Архимедова спираль

Спираль Архимеда (также известная как спираль Архимеда , арифметическая спираль ) — спираль, , жившего в III веке до нашей эры названная в честь греческого математика Архимеда . Термин «спираль Архимеда» иногда используется для обозначения более общего класса спиралей этого типа (см. Ниже), в отличие от спирали Архимеда (специфической арифметической спирали Архимеда). Это локус , соответствующий местоположениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловой скоростью . Эквивалентно, в полярных координатах $(r, θ)$ это можно описать уравнением $r=b\cdot \theta$ с действительным числом $b$ . Изменение параметра $b$ управляет расстоянием между циклами.

Таким образом, из приведенного выше уравнения можно сказать: положение частицы из начальной точки пропорционально углу $θ$ с течением времени.

Архимед описал такую спираль в своей книге «О спиралях» . Конон Самосский был его другом, и Папп утверждает, что эту спираль открыл Конон. ^{[ 1 ]}

Вывод общего уравнения спирали

Ниже используется физический подход для понимания понятия архимедовых спиралей.

Предположим, точечный объект движется в декартовой системе с постоянной скоростью $v,$ направленной параллельно $оси x$ , относительно $плоскости xy$ . Пусть в момент времени $t = 0$ объект находился в произвольной точке $(c, 0, 0)$ . Если $плоскость xy$ вращается с постоянной угловой скоростью $ω$ вокруг $оси z$ , то скорость точки относительно $оси z$ можно записать как:

${\begin{aligned}|v_{0}|&={\sqrt {v^{2}+\omega ^{2}(vt+c)^{2}}}\\v_{x}&=v\cos \omega t-\omega (vt+c)\sin \omega t\\v_{y}&=v\sin \omega t+\omega (vt+c)\cos \omega t\end{aligned}}$

Как показано на рисунке рядом, у нас есть $vt + c,$ представляющий модуль вектора положения частицы в любой момент времени $t$ , с $v x$ и $v y$ в качестве компонентов скорости вдоль осей x и y соответственно.

${\begin{aligned}\int v_{x}\,dt&=x\\\int v_{y}\,dt&=y\end{aligned}}$

Приведенные выше уравнения можно проинтегрировать, применив интегрирование по частям , что приводит к следующим параметрическим уравнениям:

${\begin{aligned}x&=(vt+c)\cos \omega t\\y&=(vt+c)\sin \omega t\end{aligned}}$

Возведение двух уравнений в квадрат, а затем добавление (и некоторые небольшие изменения) приводит к декартову уравнению ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {v}{\omega }}\cdot \arctan {\frac {y}{x}}+c$ (используя тот факт, что $ωt = θ$ и $θ = arctan .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ y / x ⁠$ ) или $\tan \left(\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-c\right)\cdot {\frac {\omega }{v}}\right)={\frac {y}{x}}$

Его полярная форма $r={\frac {v}{\omega }}\cdot \theta +c.$

Длина и кривизна дуги

Учитывая параметризацию в декартовых координатах $f\colon \theta \mapsto (r\,\cos \theta ,r\,\sin \theta )=(b\,\theta \,\cos \theta ,b\,\theta \,\sin \theta )$ дуги длина от $θ 1$ до $θ 2$ равна ${\frac {b}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\ln \left(\theta +{\sqrt {1+\theta ^{2}}}\right)\right]_{\theta _{1}}^{\theta _{2}}$ или, что то же самое: ${\frac {b}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\operatorname {arsinh} \theta \right]_{\theta _{1}}^{\theta _{2}}.$ Таким образом, общая длина от $θ 1 = 0$ до $θ 2 = θ$ равна ${\frac {b}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\ln \left(\theta +{\sqrt {1+\theta ^{2}}}\right)\right].$

Кривизна определяется выражением $\kappa ={\frac {\theta ^{2}+2}{b\left(\theta ^{2}+1\right)^{\frac {3}{2}}}}$

Характеристики

Спираль Архимеда обладает тем свойством, что любой луч из начала координат пересекает последовательные витки спирали в точках с постоянным расстоянием разделения (равным $2 πb,$ если $θ$ измеряется в радианах ), отсюда и название «арифметическая спираль». В отличие от этого, в логарифмической спирали эти расстояния, а также расстояния точек пересечения, отсчитываемые от начала координат, образуют геометрическую прогрессию .

Спираль Архимеда имеет два рукава: один для $θ > 0$ и один для $θ < 0$ . Оба плеча плавно соединены в начале координат. На прилагаемом графике показана только одна рука. Если зеркально отобразить эту руку по $оси Y,$ получится другая рука.

При больших $θ$ точка движется с хорошо аппроксимированным равномерным ускорением вдоль спирали Архимеда, в то время как спираль соответствует положениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловой скоростью. ^{[ 2 ]} (см. вклад Михаила Гайченкова).

По мере роста архимедовой спирали ее эволюция асимптотически приближается к окружности радиусом $⁠ | v | / ω ⁠$ .

Общая архимедова спираль

Иногда термин «спираль Архимеда» используется для обозначения более общей группы спиралей. $r=a+b\cdot \theta ^{\frac {1}{c}}.$

Обычная спираль Архимеда возникает, когда $c = 1$ . Другие спирали, попадающие в эту группу, включают гиперболическую спираль ( $c = -1$ ), спираль Ферма ( $c = 2$ ) и литуус ( $c = -2$ ).

Приложения

Один из методов квадратуры круга , предложенный Архимедом, использует спираль Архимеда. Архимед также показал, как с помощью спирали можно разделить угол на три части . Оба подхода ослабляют традиционные ограничения на использование линейки и циркуля в древнегреческих геометрических доказательствах. ^{[ 3 ]}

Спираль Архимеда имеет множество практических применений. Спиральные компрессоры , используемые для сжатия газов, имеют роторы, которые могут быть изготовлены из двух чередующихся спиралей Архимеда, эвольвент круга одинакового размера, почти напоминающих спирали Архимеда. ^{[ 4 ]} или гибридные кривые.

Архимедовы спирали можно найти в спиральных антеннах , которые могут работать в широком диапазоне частот.

Витки часов пружин баланса и канавки очень ранних граммофонных пластинок образуют архимедовы спирали, делая канавки равномерно расположенными (хотя позже было введено переменное расстояние между дорожками, чтобы максимизировать количество музыки, которую можно было записать на пластинку). ^{[ 5 ]}

Попросить пациента нарисовать спираль Архимеда — это способ количественной оценки человеческого тремора ; эта информация помогает в диагностике неврологических заболеваний.

Архимедовы спирали также используются в проекционных системах цифровой обработки света (DLP), чтобы минимизировать « эффект радуги », создавая впечатление, будто несколько цветов отображаются одновременно, хотя на самом деле красный, зеленый и синий чередуются очень быстро. . ^{[ 6 ]} Кроме того, спирали Архимеда используются в пищевой микробиологии для количественного определения концентрации бактерий с помощью спирального планшета. ^{[ 7 ]}

Они также используются для моделирования узора, который возникает в рулоне бумаги или ленте постоянной толщины, обернутом вокруг цилиндра. ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

Многие динамические спирали (такие как спираль Паркера солнечного ветра или узор колеса Екатерины ) являются архимедовыми. Например, звезда LL Пегаса демонстрирует примерную архимедову спираль в окружающих ее пылевых облаках, которые, как полагают, являются выброшенным веществом из звезды, которая была превращена в спираль другой звездой-компаньоном как часть двойной звездной системы. ^{[ 10 ]}

Методы строительства

Спираль Архимеда не может быть точно построена традиционными методами циркуля и линейки, поскольку арифметическая спираль требует, чтобы радиус кривой постоянно увеличивался по мере увеличения угла в начале координат. Но арифметическую спираль можно построить приблизительно, с разной степенью точности, различными методами ручного рисования. Один из таких методов использует циркуль и линейку; другой метод использует модифицированный струнный компас.

В обычной традиционной конструкции для аппроксимации арифметической спирали используются циркуль и линейка. Сначала строится большой круг и его окружность делится 12 диаметрами на 12 дуг (по 30 градусов каждая; см. правильный додекагон ). Затем радиус этого круга сам подразделяется на 12 единичных сегментов (радиальных единиц) и строится серия концентрических кругов, радиус каждого из которых увеличивается на одну радиальную единицу. Начиная с горизонтального диаметра и самой внутренней концентрической окружности, отмечается точка, где ее радиус пересекает окружность; Затем можно перейти к следующему концентрическому кругу и к следующему диаметру (двигаясь вверх, чтобы построить спираль против часовой стрелки, или вниз, если по часовой стрелке), чтобы отметить следующую точку. После того, как все точки отмечены, последующие точки соединяются линией, аппроксимирующей арифметическую спираль (или какой-либо плавной кривой; см. Французскую кривую ). В зависимости от желаемой степени точности этот метод можно улучшить, увеличив размер большого внешнего круга, сделав больше подразделений как его окружности, так и радиуса, увеличив количество концентрических кругов (см. Многоугольная спираль ). Аппроксимация спирали Архимеда этим методом, конечно, напоминает знаменитый метод Архимеда аппроксимации π путем удвоения сторон последовательных многоугольников (см. Аппроксимация π многоугольниками ).

Построение спирали Теодора с помощью циркуля и линейки — еще один простой метод аппроксимации спирали Архимеда.

Механический метод построения арифметической спирали использует модифицированный струнный компас, в котором струна наматывается и наматывается (или разворачивается/разматывается) вокруг фиксированного центрального штифта (который не поворачивается), тем самым увеличивая (или уменьшая) длину радиуса ( струна) при изменении угла (струна наматывается на неподвижный штифт, который не поворачивается). Такой метод представляет собой простой способ создания арифметической спирали, естественным образом возникающей в результате использования струнного циркуля с намоточной шпилькой (а не свободной опорой обычного струнного циркуля). Инструмент для рисования струнного компаса имеет различные модификации и конструкции, и этот метод построения напоминает струнные способы создания эллипсов (с двумя неподвижными штифтами).

Еще один механический метод представляет собой вариант предыдущего метода струнного компаса, обеспечивающий большую точность и большую гибкость. Вместо центральной оси и струны струнного компаса в этом устройстве используется невращающийся вал (колонна) с винтовой резьбой (винт; см. Винт Архимеда ), к которому прикреплены два прорезных рычага: к одному горизонтальному рычагу прикреплено (перемещается) вверх) на одном конце нарезает резьбу вертикального вала, а на другом конце удерживает волочильный инструмент; другой наклонный рычаг прикреплен одним концом к верхней части вала винта и соединен штифтом, свободно вставленным в его паз в паз горизонтального рычага. Два рычага вращаются вместе и работают сообща, создавая арифметическую спираль: по мере того, как горизонтальный рычаг постепенно поднимается по винту, шлицевое соединение этого рычага с наклонным рычагом постепенно сокращает радиус рисования. Угол наклонного рукава остается постоянным на всем протяжении (очерчивает конус ), а установка другого угла меняет шаг спирали. Это устройство обеспечивает высокую степень точности, в зависимости от точности обработки устройства (обработка точной винтовой резьбы является сопутствующей задачей). И конечно использование в этом механизме винтового вала напоминает Винт Архимеда .

См. также

Винт Архимеда – Механизм для откачки воды ^{[ 11 ]}
Спираль Ферма - спираль, охватывающая равную площадь за оборот.
Золотая спираль - Самоподобная кривая, связанная с золотым сечением.
Гиперболическая спираль - Спираль, асимптотическая прямой.
Список спиралей
Логарифмическая спираль – Самоподобная кривая роста
Спираль Теодора – многоугольная кривая, состоящая из прямоугольных треугольников.
Символ тройной спирали — различные символы с тройной вращательной симметрией.

Ссылки

^ Балмер-Томас, Айвор . «Конон Самосский». Словарь научной биографии . Том. 3. п. 391.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A091154» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Бойер, Карл Б. (1968). История математики . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. стр. 140–142. ISBN 0-691-02391-3 .
^ Саката, Хироцугу; Окуда, Масаюки. «Устройство для сжатия жидкости, имеющее коаксиальные спиральные элементы» . Проверено 25 ноября 2006 г.
^ Пенндорф, Рон. «Раннее развитие LP» . Архивировано из оригинала 5 ноября 2005 года . Проверено 25 ноября 2005 г. . См. отрывок о Variable Groove .
^ Баллоу, Глен (2008), Справочник для звукорежиссеров , CRC Press, стр. 1586, ISBN 9780240809694
^ Гилкрист, Дж. Э.; Кэмпбелл, Дж. Э.; Доннелли, CB; Пилер, Дж. Т.; Делани, Дж. М. (1973). «Метод определения бактерий на спиральных пластинах» . Прикладная микробиология . 25 (2): 244–52. дои : 10.1128/АЕМ.25.2.244-252.1973 . ПМК 380780 . ПМИД 4632851 .
^ Перессини, Тони (3 февраля 2009 г.). «Проблема Джоан с рулоном бумаги» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 3 ноября 2013 года . Проверено 6 октября 2014 г.
^ Уолзер, Х.; Хилтон, П.; Педерсен, Дж. (2000). Симметрия . Математическая ассоциация Америки. п. 27 . ISBN 9780883855324 . Проверено 6 октября 2014 г.
^ Ким, Хёсон; Трехо, Альфонсо; Лю, Шэн-Юань; Сахай, Рагвендра; Тэм, Рональд Э.; Моррис, Марк Р.; Хирано, Наоми; Се, И-Та (март 2017 г.). «Крупномасштабная небулярная структура двойной сверхветра на эксцентричной орбите». Природная астрономия . 1 (3): 0060. arXiv : 1704.00449 . Бибкод : 2017НатАс...1Е..60К . дои : 10.1038/s41550-017-0060 . S2CID 119433782 .
^

Внешние ссылки

[1] Балмер-Томас, Айвор . «Конон Самосский». Словарь научной биографии . Том. 3. п. 391.

[2] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A091154» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[boyer-3] Бойер, Карл Б. (1968). История математики . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. стр. 140–142. ISBN 0-691-02391-3 .

[4] Саката, Хироцугу; Окуда, Масаюки. «Устройство для сжатия жидкости, имеющее коаксиальные спиральные элементы» . Проверено 25 ноября 2006 г.

[5] Пенндорф, Рон. «Раннее развитие LP» . Архивировано из оригинала 5 ноября 2005 года . Проверено 25 ноября 2005 г. . См. отрывок о Variable Groove .

[6] Баллоу, Глен (2008), Справочник для звукорежиссеров , CRC Press, стр. 1586, ISBN 9780240809694

[7] Гилкрист, Дж. Э.; Кэмпбелл, Дж. Э.; Доннелли, CB; Пилер, Дж. Т.; Делани, Дж. М. (1973). «Метод определения бактерий на спиральных пластинах» . Прикладная микробиология . 25 (2): 244–52. дои : 10.1128/АЕМ.25.2.244-252.1973 . ПМК 380780 . ПМИД 4632851 .

[uiuc-8] Перессини, Тони (3 февраля 2009 г.). «Проблема Джоан с рулоном бумаги» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 3 ноября 2013 года . Проверено 6 октября 2014 г.

[google-9] Уолзер, Х.; Хилтон, П.; Педерсен, Дж. (2000). Симметрия . Математическая ассоциация Америки. п. 27 . ISBN 9780883855324 . Проверено 6 октября 2014 г.

[10] Ким, Хёсон; Трехо, Альфонсо; Лю, Шэн-Юань; Сахай, Рагвендра; Тэм, Рональд Э.; Моррис, Марк Р.; Хирано, Наоми; Се, И-Та (март 2017 г.). «Крупномасштабная небулярная структура двойной сверхветра на эксцентричной орбите». Природная астрономия . 1 (3): 0060. arXiv : 1704.00449 . Бибкод : 2017НатАс...1Е..60К . дои : 10.1038/s41550-017-0060 . S2CID 119433782 .

[11] ^

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]