображения. ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

Теория линейного изображения против теории нелинейного изображения

Предыдущее описание передаточной функции контраста зависит от теории линейного изображения . Теория линейного изображения предполагает, что проходящий луч является доминирующим, а образец имеет лишь слабый фазовый сдвиг. Во многих случаях это условие не выполняется. Чтобы объяснить эти эффекты, теория нелинейной визуализации необходима . В сильно рассеивающих образцах дифрагированные электроны будут не только мешать прошедшему лучу, но и друг другу. Это приведет к интенсивности дифракции второго порядка. Для моделирования этих дополнительных интерференционных эффектов необходима теория нелинейной визуализации. ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

Вопреки широко распространенному предположению, теория линейного/нелинейного изображения не имеет ничего общего с кинематической дифракцией или динамической дифракцией соответственно.

Однако теория линейных изображений все еще используется, поскольку она имеет некоторые вычислительные преимущества. В теории линейного отображения коэффициенты Фурье для волновой функции плоскости изображения разделимы. Это значительно снижает вычислительную сложность, позволяя быстрее компьютерное моделирование изображений HRTEM. ^{[ 13 ]}

См. также

Диск Эйри , разные, но похожие явления в свете
Оптическая передаточная функция
Функция распределения точек
Просвечивающая электронная микроскопия

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Уэйд, Р.Х. (октябрь 1992 г.). «Краткий взгляд на визуализацию и передачу контраста». Ультрамикроскопия . 46 (1–4): 145–156. дои : 10.1016/0304-3991(92)90011-8 .
^ Спенс, Джон Ч. (1988, 2-е изд.) Экспериментальная электронная микроскопия высокого разрешения (Oxford U. Press, Нью-Йорк) ISBN 0195054059 .
^ Людвиг Раймер (1997, 4-е изд.) физики формирования изображений и микроанализа (Springer, Берлин) Просвечивающая электронная микроскопия: Предварительный просмотр .
^ Эрл Дж. Киркланд (1998) Передовые вычисления в электронной микроскопии (Plenum Press, Нью-Йорк).
^ «Длина волны ДеБройля» . Гиперфизика . Государственный университет Джорджии . Проверено 27 апреля 2017 г.
^ «Объекты слабой фазы (WPO) в наблюдениях TEM - Практическая электронная микроскопия и база данных - Интернет-книга - EELS EDS TEM SEM» . www.globalsino.com . Проверено 12 июня 2015 г.
^ Шерцер (1949). «Теоретический предел разрешения электронного микроскопа». Журнал прикладной физики . 20 (1): 20–29. Бибкод : 1949JAP....20...20S . дои : 10.1063/1.1698233 .
^ «Функции конверта» . www.maxsidorov.com . Проверено 12 июня 2015 г.
^ «CTF-моделирование» . Группа Вэнь Цзян . Проверено 27 апреля 2017 г.
^ Сидоров, Макс. «Дом ctfExplorer» . Проверено 27 апреля 2017 г.
^ Боневич, Маркс (24 мая 1988 г.). «Теория переноса контраста для нелинейных изображений». Ультрамикроскопия . 26 (3): 313–319. дои : 10.1016/0304-3991(88)90230-6 .
^ Эта страница была частично подготовлена для курса MSE 465 Северо-Западного университета, который ведет профессор Лори Маркс .
^ Заметки, подготовленные профессором Лори Маркс из Северо-Западного университета.

Внешние ссылки

[:0-1] Jump up to: ^а ^б ^с Уэйд, Р.Х. (октябрь 1992 г.). «Краткий взгляд на визуализацию и передачу контраста». Ультрамикроскопия . 46 (1–4): 145–156. дои : 10.1016/0304-3991(92)90011-8 .

[Spence1982-2] Спенс, Джон Ч. (1988, 2-е изд.) Экспериментальная электронная микроскопия высокого разрешения (Oxford U. Press, Нью-Йорк) ISBN 0195054059 .

[Reimer97-3] Людвиг Раймер (1997, 4-е изд.) физики формирования изображений и микроанализа (Springer, Берлин) Просвечивающая электронная микроскопия: Предварительный просмотр .

[Kirkland1998-4] Эрл Дж. Киркланд (1998) Передовые вычисления в электронной микроскопии (Plenum Press, Нью-Йорк).

[5] «Длина волны ДеБройля» . Гиперфизика . Государственный университет Джорджии . Проверено 27 апреля 2017 г.

[6] «Объекты слабой фазы (WPO) в наблюдениях TEM - Практическая электронная микроскопия и база данных - Интернет-книга - EELS EDS TEM SEM» . www.globalsino.com . Проверено 12 июня 2015 г.

[7] Шерцер (1949). «Теоретический предел разрешения электронного микроскопа». Журнал прикладной физики . 20 (1): 20–29. Бибкод : 1949JAP....20...20S . дои : 10.1063/1.1698233 .

[8] «Функции конверта» . www.maxsidorov.com . Проверено 12 июня 2015 г.

[9] «CTF-моделирование» . Группа Вэнь Цзян . Проверено 27 апреля 2017 г.

[10] Сидоров, Макс. «Дом ctfExplorer» . Проверено 27 апреля 2017 г.

[11] Боневич, Маркс (24 мая 1988 г.). «Теория переноса контраста для нелинейных изображений». Ультрамикроскопия . 26 (3): 313–319. дои : 10.1016/0304-3991(88)90230-6 .

[12] Эта страница была частично подготовлена для курса MSE 465 Северо-Западного университета, который ведет профессор Лори Маркс .

[13] Заметки, подготовленные профессором Лори Маркс из Северо-Западного университета.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]