Геодезика на эллипсоиде

Геодезика на сплюсном эллипсоиде

Изучение геодезики на эллипсоиде возникло в связи с геодезией, в частности, с решением триангуляционных сетей . Фигура Земли хорошо аппроксимирована сплюсным эллипсоидом , слегка уплощенной сферой. Геодеза - это кратчайший путь между двумя точками на изогнутой поверхности, аналогично прямой линии на плоской поверхности. Поэтому решением сети триангуляции на эллипсоиде представляет собой набор упражнений в сфероидальной тригонометрии ( Euler 1755 ).

Если земля рассматривается как сфера , геодезика представляют собой большие круги (все из которых закрыты), а проблемы уменьшаются до сферической тригонометрии . Тем не менее, Ньютон (1687) показал, что эффект вращения земли приводит к тому, что она напоминает слегка сплюсный эллипсоид: в этом случае экватор и меридианы являются единственным простым закрытым геодезиком. Кроме того, кратчайший путь между двумя точками на экваторе не обязательно работает вдоль экватора. Наконец, если эллипсоид дополнительно нарушается, чтобы стать трехосным эллипсоидом (с тремя различными полуасами), только три геодезики закрыты.

Геодезика на эллипсоиде революции

Есть несколько способов определения геодезики ( Hilbert & Cohn-Vossen 1952 , с. 220–221 ). Простое определение - это самый короткий путь между двумя точками на поверхности. Тем не менее, часто более полезно определить их как пути с нулевой геодезической кривизной - Аналогом прямых линий на изогнутой поверхности. Это определение охватывает геодезику, путешествующие до сих пор по поверхности эллипсоида, что они начинают возвращаться к отправной точке, так что другие маршруты являются более прямыми и включают пути, которые пересекаются или переоценивают себя. Достаточно короткие сегменты геодезики по -прежнему являются самым коротким маршрутом между их конечными точками, но геодезики не обязательно минимальны в мире (т.е. самые короткие среди всех возможных путей). Каждый глобальный путь-это геодезический, но не наоборот.

К концу 18-го века эллипсоидом революции (термин также используется сфероид ) был хорошо принятым приближением к фигуре Земли . Корректировка триангуляционных сетей влечет за собой уменьшение всех измерений в эталонную эллипсоиду и решение полученной двумерной проблемы в качестве упражнения в сфероидальной тригонометрии ( Bomford 1952 , глава 3) ( Leick et al. 2015 , §4.5).

Рис. 1. Геодезический AB на эллипсоиде революции. N - Северный полюс, а EFH лежат на экваторе.

Можно уменьшить различные геодезические проблемы в один из двух типов. Рассмотрим две точки: A в широте φ ₁ и долготе λ ₁ и B при широте φ ₂ и долготе λ ₂ (см. Рис. 1). Соединительная геодезическая (от A до B ) - AB , длины S ₁₂ , которая имеет азимуты α ₁ и α ₂ в двух конечных точках. Обычно рассматриваются две геодезические проблемы:

1. Прямая геодезическая проблема или первая геодезическая проблема , с учетом a , α ₁ и s ₁₂ , определяют B и α ₂ ;
2. Обратная геодезическая проблема или вторая геодезическая проблема , с учетом A и B , определяют S ₁₂ , α ₁ и α ₂ .

Как видно из рис. 1, эти проблемы включают решение треугольника , данный один угол, α ₁ для прямой задачи и λ ₁₂ = λ ₂ - λ ₁ для обратной задачи и ее две соседние стороны. Для сферы решения этих проблем являются простыми упражнениями в сферической тригонометрии , чье решение дается формулами для решения сферического треугольника . (См. Статью о навигации Великого округа .)

Для эллипсоида революции характерная постоянная определение геодезы была обнаружена Клэраутом (1735) . Систематическое решение для путей геодезики было дано Legendre (1806) и Ориани (1806) (и последующие документы в 1808 и 1810 годах ). Полное решение для прямой проблемы (в комплекте с вычислительными таблицами и примером проработанного) дается Бесселем (1825) .

В течение 18 -го века геодезики обычно называли «самыми короткими линиями». Термин «геодезическая линия» (на самом деле, кривая ) был придуман Лапласом (1799b) :

Мы обозначим эту линию под названием геодезической линии [мы назовем эту линию геодезической линией ].

Эта терминология была введена на английский язык либо как «геодезическая линия», либо как «геодезическая линия», например ( Hutton 1811 , p. 115 ),

Линия, отслеживаемая так, как мы сейчас описываем или выведены из тригонометрических мер, с помощью мы указали, называется геодезической или геодезической линией: она имеет свойство самого короткого, которое можно провести между двумя конечностями. поверхность земли; и поэтому это правильная мера маршрута расстояния между этими двумя точками.

В его принятии другими областями геодезическая линия , часто укороченная до геодезики , была предпочтительнее.

Этот раздел рассматривает проблему на эллипсоиде революции (как с уверенностью, так и выявленным). Проблема на трехосном эллипсоиде рассматривается в следующем разделе.

Уравнения для геодезии

Рис. 2. Дифференциальный элемент меридианского эллипса.

Рис. 3. Дифференциальный элемент геодезы на эллипсоиде.

Здесь разрабатываются уравнения для геодезы; Деривация внимательно следует за деверием Бесселя (1825) . Jordan & Eggert (1941) , Bagratuni (1962 , §15), Gan'shin (1967 , глава 5), Krakiwsky & Thomson (1974 , §4), Rapp (1993 , §1.2), Jekeli (2012) , и и и Borre & Strang (2012) также обеспечивает производные этих уравнений.

Рассмотрим эллипсоид революции с экваториальным радиусом A и полярной полуасинкой b . Определите сглаживание F , эксцентриситет E и второй эксцентриситет e ′ :

$f={\frac {a-b}{a}},\quad e={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}={\sqrt {f(2-f)}},\quad e'={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{b}}={\frac {e}{1-f}}.$

(В большинстве приложений в геодезии эллипсоид считается, чтобы быть склонным, a > b ; однако теория применяется без изменений к эллипсоидам, а < b , и в этом случае f , e ² и E ′ ² отрицательные.)

Пусть элементарный сегмент пути на эллипсоиде имеет длину DS . Из рис. 2 и 3, мы видим, что если его азимут α , то DS связан Dφ и Dλ с

$\cos \alpha \,ds=\rho \,d\varphi =-{\frac {dR}{\sin \varphi }},\quad \sin \alpha \,ds=R\,d\lambda ,$ (1)

где ρ - меридиональный радиус кривизны , r = ν cos φ - радиус круга широты φ , а ν - нормальный радиус кривизны . Следовательно, элементарный сегмент определяется

$ds^{2}=\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}+R^{2}\,d\lambda ^{2}$

или

${\begin{aligned}ds&={\sqrt {\rho ^{2}\varphi '^{2}+R^{2}}}\,d\lambda \\&\equiv L(\varphi ,\varphi ')\,d\lambda ,\end{aligned}}$

где φ ′ = dφ / dλ и лагранжская функция L зависит от φ через ρ ( φ ) и r ( φ ) . Длина произвольного пути между ( φ ₁ , λ ₁ ) и ( φ ₂ , λ ₂ ) задается

$s_{12}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}L(\varphi ,\varphi ')\,d\lambda ,$

где φ является функцией λ, удовлетворяющего φ ( λ ₁ ) = φ ₁ и φ ( λ ₂ ) = φ ₂ . Краткий путь или геодезис влечет за собой обнаружение этой функции φ ( λ ), что сводит к минимуму s ₁₂ . Это упражнение в исчислении вариаций , и минимизирующее состояние определяется идентичностью Beltrami ,

$L-\varphi '{\frac {\partial L}{\partial \varphi '}}={\text{const.}}$

Замена L и использование уравнений. (1) дает

$R\sin \alpha ={\text{const.}}$

Клэраут (1735) обнаружил это отношение , используя геометрическую конструкцию; Аналогичный вывод представлен Lyusternik (1964 , §10). Дифференциация этой связи дает

$d\alpha =\sin \varphi \,d\lambda .$

Это вместе с уравнениями. (1) , приводит к системе обычных дифференциальных уравнений для геодезического

${\frac {d\varphi }{ds}}={\frac {\cos \alpha }{\rho }};\quad {\frac {d\lambda }{ds}}={\frac {\sin \alpha }{\nu \cos \varphi }};\quad {\frac {d\alpha }{ds}}={\frac {\tan \varphi \sin \alpha }{\nu }}.$

Мы можем выразить R с точки зрения параметрической широты , β , используя

$R=a\cos \beta ,$

и отношение Клэраута тогда становится

$\sin \alpha _{1}\cos \beta _{1}=\sin \alpha _{2}\cos \beta _{2}.$

Рис. 4. Геодезическая проблема, отображаемая в вспомогательную сферу.

Рис. 5. Элементарная геодезическая проблема на вспомогательной сфере.

Это синусоидальное правило сферической тригонометрии, связывающей две стороны треугольника NAB (см. Рис. 4), NA = 1 ⁄ 2 π - β ₁ и Nb = 1 ⁄ 2 π - β ₂ и их противоположные углы b = π - α ₂ и a = α ₁ .

Чтобы найти соотношение для третьей стороны ab = σ ₁₂ , длины сферической дуги и включал угол n = ω ₁₂ , сферической долготы , полезно рассмотреть треугольник NEP, представляющий геодезис, начинающийся с экватора; См. Рис. 5. На этом рисунке переменные, упомянутые в вспомогательной сфере, показаны с соответствующими величинами для эллипсоида, показанного в скобках. Количество без подписок относятся к произвольной точке P ; E , точка, в которой геодезический пересекает экватор в направлении на север, используется в качестве источника для σ , S и ω .

Рис. 6. Дифференциальный элемент геодезы на сфере.

Если боковой EP расширяется путем перемещения p бесконечно маски (см. Рис. 6), мы получаем

$\cos \alpha \,d\sigma =d\beta ,\quad \sin \alpha \,d\sigma =\cos \beta \,d\omega .$ (2)

Объединение уравнений. (1) и (2) дают дифференциальные уравнения для S и λ

${\frac {1}{a}}{\frac {ds}{d\sigma }}={\frac {d\lambda }{d\omega }}={\frac {\sin \beta }{\sin \varphi }}.$

Соотношение между β и φ - это

$\tan \beta ={\sqrt {1-e^{2}}}\tan \varphi =(1-f)\tan \varphi ,$

который дает

${\frac {\sin \beta }{\sin \varphi }}={\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\beta }},$

так что дифференциальные уравнения для геодезического

${\frac {1}{a}}{\frac {ds}{d\sigma }}={\frac {d\lambda }{d\omega }}={\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\beta }}.$

Последним шагом является использование σ в качестве независимого параметра в обоих этих дифференциальных уравнениях и, следовательно, для выражения S и λ в качестве интегралов. Применение правила синуса к вершинам E и G в сферическом треугольнике EGP на рис. 5 приводит

$\sin \beta =\sin \beta (\sigma ;\alpha _{0})=\cos \alpha _{0}\sin \sigma ,$

где α ₀ является азимутом в e . Заменить это в уравнение для DS / D σ и интеграция результата дает

${\frac {s}{b}}=\int _{0}^{\sigma }{\sqrt {1+k^{2}\sin ^{2}\sigma '}}\,d\sigma ',$ (3)

где

$k=e'\cos \alpha _{0},$

и ограничения на интеграл выбираются так, что S ( σ = 0) = 0 . Legendre (1811 , стр. 180 ) отметил, что уравнение для S такое же, как уравнение для дуги на эллипсе с полуоси B √ 1 + E ′ ² посадка ² α ₀ и б . Чтобы выразить уравнение для λ в терминах σ , мы пишем

$d\omega ={\frac {\sin \alpha _{0}}{\cos ^{2}\beta }}\,d\sigma ,$

который следует из уравнения. 2 и отношение Клэраута. Это дает

$\lambda -\lambda _{0}=\omega -f\sin \alpha _{0}\int _{0}^{\sigma }{\frac {2-f}{1+(1-f){\sqrt {1+k^{2}\sin ^{2}\sigma '}}}}\,d\sigma ',$ (4)

и ограничения на интегралы выбираются так, что λ = λ ₀ при пересечении экватора, σ = 0 .

Это завершает решение пути геодезы, используя вспомогательную сферу. С помощью этого устройства большой круг может быть отображен в точности с геодезией на эллипсоиде революции.

Существует также несколько способов аппроксимации геодезики на наземном эллипсоиде (с небольшим уплощением) ( Rapp 1991 , §6); Некоторые из них описаны в статье о географическом расстоянии . Однако они обычно сопоставимы по сложности с методом точного решения ( Jekeli 2012 , §2.1.4).

Поведение геодезики

Рис. 7. Меридианы и экватор - единственная закрытая геодезика. (Для очень уплощенных эллипсоидов есть и другие закрытые геодезики; см. Рис. 11 и 12).

Геодеза на сплюсном эллипсоиде ( F = 1 ⁄ 50 ) с α ₀ = 45 ° .

Рис. 8. Следуя геодезике на эллипсоиде примерно для 5 цепей.

Рис. 9. Та же самая геодеза после примерно 70 цепей.

Рис. 10. Геодезика на эллипсоиде Protate ( F = - 1 ⁄ 50 ) с α ₀ = 45 ° . Сравните с рис. 8.

На рис. 7 показаны простой закрытый геодезик, который состоят из меридианов (зеленый) и экватора (красный). (Здесь квалификация «простой» означает, что геодезика закрывается на себе без промежуточного самостоятельного вторжения.) Это следует из уравнений для геодезиков, приведенных в предыдущем разделе.

Все остальные геодезики типизируются на рис. 8 и 9, которые показывают геодезис, начинающийся с экватора с α ₀ = 45 ° . Геодезис колеблется вокруг экватора. Экваториальные пересечения называются узлами , а точки максимальной или минимальной широты называются вершинами ; параметрические широты вершин определяются как β = ± ( 1 ⁄ 2 π - | α ₀ |) . Геодезис завершает одно полное колебание в широте, прежде чем долгота увеличилась на 360 ° . Таким образом, на каждом последовательном пересечении экватора на север (см. Рис. 8), λ не соответствует полной цепи экватора примерно на 2 π f sinα ₀ (для эллипсоида, эта величина отрицательно, а λ завершает больше, что Полная схема; Почти для всех значений α ₀ геодеза заполнит эту часть эллипсоида между двумя лотитутами вершин (см. Рис. 9).

Две дополнительные закрытые геодезики для Oldate Ellipsoid, b ⁄ a = 2 ⁄ 7 .

Рис. 11. Вид на сторону.

Рис. 12. Вид вершины.

Если эллипсоид достаточно сплочен, т.е. B шен << ​ 1 ⁄ 2 , возможны еще один класс простой закрытой геодезики ( Klingenberg 1982 , §3.5.19). Две такие геодезики показаны на рис. 11 и 12. Здесь b ⁄ a = 2 ⁄ 7 и экваториальный азимут, α ₀ , для зеленого (Respr. Blue) Geodesic выбран как 53,175 ° (соответственно 75,192 ° ), так что геодезис завершает 2 (соответственно 3) полные колебания вокруг экватора на на экваторе. Одна цепь эллипсоида.

Рис. 13. Геодезика (синий) из одной точки для f = 1 ⁄ 10 , φ ₁ = -30 ° ; Геодезические круги показаны зелеными и локусом разреза в красном.

На рис. 13 показана геодезика (синим цветом), исходящая A с α ₁ , кратно от 15 ° до точки, в которой они перестают быть самыми короткими путями. (Сглаживание было увеличено до 1 ⁄ 10 для подчеркнуть эллипсоидальные эффекты.) Также показаны (зеленые) представляют собой кривые постоянных S ₁₂ , которые представляют собой геодезические круги, центрированные a . Гаусс (1828) показал, что на любой поверхности геодезика и геодезический круг пересекаются под прямым углом.

Красная линия - это локус среза , локус точек, которые имеют несколько (два в данном случае), самые короткие геодезики A. из На сфере локус разрезания является точкой. На сплоченном эллипсоиде (показан здесь) он представляет собой сегмент круга широты, центрированный на точечной антиподальной к a , φ = - φ ₁ . Продольная протяженность локуса разреза составляет приблизительно λ ₁₂ ∈ [ π (1 - f cos φ ₁ ), π (1 + f cos φ ₁ )] . Если А на экваторе, φ ₁ = 0 , это отношение является точным, и, как следствие, экватор является лишь короткой геодезией, если | λ ₁₂ | ≤ π (1 - F ) . Для проталенного эллипсоида локус среза представляет собой сегмент антимеридианского центра, центрированного на точечной антиподальной по отношению к a , λ ₁₂ = π , и это означает, что меридиональные геодезики перестают быть самыми короткими путями до достижения антиподальной точки.

Дифференциальные свойства геодезики

Различные проблемы, связанные с геодезикой, требуют знания их поведения, когда они возмущаются. Это полезно в тригонометрических корректировках ( Ehlert 1993 ), определяя физические свойства сигналов, которые следуют за геодезикой и т. Д. Рассмотрим эталонную геодезию, параметризованную S , и вторую геодезию на небольшом расстоянии T ( S ) . Гаусс (1828) показал, что t ( s ) подчиняется уравнению Гаусс-Якоби

${\frac {d^{2}t(s)}{ds^{2}}}+K(s)t(s)=0,$

Рис. 14. Определение пониженной длины и геодезической шкалы.

где k ( s ) - гауссовая кривизна в с . В качестве второго порядка, линейного однородного дифференциального уравнения, его решение может быть выражено в виде суммы двух независимых решений

$t(s_{2})=Cm(s_{1},s_{2})+DM(s_{1},s_{2})$

где

${\begin{aligned}m(s_{1},s_{1})&=0,\quad \left.{\frac {dm(s_{1},s_{2})}{ds_{2}}}\right|_{s_{2}=s_{1}}=1,\\M(s_{1},s_{1})&=1,\quad \left.{\frac {dM(s_{1},s_{2})}{ds_{2}}}\right|_{s_{2}=s_{1}}=0.\end{aligned}}$

Количество m ( S ₁ , S ₂ ) = M ₁₂ -так называемая уменьшенная длина , а M ( S ₁ , S ₂ ) = M ₁₂ - геодезическая шкала . Их основные определения показаны на рис. 14.

Гауссовая кривизна для эллипсоида революции

$K={\frac {1}{\rho \nu }}={\frac {{\bigl (}1-e^{2}\sin ^{2}\varphi {\bigr )}^{2}}{b^{2}}}={\frac {b^{2}}{a^{4}{\bigl (}1-e^{2}\cos ^{2}\beta {\bigr )}^{2}}}.$

Helmert (1880 , уравнение (6.5.1)) решил уравнение Гаусс-Якоби для этого случая, что позволило M ₁₂ и M ₁₂ выразить в качестве интегралов.

Как мы видим на рис. 14 (верхняя подлимка), разделение двух геодезиков, начинающихся в той же точке с азимутами, различающимися по D α _1, составляет M ₁₂ D α ₁ . На замкнутой поверхности, такой как эллипсоид, M ₁₂ колеблется около нуля. Точка, в которой M ₁₂ становится нулевым, является точечной конъюгацией с начальной точкой. Для того, чтобы геодезика между A и B , длиной S ₁₂ , был самым коротким путем, он должен удовлетворить условие Якоби ( Jacobi 1837 ) ( Jacobi 1866 , §6) ( Forsyth 1927 , §§26–27) ( Bliss 1916 , что нет точки, A с и сопряженной B. ) Если это условие не удовлетворено, то ближайший путь ( не обязательно геодезический), который короче. Таким образом, условие Якоби является местным свойством геодезии и является лишь необходимым условием для геодезии является глобальным кратчайшим путем. Необходимы и достаточные условия для геодезического - самый короткий путь:

• Для сплюсного эллипсоида, | P ₁₂ | ≤ π ?
• Для протации эллипсоида, | λ ₁₂ | ≤ π , если α ₀ ↓ 0 ; Если α ₀ = 0 дополнительное условие M ₁₂ ≥ 0, , необходимо если | λ ₁₂ | = π .

Конверт геодезики

Геодезика из одной точки ( F = 1 ⁄ 10 , φ ₁ = -30 ° )

Рис. 15. Оболочка геодезики из точки A при φ ₁ = -30 ° .

Рис. 16. Четыре геодезика, соединяющие A и точку B , φ ₂ = 26 ° , λ ₁₂ = 175 ° .

Геодезики из конкретной точки A, если продолжить мимо локуса среза образует оболочку, показанную на рис. 15. Здесь геодезики, для которого α ₁ множества 3 °, показаны голубыми. (Геодезики показаны только для своего первого отрывка, близкого к антиподальной точке, а не для последующих.) Некоторые геодезические круги показаны зелеными; Они формируют острые усилия на конверте. Локус разреза показан красным. Оболочка - это локус точек, которые сопряжены с A ; Точки на конверте могут быть рассчитаны путем поиска точки, в которой m ₁₂ = 0 на геодезике. Якоби (1891) называет эту звездную фигуру, созданную конвертом астроидом .

За пределами астроида две геодезики пересекаются в каждой точке; Таким образом, существует две геодезики (с длиной примерно половиной окружности эллипсоида) между A и этими точками. Это соответствует ситуации на сфере, где есть «короткие» и «длинные» маршруты на большом круге между двумя точками. Внутри астроидов четыре геодезики пересекаются в каждую точку. Четыре таких геодезике показаны на рис. 16, где геодезики пронумерованы в порядке увеличения длины. же положение для A рис. то , ( _{как и} Эта цифра использует на ; Два других нестабильны. Только самая короткая линия (первая) имеет σ ₁₂ ≤ π . Все геодезики касаются конверта, которая показана зеленым на рисунке.

Астроид - это (внешняя) эволюция геодезических кругов, центрированных на . Аналогично, геодезические круги сочетаются с астроидом.

Область геодезического многоугольника

См. Также: карта равной области

Геодезический многоугольник - это многоугольник, чьи стороны являются геодезиками. Это аналогично сферическому многоугольнику , чьи стороны - отличные круги. Площадь такого многоугольника может быть обнаружена путем первого вычисления площади между геодезическим сегментом и экватором, то есть площади четырехстороннего AFHB на рис. 1 ( Danielsen 1989 ). Как только эта область известна, площадь многоугольника может быть рассчитана путем суммирования вкладов по всем краям многоугольника.

Здесь выражение для области S ₁₂ AFHB ) разработано после Sjöberg (2006 . Площадь любой закрытой области эллипсоида

$T=\int dT=\int {\frac {1}{K}}\cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda ,$

где DT является элементом площади поверхности, а K - гауссовая кривизна . Теперь теорема Gauss -Honnet, применяемая к геодезическим состояниям полигона

$\Gamma =\int K\,dT=\int \cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda ,$

где

$\Gamma =2\pi -\sum _{j}\theta _{j}$

является геодезическим избытком, а θ _J - внешний угол в вершине j . Умножение уравнения для γ на R ₂ ² , где r ₂ - это аудионный радиус , и вычитание этого из уравнения для t дает

${\begin{aligned}T&=R_{2}^{2}\,\Gamma +\int \left({\frac {1}{K}}-R_{2}^{2}\right)\cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda \\&=R_{2}^{2}\,\Gamma +\int \left({\frac {b^{2}}{{\bigl (}1-e^{2}\sin ^{2}\varphi {\bigr )}^{2}}}-R_{2}^{2}\right)\cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda ,\end{aligned}}$

где значение k для эллипсоида было заменено. Применение этой формулы к четырехугольнику AFHB , отметив, что γ = α ₂ - α ₁ , и выполнение интеграла над φ дает

$S_{12}=R_{2}^{2}(\alpha _{2}-\alpha _{1})+b^{2}\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}\left({\frac {1}{2{\bigl (}1-e^{2}\sin ^{2}\varphi {\bigr )}}}+{\frac {\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )}{2e\sin \varphi }}-{\frac {R_{2}^{2}}{b^{2}}}\right)\sin \varphi \,d\lambda ,$

где интеграл находится над геодезической линией (так что φ неявно является функцией λ ). Интеграл может быть выражен в виде серии, действительной для Small F ( Danielsen 1989 ) ( Karney 2013 , §6 и добавление).

Площадь геодезического многоугольника дается путем суммирования S ₁₂ по его краям. Этот результат содержит при условии, что полигон не включает в себя полюс; Если это так, 2 π r ₂ ² Должен быть добавлен в сумму. Если края определяются по их вершинам, то удобное выражение для геодезического избытка E ₁₂ = α ₂ - α ₁ является

$\tan {\frac {E_{12}}{2}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta _{2}+\beta _{1})}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\beta _{2}-\beta _{1})}}\tan {\frac {\omega _{12}}{2}}.$

Решение прямых и обратных проблем

Дополнительная информация: Географическое расстояние § Эллипсоидальная поверхность формулы

См. Также: Азимут § в геодезии

Решение геодезических задач влечет за собой отображение геодезиса на вспомогательную сферу и решение соответствующей проблемы в навигации с великолепным округом . При решении «элементарного» сферического треугольника для NEP на рис. 5 правила Нейпир для квадрантных треугольников могут быть использованы, могут быть использованы, можно использовать,

${\begin{aligned}\sin \alpha _{0}&=\sin \alpha \cos \beta =\tan \omega \cot \sigma ,\\\cos \sigma &=\cos \beta \cos \omega =\tan \alpha _{0}\cot \alpha ,\\\cos \alpha &=\cos \omega \cos \alpha _{0}=\cot \sigma \tan \beta ,\\\sin \beta &=\cos \alpha _{0}\sin \sigma =\cot \alpha \tan \omega ,\\\sin \omega &=\sin \sigma \sin \alpha =\tan \beta \tan \alpha _{0}.\end{aligned}}$

Отображение геодезиса включает в себя оценку интегралов для расстояния, S и долготы, λ , уравнения. (3) и (4) и они зависят от параметра α ₀ .

Обработка прямой задачи является простым, потому что α ₀ может быть определено непосредственно из заданных величин φ ₁ и α ₁ ; Для примера расчета см. Карни (2013) .

В случае обратной проблемы λ ₁₂ дается ; Это не может быть легко связано с эквивалентным сферическим углом ω _12, потому что α ₀ неизвестно. Таким образом, решение проблемы требует, чтобы α ₀ было обнаружено итеративно ( нахождение корней ); См. Карни (2013) для получения подробной информации.

В геодезических приложениях, где F невелик, интегралы обычно оцениваются как серия ( Legendre 1806 ) ( Oriani 1806 ) ( Bessel 1825 ) ( Helmert 1880 ) ( Rainsford 1955 ) ( Rapp 1993 ). Для произвольного F интегралы (3) и (4) могут быть найдены с помощью численной квадратуры или выражения их с точки зрения эллиптических интегралов ( Legendre 1806 ) ( Cayley 1870 ) ( Karney 2024 ).

Vincenty (1975) предоставляет решения для прямых и обратных проблем; Они основаны на серии расширения, выполненного до третьего порядка в выравнивании, и обеспечивают точность около 0,1 мм для эллипсоида WGS84 ; Однако обратный метод не сходится для почти антиподальных точек.

Карни (2013) продолжает расширения до шестом порядке, что достаточно, чтобы обеспечить полную двойную точность точности для | F | ≤ 1 ~ 50 и улучшает решение обратной проблемы, чтобы она сходилась во всех случаях. Karney (2013 , Addendum) расширяет метод использования эллиптических интегралов, которые могут быть применены к эллипсоидам с произвольной выравниванием.

Геодезика на трехосном эллипсоиде

Решение геодезической задачи для эллипсоида революции математически простое: из -за симметрии геодезики имеют постоянную движение , данное отношением Клэраута, позволяя уменьшить проблему к квадратуре . К началу 19 -го века (с работой Legendre , Oriani , Bessel и др.) Было полное понимание свойств геодезики на эллипсоиде революции.

С другой стороны, геодезика на трехосном эллипсоиде (с тремя неравными осями) не имеет очевидной постоянной движения и, таким образом, представляло собой сложную нерешенную проблему в первой половине 19 -го века. В замечательном документе Якоби (1839) обнаружил постоянную часть движения, позволяющую уменьшить эту проблему до квадратуры ( Klingenberg 1982 , §3.5).

Трихосная эллипсоидная система координат

См. Также: Геодезические координаты и координаты эллипсоидально-гирмонии

Рис. 17. Трихосные эллипсоидальные координаты.

Рассмотрим эллипсоид, определяемый

$h={\frac {X^{2}}{a^{2}}}+{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {Z^{2}}{c^{2}}}=1,$

где ( x , y , z ) являются декартовыми координатами, сосредоточенными на эллипсоиде и, без потери общности, a ≥ b ≥ c > 0 . Якоби (1866 , §§26–27) Используемые (трехосные) эллипсоидальные координаты (с трехосной эллипсоидальной широтой и трехосной эллипсоидальной долготе , β , ω ) определяются

${\begin{aligned}X&=a\cos \omega {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\beta -c^{2}\cos ^{2}\beta }}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}},\\Y&=b\cos \beta \sin \omega ,\\Z&=c\sin \beta {\frac {\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\omega +b^{2}\cos ^{2}\omega -c^{2}}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}.\end{aligned}}$

В пределе B → A для склонного эллипсоида , β становится параметрической широтой поэтому использование символа β согласуется с предыдущими разделами. Однако ω отличается . от сферической долготы, определенной выше

Линии сетки постоянной β (синим цветом) и ω (зеленого цвета) приведены на рис. 17. Они представляют собой ортогональную систему координат: линии сетки пересекаются под прямым углом. Основные разделы эллипсоида, определяемые x = 0 и z = 0, показаны красными. Третий основной раздел, y = 0 , покрывается линиями β = ± 90 ° и ω = 0 ° или ± 180 ° . Эти линии встречаются в четырех пупочных точках (две из которых видны на этом рисунке), где основные радиусы кривизны равны. Здесь и на других рисунках в этом разделе параметры эллипсоида являются a : b : c = 1,01: 1: 0,8 , и они рассматриваются в орфографической проекции из точки выше φ = 40 ° , λ = 30 ° .

Сетки линий эллипсоидальных координат могут быть интерпретированы в трех разные способы:

1. Они являются «линиями кривизны» на эллипсоиде: они параллельны направлениям основной кривизны ( Monge 1796 ).
2. Они также представляют собой пересечения эллипсоида с конфокальными системами гиперболоидов одного и двух листов ( Dupin 1813 , часть 5 ).
3. Наконец, это геодезические эллипсы и гипербола, определяемые с использованием двух соседних пупочных точек ( Hilbert & Cohn-Vossen 1952 , стр. 188 ). Например, линии постоянного β на рис. 17 могут быть сгенерированы с помощью знакомой конструкции струны для эллипсов с концами струны, прикрепленными к двум пупочным точкам.

Решение Якоби

Якоби показал, что геодезические уравнения, выраженные в эллипсоидальных координатах, разделяются. Вот как он рассказал о своем открытии своему другу и соседу Бессель ( Jacobi 1839 , письмо Бесселю),

За день до вчерашнего дня я уменьшил квадратуру проблему геодезических линий на эллипсоиде с тремя неравными осями . Они являются самыми простыми формулами в мире, абелевскими интегралами , которые становятся известными эллиптическими интегралами, если 2 оси установлены равными.

Кенигсберг , 28 декабря. '38.

Решение, данное Jacobi ( Jacobi 1839 ) ( Jacobi 1866 , §28), является

${\begin{aligned}\delta &=\int {\frac {{\sqrt {b^{2}\sin ^{2}\beta +c^{2}\cos ^{2}\beta }}\,d\beta }{{\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\beta -c^{2}\cos ^{2}\beta }}{\sqrt {{\bigl (}b^{2}-c^{2}{\bigr )}\cos ^{2}\beta -\gamma }}}}\\[6pt]&\quad -\int {\frac {{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\omega +b^{2}\cos ^{2}\omega }}\,d\omega }{{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\omega +b^{2}\cos ^{2}\omega -c^{2}}}{\sqrt {{\bigl (}a^{2}-b^{2}{\bigr )}\sin ^{2}\omega +\gamma }}}}.\end{aligned}}$

Как отмечает Якоби: «Функция угла β равен функции угла ω . Эти две функции являются просто абелевскими интегралами ...» Две константы Δ и γ появляются в растворе. Как правило, δ равен нулю, если нижние пределы интегралов считаются начальной точкой геодезического, а направление геодезики определяется γ . Однако для геодезики, которые начинаются в пупок, мы имеем γ = 0 , а Δ определяет направление в пупочной точке. Постоянный γ может быть выражен как

$\gamma ={\bigl (}b^{2}-c^{2}{\bigr )}\cos ^{2}\beta \sin ^{2}\alpha -{\bigl (}a^{2}-b^{2}{\bigl )}\sin ^{2}\omega \cos ^{2}\alpha ,$

где α - угол, который геодезис делает с линиями постоянной ω . В пределе B → A это сводится к sinα cos β = const. , знакомое отношение Clairaut. Вывод результата Якоби дается Дарбу (1894 , §§583–584 ); Он дает решение, найденное Liouville (1846) для общих квадратичных поверхностей.

Обзор трихосной геодезики

Цирмполярная геодезика, ω ₁ = 0 ° , α ₁ = 90 ° .

Рис. 18. β ₁ = 45,1 ° .

Рис. 19. β ₁ = 87,48 ° .

На трехосном эллипсоиде есть только три простых закрытых геодезике, три основных раздела эллипсоида, заданные как x = 0 , y = 0 и z = 0 . Чтобы осмотреть другую геодезику, удобно рассмотреть геодезику, которая пересекает средний основной раздел, y = 0 , под прямым углом. Такая геодезика показана на рис. 18–22, которые используют те же параметры эллипсоидов и то же направление просмотра, что и на рис. 17. Кроме того, три основных эллипса показаны красными на каждой из этих фигур.

Если отправной точкой является β ₁ ∈ (−90 °, 90 °) , ω ₁ = 0 и α ₁ = 90 ° , то γ> 0 и геодезис окружает эллипсоид в «циркумполярном» смысле. Геодезис колеблется к северу и югу от экватора; При каждом колебании он заканчивается чуть меньше, чем полная цепь вокруг эллипсоида, в результате которого в результате геодезического заполнения площадь, ограниченная двумя линиями широты β = ± β ₁ . Два примера приведены на рис. что и для спредна эллипсоида революции (потому что ≈ 18 и 19. На рисунке 18 показано практически то же поведение , b ); Сравните с рис. 9. Однако, если отправная точка находится на более высокой широте (рис. 18), искажения, возникающие в результате a  B, очевидны. Все касательные к циркумполярному геодезическому прикасаются к конфокальному гиперболоиду на одном уровне, который пересекает эллипсоид при β = β ₁ ( Ghasles 1846 ) ( Hilbert & Cohn-Vossen 1952 , с. 223–224 ).

Транполярная геодезика, β ₁ = 90 ° , α ₁ = 180 ° .

Рис. 20. ω ₁ = 39,9 ° .

Рис. 21. ω ₁ = 9,966 ° .

Если отправная точка составляет β ₁ = 90 ° , ω ₁ ∈ (0 °, 180 °) и α ₁ = 180 ° , то γ <0 и геодеза окружает эллипсоид в «трансполярном» смысле. Геодезис колеблется к востоку и западу от эллипса x = 0 ; На каждом колебании он завершается чуть больше, чем полная цепь вокруг эллипсоида. В типичном случае это приводит к геодезическому заполнению площади, ограниченной двумя длинными линиями ω = ω ₁ и ω = 180 ° - ω ₁ . Если a = b , все меридианы - геодеза; Эффект ↓ заставляет такую ​​геодезику B колебаться на восток и запад. Два примера приведены на рис. 20 и 21. Сужение геодезического возле полюса исчезает в пределе B → C ; В этом случае эллипсоид становится проталенным эллипсоидом и рис. 20 будет напоминать рис. 10 (вращается на его стороне). Все касательные к транполярному геодезическому прикасаются к конфокальному гиперболоиду с двойным листом, который пересекает эллипсоид при ω = ω ₁ .

На рис. 18–21, геодезика (почти) закрыта. Как отмечено выше, в типичном случае геодезика не закрыта, а заполняет область, ограниченную ограничительными линиями широты (в случае рис. 18–19) или долготы (в случае рис. 20–21) Полем

Рис. 22. Пупозирный геодезис, β ₁ = 90 ° , ω ₁ = 0 ° , α ₁ = 135 ° .

Если отправная точка составляет β ₁ = 90 ° , ω ₁ = 0 ° (пупочная точка) и α ₁ = 135 ° (геодеза оставляет эллипс y = 0 под прямыми углами), то γ = 0 и геодеза многократно повторно пересекает противоположную пупочную точку и возвращается к своей отправной точке. Однако на каждой цепи угол, при котором он пересекает y = 0, становится ближе к 0 ° или 180 ° , так что асимптотически геодезис лежит на эллипсе y = 0 ( Hart 1849 ) ( Arnold 1989 , p. 265 ), как показано в Рис. 22. Один геодеза не заполняет область на эллипсоиде. Все касательные к пупочному геодезике касаются конфокальной гиперболы, которая пересекает эллипсоид в пупочных точках.

Пуптичная геодеза наслаждается несколькими интересными свойствами.

• Через любую точку на эллипсоиде есть два пупочных геодезике.
• Геодезическое расстояние между противоположными пупочными точками одинаково независимо от начального направления геодезии.
• Принимая во внимание, что закрытая геодезика на эллипсах x = 0 и z = 0 стабильны (геодеза, первоначально близкая к и почти параллельно эллипсу, остается близко к эллипсу), закрытый геодезис на эллипсе y = 0 , который проходит через все 4 пупочные точки, экспоненциально нестабильны . Если это возмущено, он будет выходить из плоскости y = 0 и перевернуться, прежде чем вернуться к близкому к плоскости. (Это поведение может повторяться в зависимости от природы начального возмущения.)

Если отправная точка a геодезы не является пупочной точкой, ее оболочка представляет собой астроид с двумя острыми островами, лежащими на β = - β ₁ и двумя другими на ω = ω ₁ + π . Локус разреза для a - это часть линии β = - β ₁ между усилиями.

Приложения

Прямые и обратные геодезические проблемы больше не играют центральной роли в геодезии, которую они когда -то делали. Вместо того, чтобы решать корректировку геодезических сетей как двумерную проблему в сфероидальной тригонометрии, эти проблемы теперь решаются трехмерными методами ( Vincenty & Bowring 1978 ). Тем не менее, наземная геодезика все еще играет важную роль в нескольких областях:

• для измерения расстояний и областей в географических информационных системах ;
• определение морских границ ( UNCLOS 2006 );
• в правилах федерального авиационного управления для навигации по местности ( RNAV 2007 );
• Метод измерения расстояний в FAI Sporting Code ( FAI 2018 ).
• Помогите мусульманам найти свое направление к Мекке

По принципу наименьшего действия , многие проблемы в физике могут быть сформулированы как вариационная проблема, аналогичная проблеме геодезики. Действительно, геодезическая проблема эквивалентна движению частицы, ограниченной для перемещения по поверхности, но в остальном не подлежит никаким силам ( Laplace 1799a ) ( Hilbert & Cohn-Vossen 1952 , стр. 222 ). По этой причине геодеза на простых поверхностях, таких как эллипсоиды революции или трихосных эллипсоидов, часто используются в качестве «тестовых случаев» для изучения новых методов. Примеры включают:

• Разработка эллиптических интегралов ( Legendre 1811 ) и эллиптических функций ( Weierstrass 1861 );
• Развитие дифференциальной геометрии ( Гаусс 1828 ) ( Кристоффель 1869 );
• Методы решения систем дифференциальных уравнений путем изменения независимых переменных ( Jacobi 1839 );
• изучение еды ( Jacobi 1891 );
• Исследования по количеству и стабильности периодических орбит ( Poincaré 1905 );
• В пределе C → 0 геодезика на трехосном эллипсоиде уменьшается до случая динамического бильярда ;
• расширения на произвольное количество измерений ( Knörrer 1980 );
• Геодезический поток на поверхности ( Berger 2010 , глава 12).

Смотрите также

• Пути земной секции
• Фигура земли
• Географическое расстояние
• Великолепная навигация
• Отличный эллипс
• Геодезис
• Geaodesy
• Проекция карты
  • Проекция карты трехосного эллипсоида
• Меридианская дуга
• Rhumb Line
• Формулы Винсенти

Ссылки

• Арнольд, VI (1989). Математические методы классической механики . Перевод Фогтмана, К.; Вайнштейн, А. (2 -е изд.). Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-96890-2 Полем OCLC   4037141 .
• Bagratuni, G. V. (1967) [1962]. Course in Spheroidal Geodesy . doi : 10.5281/zenodo.32371 . OCLC  6150611 . Translation from Russian of Курс сфероидической геодезии (Moscow, 1962) by U.S. Air Force ( FTD-MT-64-390 )
• Бергер, М. (2010). Геометрия выявлена . Перевод Сенечала, LJ Springer. doi : 10.1007/978-3-540-70997-8 . ISBN  978-3-540-70996-1 .
• Бессель, FW (2010) [1825]. «Расчет долготы и широты от геодезических измерений». Астрономишиш Нахрихтен . 331 (8). Перевод Карни, CFF; Дикин, Re: 852–861. Arxiv : 0908.1824 . Bibcode : 2010an .... 331..852K . doi : 10.1002/asna.201011352 . S2CID   118760590 . Английский перевод Астрон. Нахр. 4 , 241–254 (1825) . Ошибки .
• Блаженство, GA (1916). «Условие Якоби для проблем исчисления вариаций в параметрической форме» . Труды Американского математического общества . 17 (2): 195–206. doi : 10.1090/s0002-9947-1916-150101037-4 .
• Бомфорд, Г. (1952). Геодезия . Оксфорд: Кларендон. OCLC   1396190 .
• Борре, К.; Strang, WG (2012). «11, Геометрия эллипсоида» (PDF) . Алгоритмы для глобального позиционирования . Уэллсли-Камбридж Пресс. ISBN  978-0-9802327-3-8 Полем OCLC   795014501 .
• Кейли А. (1870). «На геодезических линиях на сплоченном сфероиде» . Философский журнал . 4 -я серия. 40 (268): 329–340. doi : 10.1080/147864447008640411 .
• Загород, М. (1846). «На геодезических линиях и линии кривизны поверхностей второй степени» [Геодезические линии и линии кривизны серфаклей второй степени]. Чистый и прикладной математический журнал (на французском языке). 11 : 5–20. PDF .
• Кристоффель, EB (1869). «Общая теория геодезических треугольников» [Общая теория геодезических треугольников]. Трактуки Королевской академии науки в Берлине (на немецком языке): 119–176.
• Clairaut, AC (1735). «Геометрическое определение перпендикулярного меридиану, прослеженного г -ном Кассини» [Геометрическое определение перпендикулярного меридиану, нарисованному Жаком Кассини]. Мемуары Королевской академии наук Парижа 1733 (на французском языке): 406–416.
• Дэниелсен, JS (1989). «Площадь под геодезией». Обзор обзора . 30 (232): 61–66. doi : 10.1179/003962689791474267 .
• Дарбу, JG (1894). Уроки по общей теории поверхностей [ Уроки по общей теории поверхностей ] (на французском языке). Полет. 3. Париж: Gauthier-Villars. OCLC   8566228 .
• Дюпин, PCF (1813). Геометрические разработки [ разработки в геометрии ] (на французском языке). Париж: Курции. OCLC   560800801 .
• Элерт Д. (1993). Методы эллипсоидного треугольного расчета [ Методы эллипсоидальной триангуляции ] (технический отчет). Серия B: Applied Geodesy, выпуск № 292 (на немецком языке). Немецкая геодезическая комиссия . OCLC   257615376 .
• Эйлер Л. (1755). «Элеменс сфероидальной тригонометрии, взятой из более крупного и меньшего метода» [элементы сфероидальной тригонометрии, взятые из метода максимумов и минимумов]. Мемуары Берлинской Королевской академии наук 1753 года (на французском языке). 9 : 258–293. Фигуры .
• ISP (2018). «Раздел 8.2.3». FAI Sporting Code (PDF) (технический отчет). Лозанна, Швейцария: Международная федерация авиации.
• Форсайт, АР (1927). Исчисление вариаций . Cambridge Univ. Нажимать. ISBN  978-1-107-64083-2 Полем OCLC   250050479 .
• Gan'snin, VV (1969) [1967] Геоматичность Земли Элипсол Перевод Will, JM St. Луис. doi : 10.5281/Zenodo .  493553Oclc русского ​ Перевод
• Гаусс, CF (1902) [1828]. Общие исследования изогнутых поверхностей 1827 и 1825 гг . Перевод Morehead, JC; Hiltebeitel, Am Princeton Univ. Либеральный OCLC   7824448 . PDF . Английский перевод Disquisitiones Generales Круги поверхности (Dieterich, Göttingen, 1828).
• Харт, как (1849). «Геометрическая демонстрация некоторых свойств геодезических линий» . Кембридж и Дублинский математический журнал . 4 : 80–84.
• Helmert, пт (1964) [1880]. Математические и физические теории высшей геодезии . Vol. 1. Doi : 10.5281/Zenodo.32050 . OCLC   17273288 . Английский перевод математической и физической теории высшей геодезии , том 1 (Teubner, Leipzig, 1880).
• Хилберт, D ;; Cohn-Vossen, S. (1952). Геометрия и воображение . Перевод Nemenyi, P. New York: Челси. ISBN  9780828400879 Полем OCLC   301610346 .
• Хаттон, С. (1811). Курс математики в трех томах, составленный для использования Королевской военной академии . Тол. 3. Лондон: ФК и Дж. Ривингтон. OCLC   18031510 .
• Якоби, CGJ (1837). «О теории расчета вариации и дифференциальных уравнений» [Теория исчисления вариаций и дифференциальных уравнений]. Журнал для чистой и прикладной математики (на немецком языке). 1837 (17): 68–82. Doi : 10.1515/crll.1837.17.68 . S2CID   119469290 .
• Якоби, CGJ (1839). «Примечание от геодезической линии на эллипсоиде и различных применениях странной аналитической замены» [Геодеза на эллипсоиде и различное применение замечательной аналитической замены]. Журнал для чистой и прикладной математики (на немецком языке). 1839 (19): 309–313. Doi : 10.1515/crll.1839.19.309 . S2CID   121670851 . Письмо Бесселю , декабрь. 28, 1838. Французский перевод (1841).
• Якоби, CGJ (2009) [1866]. А. Клебш (ред.). Лекции по динамике . Перевод Балагангадхарана, К. Нью -Дели: Книжное агентство Hindustan. ISBN  978-81-85931-91-3 Полем MR   2569315 . OCLC   440645889 . Английский перевод лекций по динамике (Реймер, Берлин, 1866). Ошибки .
• Якоби, CGJ (1891). «О кривой, которая затрагивает все геодезические линии вращения -солипсоида» из одной точки »[Оболочка геодезических линий, избавленных от одной точки на эллипсоиде]. В KTW Weierstrass (ред.). Собранные работы Якоби (на немецком языке). Том. 7. Берлин: Реймер. С. OCLC   630416023 . Доклада Пост., Завершен FHA Wangerin . PDF .
• Jekeli, C. (2012), Геометрические справочные системы в Geodesy , штат Огайо Univ., HDL : 1811/51274
• Джордан, W . ; Eggert, O. (1962) [1941]. Справочник по геодезии . Тол. 3. Перевод Carta, MW Washington, DC: Служба армии. Bibcode : 1962Hage.Book ..... J. doi : 10.5281/Zenodo.35316 . OCLC   34429043 . Английский перевод Handbuch der Vermessungskunde , 8 -е издание (Metzler, Stuttgart, 1941).
• Карни, CFF (2013). «Алгоритмы для геодезики» . Журнал геодезии . 87 (1): 43–55. Arxiv : 1109.4448 . Bibcode : 2013jgeod..87 ... 43K . doi : 10.1007/s00190-012-0578-z . Добавка .
• Карни, CFF (2015). "GeographicLib" . Версия 1.44.
• Карни, CFF (2024). «Геодезика на произвольном эллипсоиде революции» . Журнал геодезии . 98 (1): 4: 1–14. Arxiv : 2208.00492 . doi : 10.1007/s00190-023-01813-2 .
• Клингенберг, WPA (1982). Риеманская геометрия . де Грюйер. ISBN  978-3-11-008673-7 Полем MR   0666697 . OCLC   8476832 .
• Knörrer, H. (1980). «Геодезика на эллипсоиде». Математические результаты . 59 (2): 119-143. Bibcode : 1980inmat..59..119k . Doi : 10.1007 / bf01390041 . S2CID   118792545 .
• Кракивский, EJ; Thomson, DB (1974), вычисления геодезической позиции (PDF) , Департамент геодезии и геоматической инженерии, лекционные примечания, Фредериктон, NB: Univ. Нью -Брансуик, Bibcode : 1974gpc..book ..... k
• Лаплас, PS (1829) [1799a]. «Книга 1, §8». Полем Трактат о небесной механике . Тол. 1. Перевод Боудича, Н. Бостон: Хиллард, Грей, Литтл и Уилкинс. OCLC   1294937 .
• Лаплас, PS (1799b). Трактат о небесной механике [ Трактат о небесной механике ] (на французском языке). Полет. 2. Париж: Краплет. п. 112. OCLC   25448952 .
• Legendre, Am (1806). «Анализ треугольников, нарисованных на поверхности сфероида» [Анализ сфероидальных треугольников]. Мемуары Национального института Франции (на французском языке) (1 -й семестр): 130–161.
• Legendre, Am (1811). Полные учения по расчетам по различным порядкам трансцендентов и квадративам [ Упражнения в интегральном расчете ] (на французском языке). Париж: Курции. OCLC   312469983 .
• Leick, A.; Rapoport, L.; Татарнинков, Д. (2015). GPS Спутниковые съемки (4 -е изд.). Уайли. ISBN  978-1-119-01828-5 .
• Liouville, J. (1846). «В нескольких особых случаях, когда уравнения движения материальной точки могут интегрироваться» [в особых случаях, когда уравнения движения точечной частицы могут быть интегрированы]. Чистый и прикладной математический журнал (на французском языке). 11 : 345–378. PDF
• Lyusternik, L. (1964). Shortest Paths: Variational Problems . Popular Lectures in Mathematics. Vol. 13. Translated by Collins, P.; Brown, R. B. New York: Macmillan. MR  0178386 . OCLC  1048605 . Translation from Russian of Кратчайшие Линии: Вариационные Задачи (Moscow, 1955).
• Монге Г. (1850) [1796]. «На линии кривизны поверхности эллипсоида» [на линиях кривизны на поверхности эллипсоида]. В J. Liouville (ред.). Применение анализа к геометрии (на французском языке) (5 -е изд.). Париж: бакалавр. стр. 139–160. OCLC   2829112 . ( Рис. 1–2 , рис. 3–4 ). 1796 Edition ( рис. 1–2 , рис. 3–4 ). PDF фигуры .
• Национальное геодезическое обследование (2012). «Геодезические утилиты: обратно и вперед» . Версия 3.0.
• Ньютон, И. (1848) [1687]. «Книга 3, предложение 19, проблема 3» . Математические принципы естественной философии . Перевод Motte, A. New York: Adee. С. 405–409. Английский перевод философии натуралис принципий Mathematica . Liber Tertius, Prop. XIX. Вероятность II С. 422–424 .
• Ориани, Б. (1806). «Элементы сфероидальной тригонометрии, стр. 1» [элементы сфероидальной тригонометрии]. Мемуары итальянского национального института (на итальянском языке). 1 (1): 118–198.
• Ориани, Б. (1808). «Элементы сфероидальной тригонометрии, стр. 2» [элементы сфероидальной тригонометрии]. Мемуары итальянского национального института (на итальянском языке). 2 (1): 1–58.
• Ориани, Б. (1810). «Элементы сфероидальной тригонометрии, стр. 3» [элементы сфероидальной тригонометрии]. Мемуары итальянского национального института (на итальянском языке). 2 (2): 1–58.
• Пуанкаре, Х. (1905). «На геодезических линиях выпуклых поверхностей» [Геодезические линии мы выпущены поверхностями]. Труды Американского математического общества (на французском языке). 6 (3): 237–274. Doi : 10.2307/1986219 . JSTOR   1986219 .
• Рейнсфорд, HF (1955). «Длинная геодезика на эллипсоиде». Бюллетень géodésique . 37 (1): 12–22. Bibcode : 1955bgeod..29 ... 12r . doi : 10.1007/bf02527187 . S2CID   122111614 .
• Rapp, RH (1991), Geometric Geodesy, часть I , штат Огайо Univ., HDL : 1811/24333
• Rapp, RH (1993), Geometric Geodesy, часть II , штат Огайо Univ., HDL : 1811/24409
• RNAV (2007). «Приложение 2.». Заказ 8260.54a, Стандарт Соединенных Штатов для навигации по местум участке (PDF) (Технический отчет). Вашингтон, округ Колумбия: Федеральное авиационное управление США.
• Sjöberg, LE (2006). «Определение областей на плоскости, сфере и эллипсоиде». Обзор обзора . 38 (301): 583–593. doi : 10.1179/003962606780732100 .
• Unclos (2006). Руководство по техническим аспектам Конвенции Организации Объединенных Наций по закону моря, 1982 (PDF) (Технический отчет) (4 -е изд.). Монако: Международное гидрографическое бюро. Архивировано из оригинала (PDF) 2013-05-24 . Получено 2013-08-15 .
• Vincenty, T. (1975). «Прямые и обратные решения геодезики на эллипсоиде с применением вложенных уравнений» (PDF) . Обзор обзора . 23 (176): 88–93. Bibcode : 1975Surrv..23 ... 88V . doi : 10.1179/sre.1975.23.176.88 . Приложение: Обзор опроса 23 (180): 294 (1976).
• Vincenty, T .; Bowring, BR (1978). Применение трехмерной геодезии к корректировке горизонтальных сетей (PDF) (технический отчет). Ноаа. Nos ngs-13.
• Вейерштрасс, KTW (1861). «О геодезических линиях на трех осевых эллипсоидах» [геодезические линии на трехосном эллипсоиде]. Ежемесячные отчеты Королевской академии науки в Берлине (на немецком языке): 986–997.

Внешние ссылки

• Онлайн геодезическая библиография книг и статей о геодезике на эллипсоидах.
• Тестовый набор для геодезики , набор из 500000 геодезиков для эллипсоида WGS84, вычисленный с использованием высокопроизводительной арифметики.
• Инструмент NGS Реализация Vincenty (1975) .
• Geod (1) , Man Page для утилиты Proj для геодезических расчетов.
• Географическая реализация Карни (2013) .
• Рисование геодезики на картах Google.