Kazhdan's property (T)

В математике G локально компактная топологическая группа обладает свойством (T), если тривиальное представление является изолированной точкой в ее унитарно-двойственной группе, снабженной топологией Фелла . Неформально это означает, что если G действует унитарно в гильбертовом пространстве и имеет «почти инвариантные векторы», то он имеет ненулевой инвариантный вектор . Формальное определение, введенное Дэвидом Кажданом ( 1967 ), придает этому точное, количественное значение.

Хотя первоначально свойство (T) определялось в терминах неприводимых представлений , его часто можно проверить, даже если имеется мало или вообще нет явного знания об унитарном двойственном представлении. Свойство (T) имеет важные применения в теории представлений групп , решетках в алгебраических группах над локальными полями , эргодической теории , геометрической теории групп , расширителях , операторных алгебрах и теории сетей .

Определения

Пусть G σ-компактная локально компактная топологическая группа и π : G → U ( H ) унитарное представление G — в (комплексном) гильбертовом пространстве H. — Если ε > 0 и K — компактное подмножество в G , то единичный вектор ξ в H называется (ε, K )-инвариантным вектором , если

\forall g\in K\ :\ \left\|\pi (g)\xi -\xi \right\|<\varepsilon .

Все следующие условия на G эквивалентны тому, что , и любое из G обладает свойством (T) Каждана них можно использовать в качестве определения свойства (T).

(1) Тривиальное представление является изолированной точкой унитарно двойственной G - с топологией Фелла .

(2) Любая последовательность непрерывных положительно определенных функций на G, к 1 равномерно на компактных подмножествах , сходится к 1 равномерно на G. сходящаяся

(3) Каждое унитарное представление группы G , имеющее (ε, K )-инвариантный единичный вектор для любого ε > 0 и любого компактного подмножества K , имеет ненулевой инвариантный вектор.

(4) Существуют ε > 0 и компактное подмножество K группы G такие, что каждое унитарное представление группы G , имеющее (ε, K )-инвариантный единичный вектор, имеет ненулевой инвариантный вектор.

(5) Каждое непрерывное аффинное изометрическое действие группы G в вещественном гильбертовом пространстве имеет неподвижную точку ( свойство (FH) ).

Если H — замкнутая подгруппа группы G пара ( G , H , говорят, что ) обладает относительным свойством (T) Маргулиса , если существуют ε > 0 и компактное подмножество K группы G такие, что всякий раз, когда унитарное представление группы G имеет (ε, K )-инвариантный единичный вектор, то он имеет ненулевой вектор, фиксированный H .

Обсуждение

Из определения (4), очевидно, следует определение (3). Чтобы доказать обратное, пусть G — локально компактная группа, удовлетворяющая (3), предположим от противного, что для любых K и ε существует унитарное представление, которое имеет ( K , ε)-инвариантный единичный вектор и не имеет инвариантного вектора . Посмотрите на прямую сумму всех таких представлений, и это сведет на нет (4).

Эквивалентность (4) и (5) (свойство (FH)) представляет собой теорему Делорма-Гишарде. Тот факт, что (5) влечет за собой (4), требует предположения, что G σ-компактна (и локально компактна) (Бекка и др., теорема 2.12.4).

Общие свойства

Свойство (T) сохраняется при факторном: если G обладает свойством (T) и H является факторгруппой G , то H обладает свойством (T). Эквивалентно, если гомоморфный образ группы G не обладает свойством (T), то сама G не обладает свойством (T).
Если G обладает свойством (T), то G /[ G , G ] компактен.
Любая счетная дискретная группа, обладающая свойством (T), конечно порождена.
Аменабельная группа , обладающая свойством (Т), обязательно компактна . Аменабельность и свойство (T) в грубом смысле противоположны: они облегчают или затрудняют поиск почти инвариантных векторов.
Теорема Каждана : если Γ — решетка в группе Ли G , то Γ обладает свойством (T) тогда и только тогда, когда G обладает свойством (T). Таким образом, при n ≥ 3 специальная линейная группа SL( n , Z ) обладает свойством (T).

Примеры

Компактные топологические группы обладают свойством (Т). В частности, группа окружностей , аддитивная группа Z _p целых p -адических чисел, компактные специальные унитарные группы SU( n ) и все конечные группы. свойством (T) обладают
Простые вещественные группы Ли вещественного ранга не менее двух обладают свойством (T). Это семейство групп включает специальные линейные группы SL( n , R ) для n ≥ 3 и специальные ортогональные группы SO( p , q ) для p > q ≥ 2 и SO( p , p ) для p ≥ 3. В более общем смысле это справедливо для простых алгебраических групп ранга не ниже двух над локальным полем .
Пары ( R ^н ⋊ SL( п , р ), р ^н) и ( Z ^н ⋊ SL( п , Z ), Z ^н) обладают относительным свойством (T) при n ≥ 2.
При n ≥ 2 некомпактная группа Ли Sp( n , 1) изометрий кватернионной эрмитовой формы сигнатуры ( n ,1) является простой группой Ли вещественного ранга 1, обладающей свойством (T). По теореме Каждана решетки этой группы обладают свойством (T). Эта конструкция важна, поскольку эти решетки являются гиперболическими группами ; таким образом, существуют группы, которые являются гиперболическими и обладают свойством (T). Явными примерами групп в этой категории являются арифметические решетки в Sp( n , 1) и некоторые кватернионные группы отражений .

Примеры групп, не обладающих свойством (T), включают:

Аддитивные группы целых чисел , действительных чисел R и p -адических чисел Qp _. Z
Специальные линейные группы SL(2, Z ) и SL(2, R ) в результате существования представлений дополнительных серий вблизи тривиального представления, хотя SL(2, Z ) обладает свойством (τ) относительно главного сравнения подгруппы по теореме Сельберга.
Некомпактные разрешимые группы .
Нетривиальные свободные группы и свободные абелевы группы .

Дискретные группы

Исторически свойство (T) было установлено для дискретных групп Γ путем вложения их в виде решеток в вещественные или p-адические группы Ли со свойством (T). Сейчас доступно несколько прямых методов.

Алгебраический n метод Шалома применяется, когда Γ = SL( , R ) с R кольцом и n ≥ 3; метод основан на том факте, что Γ может быть ограниченно порожденным , т. е. может быть выражено как конечное произведение более простых подгрупп, таких как элементарные подгруппы, состоящие из матриц, отличающихся от единичной матрицы в одном заданном недиагональном положении.
Геометрический Громова метод берет свое начало от идей Гарлана, и Пьера Пансю . Его простейшая комбинаторная версия принадлежит Зуку: пусть Γ — дискретная группа, порожденная конечным подмножеством S , замкнутая относительно обратных и не содержащая единицу, и определит конечный граф с вершинами S и ребром между g и h всякий раз, когда g ⁻¹h в S. лежит Если этот граф связен и наименьшее ненулевое собственное значение лапласиана соответствующего простого случайного блуждания больше, чем ⁠ 1/2 обладает ⁠ , то Γ свойством (T). Более общая геометрическая версия, предложенная Зуком, Баллманном и Святковски (1997) , утверждает, что если дискретная группа Γ действует должным образом разрывно и кокомпактно на сжимаемом двумерном симплициальном комплексе с одинаковыми условиями теории графов, помещенными в связь в каждой вершине , то Γ обладает свойством (T). множество новых примеров гиперболических групп со свойством (T). С помощью этого метода можно показать
Компьютерный и метод основан на предложении Нарутаки Одзавы был успешно реализован несколькими исследователями. Он основан на алгебраической характеризации свойства (Т) в терминах неравенства вещественной групповой алгебры , для которого решение может быть найдено путем численного решения задачи полуопределенного программирования на компьютере. Примечательно, что этот метод подтвердил свойство (T) для группы автоморфизмов свободной группы ранга не ниже 5. Человеческое доказательство этого результата не известно.

Приложения

Григорий Маргулис использовал тот факт, что SL( n , Z ) (при n ≥ 3) обладает свойством (T) для построения явных семейств расширяющихся графов , то есть графов со свойством, что каждое подмножество имеет равномерно большую «границу». Эта связь привела к ряду недавних исследований, дающих явную оценку констант Каждана , количественно определяющую свойство (T) для конкретной группы и порождающего набора.
Ален Конн использовал дискретные группы со свойством (T), чтобы найти примеры типа II ₁ факторов со счетной фундаментальной группой , то есть, в частности, не все положительные действительные числа. $\mathbb {R} ^{+}$ . Сорин Попа впоследствии использовал относительное свойство (T) для дискретных групп, чтобы получить фактор типа II ₁ с тривиальной фундаментальной группой.
Группы со свойством (T) обладают также свойством Серра FA . ^[1]
Тошиказу Сунада заметил, что положительность нижней части спектра «скрученного» лапласиана на замкнутом многообразии связана со свойством (T) фундаментальной группы . ^[2] Это наблюдение дает результат Брукса, который говорит, что нижняя часть спектра лапласиана на универсальном накрывающем многообразии над замкнутым римановым многообразием M фундаментальная группа M аменабельна равна нулю тогда и только тогда, когда . ^[3]

Ссылки

^ Вататани, Ясуо (1981). «Свойство Т Каждана подразумевает свойство Ф.А. Серра». Математика. Япония . 27 : 97–103. МР 0649023 . Збл 0489.20022 .
^ Сунада, Тошиказу (1989). «Унитарные представления фундаментальных групп и спектр скрученных лапласианов» . Топология . 28 (2): 125–132. дои : 10.1016/0040-9383(89)90015-3 .
^ Брукс, Роберт (1981). «Фундаментальная группа и спектр лапласиана». Комментарий. Математика. Хелв . 56 : 581–598. дои : 10.1007/bf02566228 .

Баллманн, В.; Святковски, Дж. (1997), "Л. ²-когомологии и свойство (T) групп автоморфизмов многогранных клеточных комплексов», GAFA , 7 (4): 615–645, CiteSeerX 10.1.1.56.8641 , doi : 10.1007/s000390050022
Бекка, Бачир; де ла Арп, Пьер; Валетт, Ален (2008), Свойство Каждана (T) (PDF) , Новые математические монографии, том. 11, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-88720-5 , МР 2415834
де ла Арп, П.; Валетт, А. (1989), «Свойство (T) Каждана для локально компактных групп (с приложением М. Бургера)», Asterisk , 175 .
Каждан, Д. (1967), «О связи дуального пространства группы со структурой ее замкнутых подгрупп», Функциональный анализ и его приложения , 1 (1): 63–65, doi : 10.1007/BF01075866 MR 0209390
Любоцкий , А. (1994), Дискретные группы, расширяющиеся графы и инвариантные меры , Прогресс в математике, вып. 125, Базель: Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-5075-8
Любоцкий А. и А. Зук, О свойстве (τ) , выйдет монография.
Любоцкий , А. (2005), «Что такое собственность (τ)» (PDF) , Уведомления AMS , 52 (6): 626–627 .
Шалом, Ю. (2006), «Алгебраизация свойства (T)» (PDF) , Международный конгресс математиков, Мадрид, 2006 г.
Зук, А. (1996), “Свойство (T) Каждана для групп, действующих на многогранниках”, CR Acad. наук. Париж , 323 : 453–458 .
Зук, А. (2003), «Свойство (T) и константы Каждана для дискретных групп», GAFA , 13 (3): 643–670, doi : 10.1007/s00039-003-0425-8 .

[1] Вататани, Ясуо (1981). «Свойство Т Каждана подразумевает свойство Ф.А. Серра». Математика. Япония . 27 : 97–103. МР 0649023 . Збл 0489.20022 .

[2] Сунада, Тошиказу (1989). «Унитарные представления фундаментальных групп и спектр скрученных лапласианов» . Топология . 28 (2): 125–132. дои : 10.1016/0040-9383(89)90015-3 .

[3] Брукс, Роберт (1981). «Фундаментальная группа и спектр лапласиана». Комментарий. Математика. Хелв . 56 : 581–598. дои : 10.1007/bf02566228 .

[1]

[2]

[3]