Функция Sinc

Синк
Синк
	Часть нормализованной функции sinc (синий) и ненормализованной функции sinc (красный) показаны в одном масштабе.
Общая информация
Общее определение
Мотивация изобретения	Телекоммуникации
Дата решения	1952
Области применения	Обработка сигналов, спектроскопия
Домен, кодомен и изображение
Домен
Изображение
Основные функции
Паритет	Даже
Конкретные значения
На нуле	1
Значение при +∞	0
Значение при −∞	0
Максима	1 в
Минимумы	в
Особенности
Корень
Связанные функции
Взаимный
Производная
Первообразная
Определение серии
Серия Тейлора

В математике , физике и технике функция sinc , обозначаемая $sinc(x)$ , имеет две формы: нормализованную и ненормализованную. ^[1]

Функция sinc как звук с частотой 2000 Гц (±1,5 секунды вокруг нуля)

В математике историческая ненормализованная функция sinc определяется для $x \neq 0$ выражением $\operatorname {sinc} x={\frac {\sin x}{x}}.$

Альтернативно, ненормализованную функцию sinc часто называют функцией выборки и обозначают как Sa( x ). ^[2]

В цифровой обработке сигналов и теории информации нормализованная функция sinc обычно определяется для $x \neq 0$ как $\operatorname {sinc} x={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}.$

В любом случае значение при $x = 0$ определяется как предельное значение. $\operatorname {sinc} 0:=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{ax}}=1$ для всех вещественных $a \neq 0$ (предел можно доказать с помощью теоремы о сжатии ).

определенный нормализации В результате интеграл функции по действительным числам становится равным 1 (тогда как тот же интеграл ненормированной функции sinc имеет значение $π$ ). Еще одно полезное свойство: нули нормализованной функции sinc представляют собой ненулевые целочисленные значения $x$ .

Нормализованная функция sinc представляет собой преобразование Фурье без прямоугольной функции масштабирования. Он используется в концепции восстановления непрерывного сигнала с ограниченной полосой частот из равномерно расположенных выборок этого сигнала.

Единственная разница между двумя определениями заключается в масштабировании независимой переменной ( $x$ ось ) с коэффициентом $π$ . В обоих случаях под значением функции в устранимой особенности в нуле понимается предельное значение 1. Тогда функция sinc аналитична всюду и, следовательно, является целой функцией .

Эту функцию также называют кардинальным синусом или синусоидальной кардинальной функцией. ^[3]^[4] Термин sinc / ˈ s ɪ ŋ k / был введен Филипом М. Вудвордом в его статье 1952 года «Теория информации и обратная вероятность в телекоммуникациях», в которой он сказал, что функция «так часто встречается в анализе Фурье и его приложениях, что кажется, заслуживает некоторых собственных обозначений", ^[5] и его книга 1953 года «Теория вероятностей и информации с приложениями к радарам» . ^[6]^[7]Сама функция была впервые математически выведена в таком виде лордом Рэлеем в его выражении ( формула Рэлея нулевого порядка ) для сферической функции Бесселя первого рода.

Характеристики

Пересечения нуля ненормализованного sinc происходят в ненулевых целых числах, кратных $π$ , тогда как пересечения нуля нормализованного sinc происходят в ненулевых целых числах.

Локальные максимумы и минимумы ненормированного синка соответствуют его пересечениям с косинусной функцией. То есть, $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ sin( ξ ) / ξ ⁠ = cos( ξ )$ для всех точек $ξ$ , где производная $⁠ sin(x) / x ⁠$ равен нулю, и, таким образом, достигается локальный экстремум. Это следует из производной функции sinc: ${\frac {d}{dx}}\operatorname {sinc} (x)={\frac {\cos(x)-\operatorname {sinc} (x)}{x}}.$

Первые несколько членов бесконечного ряда для $x$ координаты $n$ -го экстремума с положительной $x$ координатой равны $x_{n}=q-q^{-1}-{\frac {2}{3}}q^{-3}-{\frac {13}{15}}q^{-5}-{\frac {146}{105}}q^{-7}-\cdots ,$ где $q=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pi ,$ и где нечетное $n$ приводит к локальному минимуму, а четное $n$ к локальному максимуму. Из-за симметрии вокруг $оси y$ существуют экстремумы с $x$ координатами $- x n$ . Кроме того, существует абсолютный максимум при $ξ 0 = (0, 1)$ .

Нормализованная функция sinc имеет простое представление в виде бесконечного произведения : ${\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)$

и связана с гамма-функцией $Γ(x)$ через формулу отражения Эйлера : ${\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}.$

Эйлер открыл ^[8] что ${\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right),$ и из-за тождества произведения к сумме ^[9]

$\prod _{n=1}^{k}\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)={\frac {1}{2^{k-1}}}\sum _{n=1}^{2^{k-1}}\cos \left({\frac {n-1/2}{2^{k-1}}}x\right),\quad \forall k\geq 1,$ Произведение Эйлера можно представить в виде суммы ${\frac {\sin(x)}{x}}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \left({\frac {n-1/2}{N}}x\right).$

Непрерывное преобразование Фурье нормализованного sinc (к обычной частоте) является $прямым (f)$ : $\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} (t)\,e^{-i2\pi ft}\,dt=\operatorname {rect} (f),$ где прямоугольная функция равна 1 для аргумента между — ⁠ 1/2 ⁠ и ⁠ 1/2 ⁠ случае . и ноль в противном Это соответствует тому факту, что sinc-фильтр является идеальным ( «кирпичная стена» , имеется в виду прямоугольная частотная характеристика) фильтром нижних частот .

Этот интеграл Фурье, включая частный случай $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\operatorname {rect} (0)=1$ является несобственным интегралом (см. интеграл Дирихле ), а не сходящимся интегралом Лебега , так как $\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\,dx=+\infty .$

Нормализованная функция sinc обладает свойствами, которые делают ее идеальной для интерполяции функций выборочных с ограниченной полосой пропускания :

Это интерполирующая функция, т. е. $sinc(0) = 1$ и $sinc(k) = 0$ для ненулевого целого числа $k$ .
Функции $x k (t) = sinc(t - k)$ ( $k$ целое число) образуют ортонормированный базис для с ограниченной полосой пропускания функций в функциональном пространстве $L. 2 (R)$ с наибольшей угловой частотой $ω H = π$ (т. е. наибольшей частотой цикла $f H = ⁠ 1 / 2 ⁠$ ).

Другие свойства двух функций sinc включают в себя:

нулевого порядка Ненормированный sinc — это сферическая функция Бесселя первого рода, $j 0 (x)$ . Нормализованный sinc равен $j 0 (π x)$ .
где $Si(x)$ — синус-интеграл , $\int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\operatorname {Si} (x).$
$λ sinc(λx)$ (не нормализованный) — одно из двух линейно независимых решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения $x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2{\frac {dy}{dx}}+\lambda ^{2}xy=0.$ Другой $⁠ cos(λx) / x ⁠$ , который не ограничен в точке $x = 0$ , в отличие от своего аналога функции sinc.
Используя нормализованный sinc, $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\theta ^{2}}}\,d\theta =\pi \quad \Rightarrow \quad \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(x)\,dx=1,$
$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\right)^{2}\,d\theta =\pi .$
$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{3}(\theta )}{\theta ^{3}}}\,d\theta ={\frac {3\pi }{4}}.$
$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{4}(\theta )}{\theta ^{4}}}\,d\theta ={\frac {2\pi }{3}}.$
Следующий несобственный интеграл включает в себя (ненормализованную) функцию sinc: $\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{n}+1}}=1+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{(kn)^{2}-1}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} ({\frac {\pi }{n}})}}.$

Связь с дельта-распределением Дирака

Нормализованную функцию sinc можно использовать в качестве зарождающейся дельта-функции , что означает, что выполняется следующий слабый предел :

$\lim _{a\to 0}{\frac {\sin \left({\frac {\pi x}{a}}\right)}{\pi x}}=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)=\delta (x).$

Это не обычный предел, поскольку левая часть не сходится. Скорее, это означает, что

$\lim _{a\to 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)\varphi (x)\,dx=\varphi (0)$

для каждой функции Шварца , как видно из теоремы обращения Фурье .В приведенном выше выражении при $a \to 0$ количество колебаний на единицу длины функции sinc стремится к бесконечности. Тем не менее, выражение всегда колеблется внутри огибающей $\pm ⁠ 1 / π x ⁠$ , независимо от значения $a$ .

Это усложняет неформальную картину того, $что δ (x)$ равно нулю для всех $x,$ кроме точки $x = 0$ , и иллюстрирует проблему рассмотрения дельта-функции как функции, а не как распределения. Аналогичная ситуация наблюдается и в феномене Гиббса .

Суммирование

Все суммы в этом разделе относятся к ненормализованной функции sinc.

Сумма $sinc(n)$ по целому числу $n$ от 1 до $\infty$ равна $⁠ π - 1 / 2 ⁠$ :

$\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)+\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)+\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.$

Сумма квадратов также равна $⁠ π - 1 / 2 ⁠$ : ^[10]^[11]

$\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)+\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)+\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.$

Когда знаки слагаемых чередуются и начинаются с +, сумма равна ⁠ 1 / 2 ⁠ : $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)-\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)-\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.$

Попеременные суммы квадратов и кубов также равны ⁠ 1 / 2 ⁠ : ^[12] $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)-\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)-\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}},$

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{3}(n)=\operatorname {sinc} ^{3}(1)-\operatorname {sinc} ^{3}(2)+\operatorname {sinc} ^{3}(3)-\operatorname {sinc} ^{3}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.$

Расширение серии

Ряд Тейлора ненормализованной $функции sinc$ можно получить из ряда синуса (который также дает значение 1 при $x = 0$ ): ${\frac {\sin x}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots$

Ряд сходится для всех $x$ . Нормализованная версия легко выглядит: ${\frac {\sin \pi x}{\pi x}}=1-{\frac {\pi ^{2}x^{2}}{3!}}+{\frac {\pi ^{4}x^{4}}{5!}}-{\frac {\pi ^{6}x^{6}}{7!}}+\cdots$

Эйлер, как известно, сравнил этот ряд с разложением бесконечной формы произведения для решения Базельской задачи .

Высшие измерения

Произведение одномерных функций sinc легко обеспечивает многомерную функцию sinc для квадратной декартовой сетки ( решетки ): $sinc C (x, y) = sinc(x) sinc(y)$ , преобразование Фурье которой является индикаторной функцией квадрата в частотном пространстве (т. е. кирпичная стена, определенная в двумерном пространстве). Функция sinc для недекартовой решетки (например, гексагональной решетки ) — это функция, преобразование Фурье которой является индикаторной функцией зоны Бриллюэна этой решетки. Например, функция sinc для гексагональной решетки — это функция, преобразование Фурье которой является индикаторной функцией единичного шестиугольника в частотном пространстве. Для недекартовой решетки эту функцию невозможно получить простым тензорным произведением. Однако явная формула для функции sinc для гексагональной , объемноцентрированной кубической , гранецентрированной кубической и других решеток более высокой размерности может быть явно выведена. ^[13] используя геометрические свойства зон Бриллюэна и их связь с зонотопами .

Например, шестиугольная решетка может быть создана с помощью (целого) линейного размаха векторов $\mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {u} _{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}.$

Обозначая ${\boldsymbol {\xi }}_{1}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{1},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{2}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{2},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{3}=-{\tfrac {2}{3}}(\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}),\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},$ можно вывести ^[13] функция sinc для этой гексагональной решетки как ${\begin{aligned}\operatorname {sinc} _{\text{H}}(\mathbf {x} )={\tfrac {1}{3}}{\big (}&\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right){\big )}.\end{aligned}}$

Эту конструкцию можно использовать для проектирования окна Ланцоша для общих многомерных решеток. ^[13]

См. также

Фильтр сглаживания — математическое преобразование, уменьшающее ущерб, вызванный сглаживанием.
Интеграл Борвейна - Тип математических интегралов
Интеграл Дирихле – интеграл от sin(x)/x от 0 до бесконечности.
Повторная выборка Ланцоша – применение математической формулы
Список математических функций
Шеннонский вейвлет
Sinc-фильтр – идеальный фильтр нижних частот или усредняющий фильтр.
Поскольку численные методы
Тригонометрические функции матриц - важные функции при решении дифференциальных уравнений
Тригонометрический интеграл - специальная функция, определяемая интегралом.
Формула интерполяции Уиттекера – Шеннона - Алгоритм (ре)конструирования сигнала
Трипельная проекция Винкеля - псевдоазимутальная компромиссная картографическая проекция (картография)

Ссылки

^ Олвер, Фрэнк WJ ; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В., ред. (2010), «Численные методы» , Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5 , МР 2723248 ..
^ Сингх, РП; Сапре, С.Д. (2008). Системы связи, 2Э (иллюстрированное изд.). Тата МакГроу-Хилл Образование. п. 15. ISBN 978-0-07-063454-1 . Выдержка со страницы 15
^ Вайсштейн, Эрик В. «Функция Sinc» . mathworld.wolfram.com . Проверено 7 июня 2023 г.
^ Мерка, Мирча (01 марта 2016 г.). «Кардинальная функция синуса и числа Чебышева – Стирлинга» . Журнал теории чисел . 160 : 19–31. дои : 10.1016/j.jnt.2015.08.018 . ISSN 0022-314X . S2CID 124388262 .
^ Вудворд, премьер-министр; Дэвис, Иллинойс (март 1952 г.). «Теория информации и обратная вероятность в телекоммуникациях» (PDF) . Труды IEE – Часть III: Радиотехника и техника связи . 99 (58): 37–44. дои : 10.1049/пи-3.1952.0011 .
^ Пойнтон, Чарльз А. (2003). Цифровое видео и HDTV . Издательство Морган Кауфманн. п. 147 . ISBN 978-1-55860-792-7 .
^ Вудворд, Филип М. (1953). Теория вероятностей и информации с приложениями к радару . Лондон: Пергамон Пресс. п. 29 . ISBN 978-0-89006-103-9 . OCLC 488749777 .
^ Эйлер, Леонард (1735). «О суммах рядов обратных величин». arXiv : math/0506415 .
^ Луис Ортис-Грасиа; Корнелис В. Остерли (2016). «Высокоэффективная вейвлет-метод Шеннона, обратная Фурье, для оценки европейских опционов» . СИАМ J. Sci. Вычислить . 38 (1): В118–В143. Бибкод : 2016ГАО...38Б.118О . дои : 10.1137/15M1014164 . hdl : 2072/377498 .
^ «Расширенная задача 6241». Американский математический ежемесячник . 87 (6). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки : 496–498. Июнь – июль 1980 г. doi : 10.1080/00029890.1980.11995075 .
^ Роберт Бэйли; Дэвид Борвейн ; Джонатан М. Борвейн (декабрь 2008 г.). «Удивительные суммы и интегралы Sinc». Американский математический ежемесячник . 115 (10): 888–901. дои : 10.1080/00029890.2008.11920606 . hdl : 1959.13/940062 . JSTOR 27642636 . S2CID 496934 .
^ Бэйли, Роберт (2008). «Забава с рядом Фурье». arXiv : 0806.0150v2 [ math.CA ].
^ Jump up to: ^а ^б ^с Йе, В.; Энтезари, А. (июнь 2012 г.). «Геометрическое построение многомерных функций Sinc». Транзакции IEEE при обработке изображений . 21 (6): 2969–2979. Бибкод : 2012ITIP...21.2969Y . дои : 10.1109/TIP.2011.2162421 . ПМИД 21775264 . S2CID 15313688 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Функция Sinc» . Математический мир .

[dlmf-1] Олвер, Фрэнк WJ ; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В., ред. (2010), «Численные методы» , Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5 , МР 2723248 ..

[2] Сингх, РП; Сапре, С.Д. (2008). Системы связи, 2Э (иллюстрированное изд.). Тата МакГроу-Хилл Образование. п. 15. ISBN 978-0-07-063454-1 . Выдержка со страницы 15

[3] Вайсштейн, Эрик В. «Функция Sinc» . mathworld.wolfram.com . Проверено 7 июня 2023 г.

[4] Мерка, Мирча (01 марта 2016 г.). «Кардинальная функция синуса и числа Чебышева – Стирлинга» . Журнал теории чисел . 160 : 19–31. дои : 10.1016/j.jnt.2015.08.018 . ISSN 0022-314X . S2CID 124388262 .

[5] Вудворд, премьер-министр; Дэвис, Иллинойс (март 1952 г.). «Теория информации и обратная вероятность в телекоммуникациях» (PDF) . Труды IEE – Часть III: Радиотехника и техника связи . 99 (58): 37–44. дои : 10.1049/пи-3.1952.0011 .

[Poynton-6] Пойнтон, Чарльз А. (2003). Цифровое видео и HDTV . Издательство Морган Кауфманн. п. 147 . ISBN 978-1-55860-792-7 .

[7] Вудворд, Филип М. (1953). Теория вероятностей и информации с приложениями к радару . Лондон: Пергамон Пресс. п. 29 . ISBN 978-0-89006-103-9 . OCLC 488749777 .

[8] Эйлер, Леонард (1735). «О суммах рядов обратных величин». arXiv : math/0506415 .

[9] Луис Ортис-Грасиа; Корнелис В. Остерли (2016). «Высокоэффективная вейвлет-метод Шеннона, обратная Фурье, для оценки европейских опционов» . СИАМ J. Sci. Вычислить . 38 (1): В118–В143. Бибкод : 2016ГАО...38Б.118О . дои : 10.1137/15M1014164 . hdl : 2072/377498 .

[10] «Расширенная задача 6241». Американский математический ежемесячник . 87 (6). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки : 496–498. Июнь – июль 1980 г. doi : 10.1080/00029890.1980.11995075 .

[BBB-11] Роберт Бэйли; Дэвид Борвейн ; Джонатан М. Борвейн (декабрь 2008 г.). «Удивительные суммы и интегралы Sinc». Американский математический ежемесячник . 115 (10): 888–901. дои : 10.1080/00029890.2008.11920606 . hdl : 1959.13/940062 . JSTOR 27642636 . S2CID 496934 .

[FWFS-12] Бэйли, Роберт (2008). «Забава с рядом Фурье». arXiv : 0806.0150v2 [ math.CA ].

[multiD-13] Jump up to: ^а ^б ^с Йе, В.; Энтезари, А. (июнь 2012 г.). «Геометрическое построение многомерных функций Sinc». Транзакции IEEE при обработке изображений . 21 (6): 2969–2979. Бибкод : 2012ITIP...21.2969Y . дои : 10.1109/TIP.2011.2162421 . ПМИД 21775264 . S2CID 15313688 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]