Закрытие равных сфер

Иллюстрация закрытия равных сферов как в решетках HCP (слева), так и в FCC (справа)

В геометрии сфер тесная упаковка равных является плотным расположением конгруэнтных сфер в бесконечной, регулярной договоренности (или решетке ). Карл Фридрих Гаусс доказал, что самая высокая средняя плотность, то есть наибольшую долю пространства, занятого сферами, что может быть достигнуто с помощью решетки упаковки .

${\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\approx 0.74048$.

Та же самая плотность упаковки также может быть достигнута с помощью альтернативных стеков одинаковых плоскостей сфер, включая структуры, которые являются апериодическими в направлении укладки. утверждает Гипогада Кеплера , что это самая высокая плотность, которая может быть достигнута с помощью любого расположения сфер, регулярных или нерегулярных. Эта предположение была доказана TC Hales . Самая высокая плотность известна только для 1, 2, 3, 8 и 24 измерений.

Многие кристаллические структуры основаны на тесном пакете одного вида атома или закрытии больших ионов с меньшими ионами, заполняющими пространства между ними. Кубические и шестиугольные договоренности очень близки друг к другу в энергии, и может быть трудно предсказать, какая форма будет предпочтительнее от первых принципов.

FCC и HCP

Расположение FCC наблюдается в 4-кратном направлении оси

FCC		HCP
Расположение FCC может быть ориентировано в двух разных плоскостях, квадратных или треугольных. Их можно увидеть в кубоктаэхедре с 12 вершинами, представляющими позиции 12 соседних сфер вокруг одной центральной сферы. Расположение HCP можно увидеть в треугольной ориентации, но чередуются два положения сфер, в треугольном расположении ортобикуполы .

Есть две простые обычные решетки, которые достигают этой наибольшей средней плотности. Они называются фокусированными кубическими ( FCC ) (также называемыми кубическими закрытыми ) и гексагональными закрытыми ( HCP ) на основе их симметрии . Оба основаны на листах сфер, расположенных на вершинах треугольной плитки; Они различаются по тому, как листы сложены друг на друга. Решетка FCC также известна математикам, которая генерируется _{A 3} корневой системой .

Проблема с пушечным явлением

Основная статья: Проблема с пушечным явлением

Кэннонболы, сложенные на треугольной (передней) и прямоугольной (задней) основе, оба FCC . решетки

Проблема закрытия сферов была сначала математически проанализирована Томасом Харриотом был задан вопросом о накапливании пушек на кораблях около 1587 года после того, как сэр Уолтер Роли . Кэннон ямы обычно сложены в прямоугольной или треугольной деревянной раме, образуя трехстороннюю или четырехстороннюю пирамиду. Оба расположения производят кубическую решетку, ориентированную на лицо, с различной ориентацией на землю. Гексагональное закрытие приводит к шестисторной пирамиде с шестиугольной основой.

Коллекции снежков расположены в форме пирамиды. Передняя пирамида находится в шестиугольной закрытой, а сзади находится с лицевой кубической.

Проблема с пушечным ядром спрашивает, какие плоские квадратные композиции пушечных ядей можно сложить в квадратную пирамиду. Эдуард Лукас сформулировал проблему как диофантинское уравнение $\sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}$ или ${\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)=M^{2}$ и предположил, что единственные решения $N=1,M=1,$ и $N=24,M=70$Полем Здесь $N$ это количество слоев в расположении пирамидного укладки и $M$ это количество пушечных яборов вдоль края в плоской квадратной композиции.

Позиционирование и расстояние

Как в сфере FCC, так и в HCP в каждой сфере двенадцать соседей. Для каждой сферы есть один разрыв, окруженный шестью сферами ( октаэдрическими ) и двумя небольшими промежутками, окруженными четырьмя сферами (тетраэдрическим). Расстояния для центров этих пробелов из центров окружающих сферы √ 3 ⁄ 2 для тетраэдрического и √ 2 для октаэдрического, когда радиус сферы составляет 1.

По сравнению с эталонным слоем с позиционированием A, возможны еще два позиционирования B и C. Каждая последовательность A, B и C без немедленного повторения одного и того же возможна и дает одинаково плотную упаковку для сфер данного радиуса.

Самые обычные из них

• FCC = ABC ABC ABC ... (каждый третий слой одинаково)
• Hcp = ab ab ab ... (каждый другой слой одинаково).

Существует бесконечно бесконечное количество беспорядочных договоренностей самолетов (например, Abcacbababac ...), которые иногда в совокупности называют «упаковки Barlow» после кристаллографа Уильяма Барлоу .

В тесной пакете расстояние между сферами в центре к центре в плоскости XY представляет собой простую сотовую тесселяцию с высотой (расстояние между сферами) диаметра одной сферы. Расстояние между сферами, проецируемыми на оси Z (вертикальную), составляет:

${\text{pitch}}_{Z}={\sqrt {6}}\cdot {d \over 3}\approx 0.816\,496\,58d,$

где D - диаметр сферы; Это следует из тетраэдрического расположения сферы.

Координационное число HCP и FCC составляет 12, а их коэффициенты атомной упаковки (APF) равны числу, упомянутому выше, 0,74.

Сравнение между HCP и FCC
Рисунок 1 - решетчатая решетка HCP (слева) и решетка FCC (справа). Схема каждой соответствующей решетки Bravais показана красным. Буквы указывают, какие слои одинаковы. В матрице HCP есть два слоя «A», где все сферы находятся в одном положении. Все три слоя в стеке FCC разные. Обратите внимание, что укладка FCC может быть преобразована в укладку HCP путем перевода самой верхней сферы, как показано на пунктирном контуре.

Рисунок 2   Томас Харриот в ок. 1585 сначала размышлял о математике аранжировки пушечного явления или стека с пушечным явлением, которая имеет решетку FCC. Обратите внимание, как два шара, обращенные к зрителю на втором уровне от верхнего, контакта с одним и тем же шаром на уровне ниже. Это не происходит в решетке HCP (левая организация на рисунке 1 выше, и рисунок 4 ниже).

Рисунок 3 , показанная здесь, представляет собой модифицированную форму стека пушечного двора, в которой были добавлены три дополнительные сферы, чтобы показать все восемь сфер в трех верхних уровнях решетки FCC, диаграммы на рисунке 1 .

Рисунок 4, показанные здесь, представлены одиннадцать сферов решетки HCP, показанные на рисунке 1 . Разница между этим стеком и тремя лучшими уровнями стека пушечного ящика - все это происходит в нижнем уровне, который вращается в половине диаметра шага сферы (60 °). Обратите внимание, как два шара, обращенные к зрителю на втором уровне сверху, не связываются с одним и тем же шаром на уровне ниже.

Рисунок 5 Этот анимированный вид помогает проиллюстрировать трехстороннюю пирамидальную ( тетраэдрическую ) форму расположения пушечного явления.

Генерация решетки

При формировании любой решетки с сферой, первым фактом, который нужно заметить, состоит в том, что всякий раз, когда две сферы касаются прямой линии, могут быть вытянуты из центра одной сферы к центру другой, пересекающей точку контакта. Расстояние между центрами вдоль кратчайшего пути, а именно, что прямая линия будет R ₁ + R ₂ , где R ₁ является радиусом первой сферы, а R ₂ - радиус второго. В тесной упаковке все сферы имеют общий радиус, r . Следовательно, два центра будут просто иметь расстояние 2 р .

Простая решетка HCP

Анимация генерации решетки с близким пакетом. ПРИМЕЧАНИЕ. Если третий слой (не показан) находится непосредственно на первом уровне, то строятся решетчатая решетка HCP. Если третий слой помещается над отверстиями в первом слое, то создается решетка FCC.

Чтобы сформировать полюду -... гексагональная закрытая упаковка сфер, точки координат решетки будут центрами сфер. Предположим, цель состоит в том, чтобы заполнить коробку сферами в соответствии с HCP. Коробка будет размещена на x - y - z координатном пространстве .

Сначала образуйте ряд сфер. Все центры будут лежать на прямой линии. Их x -координата будет варьироваться на 2 r, так как расстояние между каждым центром сферов касается, составляет 2 r . Y . -координата и Z -координата будут такими же Для простоты скажем, что шарики -это первый ряд, и что их координаты Y -и z -это просто r , так что их поверхности опираются на нулевые планы. Координаты центров первого ряда будут выглядеть как (2 R , R , R ), (4 R , R , R ), (6 R , R , R ), (8 R , R , R ), ... Полем

Теперь сформируйте следующий ряд сфер. Опять же, все центры будут лежать на прямой линии с x -координатными различиями в 2 r -обработке будет сдвиг r, , но в x так что центр каждой сферы в этом ряду соответствовал x -координату где две сферы касаются в первом ряду. Это позволяет сферам нового ряда скользить ближе к первой строке, пока все сферы в новом ряду не коснутся двух сфер первого ряда. Поскольку новые сферы касаются двух сфер, их центры образуют равносторонний треугольник с центрами этих двух соседей. Все длина боковых -координатная разница между , поэтому высота или y рядами √ 3 r . Таким образом, эта строка будет иметь подобные координаты:

$\left(r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(3r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(5r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(7r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\dots .$

Первая сфера этого ряда касается только одной сферы в исходном ряду, но ее расположение следует примеру остальной части строки.

Следующий ряд следует за этой схемой смещения x -координата на r и y -координату на √ 3 . Добавьте ряды до достижения X и Y. максимальных границ

В Abab -... Stacking Pattern у нечетной пронумерованной плоскости сфер будут иметь точно одинаковые координаты, за исключением разницы в шагах в Z -координатах, а четные пронумерованные плоскости сфер будут иметь одинаковые x -и y -координаты. Оба типа плоскостей сформируются с использованием шаблона, упомянутого выше, но отправная точка для первой сферы первого ряда будет отличаться.

Используя плоскость, описанную точно выше как плоскость № 1, плоскость A, поместите сферу на вершине этой плоскости, чтобы она лежала в досягах от трех сфер в A-плоскости. Все три сферы уже касаются друг друга, образуя равносторонний треугольник, и, поскольку все они касаются новой сферы, четыре центра образуют обычный тетраэдр . Все стороны равны 2 r , потому что все стороны образуются двумя прикосновениями к двум сферам. Высота которого или z -координатная разница между двумя «плоскостями» ⁠ √ 6 R 2 / 3 ⁠ . Это в сочетании с смещениями в x и y -координатах дает центры первого ряда в плоскости B:

$\left(r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(3r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(5r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(7r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\dots .$

Координаты второго ряда следуют за шаблоном, впервые описанной выше, и являются:

$\left(2r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(4r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(6r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(8r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\dots .$

Разница в следующей плоскости, плоскости, снова - ⁠ √ 6 R 2/3 чтобы x ⁠ в Z -направлении и сдвиг в и y , соответствовать этим x -и y -координаты первой плоскости.

В общем, координаты сферо -центров могут быть написаны как:

${\begin{bmatrix}2i+((j\ +\ k){\bmod {2}})\\{\sqrt {3}}\left[j+{\frac {1}{3}}(k{\bmod {2}})\right]\\{\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}k\end{bmatrix}}r$

где я , J и K являются индексами, начинающимися с 0 для x -, y -и z -координата.

Индексы Миллера

Основная статья: Индекс Миллера

Индекс Miller -Bravais для решетки HCP

Кристаллографические особенности систем HCP, таких как векторы и семейства атомной плоскости, могут быть описаны с использованием четырехзнавного индекса Miller Index ( HKIL ), в которой третий индекс I обозначает вырожденный, но удобный компонент, который равен- h - k . Направления индекса H , I и K разделены на 120 ° и, таким образом, не являются ортогональными; Компонент L взаимно перпендикулярно H , I и K. направлениям индекса

Заполнение оставшегося пространства

Упаковки FCC и HCP являются самыми плотными известными упаковками равных сфер с самой высокой симметрией (наименьшие повторные единицы). Условные упаковки сферы известны, но они включают неравную упаковку сферы . Плотность упаковки 1, полное пространство для заполнения, требует не сферических форм, таких как соты .

Замена каждой точки контакта между двумя сферами на край, соединяющего центры трогательных сфер, производит тетраэдры и октаэдроны равной длины края. Расположение FCC производит тетраэдрические соты . Расположение HCP производит гиратируемые тетраэдрические-октаээдрические соты . Если вместо этого каждая сфера дополняется точками в пространстве, которые ближе к ней, чем к любой другой сфере, производятся двойные соты: ромбический додекэдрический соты для FCC и трапецировку-рамбический додекэдр для HCP.

Сферические пузырьки появляются в мыльной воде в расположении FCC или HCP, когда вода в зазорах между пузырьками вытекает. Этот рисунок также приближается к ромбическому додекаэдрическому соты или трапеции-рамбическому додекаэдрическому соты . Однако такие пены FCC или HCP очень маленького содержания жидкости нестабильны, поскольку они не удовлетворяют законам плато . Пена Кельвина и пена Уиаре -Фелана более стабильны, имеют меньшую межфазную энергию в пределе очень маленького содержания жидкости.

Существует два типа интерстициальных отверстий , оставленных конформациями HCP и FCC; тетраэдрическая и октаэдрическая пустота. Четыре сферы окружают тетраэдрическую дыру с тремя сферами, находящимися в одном слое, и одной сферой от следующего слоя. Шесть сфер окружают октаэдрические пустоты с тремя сферами, исходящими из одного слоя и трех сфер, исходящих от следующего слоя. Например, структуры многих простых химических соединений часто описываются с точки зрения небольших атомов, занимающих тетраэдрические или октаэдрические отверстия в закрытых упакованных системах, которые образуются из более крупных атомов.

Слоистые структуры образуются путем чередования пустых и заполненных октаэдрических плоскостей. Два октаэдрических слоя обычно допускают четыре структурных расположения, которые могут быть заполнены HPC систем упаковки FCC. При заполнении тетраэдрических отверстий полная заполнение приводит к полевым массиву FCC. В единичных ячечах заполнение отверстий может иногда привести к многогранным массивам со смесью слоя HCP и FCC.

Смотрите также

• Кубическая кристаллическая система
• Константа отшельника
• Случайный закрытый пакет
• Сфера упаковка
• Упаковка сферы цилиндров

Внешние ссылки

• P. Krishna & D. Pandey, «Близкие структуры» Международный союз кристаллографии Университетского колледжа Cardiff Press. Кардифф, Уэльс. PDF