Продукт Хатри-Рао

В математике произведение Хатри – Рао или блочное произведение Кронекера двух разделенных матриц. $\mathbf {A}$ и $\mathbf {B}$ определяется как ^[1]^[2]^[3]

\mathbf {A} \ast \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} _{ij}\otimes \mathbf {B} _{ij}\right)_{ij}

в котором ij -й блок представляет собой m _i p _i × n _j q _j размера кронекеровское произведение соответствующих блоков A и B , предполагая, что количество разбиений строк и столбцов обеих матриц одинаково. Тогда размер продукта составит (Σ _i m _i p _i ) × (Σ _j n _j q _j ) .

Например, если A и B представляют собой разделенные матрицы размером 2 × 2 , например:

\mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c | c}1&2&3\\4&5&6\\\hline 7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c c}1&4&7\\\hline 2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right],

мы получаем:

\mathbf {A} \ast \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c | c c}1&2&12&21\\4&5&24&42\\\hline 14&16&45&72\\21&24&54&81\end{array}}\right].

Это подматрица произведения Трейси – Сингха. ^[4]из двух матриц (каждое разделение в этом примере является разделением в углу произведения Трейси – Сингха ).

Колоночное произведение Кронекера

Столбцовое произведение Кронекера двух матриц является частным случаем продукта Хатри-Рао, определенного выше, и его также можно назвать продуктом Хатри-Рао. В этом продукте предполагается, что разделы матриц являются их столбцами. В этом случае m ₁ = m , p ₁ = p , n = q и для каждого j : n _j = q _j = 1 . Результирующий продукт представляет собой матрицу размера mp × n , каждый столбец которой является произведением Кронекера соответствующих столбцов A и B . Использование матриц из предыдущих примеров с секционированными столбцами:

\mathbf {C} =\left[{\begin{array}{c | c | c}\mathbf {C} _{1}&\mathbf {C} _{2}&\mathbf {C} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c | c | c }\mathbf {D} _{1}&\mathbf {D} _{2}&\mathbf {D} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c }1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right],

так что:

\mathbf {C} \ast \mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c | c | c }\mathbf {C} _{1}\otimes \mathbf {D} _{1}&\mathbf {C} _{2}\otimes \mathbf {D} _{2}&\mathbf {C} _{3}\otimes \mathbf {D} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c }1&8&21\\2&10&24\\3&12&27\\4&20&42\\8&25&48\\12&30&54\\7&32&63\\14&40&72\\21&48&81\end{array}}\right].

Эта постолбцовая версия произведения Хатри – Рао полезна в подходах линейной алгебры к аналитической обработке данных. ^[5] и при оптимизации решения обратных задач, связанных с диагональной матрицей. ^[6]^[7]

В 1996 году столбцовое произведение Хатри – Рао было предложено для оценки углов прихода (AOA) и задержек многолучевых сигналов. ^[8] и четыре координаты источников сигналов ^[9] на цифровой антенной решетке .

Продукт для разделения лица

Альтернативную концепцию матричного произведения, использующую построчное разбиение матриц с заданным количеством строк, предложил В. Слюсарь. ^[10] в 1996 году. ^[9]^[11]^[12]^[13]^[14]

Эту матричную операцию назвали «продуктом разделения граней» матриц. ^[11]^[13] или «транспонированное произведение Хатри-Рао». Этот тип операции основан на построчном произведении Кронекера двух матриц. Используя матрицы из предыдущих примеров с секционированными строками:

\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\mathbf {C} _{1}\\\hline \mathbf {C} _{2}\\\hline \mathbf {C} _{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2&3\\\hline 4&5&6\\\hline 7&8&9\end{bmatrix}},\quad \mathbf {D} ={\begin{bmatrix}\mathbf {D} _{1}\\\hline \mathbf {D} _{2}\\\hline \mathbf {D} _{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&4&7\\\hline 2&5&8\\\hline 3&6&9\end{bmatrix}},

результат можно получить: ^[9]^[11]^[13]

\mathbf {C} \bullet \mathbf {D} ={\begin{bmatrix}\mathbf {C} _{1}\otimes \mathbf {D} _{1}\\\hline \mathbf {C} _{2}\otimes \mathbf {D} _{2}\\\hline \mathbf {C} _{3}\otimes \mathbf {D} _{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&4&7&2&8&14&3&12&21\\\hline 8&20&32&10&25&40&12&30&48\\\hline 21&42&63&24&48&72&27&54&81\end{bmatrix}}.

Основные свойства

Transpose ( V. Slyusar , 1996 ^[9]^[11]^[12]):
$\left(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} \right)^{\textsf {T}}={\textbf {A}}^{\textsf {T}}\ast \mathbf {B} ^{\textsf {T}}$ ,
Билинейность и ассоциативность : ^[9]^[11]^[12]
${\begin{aligned}\mathbf {A} \bullet (\mathbf {B} +\mathbf {C} )&=\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} +\mathbf {A} \bullet \mathbf {C} ,\\(\mathbf {B} +\mathbf {C} )\bullet \mathbf {A} &=\mathbf {B} \bullet \mathbf {A} +\mathbf {C} \bullet \mathbf {A} ,\\(k\mathbf {A} )\bullet \mathbf {B} &=\mathbf {A} \bullet (k\mathbf {B} )=k(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} ),\\(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )\bullet \mathbf {C} &=\mathbf {A} \bullet (\mathbf {B} \bullet \mathbf {C} ),\\\end{aligned}}$
где A , B и C — матрицы, а k — скаляр ,
$a\bullet \mathbf {B} =\mathbf {B} \bullet a$ , ^[12]
где $a$ это вектор ,
The mixed-product property ( V. Slyusar , 1997 ^[12]):
$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )\left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=\left(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\circ \left(\mathbf {B} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)$ ,
$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {C} \ast \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {D} )$ , ^[13]
$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} \bullet \mathbf {C} \bullet \mathbf {D} )(\mathbf {L} \ast \mathbf {M} \ast \mathbf {N} \ast \mathbf {P} )=(\mathbf {A} \mathbf {L} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {M} )\circ (\mathbf {C} \mathbf {N} )\circ (\mathbf {D} \mathbf {P} )$ ^[15]
$(\mathbf {A} \ast \mathbf {B} )^{\textsf {T}}(\mathbf {A} \ast \mathbf {B} )=\left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} \right)\circ \left(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {B} \right)$ , ^[16]
где $\circ$ обозначает произведение Адамара ,
$(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\bullet (\mathbf {C} \circ \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \bullet \mathbf {C} )\circ (\mathbf {B} \bullet \mathbf {D} )$ , ^[12]
$\mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} \bullet \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\bullet \mathbf {C}$ , ^[9]
$(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {C} \ast \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\ast (\mathbf {B} \mathbf {D} )$ , ^[16]
$(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\ast (\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=\mathbf {P} [(\mathbf {A} \ast \mathbf {C} )\otimes (\mathbf {B} \ast \mathbf {D} )]$ ,где $\mathbf {P}$ является матрицей перестановок. ^[7]
$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {B} \mathbf {D} )$ , ^[13]^[15]
Сходным образом:
$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} )$ ,
$c^{\textsf {T}}\bullet d^{\textsf {T}}=c^{\textsf {T}}\otimes d^{\textsf {T}}$ , ^[12]
$c\ast d=c\otimes d$ ,
где $c$ и $d$ являются векторами ,
$\left(\mathbf {A} \ast c^{\textsf {T}}\right)d=\left(\mathbf {A} \ast d^{\textsf {T}}\right)c$ , ^[17] $d^{\textsf {T}}\left(c\bullet \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)=c^{\textsf {T}}\left(d\bullet \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)$ ,
$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(c\otimes d)=(\mathbf {A} c)\circ (\mathbf {B} d)$ , ^[18]
где $c$ и $d$ являются векторами (это комбинация свойств 3 и 8),Сходным образом:
$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {M} \mathbf {N} c\otimes \mathbf {Q} \mathbf {P} d)=(\mathbf {A} \mathbf {M} \mathbf {N} c)\circ (\mathbf {B} \mathbf {Q} \mathbf {P} d),$
${\mathcal {F}}\left((C^{(1)}x)\star (C^{(2)}y)\right)=\left(({\mathcal {F}}C^{(1)})\bullet ({\mathcal {F}}C^{(2)})\right)(x\otimes y)=({\mathcal {F}}C^{(1)}x)\circ ({\mathcal {F}}C^{(2)}y)$ ,
где $\star$ векторная свертка ; $C^{(1)},C^{(2)}$ являются матрицами «счетного эскиза»; и ${\mathcal {F}}$ - матрица преобразования Фурье (этот результат представляет собой развитие эскиза подсчета свойств ^[19]).

Это можно обобщить для соответствующих матриц $\mathbf {A} ,\mathbf {B}$ :
${\mathcal {F}}\left((\mathbf {A} x)\star (\mathbf {B} y)\right)=\left(({\mathcal {F}}\mathbf {A} )\bullet ({\mathcal {F}}\mathbf {B} )\right)(x\otimes y)=({\mathcal {F}}\mathbf {A} x)\circ ({\mathcal {F}}\mathbf {B} y)$
потому что свойство 11 выше дает нам
$\left(({\mathcal {F}}\mathbf {A} )\bullet ({\mathcal {F}}\mathbf {B} )\right)(x\otimes y)=({\mathcal {F}}\mathbf {A} x)\circ ({\mathcal {F}}\mathbf {B} y)$
И теорема свертки дает нам
${\mathcal {F}}\left((\mathbf {A} x)\star (\mathbf {B} y)\right)=({\mathcal {F}}\mathbf {A} x)\circ ({\mathcal {F}}\mathbf {B} y)$
$\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {1_{k}} ^{\textsf {T}}\right)\circ \left(\mathbf {1_{c}} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {B} \right)$ , ^[20]
где $\mathbf {A}$ является $r\times c$ матрица, $\mathbf {B}$ является $r\times k$ матрица, $\mathbf {1_{c}}$ вектор длины 1 $c$ , и $\mathbf {1_{k}}$ вектор длины 1 $k$ или
$\mathbf {M} \bullet \mathbf {M} =\left(\mathbf {M} \otimes \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)\circ \left(\mathbf {1} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {M} \right)$ , ^[21]
где $\mathbf {M}$ является $r\times c$ матрица, $\circ$ означает поэлементное умножение и $\mathbf {1}$ вектор длины 1 $c$ .
$\mathbf {M} \bullet \mathbf {M} =\mathbf {M} [\circ ]\left(\mathbf {M} \otimes \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)$ ,
где $[\circ ]$ обозначает проникающее гранное произведение матриц. ^[13]Сходным образом:
$\mathbf {P} \ast \mathbf {N} =(\mathbf {P} \otimes \mathbf {1_{k}} )\circ (\mathbf {1_{c}} \otimes \mathbf {N} )$ , где $\mathbf {P}$ является $c\times r$ матрица, $\mathbf {N}$ является $k\times r$ матрица,.
$\mathbf {W_{d}} \mathbf {A} =\mathbf {w} \bullet \mathbf {A}$ , ^[12]
$vec((\mathbf {w} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {A} )\mathbf {B} )=(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {A} )\mathbf {w}$ ^[13]= $vec(\mathbf {A} (\mathbf {w} \bullet \mathbf {B} ))$ ,
$\operatorname {vec} \left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\mathbf {W_{d}} \mathbf {A} \right)=\left(\mathbf {A} \bullet \mathbf {A} \right)^{\textsf {T}}\mathbf {w}$ , ^[21]
где $\mathbf {w}$ – вектор, состоящий из диагональных элементов $\mathbf {W_{d}}$ , $\operatorname {vec} (\mathbf {A} )$ означает складывать столбцы матрицы $\mathbf {A}$ друг на друга, чтобы дать вектор.
$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {K} \ast \mathbf {T} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} ...\mathbf {C} \mathbf {K} )\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} ...\mathbf {S} \mathbf {T} )$ . ^[13]^[15]
Сходным образом:
${\begin{aligned}(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(c\otimes d)&=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} c)\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} d),\\(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {P} c\otimes \mathbf {Q} d)&=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} \mathbf {P} c)\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} \mathbf {Q} d)\end{aligned}}$ ,
где $c$ и $d$ векторы

Примеры ^[18]

{\begin{aligned}&\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{bmatrix}}\bullet {\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\ast {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[5pt]{}={}&\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{bmatrix}}\bullet {\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\,\otimes \,{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[5pt]{}={}&{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\,\circ \,{\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

Теорема ^[18]

Если $M=T^{(1)}\bullet \dots \bullet T^{(c)}$ , где $T^{(1)},\dots ,T^{(c)}$ являются независимыми компонентами случайной матрицы $T$ с независимыми одинаково распределенными строками $T_{1},\dots ,T_{m}\in \mathbb {R} ^{d}$ , такой, что

E\left[(T_{1}x)^{2}\right]=\left\|x\right\|_{2}^{2}

и

E\left[(T_{1}x)^{p}\right]^{\frac {1}{p}}\leq {\sqrt {ap}}\|x\|_{2}

,

тогда для любого вектора $x$

\left|\left\|Mx\right\|_{2}-\left\|x\right\|_{2}\right|<\varepsilon \left\|x\right\|_{2}

с вероятностью $1-\delta$ если количество строк

m=(4a)^{2c}\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta +(2ae)\varepsilon ^{-1}(\log 1/\delta )^{c}.

В частности, если записи $T$ являются $\pm 1$ могу получить

m=O\left(\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta +\varepsilon ^{-1}\left({\frac {1}{c}}\log 1/\delta \right)^{c}\right)

что соответствует Джонсона – Линденштрауса лемме $m=O\left(\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta \right)$ когда $\varepsilon$ мал.

Блок торцового изделия

По определению В. Слюсаря ^[9]^[13] блочное произведение граней двух разбитых матриц с заданным количеством строк в блоках

\mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}}\right],

можно записать как:

\mathbf {A} [\bullet ]\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\bullet \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\bullet \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\bullet \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\bullet \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right].

Транспонированное блочное произведение с разделением граней (или блочная версия продукта Хатри – Рао по столбцам) двух разделенных матриц с заданным количеством столбцов в блоках имеет вид: ^[9]^[13]

\mathbf {A} [\ast ]\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\ast \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\ast \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\ast \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\ast \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right].

Основные свойства

Транспонировать :
$\left(\mathbf {A} [\ast ]\mathbf {B} \right)^{\textsf {T}}={\textbf {A}}^{\textsf {T}}[\bullet ]\mathbf {B} ^{\textsf {T}}$ ^[15]

Приложения

Продукт разделения граней и продукт блочного разделения граней, используемые в тензорно -матричной теории цифровых антенных решеток . Эти операции также используются в:

Системы искусственного интеллекта и машинного обучения для минимизации операций свертки и тензорных эскизов , ^[18]
Популярные модели обработки естественного языка и модели сходства гиперграфов. ^[22]
Обобщенная модель линейного массива в статистике ^[21]
Двумерная и многомерная P-сплайном , аппроксимация данных ^[20]
Исследования взаимодействия генотипа x с окружающей средой. ^[23]

См. также

Примечания

^ Хатри К.Г., Ч.Р. Рао (1968). «Решения некоторых функциональных уравнений и их приложения для характеристики вероятностных распределений» . Санкхья . 30 : 167–180. Архивировано из оригинала (PDF) 23 октября 2010 г. Проверено 21 августа 2008 г.
^ Лю, Шуанчжэ (1999). «Результаты матрицы для произведений Хатри – Рао и Трейси – Сингха» . Линейная алгебра и ее приложения . 289 (1–3): 267–277. дои : 10.1016/S0024-3795(98)10209-4 .
^ Чжан Х; Ян З; Цао К. (2002), «Неравенства, включающие произведения Хатри – Рао положительных полуопределенных матриц», Электронные заметки по прикладной математике , 2 : 117–124
^ Лю, Шуанчжэ; Тренклер, Гетц (2008). «Адамар, Хатри-Рао, Кронекер и другие матричные продукты». Международный журнал информационных и системных наук . 4 (1): 160–177.
^ См., например, HD Macedo и JN Oliveira. Подход линейной алгебры к OLAP . Формальные аспекты вычислений, 27(2):283–307, 2015.
^ Лев-Ари, Ханох (1 января 2005 г.). «Эффективное решение линейных матричных уравнений с применением к обработке мультистатических антенных решеток» (PDF) . Коммуникации в информации и системах . 05 (1): 123–130. дои : 10.4310/CIS.2005.v5.n1.a5 . ISSN 1526-7555 .
^ Jump up to: ^а ^б Масьеро, Б.; Насименто, В.Х. (1 мая 2017 г.). «Возвращаясь к преобразованию массива Кронекера» . Письма об обработке сигналов IEEE . 24 (5): 525–529. Бибкод : 2017ISPL...24..525M . дои : 10.1109/LSP.2017.2674969 . ISSN 1070-9908 . S2CID 14166014 .
^ Вандервин, MC, Нг, BC, Пападиас, CB, и Паульрадж, А. (nd). Совместная оценка угла и задержки (JADE) для сигналов в условиях многолучевого распространения . Протокол конференции Тридцатой асиломарской конференции по сигналам, системам и компьютерам. – DOI: 10.1109/acssc.1996.599145.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Slyusar, V. I. (December 27, 1996). "End matrix products in radar applications" (PDF) . Izvestiya VUZ: Radioelektronika . 41 (3): 71–75.
^ Анна Эстев, Ева Бой и Хосеп Фортиана (2009): «Условия взаимодействия в дистанционной регрессии», Коммуникации в статистике – теория и методы , 38:19, стр. 3501 [1]
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Слюсарь, В.И. (20 мая 1997 г.). «Аналитическая модель цифровой антенной решетки на основе изделий с гранеразделительной матрицей» (PDF) . Учеб. ICATT-97, Киев : 108–109.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Слюсарь, В.И. (15 сентября 1997 г.). «Новые операции с матрицами для применения в радарах» (PDF) . Учеб. Прямые и обратные задачи теории электромагнитных и акустических волн (ДИПЕД-97), Львов. : 73–74.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж Слюсарь В.И. (13 марта 1998 г.). «Семейство лицевых продуктов матриц и его свойства» (PDF) . Кибернетика и системный анализ ПК Кибернетика и Системный анализ. 1999 . 35 (3): 379–384. дои : 10.1007/BF02733426 . S2CID 119661450 .
^ Слюсарь, В.И. (2003). «Обобщенные грани-произведения матриц в моделях цифровых антенных решеток с неидентичными каналами» (PDF) . Радиоэлектроника и системы связи . 46 (10): 9–17.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Вадим Слюсарь. Новые матричные операции для DSP (лекция). Апрель 1999 г. – DOI: 10.13140/RG.2.2.31620.76164/1.
^ Jump up to: ^а ^б Ч. Радхакришна Рао . Оценка гетероскедастических дисперсий в линейных моделях.//Журнал Американской статистической ассоциации, Vol. 65, № 329 (март 1970 г.), стр. 161–172.
^ Касивишванатан, Шива Прасад и др. «Цена частного опубликования таблиц непредвиденных обстоятельств и спектров случайных матриц с коррелирующими строками». Труды сорок второго симпозиума ACM по теории вычислений. 2010.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Томас Д. Але, Якоб Бэк Тейс Кнудсен. Почти оптимальный тензорный эскиз. Опубликовано в 2019 г. Математика, информатика, ArXiv.
^ Нинь, Фам; Паг, Расмус (2013). Быстрые и масштабируемые полиномиальные ядра с помощью явных карт признаков . Международная конференция SIGKDD по открытию знаний и интеллектуальному анализу данных. Ассоциация вычислительной техники. дои : 10.1145/2487575.2487591 .
^ Jump up to: ^а ^б Эйлерс, Пол ХК; Маркс, Брайан Д. (2003). «Многомерная калибровка с учетом температурного взаимодействия с использованием двумерной регрессии штрафных сигналов». Хемометрика и интеллектуальные лабораторные системы . 66 (2): 159–174. дои : 10.1016/S0169-7439(03)00029-7 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Карри, ID; Дурбан, М.; Эйлерс, PHC (2006). «Обобщенные модели линейных массивов с применением к многомерному сглаживанию». Журнал Королевского статистического общества . 68 (2): 259–280. дои : 10.1111/j.1467-9868.2006.00543.x . S2CID 10261944 .
^ Брайан Бишоф. Тензоры совместной встречаемости высшего порядка для гиперграфов посредством разделения граней. Опубликовано 15 февраля 2020 г., Математика, Информатика, ArXiv
^ Йоханнес В.Р. Мартини, Хосе Кросса, Фернандо Х. Толедо, Хайме Куэвас. О произведениях Адамара и Кронекера в ковариационных структурах взаимодействия генотипа с окружающей средой.//Геном растений. 2020;13:e20033. Страница 5. [2]

Ссылки

Хатри К.Г., Ч.Р. Рао (1968). «Решения некоторых функциональных уравнений и их приложения для характеристики вероятностных распределений» . Санкхья . 30 : 167–180. Архивировано из оригинала 23 октября 2010 г. Проверено 21 августа 2008 г.
Рао ЧР; Рао М. Бхаскара (1998), Матричная алгебра и ее приложения к статистике и эконометрике , World Scientific, стр. 216
Чжан Х; Ян З; Цао К. (2002), «Неравенства, включающие произведения Хатри – Рао положительных полуопределенных матриц», Электронные заметки по прикладной математике , 2 : 117–124
Лю Шуанчжэ; Тренклер Гётц (2008), «Адамар, Хатри-Рао, Кронекер и другие матричные продукты», Международный журнал информационных и системных наук , 4 : 160–177.

[1] Хатри К.Г., Ч.Р. Рао (1968). «Решения некоторых функциональных уравнений и их приложения для характеристики вероятностных распределений» . Санкхья . 30 : 167–180. Архивировано из оригинала (PDF) 23 октября 2010 г. Проверено 21 августа 2008 г.

[2] Лю, Шуанчжэ (1999). «Результаты матрицы для произведений Хатри – Рао и Трейси – Сингха» . Линейная алгебра и ее приложения . 289 (1–3): 267–277. дои : 10.1016/S0024-3795(98)10209-4 .

[3] Чжан Х; Ян З; Цао К. (2002), «Неравенства, включающие произведения Хатри – Рао положительных полуопределенных матриц», Электронные заметки по прикладной математике , 2 : 117–124

[4] Лю, Шуанчжэ; Тренклер, Гетц (2008). «Адамар, Хатри-Рао, Кронекер и другие матричные продукты». Международный журнал информационных и системных наук . 4 (1): 160–177.

[5] См., например, HD Macedo и JN Oliveira. Подход линейной алгебры к OLAP . Формальные аспекты вычислений, 27(2):283–307, 2015.

[6] Лев-Ари, Ханох (1 января 2005 г.). «Эффективное решение линейных матричных уравнений с применением к обработке мультистатических антенных решеток» (PDF) . Коммуникации в информации и системах . 05 (1): 123–130. дои : 10.4310/CIS.2005.v5.n1.a5 . ISSN 1526-7555 .

[Masiero-7] Jump up to: ^а ^б Масьеро, Б.; Насименто, В.Х. (1 мая 2017 г.). «Возвращаясь к преобразованию массива Кронекера» . Письма об обработке сигналов IEEE . 24 (5): 525–529. Бибкод : 2017ISPL...24..525M . дои : 10.1109/LSP.2017.2674969 . ISSN 1070-9908 . S2CID 14166014 .

[8] Вандервин, MC, Нг, BC, Пападиас, CB, и Паульрадж, А. (nd). Совместная оценка угла и задержки (JADE) для сигналов в условиях многолучевого распространения . Протокол конференции Тридцатой асиломарской конференции по сигналам, системам и компьютерам. – DOI: 10.1109/acssc.1996.599145.

[slyusar-9] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Slyusar, V. I. (December 27, 1996). "End matrix products in radar applications" (PDF) . Izvestiya VUZ: Radioelektronika . 41 (3): 71–75.

[Fortiana-10] Анна Эстев, Ева Бой и Хосеп Фортиана (2009): «Условия взаимодействия в дистанционной регрессии», Коммуникации в статистике – теория и методы , 38:19, стр. 3501 [1]

[slyusar1-11] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Слюсарь, В.И. (20 мая 1997 г.). «Аналитическая модель цифровой антенной решетки на основе изделий с гранеразделительной матрицей» (PDF) . Учеб. ICATT-97, Киев : 108–109.

[DIPED-12] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Слюсарь, В.И. (15 сентября 1997 г.). «Новые операции с матрицами для применения в радарах» (PDF) . Учеб. Прямые и обратные задачи теории электромагнитных и акустических волн (ДИПЕД-97), Львов. : 73–74.

[slyusar2-13] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж Слюсарь В.И. (13 марта 1998 г.). «Семейство лицевых продуктов матриц и его свойства» (PDF) . Кибернетика и системный анализ ПК Кибернетика и Системный анализ. 1999 . 35 (3): 379–384. дои : 10.1007/BF02733426 . S2CID 119661450 .

[14] Слюсарь, В.И. (2003). «Обобщенные грани-произведения матриц в моделях цифровых антенных решеток с неидентичными каналами» (PDF) . Радиоэлектроника и системы связи . 46 (10): 9–17.

[lecture-15] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Вадим Слюсарь. Новые матричные операции для DSP (лекция). Апрель 1999 г. – DOI: 10.13140/RG.2.2.31620.76164/1.

[Rao-16] Jump up to: ^а ^б Ч. Радхакришна Рао . Оценка гетероскедастических дисперсий в линейных моделях.//Журнал Американской статистической ассоциации, Vol. 65, № 329 (март 1970 г.), стр. 161–172.

[k2010-17] Касивишванатан, Шива Прасад и др. «Цена частного опубликования таблиц непредвиденных обстоятельств и спектров случайных матриц с коррелирующими строками». Труды сорок второго симпозиума ACM по теории вычислений. 2010.

[tensorsketch-18] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Томас Д. Але, Якоб Бэк Тейс Кнудсен. Почти оптимальный тензорный эскиз. Опубликовано в 2019 г. Математика, информатика, ArXiv.

[ninh-19] Нинь, Фам; Паг, Расмус (2013). Быстрые и масштабируемые полиномиальные ядра с помощью явных карт признаков . Международная конференция SIGKDD по открытию знаний и интеллектуальному анализу данных. Ассоциация вычислительной техники. дои : 10.1145/2487575.2487591 .

[spline-20] Jump up to: ^а ^б Эйлерс, Пол ХК; Маркс, Брайан Д. (2003). «Многомерная калибровка с учетом температурного взаимодействия с использованием двумерной регрессии штрафных сигналов». Хемометрика и интеллектуальные лабораторные системы . 66 (2): 159–174. дои : 10.1016/S0169-7439(03)00029-7 .

[GLAM-21] Jump up to: ^а ^б ^с Карри, ID; Дурбан, М.; Эйлерс, PHC (2006). «Обобщенные модели линейных массивов с применением к многомерному сглаживанию». Журнал Королевского статистического общества . 68 (2): 259–280. дои : 10.1111/j.1467-9868.2006.00543.x . S2CID 10261944 .

[22] Брайан Бишоф. Тензоры совместной встречаемости высшего порядка для гиперграфов посредством разделения граней. Опубликовано 15 февраля 2020 г., Математика, Информатика, ArXiv

[23] Йоханнес В.Р. Мартини, Хосе Кросса, Фернандо Х. Толедо, Хайме Куэвас. О произведениях Адамара и Кронекера в ковариационных структурах взаимодействия генотипа с окружающей средой.//Геном растений. 2020;13:e20033. Страница 5. [2]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

v т и Линейная алгебра
Контур Глоссарий
Основные понятия	Скаляр Вектор Векторное пространство Скалярное умножение Векторная проекция Линейный пролет Линейная карта Линейная проекция Линейная независимость Линейная комбинация Многолинейная карта Основа Изменение базы Векторы-строки и столбцы Пространства строк и столбцов Ядро Собственные значения и собственные векторы Транспонировать Линейные уравнения
Матрицы	Блокировать Разложение Обратимый Незначительный Умножение Классифицировать Трансформация Правило Крамера Исключение по Гауссу
Билинейный	Ортогональность Скалярное произведение Произведение Адамара Внутреннее пространство продукта Внешний продукт Продукт Кронекера Процесс Грама – Шмидта
Полилинейная алгебра	Определитель Перекрестное произведение Тройной продукт Семимерное векторное произведение Геометрическая алгебра Внешняя алгебра Бивектор Многовекторный Тензор Аутерморфизм
Векторные космические конструкции	Двойной Прямая сумма Функциональное пространство частное Подпространство Тензорное произведение
Числовой	Плавающая точка Численная стабильность Основные подпрограммы линейной алгебры Разреженная матрица Сравнение библиотек линейной алгебры
Категория

Колоночное произведение Кронекера

Продукт для разделения лица

Основные свойства

Примеры [18]

Теорема [18]

Блок торцового изделия

Основные свойства

Приложения

См. также

Примечания

Ссылки

Примеры ^[18]

Теорема ^[18]