Золотая спираль

В геометрии золотая спираль - это логарифмическая спираль , фактор роста которого составляет $φ$ , золотое соотношение . ^{[ 1 ]} То есть золотая спираль становится шире (или дальше от его происхождения) в результате $φ$ за каждый четверть поворота, который он делает.

Приближения золотой спирали

Приблизительные и настоящие золотые спирали: зеленая спираль изготовлена из четверти округа, касающихся до внутренней части каждого квадрата, в то время как красная спираль-золотая спираль, особый тип логарифмической спирали . Перекрывающиеся части выглядят желтым . Длина стороны большего квадрата до следующего меньшего квадрата находится в золотом соотношении . Для квадрата с длиной стороны 1 следующий меньший квадрат имеет ширину 1/φ . Следующая ширина составляет 1/φ² , затем 1/φ ним и т. Д.

Есть несколько сопоставимых спиралей, которые приближаются, но не совсем равны, золотая спираль. ^{[ 2 ]}

Например, золотая спираль может быть аппроксимирована, впервые начав с прямоугольника , для которого соотношение между его длиной и шириной является золотым соотношением. Затем этот прямоугольник может быть разделен на квадрат и аналогичный прямоугольник, а затем этот прямоугольник может быть разделен таким же образом. После продолжения этого процесса для произвольного количества шагов, результатом будет почти полное разделение прямоугольника на квадраты. Уголки этих квадратов могут быть соединены четвертьми кругами . Результат, хотя и не настоящая логарифмическая спираль , близко приближается к золотой спирали. ^{[ 2 ]}

Другое приближение - спираль Фибоначчи , которая построена немного по -разному. Спираль Фибоначчи начинается с прямоугольника, разделенного на 2 квадрата. На каждом этапе квадрат. Длина самой длинной стороны прямоугольника добавляется к прямоугольнику. Поскольку соотношение между последовательными числами Фибоначчи приближается к золотому соотношению , поскольку числа Фибоначчи приближаются к бесконечности, так и эта спираль становится все более похожим на предыдущее приближение, добавляется больше квадратов, как показано изображением.

Спирали в природе

Иногда ошибочно заявляют, что спиральные галактики и оболочки Nautilus становятся шире по рисунку золотой спирали и, следовательно, связаны как с $φ$ , так и с серией Фибоначчи. ^{[ 3 ]} По правде говоря, многие раковины Mollusk , включая раковин Nautilus, демонстрируют логарифмический спиральный рост, но под разными углами обычно отличаются от золотой спирали. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} Хотя спиральные галактики часто смоделировались как логарифмические спирали, архимеды или гиперболические спирали , их углы высоты высоты варьируются в зависимости от расстояния от галактического центра, в отличие от логарифмических спиралей (для которых этот угол не варьируется), а также в дисперсии с другими математическими Спирали использовались для их моделирования. ^{[ 7 ]} Филлотаксис , паттерн роста растений, в некоторых случаях связан с золотым соотношением, поскольку включает в себя последовательные листья или лепестки, разделенные золотым углом . Хотя иногда это может быть связано со спиральными формами, например, в подсолнечника , головках семян ^{[ 8 ]} Они более тесно связаны со спиралями Fermat, чем логарифмические спирали. ^{[ 9 ]}

Математика

Золотая спираль с начальным радиусом 1 является локусом точек полярных координат $(r,\theta )$ удовлетворительный $r=\varphi ^{2\theta /\pi },$ где $\varphi$ Золотое соотношение.

Полярное уравнение для золотой спирали такое же, как и для других логарифмических спиралей , но с особой ценностью фактора роста $B$ : ^{[ 10 ]} $r=ae^{b\theta }$ или $\theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),$ с $E,$ являющимся основой естественных логарифмов , $а$ также начальный радиус спирали, и $B$ такой, что когда $θ$ - прямой угол (четверть поворота в любом направлении): $e^{b\theta _{\mathrm {right} }}=\varphi .$

Следовательно, $B$ дается $b={\ln {\varphi } \over \theta _{\mathrm {right} }}.$

Числовое значение $B$ зависит от того, измеряется ли правый угол как 90 градусов или как $\textstyle {\frac {\pi }{2}}$ радианы ; А поскольку угол может быть в любом направлении, проще всего писать формулу для абсолютного значения $B$ (то есть $B$ также может быть отрицательным от этого значения): $|b|={\ln {\varphi } \over 90}\doteq 0.0053468$ для $θ$ в градусах, или $|b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}\doteq 0.3063489$ для $θ$ в радианах. ^{[ 11 ]}

Альтернативная формула для логарифмической и золотой спирали ^{[ 12 ]} $r=ac^{\theta }$ где постоянный $С$ дается $c=e^{b}$ который для золотой спирали дает $C$ значения $c=\varphi ^{\frac {1}{90}}\doteq 1.0053611$ Если $θ$ измеряется в градусах, и $c=\varphi ^{\frac {2}{\pi }}\doteq 1.358456$ Если $θ$ измеряется в радианах. ^{[ 13 ]}

Что касается логарифмических спиралей, золотая спираль обладает отличительным свойством что для четырех коллинеарных спиральных точек A , B , C , D принадлежат аргументам $θ$ , $θ + π$ , $θ + 2π$ , $θ + 3π$ Точка C является проективным гармоническим конъюгатом B D по отношению к A , ( , то есть поперечным соотношению . A , D ; B , C ) имеет единственное значение -1 Золотая спирали - единственная логарифмическая спираль с ( a , d ; b , c ) = ( a , d ; c , b ).

Полярный склон

В полярном уравнении для логарифмической спирали : $r=ae^{b\theta }$ Параметр $B$ связан с углом полярного наклона $\alpha$ : $\tan \alpha =b.$

В золотой спирали, $b$ быть постоянным и равным $|b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}$ (Для $θ$ в радианах, как определено выше), угол наклона $\alpha$ является $\alpha =\arctan(|b|)=\arctan \left({\ln {\varphi } \over \pi /2}\right),$ следовательно $\alpha \doteq 17.03239113$ Если измерено в градусах, или $\alpha \doteq 0.2972713047$ Если измерено в радианах. ^{[ 14 ]}

Его дополнительный угол $\beta =\pi /2-\alpha \doteq 1.273525022$ в радианах, или $\beta =90-\alpha \doteq 73$ В градусах - угол, который золотые спиральные руки делают с линией от центра спирали.

Смотрите также

Ссылки

^ Чанг, Ю-сун, « Золотая спиральная архивирована 2019-07-28 на машине Wayback », Проект Demange Wolfram .
^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} Мэдден, Чарльз Б. (2005) [1999]. FIB и PHI в музыке: Золотая пропорция музыкальная форма . High Art Press. С. 14–16. ISBN 978-0967172767 .
^ Например, эти книги: Jan Ca Boeyens (2009). Химия из первых принципов . Спрингер. п. 261. ISBN 9781402085451 . , Рассел Хауэлл и Джеймс Брэдли (2011). Математика глазами веры . HarperCollins. п. 162. ISBN 978-0062024473 . , Чарльз Сейф (2000). Ноль: биография опасной идеи . Пингвин. п. 40 ISBN 978-0140296471 . , Сандра Кинес (2008). Морская магия: соединение с энергией океана . Llewellyn Worldwide. п. 100. ISBN 9780738713533 . , Брюс Бургер (1998). Эзотерическая анатомия: тело как сознание . Книги Северной Атлантики. п. 144. ISBN 9781556432248 .
^ Дэвид Дарлинг (2004). Универсальная книга математики: от Абракадабра до парадоксов Зено . Джон Уайли и сыновья. п. 188. ISBN 9780471270478 .
^ Девлин, Кит (май 2007 г.). «Миф, который не уйдет» . Архивировано из оригинала 2020-11-12 . Получено 2013-12-09 .
^ Петерсон, Иварс (2005-04-01). «Спирали морской раковины» . Science News . Общество науки и общественности. Архивировано из оригинала 2012-10-03 . Получено 2011-10-08 .
^ Savchenko, SS; Решетников, вице -президент (сентябрь 2013 г.). «Изменения угла шага в спиральных галактиках» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 436 (2): 1074–1083. Arxiv : 1309.4308 . doi : 10.1093/mnras/stt1627 .
^ Ридли, JN (февраль 1982 г.). «Эффективность упаковки в головках подсолнечника». Математические биологические науки . 58 (1): 129–139. doi : 10.1016/0025-5564 (82) 90056-6 .
^ Фогель, Гельмут (июнь 1979 г.). «Лучший способ построить головку подсолнечника». Математические биологические науки . 44 (3–4): 179–189. doi : 10.1016/0025-5564 (79) 90080-4 .
^ Прия Хеменвей (2005). Божественная пропорция: $φ$ phi в искусстве, природе и науке . Sterling Publishing Co. с. 127–129. ISBN 1-4027-3522-7 .
^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A212225» . Онлайн -энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
^ Клаус Майнцер (1996). Симметрия природы: справочник по философии природы и науки . Уолтер де Грютер. С. ISBN 3-11-012990-6 .
^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A212224» . Онлайн -энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A335605» . Онлайн -энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.

[1] Чанг, Ю-сун, « Золотая спиральная архивирована 2019-07-28 на машине Wayback », Проект Demange Wolfram .

[madden-2] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} Мэдден, Чарльз Б. (2005) [1999]. FIB и PHI в музыке: Золотая пропорция музыкальная форма . High Art Press. С. 14–16. ISBN 978-0967172767 .

[3] Например, эти книги: Jan Ca Boeyens (2009). Химия из первых принципов . Спрингер. п. 261. ISBN 9781402085451 . , Рассел Хауэлл и Джеймс Брэдли (2011). Математика глазами веры . HarperCollins. п. 162. ISBN 978-0062024473 . , Чарльз Сейф (2000). Ноль: биография опасной идеи . Пингвин. п. 40 ISBN 978-0140296471 . , Сандра Кинес (2008). Морская магия: соединение с энергией океана . Llewellyn Worldwide. п. 100. ISBN 9780738713533 . , Брюс Бургер (1998). Эзотерическая анатомия: тело как сознание . Книги Северной Атлантики. п. 144. ISBN 9781556432248 .

[4] Дэвид Дарлинг (2004). Универсальная книга математики: от Абракадабра до парадоксов Зено . Джон Уайли и сыновья. п. 188. ISBN 9780471270478 .

[5] Девлин, Кит (май 2007 г.). «Миф, который не уйдет» . Архивировано из оригинала 2020-11-12 . Получено 2013-12-09 .

[6] Петерсон, Иварс (2005-04-01). «Спирали морской раковины» . Science News . Общество науки и общественности. Архивировано из оригинала 2012-10-03 . Получено 2011-10-08 .

[7] Savchenko, SS; Решетников, вице -президент (сентябрь 2013 г.). «Изменения угла шага в спиральных галактиках» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 436 (2): 1074–1083. Arxiv : 1309.4308 . doi : 10.1093/mnras/stt1627 .

[8] Ридли, JN (февраль 1982 г.). «Эффективность упаковки в головках подсолнечника». Математические биологические науки . 58 (1): 129–139. doi : 10.1016/0025-5564 (82) 90056-6 .

[9] Фогель, Гельмут (июнь 1979 г.). «Лучший способ построить головку подсолнечника». Математические биологические науки . 44 (3–4): 179–189. doi : 10.1016/0025-5564 (79) 90080-4 .

[10] Прия Хеменвей (2005). Божественная пропорция: $φ$ phi в искусстве, природе и науке . Sterling Publishing Co. с. 127–129. ISBN 1-4027-3522-7 .

[11] Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A212225» . Онлайн -энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.

[12] Клаус Майнцер (1996). Симметрия природы: справочник по философии природы и науки . Уолтер де Грютер. С. ISBN 3-11-012990-6 .

[13] Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A212224» . Онлайн -энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.

[14] Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A335605» . Онлайн -энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]