Уравнение Пелла

Уравнение Пелла для n = 2 и шесть его целочисленных решений

Уравнение Пелла , также называемое уравнением Пелла–Ферма , представляет собой любое диофантово уравнение вида $x^{2}-ny^{2}=1,$ где n — заданное положительное неквадратное целое число ищутся целочисленные решения , а для x и y . В декартовых координатах уравнение представляется гиперболой ; решения возникают везде, где кривая проходит через точку, координаты x и y которой являются целыми числами, например, тривиальное решение с x = 1 и y = 0. Жозеф Луи Лагранж доказал, что, пока n не является идеальным квадратом , уравнение Пелла имеет бесконечно много различных целочисленных решений. Эти решения можно использовать для точного приближения квадратного корня из n рациональными числами формы x / y .

Это уравнение впервые было тщательно изучено в Индии , начиная с Брахмагупты . который нашел целочисленное решение $92x^{2}+1=y^{2}$ в своей «Брахмаспхутасиддханте» около 628 г. Бхаскара II в XII веке и Нараяна Пандит в XIV веке нашли общие решения уравнения Пелла и других квадратных неопределенных уравнений. Бхаскаре II обычно приписывают разработку чакравалы метода , основанного на работах Джаядевы и Брахмагупты. Решения конкретных примеров уравнения Пелла, такие как числа Пелла, возникающие из уравнения с n = 2, были известны гораздо дольше, со времен Пифагора в Греции и аналогичного времени в Индии. Уильям Браункер был первым европейцем, решившим уравнение Пелла. Название уравнения Пелла возникло из-за того, что Леонард Эйлер ошибочно приписал решение уравнения Брункера Джону Пеллу .

История

Еще в 400 г. до н. э. в Индии и Греции математики изучали числа, возникающие из случая n = 2 уравнения Пелла:

$x^{2}-2y^{2}=1,$

и из тесно связанного уравнения

$x^{2}-2y^{2}=-1$

из-за связи этих уравнений с квадратным корнем из 2 . Действительно, если x и y — целые положительные числа, удовлетворяющие этому уравнению, то x / y — аппроксимация √ 2 . Числа x и y , входящие в эти приближения, называемые числами сторон и диаметров , были известны пифагорейцам , и Прокл заметил, что в противоположном направлении эти числа подчиняются одному из этих двух уравнений. Точно так же Баудхаяна обнаружил, что x = 17, y = 12 и x = 577, y = 408 являются двумя решениями уравнения Пелля, и что 17/12 и 577/408 являются очень близкими приближениями к квадратному корню из 2.

Позже Архимед аппроксимировал квадратный корень из 3 рациональным числом 1351/780. Хотя он и не объяснил свои методы, это приближение можно получить таким же образом, как и решение уравнения Пелла. Точно так же задача Архимеда о скоте — древняя словесная задача о нахождении поголовья скота, принадлежащего богу Солнца Гелиосу — может быть решена, переформулировав ее в виде уравнения Пелла. В рукописи, содержащей задачу, говорится, что она была изобретена Архимедом и записана в письме к Эратосфену . и приписывание Архимеду сегодня общепринято.

Около 250 г. н.э. Диофант рассмотрел уравнение

$a^{2}x^{2}+c=y^{2},$

где a и c — фиксированные числа, а x и y — переменные, которые необходимо решить.Это уравнение отличается по форме от уравнения Пелла, но эквивалентно ему.Диофант решил уравнение для ( a , c ), равное (1, 1), (1, −1), (1, 12) и (3, 9). Аль-Караджи , персидский математик X века, работал над теми же задачами, что и Диофант.

В индийской математике Брахмагупта обнаружил, что

$(x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},$

форма того, что сейчас известно как личность Брахмагупты . Используя это, он смог «составить» тройки. $(x_{1},y_{1},k_{1})$ и $(x_{2},y_{2},k_{2})$ это были решения $x^{2}-Ny^{2}=k$, чтобы сгенерировать новые тройки

$(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},k_{1}k_{2})$ и $(x_{1}x_{2}-Ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},k_{1}k_{2}).$

Это не только дало возможность генерировать бесконечное множество решений для $x^{2}-Ny^{2}=1$ начиная с одного раствора, но и разделив такой состав на $k_{1}k_{2}$Часто можно было получить целочисленные или «почти целые» решения. Например, для $N=92$, Брахмагупта составил тройку (10, 1, 8) (поскольку $10^{2}-92(1^{2})=8$) сам с собой, чтобы получить новую тройку (192, 20, 64). Разделив все на 64 («8» для $x$ и $y$) дал тройку (24, 5/2, 1), которая при составлении сама с собой дала искомое целочисленное решение (1151, 120, 1). Брахмагупта решил этим методом многие уравнения Пелла, доказав, что он дает решения, начиная с целочисленного решения $x^{2}-Ny^{2}=k$ для k = ±1, ±2 или ±4.

Первый общий метод решения уравнения Пелла (для всех N ) был дан Бхаскара II в 1150 году, расширив методы Брахмагупты. Называемый методом чакравалы (циклическим) , он начинается с выбора двух относительно простых целых чисел. $a$ и $b$, затем составляем тройку $(a,b,k)$ (то есть такой, который удовлетворяет $a^{2}-Nb^{2}=k$) с тривиальной тройкой $(m,1,m^{2}-N)$ чтобы получить тройку ${\big (}am+Nb,a+bm,k(m^{2}-N){\big )}$, который можно масштабировать до

$\left({\frac {am+Nb}{k}},{\frac {a+bm}{k}},{\frac {m^{2}-N}{k}}\right).$

Когда $m$ выбирается так, что ${\frac {a+bm}{k}}$ является целым числом, как и два других числа в тройке. Среди таких $m$, метод выбирает тот, который минимизирует ${\frac {m^{2}-N}{k}}$ и повторяет процесс. Этот метод всегда заканчивается решением. Бхаскара использовал его, чтобы получить решение x = 1 766 319 049 , y = 226 153 980 для случая N = 61.

Несколько европейских математиков заново открыли, как решать уравнение Пелла в 17 веке. Пьер де Ферма нашел, как решить уравнение, и в письме 1657 года бросил его как вызов английским математикам. В письме Кенельму Дигби Джону Бернар Френикль де Бесси сообщил, что Ферма нашел наименьшее решение для N до 150, и предложил Уоллису решить случаи N = 151 или 313. И Уоллис, и Уильям Браункер дали решения этих проблем, хотя Уоллис в письме предполагает, что решение было принято Браункером.

Связь Джона Пелла с уравнением заключается в том, что он пересмотрел Томаса Бранкера. перевод книги Иоганна Рана 1659 года «Немецкая алгебра» на английский язык с обсуждением решения уравнения, предложенного Брункером. Леонард Эйлер ошибочно подумал, что это решение принадлежит Пеллу, в результате чего назвал уравнение в честь Пелла.

Общая теория уравнения Пелла, основанная на цепных дробях и алгебраических манипуляциях с числами вида $P+Q{\sqrt {a}},$ был разработан Лагранжем в 1766–1769 гг. В частности, Лагранж доказал, что алгоритм Броункера–Уоллиса всегда завершается.

Решения

Фундаментальное решение с помощью цепных дробей

Позволять $h_{i}/k_{i}$ обозначим последовательность подходящих дробей к правильной цепной дроби для ${\sqrt {n}}$. Эта последовательность уникальна. Тогда пара натуральных чисел $(x_{1},y_{1})$ решение уравнения Пелля и минимизация x удовлетворяет условиям x ₁ = h _i и y ₁ = k _i для некоторого i . Эта пара называется фундаментальным решением . Последовательность целых чисел $[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ]$ в регулярной непрерывной дроби ${\sqrt {n}}$ всегда является периодическим. Его можно записать в виде $\left[\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor ;{\overline {a_{1},a_{2},\ldots ,a_{p-1},2\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor }}\right]$, где $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{p-1},2\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor$ – периодическая часть, повторяющаяся бесконечно. Более того, кортеж $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{p-1})$ является палиндромным . Слева направо оно читается одинаково, как и справа налево. Тогда фундаментальное решение

$(x_{1},y_{1})={\begin{cases}(h_{p-1},k_{p-1}),&{\text{ for }}p{\text{ even}}\\(h_{2p-1},k_{2p-1}),&{\text{ for }}p{\text{ odd}}\end{cases}}$

Время нахождения фундаментального решения методом цепной дроби с помощью алгоритма быстрого умножения целых чисел Шенхаге–Штрассена находится в пределах логарифмического коэффициента от размера решения, количества цифр в паре $(x_{1},y_{1})$. Однако это не алгоритм с полиномиальным временем , поскольку количество цифр в решении может достигать √ n , что намного больше, чем полином от количества цифр во входном значении n .

Дополнительные решения из основного решения

После того как фундаментальное решение найдено, все оставшиеся решения можно вычислить алгебраически по формуле

$x_{k}+y_{k}{\sqrt {n}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}})^{k},$

разложив правую часть, приравняв коэффициенты ${\sqrt {n}}$ с обеих сторон и приравнивая остальные члены с обеих сторон. Это дает рекуррентные соотношения

$x_{k+1}=x_{1}x_{k}+ny_{1}y_{k},$

$y_{k+1}=x_{1}y_{k}+y_{1}x_{k}.$

Краткое представление и более быстрые алгоритмы

Хотя запись фундаментального решения ( x ₁ , y ₁ ) в виде пары двоичных чисел может потребовать большого количества битов, во многих случаях его можно представить более компактно в виде

$x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}}=\prod _{i=1}^{t}(a_{i}+b_{i}{\sqrt {n}})^{c_{i}}$

используя гораздо меньшие целые числа a _i , b _i и c _i .

Например, задача Архимеда о скоте эквивалентна уравнению Пелла. $x^{2}-410\,286\,423\,278\,424y^{2}=1$, фундаментальное решение которого, имеет 206 545 если записать его явно, цифр. Однако решение также равно

$x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}}=u^{2329},$

где

$u=x'_{1}+y'_{1}{\sqrt {4\,729\,494}}=(300\,426\,607\,914\,281\,713\,365{\sqrt {609}}+84\,129\,507\,677\,858\,393\,258{\sqrt {7766}})^{2}$

и $x'_{1}$ и $y'_{1}$ имеют только 45 и 41 десятичную цифру соответственно.

Методы, связанные с подходом квадратичного решета для факторизации целых чисел, могут использоваться для сбора отношений между простыми числами в числовом поле, генерируемом √ n, и объединения этих отношений для поиска представления произведения этого типа. Полученный алгоритм решения уравнения Пелла более эффективен, чем метод цепной дроби, хотя он все равно занимает больше, чем полиномиальное время. Можно показать, что в предположении обобщенной гипотезы Римана это займет время

$\exp O({\sqrt {\log N\log \log N}}),$

где N = log n — входной размер, аналогично квадратичному решету.

Квантовые алгоритмы

Холлгрен показал, что квантовый компьютер может найти представление произведения, как описано выше, для решения уравнения Пелла за полиномиальное время. Алгоритм Халлгрена, который можно интерпретировать как алгоритм поиска группы единиц поля действительных квадратичных чисел , был распространен на более общие поля Шмидтом и Фёлльмером.

Пример

В качестве примера рассмотрим пример уравнения Пелла для n = 7; то есть,

$x^{2}-7y^{2}=1.$

Непрерывная фракция ${\sqrt {7}}$ имеет форму $[2;{\overline {1,1,1,4}}]$. Поскольку период имеет длину $4$, которое является четным числом, подходящая дробь, дающая фундаментальное решение, получается путем усечения цепной дроби прямо перед концом первого вхождения периода: $[2,1,1,1]={\frac {8}{3}}$.

Последовательность подходящих чисел для квадратного корня из семи:

ч / к (сходящийся)	час 2 − 7 тыс. 2 (приближение типа Пелля)
2/1	−3
3/1	+2
5/2	−3
8/3	+1

Применение рекуррентной формулы к этому решению порождает бесконечную последовательность решений

(1, 0); (8, 3); (127, 48); (2024, 765); (32257, 12192); (514088, 194307); (8193151, 3096720); (130576328, 49353213); ... (последовательность A001081 ( x ) и A001080 ( y ) в OEIS )

Для уравнения Пелла

$x^{2}-13y^{2}=1.$

непрерывная дробь ${\sqrt {13}}=[3;{\overline {1,1,1,1,6}}]$ имеет период нечетной длины. Для этого фундаментальное решение получается путем усечения цепной дроби прямо перед вторым появлением периода. $[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1]={\frac {649}{180}}$. Таким образом, фундаментальное решение $(x_{1},y_{1})=(649,180)$.

Самое маленькое решение может быть очень большим. Например, наименьшее решение $x^{2}-313y^{2}=1$ равно ( 32 188 120 829 134 849 , 1 819 380 158 564 160 ), и это уравнение, которое Френикл поручил Уоллису решить. Значения n такие, что наименьшее решение $x^{2}-ny^{2}=1$ больше наименьшего решения для любого меньшего n значения

1, 2, 5, 10, 13, 29, 46, 53, 61, 109, 181, 277, 397, 409, 421, 541, 661, 1021, 1069, 1381, 1549, 1621, 2389, 3061, 3469, 4621, 4789, 4909, 5581, 6301, 6829, 8269, 8941, 9949, ... (последовательность A033316 в OEIS ).

(Эти записи см. в OEIS : A033315 для x и OEIS : A033319 для y .)

Список фундаментальных решений уравнений Пелла

Ниже приводится список фундаментальных решений $x^{2}-ny^{2}=1$ с n ≤ 128. Когда n — целое число в квадрате, не существует решения, кроме тривиального решения (1, 0). Значения x — это последовательность A002350 , а значения y — это последовательность A002349 в OEIS .

н	х	и
1	–	–
2	3	2
3	2	1
4	–	–
5	9	4
6	5	2
7	8	3
8	3	1
9	–	–
10	19	6
11	10	3
12	7	2
13	649	180
14	15	4
15	4	1
16	–	–
17	33	8
18	17	4
19	170	39
20	9	2
21	55	12
22	197	42
23	24	5
24	5	1
25	–	–
26	51	10
27	26	5
28	127	24
29	9801	1820
30	11	2
31	1520	273
32	17	3

н	х	и
33	23	4
34	35	6
35	6	1
36	–	–
37	73	12
38	37	6
39	25	4
40	19	3
41	2049	320
42	13	2
43	3482	531
44	199	30
45	161	24
46	24335	3588
47	48	7
48	7	1
49	–	–
50	99	14
51	50	7
52	649	90
53	66249	9100
54	485	66
55	89	12
56	15	2
57	151	20
58	19603	2574
59	530	69
60	31	4
61	1766319049	226153980
62	63	8
63	8	1
64	–	–

н	х	и
65	129	16
66	65	8
67	48842	5967
68	33	4
69	7775	936
70	251	30
71	3480	413
72	17	2
73	2281249	267000
74	3699	430
75	26	3
76	57799	6630
77	351	40
78	53	6
79	80	9
80	9	1
81	–	–
82	163	18
83	82	9
84	55	6
85	285769	30996
86	10405	1122
87	28	3
88	197	21
89	500001	53000
90	19	2
91	1574	165
92	1151	120
93	12151	1260
94	2143295	221064
95	39	4
96	49	5

н	х	и
97	62809633	6377352
98	99	10
99	10	1
100	–	–
101	201	20
102	101	10
103	227528	22419
104	51	5
105	41	4
106	32080051	3115890
107	962	93
108	1351	130
109	158070671986249	15140424455100
110	21	2
111	295	28
112	127	12
113	1204353	113296
114	1025	96
115	1126	105
116	9801	910
117	649	60
118	306917	28254
119	120	11
120	11	1
121	–	–
122	243	22
123	122	11
124	4620799	414960
125	930249	83204
126	449	40
127	4730624	419775
128	577	51

Соединения

Уравнение Пелла связано с несколькими другими важными предметами математики.

Алгебраическая теория чисел

Уравнение Пелла тесно связано с теорией алгебраических чисел , так как формула

$x^{2}-ny^{2}=(x+y{\sqrt {n}})(x-y{\sqrt {n}})$

это норма для кольца $\mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]$ и для тесно связанного квадратичного поля $\mathbb {Q} ({\sqrt {n}})$. Таким образом, пара целых чисел $(x,y)$ решает уравнение Пелла тогда и только тогда, когда $x+y{\sqrt {n}}$ единица с нормой 1 в $\mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]$. Теорема Дирихле о том, что все единицы $\mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]$ может быть выражено как степени одной фундаментальной единицы (и умножения на знак), является алгебраическим подтверждением того факта, что все решения уравнения Пелля могут быть получены из фундаментального решения. Фундаментальную единицу обычно можно найти путем решения уравнения типа Пелла, но она не всегда напрямую соответствует фундаментальному решению самого уравнения Пелля, поскольку фундаментальная единица может иметь норму -1, а не 1, а ее коэффициенты могут быть полуцелыми числами. а не целые числа.

Полиномы Чебышева

Демейер упоминает связь между уравнением Пелла и полиномами Чебышева :Если $T_{i}(x)$ и $U_{i}(x)$ являются полиномами Чебышева первого и второго рода соответственно, то эти полиномы удовлетворяют форме уравнения Пелля в любом кольце многочленов $R[x]$, с $n=x^{2}-1$:

$T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1.$

Таким образом, эти полиномы могут быть получены стандартным для уравнений Пелля методом возведения степеней фундаментального решения:

$T_{i}+U_{i-1}{\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{i}.$

Далее можно заметить, что если $(x_{i},y_{i})$ являются решениями любого целочисленного уравнения Пелля, тогда $x_{i}=T_{i}(x_{1})$ и $y_{i}=y_{1}U_{i-1}(x_{1})$.

Непрерывные дроби

Общее развитие решений уравнения Пелля $x^{2}-ny^{2}=1$ в виде непрерывных долей ${\sqrt {n}}$ могут быть представлены, поскольку решения x и y приближаются к квадратному корню из n и, таким образом, являются частным случаем аппроксимации цепной дроби для квадратичных иррациональных чисел .

Связь с цепными дробями подразумевает, что решения уравнения Пелла образуют полугрупповое подмножество модулярной группы . Так, например, если p и q удовлетворяют уравнению Пелля, то

${\begin{pmatrix}p&q\\nq&p\end{pmatrix}}$

представляет собой матрицу единичного определителя . Произведения таких матриц имеют одинаковую форму, и, таким образом, все такие произведения дают решения уравнения Пелля. Частично это можно понять из-за того, что последовательные подходящие дроби цепной дроби обладают одним и тем же свойством: если p _{k −1} / q _{k −1} и p _k / q _k являются двумя последовательными подходящими дробями цепной дроби, то матрица

${\begin{pmatrix}p_{k-1}&p_{k}\\q_{k-1}&q_{k}\end{pmatrix}}$

имеет определитель (−1) ^к .

Гладкие числа

Теорема Стёрмера применяет уравнения Пелла для поиска пар последовательных гладких чисел — натуральных чисел, все простые множители которых меньше заданного значения. В рамках этой теории Стёрмер также исследовал отношения делимости решений уравнения Пелла; в частности, он показал, что каждое решение, кроме фундаментального, имеет простой делитель , который не делит n .

Отрицательное уравнение Пелла

Отрицательное уравнение Пелла имеет вид

$x^{2}-ny^{2}=-1$

и также тщательно изучается. Ее можно решить тем же методом цепных дробей, и она имеет решения тогда и только тогда, когда период цепной дроби имеет нечетную длину. Однако неизвестно, какие корни имеют нечетную длину периода, и, следовательно, неизвестно, разрешимо ли отрицательное уравнение Пелля. Необходимым (но не достаточным) условием разрешимости является то, что n не делится на 4 или на простое число вида 4 k + 3. Так, например, х ² - 3 года ² = −1 никогда не разрешима, но x ² - 5 лет ² = −1 может быть.

Первые несколько чисел n, для которых x ² - ​ ² = −1 разрешима, являются

1, 2, 5, 10, 13, 17, 26, 29, 37, 41, 50, 53, 58, 61, 65, 73, 74, 82, 85, 89, 97, ... (последовательность A031396 в ОЭИС ).

Позволять $\alpha =\Pi _{j{\text{ is odd}}}(1-2^{j})$. Доля n без квадратов , делящихся на k простых чисел вида 4 m + 1, для которых разрешимо отрицательное уравнение Пелля, равна не менее α . Когда количество простых делителей не фиксировано, пропорция определяется соотношением 1 - α.

Если отрицательное уравнение Пелля действительно имеет решение для определенного n , его фундаментальное решение приводит к фундаментальному решению для положительного случая путем возведения в квадрат обеих частей определяющего уравнения:

$(x^{2}-ny^{2})^{2}=(-1)^{2}$

подразумевает

$(x^{2}+ny^{2})^{2}-n(2xy)^{2}=1.$

Как говорилось выше, если отрицательное уравнение Пелля разрешимо, то решение можно найти методом цепных дробей, как и в положительном уравнении Пелля. Однако отношение рекурсии работает немного по-другому. С $(x+{\sqrt {n}}y)(x-{\sqrt {n}}y)=-1$, следующее решение определяется через $i(x_{k}+{\sqrt {n}}y_{k})=(i(x+{\sqrt {n}}y))^{k}$ всякий раз, когда есть совпадение, то есть когда $k$ странно. Результирующее рекурсивное соотношение (по модулю знака минус, который несущественен из-за квадратичного характера уравнения)

$x_{k}=x_{k-2}x_{1}^{2}+nx_{k-2}y_{1}^{2}+2ny_{k-2}y_{1}x_{1},$

$y_{k}=y_{k-2}x_{1}^{2}+ny_{k-2}y_{1}^{2}+2x_{k-2}y_{1}x_{1},$

что дает бесконечную башню решений отрицательного уравнения Пелля.

Обобщенное уравнение Пелла

Уравнение

$x^{2}-dy^{2}=N$

называется обобщенным (или вообще ) Уравнение Пелла . Уравнение $u^{2}-dv^{2}=1$ – соответствующая резольвента Пелля . Рекурсивный алгоритм был предложен Лагранжем в 1768 году для решения уравнения, сводя задачу к случаю $|N|<{\sqrt {d}}$. Такие решения могут быть получены с использованием метода непрерывных дробей, как описано выше.

Если $(x_{0},y_{0})$ это решение $x^{2}-dy^{2}=N,$ и $(u_{n},v_{n})$ это решение $u^{2}-dv^{2}=1,$ затем $(x_{n},y_{n})$ такой, что $x_{n}+y_{n}{\sqrt {d}}={\big (}x_{0}+y_{0}{\sqrt {d}}{\big )}{\big (}u_{n}+v_{n}{\sqrt {d}}{\big )}$ это решение $x^{2}-dy^{2}=N$, принцип, названный мультипликативным принципом . Решение $(x_{n},y_{n})$ называется кратным Пела решения $(x_{0},y_{0})$.

Существует конечное множество решений задачи $x^{2}-dy^{2}=N$ такое, что каждое решение является кратным Пелла решения из этого набора. В частности, если $(u,v)$ является фундаментальным решением проблемы $u^{2}-dv^{2}=1$, то каждое решение уравнения кратно Пеллу решения $(x,y)$ с $|x|\leq {\sqrt {|N|}}\left({\sqrt {|U|}}+1\right)/2$ и $|y|\leq {\sqrt {|N|}}\left({\sqrt {|U|}}+1\right)/{\big (}2{\sqrt {d}}{\big )}$, где $U=u+v{\sqrt {d}}$.

Если x и y — целочисленные положительные решения уравнения Пелла с $|N|<{\sqrt {d}}$, затем $x/y$ является сходящейся к непрерывной дроби ${\sqrt {d}}$.

Решения обобщенного уравнения Пелля используются для решения некоторых диофантовых уравнений и узлов определенных колец . и они возникают при изучении SIC-POVM в квантовой теории информации .

Уравнение

$x^{2}-dy^{2}=4$

аналогично резольвенте $x^{2}-dy^{2}=1$ в том, что если минимальное решение $x^{2}-dy^{2}=4$ можно найти, то все решения уравнения можно сгенерировать аналогично случаю $N=1$. Наверняка $d$, решения $x^{2}-dy^{2}=1$ могут быть созданы из тех, у кого $x^{2}-dy^{2}=4$, в том, что если $d\equiv 5{\pmod {8}},$ то каждое третье решение $x^{2}-dy^{2}=4$ имеет $x,y$ даже генерируя решение $x^{2}-dy^{2}=1$.

Дальнейшее чтение

• Эдвардс, Гарольд М. (1996) [1977]. Последняя теорема Ферма: генетическое введение в алгебраическую теорию чисел . Тексты для аспирантов по математике . Том. 50. Шпрингер-Верлаг . ISBN  0-387-90230-9 . МР   0616635 .
• Пинч, РГЭ (1988). «Совместные уравнения Пеллиана» . Математика. Учеб. Кембриджская философия. Соц . 103 (1): 35–46. Бибкод : 1988MPCPS.103...35P . дои : 10.1017/S0305004100064598 . S2CID   123098216 .
• Уитфорд, Эдвард Эверетт (1912). Уравнение Пелля (кандидатская диссертация) . Колумбийский университет.
• Уильямс, ХК (2002). «Решение уравнения Пелла». В Беннетте, Массачусетс; Берндт, Британская Колумбия ; Бостон, Северная Каролина ; Даймонд, ХГ; Хильдебранд, AJ; Филипп, В. (ред.). Обзоры по теории чисел: материалы тысячелетней конференции по теории чисел . Натик, Массачусетс: АК Питерс . стр. 325–363. ISBN  1-56881-162-4 . Збл   1043.11027 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Пелла» . Математический мир .
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Уравнение Пелла» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Решатель уравнений Пелла ( n не имеет верхнего предела)
• Решатель уравнений Пелла ( n < 10 ¹⁰ , также может вернуть решение x ² - ​ ² = ±1, ±2, ±3 и ±4)