Вращательная симметрия

Ротационная симметрия , также известная как радиальная симметрия в геометрии , является свойством, которое имеет форма, когда она выглядит одинаково после некоторого вращения на частичный поворот. Степень вращательной симметрии объекта - это количество отдельных ориентаций, в которых он выглядит точно одинаково для каждого вращения.

Определенные геометрические объекты частично симметричны при вращении под определенными углами, такими как квадраты, повернутые на 90 °, однако единственными геометрическими объектами, которые полностью вращаются симметричными под любым углом, являются сферы, круги и другие сфероиды . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Формальное лечение

Формально вращательная симметрия является симметрией относительно некоторых или всех вращений в $m$ -мерной евклидовой пространстве . Вращения - это прямая изометрия , т. Е. Изометрия сохранения ориентации . Следовательно, группа симметрии вращательной симметрии является подгруппой $E + (M)$ (см. Евклидовую группу ).

Симметрия относительно всех вращений обо всех точках подразумевает трансляционную симметрию по отношению ко всем переводам, поэтому пространство является однородным, а группа симметрии - это все $E (M)$ . С модифицированным понятием симметрии для векторных полей группа симметрии также может быть $E + (м)$ .

Для симметрии в отношении вращений около точки мы можем воспринимать эту точку как происхождение. Эти вращения образуют специальную ортогональную группу $, поэтому (M)$ , группа $M \times M$ ортогональных матриц с детерминантами 1. Для $m = 3$ это группа вращения, $поэтому (3)$ .

В другом определении слова группа вращения объекта является группой симметрии в $E. + (n)$ , группа прямой изометрии ; Другими словами, пересечение группы полной симметрии и группы прямых изометрий. Для хиральных объектов это то же самое, что и полная группа симметрии.

Законы физики так (3) -инвариантны , если они не различают различные направления в космосе. Из -за теоремы Неттер , симметрия вращения физической системы эквивалентна закону о сохранении импульса .

Дискретная ротационная симметрия

Вращательная симметрия порядка $n$ , также называемая $N$ -нафтенатовой вращательной симметрией , или дискретной вращательной симметрии $n$ -th , относительно определенной точки (в 2D) или оси (в 3D) означает, что вращение под углом ⁠ ${\tfrac {360^{\circ }}{n}}$ ⁠ (180°, 120°, 90°, 72°, 60°, 51 3 ~ 7 ° и т. Д.) Не меняет объект. «1-кратная» симметрия не является симметрией (все объекты выглядят одинаково после вращения 360 °).

Обозначение симметрии для $n$ -C $n или$ просто $n$ . Фактическая группа симметрии определяется точкой или осью симметрии вместе с $n$ . Для каждой точки или оси симметрии тип абстрактной группы является циклической группой порядка $n$ , $z n$ . нотация $C N$ Хотя для последнего также используется $, следует различать геометрические и абстрактные C N$ : существуют другие группы симметрии того же типа абстрактной группы, которые геометрически различаются, см. Циклические группы симметрии в 3D .

Фундаментальная область это сектор ⁠ - ${\tfrac {360^{\circ }}{n}}.$ ⁠

Примеры без дополнительной симметрии отражения :

$n = 2$ , 180 °: диада ; Письма Z, N, S; очертания, хотя и не цвета символа инь и ян ; Флаг Союза (как разделен вдоль диагонали и повернулся вокруг центральной точки флага)
$n = 3$ , 120 °: триада , трискелион , кольца Борромея ; термин трехсторонней симметрии ; Иногда используется
$n = 4$ , 90°: tetrad , swastika
$n = 6$ , 60 °: hexad , звезда Давида (у этого есть дополнительная симметрия отражения )
$n = 8$ , 45 °: октад , восьмиугольные мукарнасы , сгенерированный компьютером (CG), потолок

$C n$ -группа вращения обычного $-силой$ в полигона и регулярной $с N$ в 2D пирамиды 3D.

Если существует эг вратационная симметрия относительно угла 100 °, то также относительно одного из 20 °, наибольший общий делитель 100 ° и 360 °.

Типичный трехмерный объект с вращательной симметрией (возможно, также с перпендикулярными осями), но ни одна зеркальная симметрия не является пропеллером .

Примеры

$C 2$ ( подробнее )	$C 3$ ( подробнее )	$C 4$ ( подробнее )	$C 5$ ( подробнее )	$C 6$ ( подробнее )
Двойной маятник фрактал	движения Знак дорожного		США двухсотлетняя звезда
Начальная позиция в Shogi	Снолделева Берегнутые питьевые рога Снолделева

Множественные оси симметрии через одну и ту же точку

Для дискретной симметрии с несколькими осями симметрии через одну и ту же точку, есть следующие возможности:

В дополнение к $n$ -кратной оси, $n$ перпендикулярные 2 -кратные оси: двугранные группы $d n$ порядка $2 N$ ( $n \geq 2$ ). Это группа вращения обычной призмы или обычную бипирамиду . Несмотря на то же, что используется, геометрические и абстрактные $D N$ следует различать: существуют другие группы симметрии одного и того же типа абстрактной группы, которые геометрически различаются, см. ДИХЕДРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ Группы в 3D .
4 × 3 раза и 3 × 2-кратный оси: группа вращения $t$ порядка 12 обычного тетраэдра . Группа изоморфна для чередующейся группы $A 4$ .
3 × 4 раз, в 4 × 3 раза и 6 × 2 раза: группа вращения o порядка 24 куба и обычный октаэдр . Группа изоморфна для симметричной группы $S 4$ .
6 × 5 раз, в 10 × 3 раза и 15 × 2-кратный оси: группа поворота $I$ порядка 60 додекаэдрона и икосаэдрона . Группа изоморфна для чередующейся группы $A 5$ . Группа содержит 10 версий $D 3$ и 6 версий $D 5$ (вращательные симметрии, такие как призмы и антипризмы).

В случае платонических твердых веществ 2-кратные оси проходят через средние точки противоположных краев, и их число составляет половину количества краев. Другие оси проходят через противоположные вершины и через центры противоположных лиц, за исключением случаев тетраэдрона, где 3-кратные оси проходят через одну вершину и центр одной лица.

Вращательная симметрия относительно любого угла

Вращательная симметрия относительно любого угла в двух измерениях - круговая симметрия . Фундаментальная область-это половина строки .

В трех измерениях мы можем различать цилиндрическую симметрию и сферическую симметрию (без изменений при вращении вокруг одной оси или для любого вращения). То есть нет зависимости от угла с использованием цилиндрических координат и никакой зависимости от любого угла с использованием сферических координат . Фундаментальная домена представляет собой полуплоскую через ось и радиальную полстрою, соответственно. Асзузимметричные и осесимметричные являются прилагательными , которые относятся к объекту, имеющему цилиндрическую симметрию или осесимметрию (то есть вращательную симметрию относительно центральной оси), как пончик ( торус ). Примером приблизительной сферической симметрии является Земля (относительно плотности и других физических и химических свойств).

В 4D непрерывная или дискретная вращательная симметрия вокруг плоскости соответствует соответствующей двухмерной вращательной симметрии в каждой перпендикулярной плоскости, около точки пересечения. Объект также может иметь вращательную симметрию около двух перпендикулярных плоскостей, например, если это декартово -продукт двух двухмерных рисунков, как в случае, например, Duocylinder и различных регулярных дуопризмов .

Вращательная симметрия с трансляционной симметрией

Расположение в примитивной ячейке из 2- и 4-кратных ротоцентров. показан Фундаментальный домен желтым.	Расположение в примитивной ячейке 2-, 3- и 6-кратных ротоцентров, отдельно или в комбинации (рассмотрите 6-кратный символ как комбинацию 2-кратного символа); В случае 2-кратной симметрии форма параллелограмма может отличаться. Для случая P6 основной домен указан желтым.

2-кратная вращательная симметрия вместе с отдельной трансляционной симметрией является одной из групп фриза . Роноцентр - это фиксированная или инвариантная точка вращения. ^{[ 3 ]} есть два ротоцентра На примитивную ячейку .

Вместе с двойной трансляционной симметрией группами вращения являются следующими группами обоев , с осями на примитивную ячейку:

P2 (2222): 4 × 2 раза; Группа вращения параллелограммной , прямоугольной и ромбической решетки .
P3 (333): 3 × 3 раза; Не группа вращения любой решетки (каждая решетка перевернута одинаково, но это не относится к этой симметрии); Это например, группа вращения обычной треугольной плитки с равносторонними треугольниками, чередующимися.
P4 (442): 2 × 4 раза, 2 × 2 раза; Группа вращения квадратной решетки.
P6 (632): 1 × 6 раз, 2 × 3 раза, 3 × 2 раза; Группа вращения шестигранной решетки.
2-кратные ротоцентры (включая возможные 4-кратные и 6-кратные), если вообще присутствуют, образуют перевод решетки, равной трансляционной решетке, масштабированной на коэффициент 1/2. В случае трансляционной симметрии в одном измерении применяется аналогичное свойство, хотя термин «решетка» не применяется.
3-кратные ротоцентры (включая возможные 6-кратные), если вообще присутствуют, образуют регулярную шестиугольную решетку, равную трансляционной решетке, вращающейся на 30 ° (или эквивалентно 90 °), и масштабируется коэффициентом ${\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}$
4-кратные ротоцентры, если вообще присутствуют, образуют обычную квадратную решетку, равную трансляционной решетке, вращаются на 45 ° и масштабируются в коэффициент ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}$
В 6 раз ротоцентры, если они вообще присутствуют, образуют регулярную шестиугольную решетку, которая является трансляцией трансляционной решетки.

Масштабирование решетки делит количество точек на единицу площади на квадрат масштабного коэффициента. Следовательно, число 2-, 3-, 4- и 6-кратных ротоцентров на примитивную ячейку составляет 4, 3, 2 и 1 соответственно, снова включающий в себя 4-кратный в качестве особого случая 2-кратного и т. Д.

3-кратная вращательная симметрия в одной точке и в 2 раза на другой (или то же самое в 3D по отношению к параллельным осям) подразумевает вращение P6, т.е. двойная трансляционная симметрия и 6-кратная вращательная симметрия в какой-то точке (или, в 3D, параллельная ось). Расстояние перевода для симметрии, генерируемой одной такой парой ротоцентров. $2{\sqrt {3}}$ раз их расстояние.

Евклидовый плоскость	Гиперболическая плоскость
Гексакис -треугольная плитка , пример P6, [6,3] ⁺, (632) (с цветами) и P6M, [6,3], (*632) (без цветов); Линии представляют собой оси отражения, если цвета игнорируются, и особый вид оси симметрии, если цвета не игнорируются: отражение возвращает цвета. Сетки прямоугольной линии в трех ориентациях можно различить.	Заказ 3-7 Kisrhombille , пример [7,3] ⁺ (732) Симметрия и [7,3], (*732) (без цветов)

Смотрите также

Ссылки

^ Ротационная симметрия сферов Weingarten в однородных трех органах. Jos ́e A. G ́alvez, Pablo Mira
^ Топологические связанные состояния в континууме в массивах диэлектрических сфер. Дмитрий Н. Максимов, Институт физики Л.В.
^ Loeb, AL (1971). Цвет и симметрия , Wiley-Interscience, Нью-Йорк, с.2. ISBN 9780471543350 , OCLC 163904

Вейл, Германн (1982) [1952]. Симметрия . Принстон: издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02374-3 .

Внешние ссылки

СМИ, связанные с ротационной симметрией в Wikimedia Commons
Примеры ротационной симметрии из математики - это весело

[1] Ротационная симметрия сферов Weingarten в однородных трех органах. Jos ́e A. G ́alvez, Pablo Mira

[2] Топологические связанные состояния в континууме в массивах диэлектрических сфер. Дмитрий Н. Максимов, Институт физики Л.В.

[3] Loeb, AL (1971). Цвет и симметрия , Wiley-Interscience, Нью-Йорк, с.2. ISBN 9780471543350 , OCLC 163904

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]