Акустический резонанс

Эта статья о механическом резонансе звука, в том числе музыкальных инструментов. Общее описание механического резонанса в физике и технике см. в разделе « Механический резонанс» . Общее описание резонанса см. в разделе «Резонанс» .

Продолжительность: 1 минута 58 секунд. 1:58

Экспериментируйте с двумя камертонами, колеблющимися с одинаковой частотой . По одной из вилок ударяют прорезиненным молотком. Хотя первый камертон не был ударен, другой камертон заметно возбуждается из-за колебаний, вызванных периодическим изменением давления и плотности воздуха при ударе по другому камертону, создавая акустический резонанс между вилками. Однако, если на зубец поместить кусок металла, эффект затухает, а возбуждения становятся все менее и менее выраженными, поскольку резонанс не достигается так эффективно.

Акустический резонанс — явление, при котором акустическая система усиливает звуковые волны, частота которых соответствует одной из ее собственных частот вибрации (ее резонансным частотам ).

Термин «акустический резонанс» иногда используется для сужения механического резонанса до диапазона частот человеческого слуха, но поскольку акустика определяется в общих чертах, касающихся вибрационных волн в материи, акустический резонанс может возникать на частотах, выходящих за пределы диапазона человеческого слуха.

Акустически резонансный объект обычно имеет более одной резонансной частоты, особенно на гармониках наиболее сильного резонанса. Он будет легко вибрировать на этих частотах и ​​менее сильно вибрировать на других частотах. Он «выберет» свою резонансную частоту из сложного возбуждения, например импульсного или широкополосного шумового возбуждения. По сути, он отфильтровывает все частоты, кроме резонанса.

Акустический резонанс является важным фактором для производителей инструментов, поскольку в большинстве акустических инструментов используются резонаторы , такие как струны и корпус скрипки , длина трубки флейты и форма мембраны барабана. Акустический резонанс также важен для слуха. Например, резонанс жесткого структурного элемента, называемого базилярной мембраной , внутри улитки внутреннего уха позволяет волосковым клеткам на мембране улавливать звук. (У млекопитающих мембрана имеет сужающиеся резонансы по всей длине, так что высокие частоты концентрируются на одном конце, а низкие — на другом.)

Как и механический резонанс, акустический резонанс может привести к катастрофическому выходу вибратора из строя. Классический пример – разбивание бокала со звуком точной резонансной частоты бокала.

Вибрирующая струна

Дополнительная информация: Вибрирующая струна.

Струнный резонанс бас-гитары Нота с основной частотой 110 Гц.

В музыкальных инструментах натянутые струны, такие как лютни , арфы , гитары , фортепиано , скрипки и т. д., имеют резонансные частоты, напрямую связанные с массой, длиной и натяжением струны. Длина волны, которая создаст первый резонанс на струне, равна удвоенной длине струны. Более высокие резонансы соответствуют длинам волн, которые являются целыми делениями основной длины волны. Соответствующие частоты связаны со скоростью v волны , бегущей по струне, уравнением

$f={nv \over 2L}$

где L — длина струны (для струны, закрепленной на обоих концах) и n = 1, 2, 3... ( Гармоника в трубе с открытым концом (т. е. оба конца трубы открыты)). Скорость волны по струне или проводу связана с ее натяжением Т и массой единицы длины ρ:

$v={\sqrt {T \over \rho }}$

Таким образом, частота связана со свойствами струны уравнением

$f={n{\sqrt {T \over \rho }} \over 2L}={n{\sqrt {T \over m/L}} \over 2L}$

где T — натяжение , ρ — масса на единицу длины, а m — общая масса .

Более высокое натяжение и меньшая длина увеличивают резонансные частоты. Когда струна возбуждается с помощью импульсной функции (щипок пальца или удар молоточка), струна колеблется на всех частотах, присутствующих в импульсе (импульсная функция теоретически содержит «все» частоты). Те частоты, которые не входят в число резонансов, быстро отфильтровываются — они ослабляются — и все, что остается, — это гармонические вибрации, которые мы слышим как музыкальную ноту.

Струнный резонанс в музыкальных инструментах.

Основная статья: Струнный резонанс (музыка)

Струнный резонанс возникает в струнных инструментах . Струны или части струн могут резонировать на своих основных частотах или обертонах, когда звучат другие струны. Например, струна A на частоте 440 Гц вызовет резонанс струны E на частоте 330 Гц, поскольку они имеют общий обертон 1320 Гц (3-й обертон A и 4-й обертон E).

Резонанс трубки с воздухом

Резонанс трубки с воздухом зависит от длины трубки, ее формы и наличия у нее закрытых или открытых концов. Многие музыкальные инструменты напоминают трубки конической или цилиндрической формы (см. отверстие ). Говорят, что труба, закрытая с одного конца и открытая с другого, остановлена ​​или закрыта, тогда как открытая труба открыта с обоих концов. Современные оркестровые флейты ведут себя как открытые цилиндрические трубы; кларнеты ведут себя как закрытые цилиндрические трубы; а саксофоны , гобои и фаготы — как закрытые конические трубы, в то время как большинство современных язычковых инструментов ( духовые инструменты ) акустически похожи на закрытые конические трубы с некоторыми отклонениями (см. Педальные тоны и фальшивые тоны ).Как и струны, колеблющиеся воздушные столбы в идеальных цилиндрических или конических трубах также имеют резонансы на гармониках, хотя и имеют некоторые различия.

Цилиндры

Смотрите также: Стоячая волна § Стоячая волна в трубе

Любой цилиндр резонирует на нескольких частотах, создавая несколько музыкальных тонов. Самая низкая частота называется основной частотой или первой гармоникой. Цилиндры, используемые в качестве музыкальных инструментов, обычно открыты либо с обоих концов, как у флейты, либо с одного конца, как у некоторых органных труб. Однако цилиндр, закрытый с обоих концов, также можно использовать для создания или визуализации звуковых волн, как в трубке Рубенса .

Резонансные свойства цилиндра можно понять, рассмотрев поведение звуковой волны в воздухе. Звук распространяется как продольная волна сжатия, заставляя молекулы воздуха двигаться вперед и назад по направлению движения. Внутри трубки образуется стоячая волна, длина волны которой зависит от длины трубки. На закрытом конце трубки молекулы воздуха не могут сильно двигаться, поэтому этот конец трубки является узлом смещения стоячей волны. На открытом конце трубки молекулы воздуха могут свободно перемещаться, создавая пучность смещения . Узлы смещения являются пучностями давления и наоборот.

Закрыто с обоих концов

В таблице ниже показаны волны смещения в цилиндре, закрытом с обоих концов. Обратите внимание, что молекулы воздуха вблизи закрытых концов не могут двигаться, тогда как молекулы вблизи центра трубы движутся свободно. В первой гармонике закрытая трубка содержит ровно половину стоячей волны (узел- пучность -узел). Учитывая волну давления в этой установке, два закрытых конца являются пучностями изменения давления Δp ; Следовательно, на обоих концах изменение давления Δp должно иметь максимальную амплитуду (или удовлетворять условию ∂(Δp)/∂x = 0 в форме формулировки Штурма–Лиувилля ), что дает уравнение для волны давления: $\Delta p(x,t)=p_{\text{max}}\cos \left({2\pi x \over \lambda }\right)\cos(\omega t)$. Интуиция для этого граничного условия ∂(Δp)/∂x = 0 при x = 0 и x = L заключается в том, что давление закрытых концов будет следовать давлению точки рядом с ними. Применение граничного условия ∂(Δp)/∂x = 0 при x = L дает длины волн стоячих волн:

$\lambda ={\frac {2L}{n}};n=1,2,3,...$

И резонансные частоты

$f={\frac {v}{\lambda }}={\frac {nv}{2L}}.$

Частота	Заказ	Имя 1	Имя 2	Имя 3	Волновое представление	Молекулярное представление
1 · f = 440 Гц	п = 1	1-я частичная	основной тон	1-я гармоника
2 · f = 880 Гц	п = 2	2-я частичная	1-й обертон	2-я гармоника
3 · f = 1320 Гц	п = 3	3-я частичная	2-й обертон	3-я гармоника
4 · f = 1760 Гц	п = 4	4-я частичная	3-й обертон	4-я гармоника

Открыт с обоих концов

В цилиндрах с открытыми обоими концами молекулы воздуха вблизи конца свободно движутся внутрь и наружу трубки. Это движение создает пучности смещения в стоячей волне. Узлы имеют тенденцию образовываться внутри цилиндра, вдали от концов. В первой гармонике открытая трубка содержит ровно половину стоячей волны (пучность-узел-пучность). Таким образом, гармоники открытого цилиндра рассчитываются так же, как и гармоники закрытого/закрытого цилиндра.

Физика трубы, открытой с обоих концов, объясняется на уроке физики . Обратите внимание, что на диаграммах в этом справочнике показаны волны смещения, аналогичные показанным выше. Они резко контрастируют с волнами давления, показанными в конце настоящей статьи.

Продувая открытую трубку, можно получить ноту , которая на октаву выше основной частоты или ноты трубки. Например, если основная нота открытой трубы — C1, то переигрывание трубы дает C2, что на октаву выше C1.

Открытые цилиндрические трубки резонируют на приблизительных частотах:

$f={nv \over 2L}$

где n — целое положительное число (1, 2, 3…), представляющее резонансный узел, L — длина трубки, а v — скорость звука в воздухе (которая составляет примерно 343 метра в секунду [770 миль в час] при 20 °C [68 °F]). Это уравнение получено из граничных условий для волны давления, в которой открытые концы рассматриваются как узлы давления, где изменение давления Δp должно быть равно нулю.

Более точное уравнение, учитывающее поправку на конец, приведено ниже:

$f={nv \over 2(L+0.6r)}$

где r — радиус резонансной трубки. Это уравнение компенсирует тот факт, что точная точка, в которой звуковая волна отражается от открытого конца, находится не идеально на концевой части трубки, а на небольшом расстоянии за ее пределами.

Коэффициент отражения чуть меньше 1; открытый конец не ведет себя как бесконечно малый акустический импеданс ; скорее, он имеет конечное значение, называемое радиационным сопротивлением, которое зависит от диаметра трубки, длины волны и типа отражающей пластины, возможно присутствующей вокруг отверстия трубки.

Итак, когда n равно 1:

$f={v \over 2(L+0.6r)}$

${f(2(L+0.6r))}=v$

${f\lambda }=v$

$\lambda ={2(L+0.6r)}$

где v - скорость звука, L - длина резонансной трубки, r - радиус трубки, f - резонансная звуковая частота, а λ - резонансная длина волны.

Закрытый с одного конца

При использовании в органе трубка, закрытая с одного конца, называется «заглушенной трубкой». Такие цилиндры имеют основную частоту, но их можно надувать для получения других более высоких частот или нот. Эти раздутые регистры можно настроить, используя коническую конусность разной степени. Закрытая трубка резонирует на той же основной частоте, что и открытая трубка, удвоенная ее длина, с длиной волны, в четыре раза превышающей ее длину. В закрытой трубке узел смещения или точка отсутствия вибрации всегда появляется на закрытом конце, и если трубка резонирует, она будет иметь пучность смещения или точку наибольшей вибрации в точке Фи (длина × 0,618) вблизи открытый конец.

Продувая октавы цилиндрическую закрытую трубку, можно получить ноту примерно на двенадцатую часть выше основной ноты трубки или на пятую часть выше основной ноты. Например, если основная нота закрытой трубы — C1, то передутие трубы дает G2, что на одну двенадцатую выше C1. Альтернативно мы можем сказать, что G2 на одну пятую выше C2 — на октаву выше C1. Регулируя конусность этого цилиндра для уменьшения конуса, можно настроить вторую гармонику или завышенную ноту, близкую к позиции октавы или 8-й. Открытие небольшого «отверстия динамика» в точке Фи или общей позиции «волны/узла» отменит основную частоту и заставит трубку резонировать на 12-й частоте выше основной. Этот метод используется в записывающем устройстве путем открытия отверстия для большого пальца на тыльной стороне. Перемещение этого маленького отверстия вверх, ближе к звучанию, превратит его в «эхо-отверстие» (модификация записывающего устройства Dolmetsch), которое при открытии будет давать точную половинную ноту выше основной ноты. Примечание. Для точной настройки частоты половины ноты необходима небольшая регулировка размера или диаметра.

Закрытая трубка будет иметь приблизительные резонансы:

$f={nv \over 4L}$

где «n» — нечетное число (1, 3, 5...). Этот тип лампы производит только нечетные гармоники и имеет свою основную частоту на октаву ниже, чем у открытого цилиндра (то есть на половину частоты). Это уравнение получено из граничных условий для волны давления, которая рассматривает закрытый конец как пучности давления, где изменение давления Δ p должно иметь максимальную амплитуду или удовлетворять условию ∂(Δp)/∂x = 0 в форме уравнения Штурма. – Формулировка Лиувилля . Интуиция для этого граничного условия ∂(Δp)/∂x = 0 при x = L заключается в том, что давление закрытого конца будет следовать давлению точки рядом с ним.

Более точное уравнение, учитывающее поправку на конец, приведено ниже:

$f={nv \over 4(L+0.3d)}$.

Опять же, когда n равно 1:

$f={v \over 4(L+0.3d)}$

${f(4(L+0.3d))}=v$

${f\lambda }=v$

$\lambda ={4(L+0.3d)}$

где v - скорость звука, L - длина резонансной трубки, d - диаметр трубки, f - резонансная звуковая частота, а λ - резонансная длина волны.

Волна давления

На двух диаграммах ниже показаны первые три резонанса волны давления в цилиндрической трубе с пучностями на закрытом конце трубы. На схеме 1 трубка открыта с обоих концов. На схеме 2 он закрыт с одного конца. Горизонтальная ось — давление. Обратите внимание, что в этом случае открытый конец трубы является узлом давления, а закрытый конец — пучностью давления.

• 
  1
• 
  2

Конусы

Открытая коническая трубка, то есть имеющая форму усеченного конуса с открытыми обоими концами, будет иметь резонансные частоты, примерно равные частотам открытой цилиндрической трубы той же длины.

Резонансные частоты остановленной конической трубки — полного конуса или усеченного конуса с одним закрытым концом — удовлетворяют более сложному условию:

$kL=n\pi -\tan ^{-1}kx$

где волновое число k

$k=2\pi f/v$

и x — расстояние от малого конца усеченной пирамиды до вершины. Когда x мало, то есть когда конус почти завершен, это становится

$k(L+x)\approx n\pi$

что приводит к резонансным частотам, примерно равным частотам открытого цилиндра, длина которого равна L + x . Другими словами, полная коническая труба ведет себя примерно как открытая цилиндрическая труба той же длины, и, на первый взгляд, поведение не меняется, если полный конус заменяется закрытой усеченной частью этого конуса.

Закрытая прямоугольная коробка

Звуковые волны в прямоугольной рамке включают в себя такие примеры, как корпуса громкоговорителей и здания. Прямоугольные здания имеют резонансы, называемые модами помещения . Для прямоугольного ящика резонансные частоты определяются выражением

$f={v \over 2}{\sqrt {\left({\ell \over L_{x}}\right)^{2}+\left({m \over L_{y}}\right)^{2}+\left({n \over L_{z}}\right)^{2}}}$

где v — скорость звука, L _x , L _y и L _z — размеры ящика. $\ell$, $m$, и $n$ являются неотрицательными целыми числами, которые не могут все быть равными нулю.Если небольшой корпус громкоговорителя герметичен, частота достаточно низкая, а сжатие достаточно высок, звуковое давление (уровень децибел) внутри коробки будет одинаковым в любом месте внутри коробки, это гидравлическое давление.

Резонанс воздушной сферы (вентилируемой)

Резонансная частота жесткой полости статического объема V ₀ с суженным звуковым отверстием площадью A и длиной L определяется резонанса Гельмгольца формулой

$f={\frac {v}{2\pi }}{\sqrt {\frac {A}{V_{0}L_{eq}}}}$

где $L_{eq}$ эквивалентная длина шеи с коррекцией концов

$L_{eq}=L+0.75d$ для нефланцевой шеи

$L_{eq}=L+0.85d$ для фланцевой шейки

Для сферической полости формула резонансной частоты принимает вид

$f={\frac {vd}{\pi }}{\sqrt {\frac {3}{8L_{eq}D^{3}}}}$

где

D = диаметр сферы

d = диаметр звукового отверстия

Для сферы только со звуковым отверстием L = 0, а поверхность сферы действует как фланец, поэтому

$f={\frac {vd}{\pi }}{\sqrt {\frac {3}{8(0.85)D^{3}}}}$

В сухом воздухе при 20 °C, где d и D в метрах, f в герцах , это становится

$f=72.6{\frac {d}{\sqrt {D^{3}}}}$

Разбивание стекла звуком через резонанс

Разбивание стекла звуком с использованием резонанса

Это классическая демонстрация резонанса. Стекло имеет естественный резонанс — частоту, при которой стекло легко вибрирует. Следовательно, стекло должно перемещаться под действием звуковой волны этой частоты. Если сила звуковой волны, заставляющая стекло вибрировать, достаточно велика, размер вибрации станет настолько большим, что стекло треснет. Чтобы сделать это надежно для научной демонстрации, требуется практика и тщательный выбор стекла и громкоговорителя.

В музыкальной композиции

Некоторые композиторы начали делать резонанс предметом своих композиций. Элвин Люсье использовал акустические инструменты и генераторы синусоидальных волн, чтобы исследовать резонанс больших и маленьких объектов во многих своих композициях. Сложные негармонические частичные и декрещендо в форме выпуклости крещендо на тамтаме или другом ударном инструменте взаимодействуют с резонансами помещения в «Коане» Джеймса Тенни : «Никогда не написав ноты для ударных инструментов» . Полин Оливерос и Стюарт Демпстер регулярно выступают в больших резонансных помещениях, таких как концертный зал емкостью 2 миллиона галлонов США (7600 м2). ³ ) цистерна в Форт-Уордене, штат Вашингтон, с реверберацией с 45-секундным затуханием. Музыкальной академии Мальмё » профессора и композитора « Терпсихорд Кента Олофссона , пьеса для ударных и заранее записанных звуков, [использует] резонансы акустических инструментов, [чтобы] сформировать звуковые мосты с заранее записанными электронными звуками, которые, в свою очередь, , продлите резонансы, преобразуя их в новые звуковые жесты».

См. также

• Гармония
• Теория музыки
• Резонанс
• Реверберация
• Стоячая волна
• Симпатическая струна
• Изменение фазы отражения

Ссылки

• Недервен, Корнелис Йоханнес, Акустические аспекты деревянных духовых инструментов . Амстердам, Фриц Кнуф, 1969.
• Россинг, Томас Д. и Флетчер, Невилл Х., Принципы вибрации и звука . Нью-Йорк, Спрингер-Верлаг, 1995.

Внешние ссылки

• Апплет «Стоячие волны»