Сложная динамика

Комплексная динамика , или голоморфная динамика , — это исследование динамических систем , полученных путем итерации комплексного аналитического отображения. Эта статья посвящена случаю алгебраической динамики , когда полиномиальная или рациональная функция повторяется . В геометрических терминах это равнозначно повторению отображения некоторого алгебраического многообразия в себя. Соответствующая теория арифметической динамики изучает итерацию над рациональными числами или p-адическими числами вместо комплексных чисел .

Динамика в комплексном измерении 1

Основная статья: Набор Джулии

Простой пример, показывающий некоторые основные проблемы сложной динамики, — это отображение $f(z)=z^{2}$из комплексных чисел C в себя. Полезно рассматривать это как карту комплексной проективной линии. $\mathbf {CP} ^{1}$ к себе, добавив точку $\infty$к комплексным числам. ( $\mathbf {CP} ^{1}$ имеет то преимущество, что компактен .) Основной вопрос таков: учитывая точку $z$ в $\mathbf {CP} ^{1}$, как движется его орбита (или передняя орбита )

$z,\;f(z)=z^{2},\;f(f(z))=z^{4},f(f(f(z)))=z^{8},\;\ldots$

вести себя качественно? Ответ: если абсолютное значение | г | меньше 1, то орбита сходится к 0, причем более чем экспоненциально быстро. Если | г | больше 1, то орбита сходится к точке $\infty$ в $\mathbf {CP} ^{1}$, опять же более чем экспоненциально быстро. (Здесь 0 и $\infty$являются суперпритягивающими фиксированными точками f , а это означает, что равна нулю производная f в этих точках. Притягивающая фиксированная точка означает точку , в которой производная f имеет абсолютное значение меньше 1.)

С другой стороны, предположим, что $|z|=1$, что означает, что z находится на единичной окружности в C . В этих точках динамика f по-разному хаотична. Например, почти для всех точек z на окружности с точки зрения теории меры прямая орбита z плотна в окружности и фактически равномерно распределена по окружности. также бесконечно много периодических точек , то есть точек с На окружности $f^{r}(z)=z$для некоторого положительного целого числа r . (Здесь $f^{r}(z)$ означает результат применения f к z r раз, $f(f(\cdots (f(z))\cdots ))$.) Даже в периодических точках z на окружности динамику f можно считать хаотичной, поскольку точки вблизи z экспоненциально быстро расходятся от z при итерации f . (Периодические точки f на единичной окружности отталкиваются : если $f^{r}(z)=z$, производная от $f^{r}$ в точке z имеет абсолютное значение больше 1.)

Пьер Фату и Гастон Жюли показали в конце 1910-х годов, что большая часть этой истории распространяется на любую сложную алгебраическую карту из $\mathbf {CP} ^{1}$ в себя степени больше 1. (Такое отображение может быть задано многочленом $f(z)$ с комплексными коэффициентами или, в более общем смысле, рациональной функцией.) А именно, всегда существует компактное подмножество $\mathbf {CP} ^{1}$, множество Жюлиа , на котором динамика f хаотична. Для картографии $f(z)=z^{2}$, множество Джулии представляет собой единичный круг. Для других полиномиальных отображений множество Жюлиа часто бывает очень нерегулярным, например, фракталом в том смысле, что его хаусдорфова размерность не является целым числом. Это происходит даже для таких простых отображений, как $f(z)=z^{2}+c$ для постоянного $c\in \mathbf {C}$. — Множество Мандельброта это набор комплексных чисел c таких, что множество Жюлиа $f(z)=z^{2}+c$ подключен ​ .

Множество Джулии многочлена $f(z)=z^{2}+az$ с $a\doteq -0.5+0.866i$.

Множество Джулии многочлена $f(z)=z^{2}+c$ с $c\doteq 0.383-0.0745i$. Это множество Кантора .

Существует достаточно полная классификация возможной динамики рациональной функции. $f\colon \mathbf {CP} ^{1}\to \mathbf {CP} ^{1}$в наборе Фату — дополнении набора Жюлиа, где динамика «ручная». А именно, Деннис Салливан показал, что каждый компонент связности U множества Фату является предпериодическим, а это означает, что существуют натуральные числа. $a<b$ такой, что $f^{a}(U)=f^{b}(U)$. Поэтому для анализа динамики на компоненте U можно после замены f на итерацию предположить, что $f(U)=U$. Тогда либо (1) U содержит притягивающую неподвижную точку для f ; (2) U является параболическим в том смысле, что все точки U приближаются к фиксированной точке на границе U ; (3) U — диск Зигеля , что означает, что действие f на U сопряжено иррациональному вращению открытого единичного диска; или (4) U — кольцо Германа , что означает, что действие f на U сопряжено иррациональному вращению открытого кольца . (Обратите внимание, что «обратная орбита» точки z в U , набор точек в $\mathbf {CP} ^{1}$ это отображение в z при некоторой итерации f не обязательно должно содержаться в U. )

Равновесная мера эндоморфизма

Сложная динамика эффективно развита в любом измерении. В этом разделе основное внимание уделяется отображениям из комплексного проективного пространства. $\mathbf {CP} ^{n}$себе, богатейший источник примеров. Основные результаты для $\mathbf {CP} ^{n}$ были расширены до класса рациональных отображений любого проективного многообразия в себя. Однако обратите внимание, что многие разновидности не имеют интересных автокарт.

Пусть f — эндоморфизм $\mathbf {CP} ^{n}$, что означает морфизм алгебраических многообразий из $\mathbf {CP} ^{n}$самому себе, для положительного целого числа n . Такое отображение задается в однородных координатах формулой

$f([z_{0},\ldots ,z_{n}])=[f_{0}(z_{0},\ldots ,z_{n}),\ldots ,f_{n}(z_{0},\ldots ,z_{n})]$

для некоторых однородных многочленов $f_{0},\ldots ,f_{n}$ одной степени d, не имеющие общих нулей в $\mathbf {CP} ^{n}$. (По теореме Чоу это то же самое, что голоморфное отображение из $\mathbf {CP} ^{n}$самому себе.) Предположим, что d больше 1; то степень отображения f равна $d^{n}$, что также больше 1.

Тогда существует единственная вероятностная мера $\mu _{f}$ на $\mathbf {CP} ^{n}$, равновесная мера f , которая описывает наиболее хаотичную часть динамики f . (Ее также называли мерой Грина или мерой максимальной энтропии .) Эта мера была определена Гансом Бролином (1965) для многочленов от одной переменной, Александром Фрейре, Артуром Лопесом , Рикардо Манье и Михаилом Любичем для $n=1$ (около 1983 г.), а также Джона Хаббарда , Питера Пападопола, Джона Форнесса и Нессима Сибони в любом измерении (около 1994 г.). Маленький набор Юлия $J^{*}(f)$ является носителем равновесной меры в $\mathbf {CP} ^{n}$; это просто набор Джулии, когда $n=1$.

Примеры

• Для картографии $f(z)=z^{2}$ на $\mathbf {CP} ^{1}$, равновесная мера $\mu _{f}$ - это мера Хаара (стандартная мера, масштабированная до полной меры 1) на единичном круге. $|z|=1$.
• В более общем смысле, для целого числа $d>1$, позволять $f\colon \mathbf {CP} ^{n}\to \mathbf {CP} ^{n}$ быть отображением

$f([z_{0},\ldots ,z_{n}])=[z_{0}^{d},\ldots ,z_{n}^{d}].$

Тогда равновесная мера $\mu _{f}$ — мера Хаара на n -мерном торе $\{[1,z_{1},\ldots ,z_{n}]:|z_{1}|=\cdots =|z_{n}|=1\}.$ Для более общих голоморфных отображений из $\mathbf {CP} ^{n}$ Сама по себе равновесная мера может быть гораздо более сложной, как это видно уже в комплексном измерении 1 из изображений множеств Жюлиа.

равновесной

Основное свойство равновесной меры состоит в том, что она инвариантна относительно f в том смысле, что мера прямого действия $f_{*}\mu _{f}$ равно $\mu _{f}$. Поскольку f — конечный морфизм , мера обратного образа $f^{*}\mu _{f}$ также определяется, и $\mu _{f}$ в полностью инвариантен том смысле, что $f^{*}\mu _{f}=\deg(f)\mu _{f}$.

Одной из ярких характеристик равновесной меры является то, что она описывает асимптотику почти каждой точки в $\mathbf {CP} ^{n}$если следовать назад во времени, Жан-Ив Бриан, Жюльен Дюваль, Тьен-Куонг Динь и Сибони. А именно, для точки z в $\mathbf {CP} ^{n}$ и положительное целое число r , рассмотрим вероятностную меру $(1/d^{rn})(f^{r})^{*}(\delta _{z})$ которая равномерно распределена по $d^{rn}$ точки w с $f^{r}(w)=z$. Тогда существует Зарисского замкнутое подмножество $E\subsetneq \mathbf {CP} ^{n}$ такая, что для всех точек z, не принадлежащих E , только что определенные меры слабо сходятся к равновесной мере $\mu _{f}$поскольку r стремится к бесконечности. Более подробно: только конечное число замкнутых комплексных подпространств $\mathbf {CP} ^{n}$ относительно полностью инвариантны f ( это означает, что $f^{-1}(S)=S$), и можно взять исключительное множество E в качестве единственного наибольшего полностью инвариантного замкнутого комплексного подпространства, не равного $\mathbf {CP} ^{n}$.

Другая характеристика равновесной меры (по Брину и Дювалю) состоит в следующем. Для каждого положительного целого числа r количество периодических точек периода r (это означает, что $f^{r}(z)=z$), посчитанный с кратностью, равен $(d^{r(n+1)}-1)/(d^{r}-1)$, что примерно $d^{rn}$. Рассмотрим вероятностную меру, равномерно распределенную в точках периода r . Тогда эти меры также сходятся к равновесной мере $\mu _{f}$поскольку r стремится к бесконечности. При этом большинство периодических точек отталкиваются и лежат в $J^{*}(f)$, и поэтому ту же предельную меру можно получить, усредняя только по отталкивающим периодическим точкам в $J^{*}(f)$. Также могут быть отталкивающие периодические точки снаружи $J^{*}(f)$.

Равновесная мера придает нулевую массу любому замкнутому комплексному подпространству $\mathbf {CP} ^{n}$ это еще не все пространство. Поскольку периодические точки в $J^{*}(f)$ плотны в $J^{*}(f)$, то периодические точки f плотны по Зарисскому в $\mathbf {CP} ^{n}$. Более алгебраическое доказательство этой плотности Зарисского было дано Наджмуддином Фахруддином. Еще одно последствие $\mu _{f}$ придание нулевой массы замкнутым комплексным подпространствам, не равным $\mathbf {CP} ^{n}$заключается в том, что каждая точка имеет нулевую массу. В результате поддержка $J^{*}(f)$ из $\mu _{f}$ не имеет изолированных точек и поэтому является совершенным множеством .

Поддержка $J^{*}(f)$ равновесной меры не слишком мала в том смысле, что ее хаусдорфова размерность всегда больше нуля. В этом смысле эндоморфизм комплексного проективного пространства степени больше 1 всегда ведет себя хаотично, по крайней мере, на части пространства. (Есть примеры, когда $J^{*}(f)$ это все из $\mathbf {CP} ^{n}$. ) Другой способ уточнить, что f имеет некоторое хаотическое поведение, состоит в том, что энтропия f топологическая всегда больше нуля и фактически равна $n\log d$Михаил Громов , Михал Мисюревич и Феликс Пшитицкий.

Для любого непрерывного эндоморфизма f компактного метрического пространства X топологическая энтропия f равна максимуму теоретико-мерной энтропии (или «метрической энтропии») всех f -инвариантных мер на X . Для голоморфного f эндоморфизма $\mathbf {CP} ^{n}$, равновесная мера $\mu _{f}$ — это единственная инвариантная мера максимальной энтропии, предложенная Брайном и Дювалем. Это еще один способ сказать, что наиболее хаотичное поведение f сосредоточено на поддержании равновесной меры.

Наконец, можно сказать больше о динамике f на носителе равновесной меры: f является эргодичным и, в более сильной степени, перемешивающим относительно этой меры, согласно Форнессу и Сибони. Отсюда следует, например, что почти для каждой точки относительно $\mu _{f}$, его передняя орбита распределена равномерно относительно $\mu _{f}$.

Карты латте

Отображение Латтеса эндоморфизм f — это $\mathbf {CP} ^{n}$получается из эндоморфизма абелева многообразия делением на конечную группу . В этом случае равновесная мера f относительно абсолютно непрерывна меры Лебега на $\mathbf {CP} ^{n}$. И наоборот, Анной Здуник , Франсуа Бертело и Кристофом Дюпоном, единственные эндоморфизмы $\mathbf {CP} ^{n}$ равновесная мера которых абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, являются примерами Латте. То есть для всех эндоморфизмов, не являющихся Латтесом, $\mu _{f}$ присваивает свою полную массу 1 некоторому борелевскому множеству меры Лебега 0.

Случайная выборка из равновесной меры карты Латтеса $f(z)=(z-2)^{2}/z^{2}$. В наборе Джулии есть все $\mathbf {CP} ^{1}$.

Случайная выборка из равновесной меры карты не-Латтеса $f(z)=(z-2)^{4}/z^{4}$. В наборе Джулии есть все $\mathbf {CP} ^{1}$, но мера равновесия весьма нерегулярна.

В измерении 1 больше известно о «нерегулярности» равновесной меры. А именно, определим хаусдорфову размерность вероятностной меры. $\mu$ на $\mathbf {CP} ^{1}$ (или, в более общем смысле, на гладком многообразии) путем

$\dim(\mu )=\inf\{\dim _{H}(Y):\mu (Y)=1\},$

где $\dim _{H}(Y)$обозначает хаусдорфову размерность борелевского множества Y . эндоморфизма f Для $\mathbf {CP} ^{1}$ степени больше 1, Здуник показал, что размерность $\mu _{f}$ равна хаусдорфовой размерности своего носителя (множества Жюлиа) тогда и только тогда, когда f сопряжено с отображением Латте, многочленом Чебышева (с точностью до знака) или степенным отображением $f(z)=z^{\pm d}$ с $d\geq 2$. (В последних случаях множество Жюлиа состоит из $\mathbf {CP} ^{1}$, замкнутый интервал или круг соответственно. ) Таким образом, за пределами этих особых случаев равновесная мера является крайне нерегулярной, приписывая положительную массу некоторым замкнутым подмножествам множества Жюлиа с меньшей хаусдорфовой размерностью, чем все множество Жюлиа.

Автоморфизмы проективных многообразий

В более общем плане сложная динамика стремится описать поведение рациональных карт при итерации. Один случай, который был изучен с некоторым успехом, - это случай комплексного проективного автоморфизмов гладкого многообразия X , то есть изоморфизмов f из X в себя. Основной интерес представляет случай, когда f действует нетривиально на сингулярных когомологиях. $H^{*}(X,\mathbf {Z} )$.

Громов и Йосеф Йомдин показали, что топологическая энтропия эндоморфизма (например, автоморфизма) гладкого комплексного проективного многообразия определяется его действием на когомологии. Явно, для X комплексной размерности n и $0\leq p\leq n$, позволять $d_{p}$ — спектральный радиус f , действующий путем обратного образа на когомологий Ходжа группу $H^{p,p}(X)\subset H^{2p}(X,\mathbf {C} )$. Тогда топологическая энтропия f равна

$h(f)=\max _{p}\log d_{p}.$

(Топологическая энтропия f также является логарифмом спектрального радиуса f на всех когомологиях $H^{*}(X,\mathbf {C} )$.) Таким образом, f имеет некоторое хаотическое поведение в том смысле, что его топологическая энтропия больше нуля тогда и только тогда, когда он действует на некоторой группе когомологий с собственным значением по абсолютной величине, большим 1. Многие проективные многообразия не имеют таких автоморфизмов, но (например) многие рациональные поверхности и поверхности K3 имеют такие автоморфизмы.

Пусть X — компактное кэлерово многообразие , включающее случай гладкого комплексного проективного многообразия. Скажем, что автоморфизм f пространства X имеет простое действие на когомологии, если: существует только одно число p такое, что $d_{p}$ принимает максимальное значение, действие f на $H^{p,p}(X)$ имеет только одно собственное значение с абсолютным значением $d_{p}$, и это простое собственное значение . Например, Серж Канта показал, что каждый автоморфизм компактной кэлеровой поверхности с положительной топологической энтропией имеет простое действие на когомологии. (Здесь «автоморфизм» является комплексно-аналитическим, но не предполагается, что он сохраняет кэлерову метрику на X. Фактически, каждый автоморфизм, сохраняющий метрику, имеет нулевую топологическую энтропию.)

Для автоморфизма f с простым действием на когомологии были достигнуты некоторые цели сложной динамики. Динь, Сибони и Анри де Телен показали, что существует уникальная инвариантная вероятностная мера. $\mu _{f}$ максимальной энтропии для f , называемой равновесной мерой (или мерой Грина , или мерой максимальной энтропии ). (В частности, $\mu _{f}$ имеет энтропию $\log d_{p}$ относительно f .) Поддержка $\mu _{f}$ называется малым множеством Жюлиа $J^{*}(f)$. Неформально: f имеет некоторое хаотическое поведение, причем наиболее хаотичное поведение сосредоточено на небольшом множестве Жюлиа. По крайней мере, когда X проективно, $J^{*}(f)$имеет положительную размерность Хаусдорфа. (Точнее, $\mu _{f}$ присваивает нулевую массу всем множествам достаточно малой хаусдорфовой размерности.)

горя

Некоторые абелевы многообразия обладают автоморфизмом положительной энтропии. Например, пусть E — комплексная эллиптическая кривая , а X — абелева поверхность. $E\times E$. Затем группа $GL(2,\mathbf {Z} )$ обратимого $2\times 2$целочисленные матрицы действуют на X . Любой элемент группы f которого , трасса имеет абсолютное значение больше 2, например ${\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}$, имеет спектральный радиус больше 1 и поэтому дает автоморфизм X с положительной энтропией . Равновесной мерой f является мера Хаара (стандартная мера Лебега) на X .

Автоморфизмы Куммера определяются путем взятия фактор-пространства по конечной группе абелевой поверхности с автоморфизмом и последующего раздутия , чтобы сделать поверхность гладкой. Полученные поверхности включают некоторые специальные поверхности К3 и рациональные поверхности. Для автоморфизмов Куммера равновесная мера имеет носитель, равный X , и гладкая вне конечного числа кривых. И наоборот, Канта и Дюпон показали, что для всех поверхностных автоморфизмов с положительной энтропией, за исключением примеров Куммера, равновесная мера не является абсолютно непрерывной относительно меры Лебега. В этом смысле равновесная мера автоморфизма обычно бывает несколько нерегулярной.

Седловые периодические точки

Периодическая точка z функции f называется седловой периодической точкой, если для такого натурального числа r , что $f^{r}(z)=z$, хотя бы одно собственное значение производной $f^{r}$ в касательном пространстве в точке z имеет абсолютное значение меньше 1, по крайней мере один имеет абсолютное значение больше 1, и ни одно не имеет абсолютное значение, равное 1. (Таким образом, f расширяется в некоторых направлениях и сжимается в других, около z .) Для автоморфизм f с простым действием на когомологии, седловые периодические точки плотны на носителе $J^{*}(f)$ равновесной меры $\mu _{f}$. С другой стороны, мера $\mu _{f}$ обращается в нуль на замкнутых комплексных подпространствах, не равных X . Отсюда следует, что периодические точки f (или даже просто седловые периодические точки, содержащиеся в носителе $\mu _{f}$) плотны по Зарисскому в X .

Для автоморфизма f с простым действием на когомологии f и его обратное отображение являются эргодическими и, в более сильной степени, перемешивающими относительно равновесной меры. $\mu _{f}$. Отсюда следует, что почти для каждой точки z относительно $\mu _{f}$, передняя и обратная орбиты z равномерно распределены относительно $\mu _{f}$.

Заметное отличие от случая эндоморфизмов $\mathbf {CP} ^{n}$ заключается в том, что для автоморфизма f с простым действием на когомологии может существовать непустое открытое подмножество X , на котором ни прямая, ни обратная орбиты не приближаются к носителю $J^{*}(f)$равновесной меры. Например, Эрик Бедфорд, Кёнхи Ким и Кертис МакМаллен построили автоморфизмы f гладкой проективной рациональной поверхности с положительной топологической энтропией (следовательно, простое действие на когомологии) такие, что f имеет диск Зигеля, на котором действие f сопряжено с нерациональное вращение. Точки в этом открытом наборе никогда не приближаются $J^{*}(f)$ под действием f или обратного ей.

По крайней мере, в комплексном измерении 2 равновесная мера f описывает распределение изолированных периодических точек f . (Могут также существовать комплексные кривые, фиксированные с помощью f или итерации, которые здесь игнорируются.) А именно, пусть f — автоморфизм компактной кэлеровой поверхности X с положительной топологической энтропией. $h(f)=\log d_{1}$. Рассмотрим вероятностную меру, равномерно распределенную в изолированных периодических точках периода r (это означает, что $f^{r}(z)=z$). Тогда эта мера слабо сходится к $\mu _{f}$ как r стремится к бесконечности, Эрик Бедфорд, Любич и Джон Смилли . То же самое справедливо и для подмножества седловых периодических точек, поскольку оба набора периодических точек растут со скоростью $(d_{1})^{r}$.

См. также

• Динамика в комплексном измерении 1
  • Комплексный анализ
  • Комплексный квадратичный полином
  • Бесконечные композиции аналитических функций
  • Теорема Монтеля
  • Метрика Пуанкаре
  • Черная лемма
  • Теорема Римана об отображении
  • Теорема Каратеодори (конформное отображение)
  • Уравнение Бетчера
  • Орбитальные портреты
  • Йоккоз пазлы

• Связанные области динамики
  • Арифметическая динамика
  • Теория хаоса
  • Символическая динамика

Ссылки

• Александр, Дэниел (1994), История сложной динамики: от Шредера до Фату и Джулии , Vieweg Verlag , doi : 10.1007/978-3-663-09197-4 , ISBN  3-528-06520-6 , МР   1260930
• Бердон, Алан (1991), Итерация рациональных функций: сложные аналитические динамические системы , Springer-Verlag , ISBN  0-387-97589-6 , МР   1128089
• Бертелот, Франсуа; Дюпон, Кристоф (2005), «Характеристика эндоморфизмов Латтеса по их мере Грина», Commentarii Mathematici Helvetici , 80 (2): 433–454, arXiv : math/0501034 , doi : 10.4171/CMH/21 , MR   2142250
• Бонифант, Арасели; Любич, Михаил ; Сазерленд, Скотт, ред. (2014), Границы в сложной динамике: в честь 80-летия Джона Милнора , Princeton University Press , doi : 10.1515/9781400851317 , ISBN  978-0-691-15929-4 , МР   3289442
• Канта, Серж (2010), «Некоторые аспекты полиномиальных динамических систем: существование, примеры, жесткость», Некоторые аспекты полиномиальных динамических систем , Société Mathématique de France , стр. 13–95, ISBN  978-2-85629-338-6 , МР   2932433
• Кантат, Серж (2014), «Динамика автоморфизмов компактных комплексных поверхностей», Границы в комплексной динамике (Банфф, 2011) , Princeton University Press , стр. 463–514, ISBN  978-0-691-15929-4 , МР   3289919
• Кантат, Серж ; Дюпон, Кристоф (2020), «Автоморфизмы поверхностей: жесткость Куммера и мера максимальной энтропии», Журнал Европейского математического общества , 22 (4): 1289–1351, arXiv : 1410.1202 , doi : 10.4171/JEMS/946 , MR   4071328
• Карлесон, Леннарт ; Гамелен, Теодор (1993), Сложная динамика , Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-4364-9 , ISBN  0-387-97942-5 , МР   1230383
• де Телен, Генри; Dinh, Tien-Cuong (2012), «Динамика автоторфизмов на компактных коллекторах Kähler», « Достижения по математике » , 229 (5): 2640–2655, arxiv : 1009.5796 , doi : 10.1016/j.aim.2012.01.014 , г-н   2889139
• Динь, Тьен-Куонг ; Сибони, Нессим (2010), «Динамика нескольких комплексных переменных: эндоморфизмы проективных пространств и полиномиальноподобные отображения», Голоморфные динамические системы , Конспекты лекций по математике, том. 1998, Springer-Verlag , стр. 165–294, arXiv : 0810.0811 , doi : 10.1007/978-3-642-13171-4_4 , ISBN  978-3-642-13170-7 , МР   2648690
• Динь, Тьен-Куонг ; Сибони, Нессим (2010), «Суперпотенциалы токов на компактных кэлеровых многообразиях и динамика автоморфизмов», Журнал алгебраической геометрии , 19 (3): 473–529, arXiv : 0804.0860 , doi : 10.1090/S1056-3911-10 -00549-7 , МР   2629598
• Фахруддин, Наджмуддин (2003), «Вопросы о самоотображениях алгебраических многообразий», Журнал Математического общества Рамануджана , 18 (2): 109–122, arXiv : math/0212208 , MR   1995861
• Форнэсс, Джон Эрик (1996), Динамика нескольких комплексных переменных , Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-0317-2 , МР   1363948
• Форнэсс, Джон Эрик ; Сибони, Нессим (2001), «Динамика $\mathbf {P} ^{2}$ (примеры)», Расслоения и слоения в динамике, геометрии и топологии (Stony Brook, 1998) , Американское математическое общество , стр. 47–85, doi : 10.1090/conm/269/04329 , ISBN  978-0-8218-1985-2 , МР   1810536
• Гедж, Винсент (2010), «Эргодические свойства рациональных приложений», Некоторые аспекты полиномиальных динамических систем , Société Mathématique de France , стр. 97–202, arXiv : математика/0611302 , ISBN  978-2-85629-338-6 , МР   2932434
• Милнор, Джон (2006), Динамика одной комплексной переменной (3-е изд.), Princeton University Press , arXiv : math/9201272 , doi : 10.1515/9781400835539 , ISBN  0-691-12488-4 , МР   2193309
• Моросава, Сюнсуке; Нишимура, Ясуитиро, Масахико, Тецуо (2000), Голоморфная динамика , издательство Кембриджского университета , ISBN;  0-521-66258-3 , МР   1747010
• Тан, Лей, изд. (2000), Множество Мандельброта, тема и вариации , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 274, Издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-77476-4 , МР   1765080
• Здуник, Анна (1990), «Параболические орбифолды и размерность максимальной меры для рациональных отображений», Inventiones Mathematicae , 99 (3): 627–649, doi : 10.1007/BF01234434 , MR   1032883

Внешние ссылки

• Галерея динамики (Кёртис МакМаллен)
• Исследования в динамических системах