Гребень Дирака

График гребенчатой ​​функции Дирака представляет собой бесконечную серию дельта -функций Дирака, расположенных с интервалами T

В математике гребенка Дирака (также известная как функция ша , последовательность импульсов или функция выборки ) представляет собой периодическую функцию с формулой $$\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)\ :=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)$$за какой-то заданный период $T$. Здесь t — действительная переменная, а сумма распространяется на все целые числа k. Дельта- функция Дирака $\delta$ и гребенка Дирака являются умеренными распределениями . График функции напоминает гребенку (с $\delta$ расчески s — зубцы ), отсюда и его название, а также использование гребенчатой ​​буквы ша ( Ш) для обозначения функции.

Символ $\operatorname {\text{Ш}} \,\,(t)$, где период опущен, представляет собой гребенку Дирака с единичным периодом. Это подразумевает $$\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)\ ={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} \ \!\!\!\left({\frac {t}{T}}\right).$$

Поскольку гребенчатая функция Дирака является периодической, ее можно представить в виде ряда Фурье, основанного на ядре Дирихле : $$\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi n{\frac {t}{T}}}.$$

Функция гребенки Дирака позволяет представлять как непрерывные , так и дискретные явления, такие как выборка и наложение псевдонимов , в единой структуре непрерывного анализа Фурье умеренных распределений без какой-либо ссылки на ряды Фурье. гребенки Преобразование Фурье Дирака — это еще одна гребенка Дирака. Благодаря теореме о свертке об умеренных распределениях, которая оказывается формулой суммирования Пуассона , при обработке сигналов гребенка Дирака позволяет моделировать выборку путем умножения с ней, но также позволяет моделировать периодизацию путем свертки с ней.

Идентичность Дирака-гребенки

Гребенку Дирака можно построить двумя способами: либо с помощью гребенки оператора (выполняющего выборку ), примененного к функции, которая постоянно $1$или, альтернативно, с помощью оператора повтора (выполняющего периодизацию ), примененного к дельте Дирака $\delta$. Формально это дает ( Вудворд 1953 ; Брандвуд 2003 ) $$\operatorname {comb} _{T}\{1\}=\operatorname {\text{Ш}} _{T}=\operatorname {rep} _{T}\{\delta \},$$где $$\operatorname {comb} _{T}\{f(t)\}\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\,f(kT)\,\delta (t-kT)$$ и $$\operatorname {rep} _{T}\{g(t)\}\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\,g(t-kT).$$

При обработке сигналов это свойство, с одной стороны, позволяет производить выборку функции. $f(t)$ путем умножения на $\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}$, а с другой стороны, это также периодизировать позволяет $f(t)$ путем свертки с $\operatorname {\text{Ш}} _{T}$ ( Брейсвелл 1986 ).Тождество гребенки Дирака является частным случаем теоремы о свертке для умеренных распределений.

Масштабирование

Масштабное свойство гребенки Дирака следует из свойств дельта-функции Дирака . С $\delta (t)={\frac {1}{a}}\ \delta \!\left({\frac {t}{a}}\right)$ для положительных действительных чисел $a$, отсюда следует, что: $$\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}\left(t\right)={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} \,\!\left({\frac {t}{T}}\right),$$$$\operatorname {\text{Ш}} _{\ aT}\left(t\right)={\frac {1}{aT}}\operatorname {\text{Ш}} \,\!\left({\frac {t}{aT}}\right)={\frac {1}{a}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}\!\!\left({\frac {t}{a}}\right).$$Обратите внимание, что требование положительных чисел масштабирования $a$ вместо отрицательных не является ограничением, поскольку отрицательный знак лишь меняет порядок суммирования внутри $\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}$, что не влияет на результат.

ряд Фурье

Смотрите также: ядро ​​Дирихле

Ясно, что $\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)$ является периодическим с периодом $T$. То есть, $$\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t+T)=\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)$$для всех т . Комплексный ряд Фурье для такой периодической функции имеет вид $$\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i2\pi n{\frac {t}{T}}},$$где коэффициенты Фурье (символически) $${\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\delta (t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}e^{-i2\pi n{\frac {0}{T}}}\\&={\frac {1}{T}}.\end{aligned}}$$

Все коэффициенты Фурье равны 1/ T , что приводит к $$\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{i2\pi n{\frac {t}{T}}}.$$

Когда период равен одной единице, это упрощается до $$\operatorname {\text{Ш}} \ \!(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{i2\pi nx}.$$

Примечание . В наиболее строгом смысле интегрирование Римана или Лебега по любым произведениям, включая дельта-функцию Дирака, дает ноль. По этой причине описанное выше интегрирование (определение коэффициентов ряда Фурье) следует понимать «в смысле обобщенных функций». Это означает, что вместо использования характеристической функции интервала, примененной к гребенке Дирака, в качестве функции вырезания используется так называемая унитарная функция Лайтхилла, см. в Lighthill 1958 подробности , стр.62, теорема 22.

Преобразование Фурье

гребенки Преобразование Фурье Дирака также является гребенкой Дирака. Для преобразования Фурье ${\mathcal {F}}$ выражено в частотной области (Гц) гребенкой Дирака $\operatorname {\text{Ш}} _{T}$ периода $T$ превращается в измененную гребенку эпохи Дирака $1/T,$ то есть для

${\mathcal {F}}\left[f\right](\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-2\pi i\xi t},$

${\mathcal {F}}\left[\operatorname {\text{Ш}} _{T}\right](\xi )={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\xi -k{\frac {1}{T}})={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ {\frac {1}{T}}}(\xi )~$

пропорциональна другой гребенке Дирака, но с периодом $1/T$ в частотной области (радиан/с). Гребень Дирака $\operatorname {\text{Ш}}$ единицы периода $T=1$ таким образом, является собственной функцией ${\mathcal {F}}$ к собственному значению $1.$

Этот результат может быть установлен ( Брейсвелл 1986 ), рассматривая соответствующие преобразования Фурье $S_{\tau }(\xi )={\mathcal {F}}[s_{\tau }](\xi )$ семейства функций $s_{\tau }(x)$ определяется

$s_{\tau }(x)=\tau ^{-1}e^{-\pi \tau ^{2}x^{2}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\pi \tau ^{-2}(x-n)^{2}}.$

С $s_{\tau }(x)$ представляет собой сходящийся ряд гауссовых функций , и гауссианы преобразуются в гауссианы , каждое из их соответствующих преобразований Фурье $S_{\tau }(\xi )$ также приводит к ряду гауссианов, и явный расчет устанавливает, что

$S_{\tau }(\xi )=\tau ^{-1}\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{-\pi \tau ^{2}m^{2}}e^{-\pi \tau ^{-2}(\xi -m)^{2}}.$

Функции $s_{\tau }(x)$ и $S_{\tau }(\xi )$ таким образом, каждая из них напоминает периодическую функцию, состоящую из серии равноотстоящих гауссовских пиков. $\tau ^{-1}e^{-\pi \tau ^{-2}(x-n)^{2}}$ и $\tau ^{-1}e^{-\pi \tau ^{-2}(\xi -m)^{2}}$ чьи соответствующие «высоты» (предварительные факторы) определяются медленно убывающими огибающими Гауссовскими функциями, которые падают до нуля на бесконечности. Обратите внимание, что в пределе $\tau \rightarrow 0$ каждый гауссов всплеск становится бесконечно острым импульсом Дирака с центром соответственно в $x=n$ и $\xi =m$ для каждого соответствующего $n$ и $m$, а значит, и все предфакторы $e^{-\pi \tau ^{2}m^{2}}$ в $S_{\tau }(\xi )$ со временем становятся неотличимы от $e^{-\pi \tau ^{2}\xi ^{2}}$. Поэтому функции $s_{\tau }(x)$ и соответствующие преобразования Фурье $S_{\tau }(\xi )$ сходятся к одной и той же функции, и эта предельная функция представляет собой серию бесконечных эквидистантных гауссовых пиков, каждый пик умножается на один и тот же предварительный коэффициент, равный единице, то есть гребенку Дирака для единичного периода:

$\lim _{\tau \rightarrow 0}s_{\tau }(x)=\operatorname {\text{Ш}} ({x}),$ и $\lim _{\tau \rightarrow 0}S_{\tau }(\xi )=\operatorname {\text{Ш}} ({\xi }).$

С $S_{\tau }={\mathcal {F}}[s_{\tau }]$, мы получим в этом пределе результат, который необходимо продемонстрировать:

${\mathcal {F}}[\operatorname {\text{Ш}} ]=\operatorname {\text{Ш}} .$

Соответствующий результат за период $T$ можно найти, используя свойство масштабирования преобразования Фурье ,

${\mathcal {F}}[\operatorname {\text{Ш}} _{T}]={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}.$

Другой способ установить, что гребенка Дирака превращается в другую гребенку Дирака, начинается с изучения непрерывных преобразований Фурье периодических функций в целом, а затем специализируется на случае гребенки Дирака. Чтобы также показать, что конкретное правило зависит от соглашения о преобразовании Фурье, это будет показано с использованием угловой частоты с $\omega =2\pi \xi :$ для любой периодической функции $f(t)=f(t+T)$ его преобразование Фурье

${\mathcal {F}}\left[f\right](\omega )=F(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-i\omega t}$ подчиняется:

$F(\omega )(1-e^{i\omega T})=0$

потому что преобразование Фурье $f(t)$ и $f(t+T)$ приводит к $F(\omega )$ и $F(\omega )e^{i\omega T}.$ Из этого уравнения следует, что $F(\omega )=0$ почти везде, за единственными возможными исключениями, лежащими в $\omega =k\omega _{0},$ с $\omega _{0}=2\pi /T$ и $k\in \mathbb {Z} .$ При оценке преобразования Фурье при $F(k\omega _{0})$ соответствующее выражение ряда Фурье умножается на соответствующую дельта-функцию. В частном случае преобразования Фурье гребенки Дирака интеграл в ряд Фурье за ​​один период охватывает только функцию Дирака в начале координат и, таким образом, дает $1/T$ для каждого $k.$ Это можно резюмировать, интерпретируя гребенку Дирака как предел ядра Дирихле , такой что в позициях $\omega =k\omega _{0},$ все экспоненты в сумме $\sum \nolimits _{m=-\infty }^{\infty }e^{\pm i\omega mT}$ укажите в том же направлении и добавьте конструктивно. Другими словами, непрерывное преобразование Фурье периодических функций приводит к

$F(\omega )=2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\delta (\omega -k\omega _{0})$ с $\omega _{0}=2\pi /T,$

и

$c_{k}={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{+T/2}dtf(t)e^{-i2\pi kt/T}.$

Фурье ряда Коэффициенты $c_{k}=1/T$ для всех $k$ когда $f\rightarrow \operatorname {\text{Ш}} _{T}$, то есть

${\mathcal {F}}\left[\operatorname {\text{Ш}} _{T}\right](\omega )={\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -k{\frac {2\pi }{T}})$

это еще одна гребенка Дирака, но с точкой $2\pi /T$ в области угловых частот (радиан/с).

Как уже упоминалось, конкретное правило зависит от соглашения об используемом преобразовании Фурье. Действительно, при использовании свойства масштабирования дельта-функции Дирака вышеизложенное может быть перевыражено в обычной частотной области (Гц) и снова получается: $$\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}{\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ {\frac {1}{T}}}(\xi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{-i2\pi \xi nT},$$

такая, что гребенка Дирака с единичным периодом преобразуется в себя: $$\operatorname {\text{Ш}} \ \!(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\operatorname {\text{Ш}} \ \!(\xi ).$$

Наконец, гребенка Дирака также является собственной функцией унитарного непрерывного преобразования Фурье в пространстве угловых частот до собственного значения 1, когда $T={\sqrt {2\pi }}$ поскольку для унитарного преобразования Фурье

${\mathcal {F}}\left[f\right](\omega )=F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-i\omega t},$

вышеизложенное может быть перевыражено как $$\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}{\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ {\frac {2\pi }{T}}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{-i\omega nT}.$$

Выборка и псевдонимы

Умножение любой функции на гребенку Дирака преобразует ее в последовательность импульсов с интегралами, равными значению функции в узлах гребенки. Эта операция часто используется для представления выборки. $$(\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}x)(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\!\!x(t)\delta (t-kT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\!\!x(kT)\delta (t-kT).$$

Благодаря свойству самопреобразования гребенки Дирака и теореме о свертке это соответствует свертке с гребенкой Дирака в частотной области. $$\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}x\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}*X$$

Поскольку свертка с дельта-функцией $\delta (t-kT)$ эквивалентно сдвигу функции на $kT$, свертка с гребенкой Дирака соответствует репликации или периодическому суммированию :

$(\operatorname {\text{Ш}} _{\ {\frac {1}{T}}}\!*X)(f)=\!\sum _{k=-\infty }^{\infty }\!\!X\!\left(f-{\frac {k}{T}}\right)$

Это приводит к естественной формулировке теоремы выборки Найквиста-Шеннона . Если спектр функции $x$ не содержит частот выше B (т.е. его спектр отличен от нуля только в интервале $(-B,B)$) затем выборки исходной функции через определенные промежутки времени ${\tfrac {1}{2B}}$ достаточны для восстановления исходного сигнала. Достаточно умножить спектр выборочной функции на подходящую прямоугольную функцию , что эквивалентно применению фильтра нижних частот типа кирпичной стены .

$\operatorname {\text{Ш}} _{\ \!{\frac {1}{2B}}}x\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ \ 2B\,\operatorname {\text{Ш}} _{\ 2B}*X$

${\frac {1}{2B}}\Pi \left({\frac {f}{2B}}\right)(2B\,\operatorname {\text{Ш}} _{\ 2B}*X)=X$

Во временной области это «умножение с функцией rect» эквивалентно «свертке с функцией sinc» ( Woodward 1953 , стр.33-34). Следовательно, он восстанавливает исходную функцию по своим образцам. Это известно как интерполяционная формула Уиттекера-Шеннона .

Примечание . Строго говоря, умножение прямоугольной функции на обобщенную функцию, такую ​​как гребенка Дирака, терпит неудачу. Это связано с неопределённостью результатов произведения умножения на границах интервалов. В качестве обходного пути вместо прямоугольной функции используется унитарная функция Лайтхилла. Он гладкий на границах интервалов, поэтому везде дает определенные произведения умножения, см. в Lighthill 1958 подробности , стр.62, теорема 22.

Использование в направленной статистике

В направленной статистике гребенка периода Дирака $2\pi$ эквивалентно завернутой дельта-функции Дирака и является аналогом дельта- функции Дирака в линейной статистике.

В линейной статистике случайная величина $(x)$ обычно распределяется по линии действительных чисел или некоторому ее подмножеству, а плотность вероятности $x$ — это функция, областью определения которой является множество действительных чисел, а интеграл от $-\infty$ к $+\infty$ это единство. В направленной статистике случайная величина $(\theta )$ распределена по единичному кругу, а плотность вероятности $\theta$ — функция, областью определения которой является некоторый интервал действительных чисел длины $2\pi$ и чей интеграл по этому интервалу равен единице. Точно так же, как интеграл от произведения дельта-функции Дирака на произвольную функцию по линии действительных чисел дает значение этой функции в нуле, так и интеграл от произведения гребенки Дирака периода $2\pi$ с произвольной функцией периода $2\pi$ по единичному кругу дает значение этой функции в нуле.

См. также

• Гребенчатый фильтр
• Частотная гребенка
• Формула суммирования Пуассона

Ссылки

Дальнейшее чтение

• Брандвуд, Д. (2003), Преобразования Фурье в радиолокации и обработке сигналов , Artech House, Бостон, Лондон .
• Кордова, А. (1989), «Расчески Дирака», Письма по математической физике , 17 (3): 191–196, Бибкод : 1989LMaPh..17..191C , doi : 10.1007/BF00401584 , S2CID   189883287
• Вудворд, премьер-министр (1953), Теория вероятностей и информации с приложениями к радару , Pergamon Press, Оксфорд, Лондон, Эдинбург, Нью-Йорк, Париж, Франкфурт .
• Лайтхилл, М.Дж. (1958), Введение в анализ Фурье и обобщенные функции , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, Великобритания .