Мультипликативный обратный

В математике — мультипликативное обратное или обратное число для числа x , обозначаемое 1/ x или x. ⁻¹, — это число, которое при умножении на x дает мультипликативное тождество 1. Мультипликативной обратной дробью a / b является b / a . Чтобы получить мультипликативное обратное вещественному числу, разделите 1 на число. Например, обратная величина 5 равна одной пятой (1/5 или 0,2), а обратная величина 0,25 равна 1, деленной на 0,25, или 4. Обратная функция , функция f ( x ), которая отображает x в 1/ x , — один из простейших примеров функции, обратной к самой себе ( инволюции ).

Умножение на число аналогично делению на обратное ему число, и наоборот. Например, умножение на 4/5 (или 0,8) даст тот же результат, что и деление на 5/4 (или 1,25). Следовательно, умножение на число, за которым следует умножение на обратное ему число, дает исходное число (поскольку произведение числа и обратного ему числа равно 1).

Термин «обратный» широко использовался, по крайней мере, еще в третьем издании Британской энциклопедии (1797 г.) для описания двух чисел, произведение которых равно 1; геометрические величины в обратной пропорции описаны как обратные в переводе 1570 года Евклида » «Начал . ^[1]

Во фразе multiplicative inverse квалификатор multiplicative часто опускается, а затем молчаливо понимается (в отличие от аддитивного inverse ). Мультипликативные обратные операции могут быть определены во многих математических областях, а также в числах. В этих случаях может случиться, что ab ≠ ba ; тогда «инверсный» обычно подразумевает, что элемент является обратным как слева, так и справа .

Обозначение f ⁻¹ иногда также используется для обозначения обратной функции f , которая для большинства функций не равна мультипликативной обратной. Например, мультипликативный обратный 1/(sin x ) = (sin x ) ⁻¹ является косекансом x, а не обратным синусом x, обозначаемым sin ⁻¹ x или arcsin x . Разница в терминологии обратная и обратная недостаточна, чтобы провести это различие, поскольку многие авторы предпочитают противоположное соглашение об именах, вероятно, по историческим причинам (например, во французском языке обратная функция предпочтительно называется bijection réciproque ).

Примеры и контрпримеры

В действительных числах ноль не имеет обратного значения ( деление на ноль не определено ), поскольку ни одно действительное число, умноженное на 0, не дает 1 (произведение любого числа на ноль равно нулю). За исключением нуля, обратные величины каждого действительного числа являются действительными, обратные величины каждого рационального числа являются рациональными, а обратные величины каждого комплексного числа являются комплексными. Свойство, заключающееся в том, что каждый элемент, отличный от нуля, имеет мультипликативную обратную величину, является частью определения поля , примерами которого являются все эти элементы. С другой стороны, ни одно целое число, кроме 1 и −1, не имеет целочисленного обратного значения, поэтому целые числа не являются полем.

В модульной арифметике также определяется модульное мультипликативное обратное к a : это число x такое, что ax ≡ 1 (mod n ) . Этот мультипликативный обратный существует тогда и только тогда, когда a и n взаимно просты . Например, обратное число 3 по модулю 11 равно 4, потому что 4 ⋅ 3 ≡ 1 (по модулю 11) . расширенный алгоритм Евклида Для его вычисления можно использовать .

Седенионы — это алгебра , в которой каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный, но, тем не менее, имеет делители нуля, то есть ненулевые элементы x , y такие, что xy = 0.

имеет Квадратная матрица обратную тогда и только тогда, когда ее определитель имеет обратный в кольце коэффициентов . Линейная карта с матрицей A ⁻¹ относительно некоторой базы тогда является обратной функцией карты, имеющей матрицу A в той же базе. Таким образом, два различных понятия обратной функции в этом случае сильно связаны, но они все же не совпадают, поскольку мультипликативная обратная функция Ax будет ( Ax ) ⁻¹, а не А ⁻¹х.

Эти два понятия обратной функции иногда совпадают, например для функции $f(x)=x^{i}=e^{i\ln(x)}$ где $\ln$ является главной ветвью комплексного логарифма и $e^{-\pi }<|x|<e^{\pi }$ :

((1/f)\circ f)(x)=(1/f)(f(x))=1/(f(f(x)))=1/e^{i\ln(e^{i\ln(x)})}=1/e^{ii\ln(x)}=1/e^{-\ln(x)}=x

.

Тригонометрические функции связаны обратным тождеством: котангенс является обратной величиной тангенса; секанс является обратной величиной косинуса; косеканс является обратной величиной синуса.

Кольцо, в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный, является телом ; аналогично алгебра, в которой это справедливо, является алгеброй с делением .

Комплексные числа

Как упоминалось выше, обратное значение каждого ненулевого комплексного числа $z=a+bi$ является сложным. Его можно найти, умножив верхнюю и нижнюю часть 1/ z на его комплексно-сопряженное число. ${\bar {z}}=a-bi$ и использовать имущество, которое $z{\bar {z}}=\|z\|^{2}$ , абсолютное значение z в квадрате, которое является действительным числом $a 2 + б 2$ :

{\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.

Интуиция в том, что

{\frac {\bar {z}}{\|z\|}}

дает нам комплексное сопряжение с величиной, уменьшенной до значения $1$ , поэтому снова разделим на $\|z\|$ гарантирует, что величина теперь также равна обратной величине исходной величины, следовательно:

{\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}

В частности, если || z ||=1 ( z имеет единичную величину), тогда $1/z={\bar {z}}$ . Следовательно, мнимые единицы ± $i имеют$ аддитивную обратную величину, равную мультипликативной обратной, и являются единственными комплексными числами с этим свойством. Например, аддитивными и мультипликативными обратными к $i$ являются $-(i) = - i$ и $1/ i = - i$ соответственно.

Для комплексного числа в полярной форме $z = r (cos φ + i sin φ)$ обратное число просто принимает обратное значение величины и отрицательное значение угла:

{\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}\left(\cos(-\varphi )+i\sin(-\varphi )\right).

Исчисление

В исчислении производная / x $1 x = реальном -1$ задается степенным правилом со степенью −1:

{\frac {d}{dx}}x^{-1}=(-1)x^{(-1)-1}=-x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}}.

Степенное правило для интегралов ( квадратурная формула Кавальери ) не может использоваться для вычисления интеграла от 1/ x , поскольку это приведет к делению на 0: $\int {\frac {dx}{x}}={\frac {x^{0}}{0}}+C$ Вместо этого интеграл определяется выражением: $\int _{1}^{a}{\frac {dx}{x}}=\ln a,$ $\int {\frac {dx}{x}}=\ln x+C.$ где ln – натуральный логарифм . Чтобы показать это, заметим, что ${\textstyle {\frac {d}{dy}}e^{y}=e^{y}}$ , так что если $x=e^{y}$ и $y=\ln x$ , у нас есть: ^[2] ${\begin{aligned}&{\frac {dx}{dy}}=x\quad \Rightarrow \quad {\frac {dx}{x}}=dy\\[10mu]&\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {dx}{x}}=\int dy=y+C=\ln x+C.\end{aligned}}$

Алгоритмы

Обратная величина может быть вычислена вручную с использованием длинного деления .

Вычисление обратной величины важно во многих алгоритмах деления , поскольку частное a / b можно вычислить, сначала вычислив 1/ b , а затем умножив его на a . отмечая, что $f(x)=1/x-b$ имеет ноль в точке x = 1/ b , метод Ньютона может найти этот ноль, начиная с предположения $x_{0}$ и повторяем по правилу:

x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {1/x_{n}-b}{-1/x_{n}^{2}}}=2x_{n}-bx_{n}^{2}=x_{n}(2-bx_{n}).

Это продолжается до тех пор, пока не будет достигнута желаемая точность. Например, предположим, что мы хотим вычислить 1/17 ≈ 0,0588 с точностью до 3 знаков. Принимая x ₀ = 0,1, получаем следующую последовательность:

х ₁ = 0,1(2 - 17 × 0,1) = 0,03

х ₂ = 0,03(2 - 17 х 0,03) = 0,0447

х ₃ = 0,0447(2 - 17 × 0,0447) ≈ 0,0554

х ₄ = 0,0554(2 - 17 × 0,0554) ≈ 0,0586

х ₅ = 0,0586(2 - 17 × 0,0586) ≈ 0,0588

Типичное начальное предположение можно найти, округлив b до степени, близкой к 2, а затем используя сдвиг битов для вычисления обратного значения.

В конструктивной математике для того, чтобы действительное число x имело обратное значение, недостаточно, чтобы x ≠ 0. Вместо этого должно быть задано рациональное число r такое, что 0 < r < | х |. аппроксимации С точки зрения описанного выше алгоритма это необходимо для того, чтобы доказать, что изменение y со временем станет сколь угодно малым.

Эту итерацию также можно обобщить на более широкий вид обратных операций; например, обратные матрицы .

Обратные числа иррациональных чисел

Каждое действительное или комплексное число, за исключением нуля, имеет обратное значение, а обратные числа некоторых иррациональных чисел могут иметь важные специальные свойства. Примеры включают обратную величину e (≈ 0,367879) и обратную величину золотого сечения (≈ 0,618034). Первое обратное число является особенным, потому что никакое другое положительное число не может дать меньшее число, если его возвести в степень самого себя; $f(1/e)$ это глобальный минимум $f(x)=x^{x}$ . Второе число — единственное положительное число, равное обратному ему плюс единице: $\varphi =1/\varphi +1$ . Его аддитивное обратное число — единственное отрицательное число, равное обратному ему минус единице: $-\varphi =-1/\varphi -1$ .

Функция ${\textstyle f(n)=n+{\sqrt {n^{2}+1}},n\in \mathbb {N} ,n>0}$ дает бесконечное количество иррациональных чисел, которые отличаются от обратного на целое число. Например, $f(2)$ это иррационально $2+{\sqrt {5}}$ . Это взаимно $1/(2+{\sqrt {5}})$ является $-2+{\sqrt {5}}$ , точно $4$ меньше. Такие иррациональные числа обладают очевидным свойством: они имеют ту же дробную часть , что и обратная им, поскольку эти числа отличаются на целое число.

Обратная функция играет важную роль в цепных дробях , которые обладают рядом замечательных свойств, касающихся представления (как рациональных, так и) иррациональных чисел.

Дальнейшие замечания

Если умножение ассоциативно, элемент x с мультипликативным обратным не может быть делителем нуля ( x является делителем нуля, если некоторый ненулевой y , xy = 0 ). Чтобы убедиться в этом, достаточно умножить уравнение xy = 0 на обратное x (слева), а затем упростить, используя ассоциативность. В отсутствие ассоциативности седенионы представляют собой контрпример.

Обратное неверно: элемент, который не является делителем нуля , не гарантирует наличие мультипликативного обратного.В Z все целые числа, кроме −1, 0, 1, служат примерами; не имеют обратных значений по Z. они не являются делителями нуля и Однако если кольцо или алгебра конечны , то все элементы a, не являющиеся делителями нуля, имеют обратные (левые и правые). Ибо сначала заметим, что отображение f ( x ) = ax должно быть инъективным : f ( x ) = f ( y ) подразумевает x = y :

{\begin{aligned}ax&=ay&\quad \Rightarrow &\quad ax-ay=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad a(x-y)=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad x-y=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad x=y.\end{aligned}}

Различные элементы отображаются на отдельные элементы, поэтому изображение состоит из одного и того же конечного числа элементов, и карта обязательно сюръективна . В частности, ƒ (а именно умножение на a ) должно отображать некоторый элемент x в 1, ax = 1 , так что x является обратным для a .

Приложения

Разложение обратной 1/ q по любой базе также может действовать ^[3] в качестве источника псевдослучайных чисел , если q — «подходящее» безопасное простое число , простое число вида 2 p + 1, где p также является простым числом. последовательность псевдослучайных чисел длины q В результате разложения будет получена - 1.

См. также

Примечания

^ «У равных параллелепипедов основания обратны своей высоте». ОЭД «Взаимный» §3а. Перевод сэра Генри Биллингсли «Элементов XI, 34».
^ Энтони, доктор «Доказательство того, что INT(1/x)dx = lnx» . Спросите доктора Математика . Дрексельский университет . Проверено 22 марта 2013 г.
^ Митчелл, Дуглас В., «Нелинейный генератор случайных чисел с известной длинной длиной цикла», Cryptologia 17, январь 1993 г., 55–62.

Ссылки

Максимально периодические обратные величины, Бюллетень Мэтьюза RAJ Института математики и его приложений, том 28, стр. 147–148, 1992 г.

[1] «У равных параллелепипедов основания обратны своей высоте». ОЭД «Взаимный» §3а. Перевод сэра Генри Биллингсли «Элементов XI, 34».

[2] Энтони, доктор «Доказательство того, что INT(1/x)dx = lnx» . Спросите доктора Математика . Дрексельский университет . Проверено 22 марта 2013 г.

[Mitchell-3] Митчелл, Дуглас В., «Нелинейный генератор случайных чисел с известной длинной длиной цикла», Cryptologia 17, январь 1993 г., 55–62.

[1]

[2]

[3]