Двойной многогранник

В геометрии каждый многогранник связан со второй двойной структурой, где вершины одного соответствуют граням другого, а края между парами вершин одного соответствуют краям между парами грани другого. ^{[ 1 ]} Такие двойные фигуры остаются комбинаторными или абстрактными многогранниками , но не все также могут быть построены как геометрические многогранники. ^{[ 2 ]} Начиная с любого данного многогранника, двойник его двойного - оригинальный многогранник.

Двойственность сохраняет симметрию многогранника. Следовательно, для многих классов Polyherra, определяемых их симметриями, двойники принадлежат к соответствующему классу симметрии. Например, регулярные полиагра-(выпуклые) платонические твердые тела и (Star) Kepler-Poinsot Polyehdra -образуют двойные пар, где регулярный тетраэдр является самоуверенным . Двойной из изогонального многогранника (один, в котором любые две вершины эквивалентны под симметриями многогранника) представляет собой изогенсный многогранник (одна, в которой любые два лица эквивалентны [...]) и наоборот. Двойной из изотоксального многогранника (один, в котором эквивалентны любые два края [...]) также являются изотоксальными.

Двойственность тесно связана с полярной взаимностью , геометрическим преобразованием, которое при применении к выпуклому многогранникам реализует двойной многогранник как еще один выпуклый многогранник.

Виды двойственности

Есть много видов двойственности. Виды, наиболее подходящие для элементарных многогранников, - это полярная взаимность и топологическая или абстрактная двойственность.

Полярная взаимная взаимность

В евклидовом пространстве двойник многогранника $P$ часто определяется с точки зрения полярного взаимного возврата о сфере. Здесь каждая вершина (полюс) связана с плоскостью лица (полярная плоскость или просто полярная), так что луч от центра до вершины перпендикулярно плоскости, а произведение расстояний от центра до каждого равна квадрат радиуса. ^{[ 3 ]}

Когда сфера имеет радиус $r$ и сосредоточен на происхождении (так что оно определяется уравнением $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$ ), затем полярное двойное выпуклого многогранника $P$ определяется как

P^{\circ }=\{q~{\big |}~q\cdot p\leq r^{2}

для всех

p

в

P\},

где $q\cdot p$ обозначает стандартный точечный продукт $q$ и $p$ .

Обычно, когда сфера не указана при построении двойного, тогда используется единичная сфера, что означает $r=1$ в вышеуказанных определениях. ^{[ 4 ]}

Для каждой плоскости лица $P$ описано линейным уравнением $x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=r^{2},$ соответствующая вершина двойного многогранника $P^{\circ }$ будет иметь координаты $(x_{0},y_{0},z_{0})$ Полем Точно так же каждая вершина $P$ соответствует плоскости лица $P^{\circ }$ и каждая линия края $P$ соответствует краевой линии $P^{\circ }$ Полем Соответствие между вершинами, краями и лицами $P$ и $P^{\circ }$ меняет включение. Например, если край $P$ содержит вершину, соответствующий край $P^{\circ }$ будет содержаться на соответствующем лице.

Для многогранника с центром симметрии обычно используется сфера, центрированная в этой точке, как в конструкции Дорман Луки (упомянутая ниже). В противном случае, для многогранника с ограниченной сферой, вставленной сферой или средней частью (один со всеми краями в качестве касательных), это можно использовать. Тем не менее, можно ответить взаимностью во время любой сферы, а результирующая форма двойника будет зависеть от размера и положения сферы; Поскольку сфера различна, так и двойная форма. Выбор центра для сферы достаточно для определения двойного сходства.

Если многогранник в евклидовом пространстве имеет плоскость лица, края или вершина, лежащая на центре сферы, соответствующий элемент его двойного будет перейти к бесконечности. Поскольку евклидовое пространство никогда не достигает бесконечности, проективный эквивалент, называемый расширенным евклидовым пространством, может быть сформирован путем добавления необходимой «плоскости в бесконечности». Некоторые теоретики предпочитают придерживаться евклидового пространства и говорят, что нет двойного. Между тем, Веннингер (1983) нашел способ представлять эти бесконечные двойные, как для создания моделей (некоторой конечной части).

Концепция двойственности здесь тесно связана с двойственностью в проективной геометрии , где линии и края взаимозаменяются. Проективная полярность работает достаточно хорошо для выпуклых Polyhaedra. Но для невыпуктных фигур, таких как Star Polyhaedra, когда мы стремимся строго определить эту форму многогранной двойственности с точки зрения проективной полярности, появляются различные проблемы. ^{[ 5 ]} Из-за проблем определения геометрической двойственности незампульсных многогранников Грюнбаум (2007) утверждает, что любое надлежащее определение невыпуклого многогранника должно включать представление о двойном многограннике.

Канонические двойные

Любой выпуклый многогранник может быть искажен в канонической форме , в которой единица средней (или межсферы) существует касательная к каждому краю, и так, что среднее положение точек озаглавленности является центром сферы. Эта форма уникальна в соответствии с конструкциями.

Если мы отвечаем взаимностью такого канонического многогранника о его средней части, двойной многогранник будет иметь те же точки с краевой точки зрения и, следовательно, также будет каноническим. Это канонический двойник, и два вместе образуют каноническое двойное соединение. ^{[ 6 ]}

Дорман Люк Строительство

Для однородного многогранника каждая поверхность двойного многогранника может быть получена из соответствующей фигуры вершины из исходного многогранника с использованием конструкции Дормана Луки . ^{[ 7 ]}

Топологическая двойственность

Даже когда пара многогранников не может быть получена по взаимности друг от друга, их можно назвать двойными друг другу, пока вершины одного соответствуют лицам другого, а края одного соответствуют краям другого , в состоянии сохранить заболеваемость. Такие пары многогранников по -прежнему топологически или абстрактно двойные.

Вершины и края выпуклого многогранника образуют график ( 1-скелет многогранника), встроенный на поверхность многогранника (топологическая сфера). Этот график может быть спроектирован, чтобы сформировать диаграмму Schlegel на плоской плоскости. График, образованный вершинами и краями двойного многогранника, является двойным графом исходного графика.

В целом, для любого многогранника, чьи лица образуют закрытую поверхность, вершины и края многогранника образуют график, встроенный на эту поверхность, а вершины и края (абстрактного) двойного многогранника образуют двойной график исходного графика.

Абстрактный многогранник - это определенный вид частично упорядоченного набора (Poset) элементов, такие как случаи или соединения, между элементами набора соответствуют случаям между элементами (лица, ребра, вершины) многогранника. Каждое такое поставка имеет двойной позиции, образованный путем отмены всех порядок отношений. Если Poset визуализируется как диаграмма Hasse , двойное Poset можно визуализировать, просто перевернув диаграмму Hasse вверх ногами.

Каждый геометрический многогранник соответствует абстрактному многограннику и имеет абстрактный двойной многогранник. Тем не менее, для некоторых типов невыпуктных геометрических многогранников двойные многогранники не могут быть реализованы геометрически.

Самодрубальная многогранника

Топологически, что многогранник, как говорят, является самостоятельным, если его двойник имеет одинаковую связь между вершинами, краями и гранями. Абстрактно они имеют такую же диаграмму Hasse . Геометрически, это не только топологически самостоятельно, но и полярная взаимная относительно определенной точки, как правило, его центроид, является аналогичной фигурой. Например, двойник регулярного тетраэдра является еще одним обычным тетраэдром, отраженный через начало .

Каждый многоугольник является топологически самообожением, поскольку он имеет одинаковое количество вершин, что и края, и они переключены двойственностью. Но это не обязательно самообожнее (например, вплоть до жесткого движения). Каждый многоугольник имеет регулярную форму , которая геометрически самообожна в отношении его межсферы: все углы совпадают, как и все ребра, поэтому при двойственности эти конгруэнтные обмена. Точно так же каждый топологически самоуверенный многогранник может быть реализован с помощью эквивалентного геометрически самоуверенного многогранника, его канонического многогранника , взаимного в центре средней части .

Существует бесконечно много геометрически самостоятельных многогранников. Самая простая бесконечная семья - это пирамиды . ^{[ 8 ]} Другая бесконечная семья, удлиненные пирамиды , состоит из многогранников, которые можно примерно описать как пирамида, сидящая на вершине призмы ( с тем же количеством сторон). Добавление Frustum (пирамида с верхней частью) под призмой генерирует еще одну бесконечную семью и так далее. Есть много других выпуклых самосваленных многогранников. Например, есть 6 разных с 7 вершинами и 16 с 8 вершинами. ^{[ 9 ]}

Самостоятельный невыпуктный икосаэдрон с гексагональными лицами был идентифицирован Брюкнером в 1900 году. ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]} Были обнаружены другие не-конъювные самоотедливые многогранники, в определенных определениях невыпуклых Polyhedra и их двойных.

Двойные политопы и тесселляции

Двойственность может быть обобщена до n -мерного пространства и двойных политопов ; В двух измерениях они называются двойными многоугольниками .

Вершины одного политопа соответствуют ( n -1) -мерным элементам или аспектам другого, а J- точки, которые определяют a ( j -1) -мерный элемент, будут соответствовать гиперплозам J , которые пересекаются, чтобы получить ( n - J ) -димерный элемент. Двойной из n -мерной тесселяции или соты может быть определена так же.

В целом, грани двойного политопа станут топологическими двойными вещами вершины политопа. Для полярных взаимных пособий регулярных и однородных политопов двойные грани будут полярными взаимными значениями рисунка вершины оригинала. Например, в четырех измерениях вершиной 600-ячел является икосаэдром ; Двойной 600-клеточной,-это 120-клеточная , чьи аспекты- Додекахедра , которые являются двойными икосаэдром.

Самоспания политопа и тесселяции

Первичным классом самосвязанных политопов являются обычные политопы с палиндромическими символами шлафли . Все обычные многоугольники, {a} самоуверенные, многогранники формы {a, a}, 4-политопы формы {a, b, a}, 5-политопы формы {a, b, b, a }, и т. д.

Самостоятельные обычные политопы:

Все обычные многоугольники , {a}.
Обычный тетраэдр : {3,3}
В общем, все обычные n - simplexes , {3,3, ..., 3}
Регулярные 24-клеточные в 4 измерениях, {3,4,3}.
Великий 120-клеточный {5,5/2,5} и Grand Stellated 120-клеточный {5/2,5,5/2}

Самодрубные (бесконечные) регулярные евклидовы соты :

Apeirogon : {∞}
Квадратная плитка : {4,4}
Кубический сот : {4,3,4}
В целом, все регулярные n -димерные евклидовы гиперкубические соты : {4,3, ..., 3,4}.

Самодрубные (бесконечные) регулярные гиперболические соты:

Компактные гиперболические уклоны: {5,5} , {6,6} , ... {p, p}.
Паракомпактная гиперболическая плитка: {∞, ∞}
Компактные гиперболические соты: {3,5,3} , {5,3,5} и {5,3,3,5}}
Паракомпактные гиперболические соты: {3,6,3} , {6,3,6} , {4,4,4} и {3,3,4,3,3}

Смотрите также

Ссылки

Примечания

^ Веннингер (1983) , «Основные представления о стеллах и двойственности», с. 1
^ Грюнбаум (2003)
^ Cundy & Rollett (1961) , 3.2 Duality, с. 78–79; Веннингер (1983) , страницы 3-5. (Обратите внимание, что обсуждение Веннингера включает в себя невыпульную полиагра.)
^ Barvinok (2002) , стр. 143.
^ См., Например, Grünbaum & Shephard (2013) и Gailiunas & Sharp (2005) . Веннингер (1983) также обсуждает некоторые вопросы на пути к получению его бесконечных двойных.
^ Grünbaum (2007) , теорема 3.1, с. 449.
^ Cundy & Rollett (1961) , с. 117; Веннингер (1983) , с. 30
^ Wohlleben, Eva (2019), «Двойственность в неполигэдральных телах, часть I: Polyliner», в Cocchiarella, Luigi (ed.), ICGG 2018 - Материалы 18 -й Международной конференции по геометрии и графике: 40 -й годовщина - Милан, Италия, 3-7 августа 2018 года , достижения в области интеллектуальных систем и вычислений, Vol. 809, Springer, p. 485–486, doi : 10.1007/978-3-319-95588-9 , ISBN 978-3-319-95588-9
^ 3D Java модели в симметрии канонических самоотедлительных многогранников , основанная на бумаге Гуннара Бринкманна, Брендана Д. Маккей, быстрое поколение плоских графиков PDF [1]
^ Энтони М. Катлер и Эгон Шульте; «Регулярная многогранника 2 -го индекса», I; Beiträge Zur Algebra und Geometrie / Вклад в алгебру и геометрию апрель 2011 г., том 52, выпуск 1, стр. 133–161.
^ Nj мост; «Окрашивание Додекаэдрона», Acta Crystallographica , Vol. 30, часть 4 июля 1974 года, рис. 3C и сопровождающий текст.
^ Brückner, M.; Различные Cecoary и частая квартира: теория и история , Teubner, Leipzig, 1900.

Библиография

Кунди, Х. Мартин ; Rollett, AP (1961), Математические модели (2 -е изд.), Оксфорд: Clarendon Press, MR 0124167 .
Gailiunas, P.; Sharp, J. (2005), «Двойственность полихр», Международный журнал математического образования в области науки и техники , 36 (6): 617–642, doi : 10.1080/00207390500064049 , s2cid 120818796 .
Grünbaum, Branko (2003), «Ваша многогранника такая же, как у моей многогранники?», В Аронова, Борис ; Басу, Саугата; Пач, Янос ; Шарир, Миха (ред.), Дискретная и вычислительная геометрия: Goodman -Pollack Festschrift , алгоритмы и комбинаторики, Vol. 25, Берлин: Springer, pp. 461–488, citeeseerx 10.1.1.102.755 , doi : 10.1007/978-3-642-55566-4_21 , ISBN 978-3-642-62442-1 , MR 2038487 .
Grünbaum, Branko (2007), «Графики многогранников; многогранники как графики», дискретная математика , 307 (3–5): 445–463, doi : 10.1016/j.disc.2005.09.037 , hdl : 1773/2276 , Mr 2287486 .
Грюнбаум, Бранко ; Shephard, GC (2013), «Двойственность многогранников», в Senechal, Marjorie (ed.), Формирование пространства: изучение Polyedra по природе, искусству и геометрическому воображению , Нью -Йорк: Springer, pp. 211–216, doi : 10.1007/978-0-387-92714-5_15 , ISBN 978-0-387-92713-8 , MR 3077226 .
Wenninger, Magnus (1983), Dual Models , Cambridge University Press, ISBN 0-521-54325-8 , MR 0730208 .
Barvinok, Alexander (2002), курс по выпуклой , Провиденс: Американский математический соц., ISBN 0821829688 .

Внешние ссылки

[1] Веннингер (1983) , «Основные представления о стеллах и двойственности», с. 1

[2] Грюнбаум (2003)

[3] Cundy & Rollett (1961) , 3.2 Duality, с. 78–79; Веннингер (1983) , страницы 3-5. (Обратите внимание, что обсуждение Веннингера включает в себя невыпульную полиагра.)

[4] Barvinok (2002) , стр. 143.

[5] См., Например, Grünbaum & Shephard (2013) и Gailiunas & Sharp (2005) . Веннингер (1983) также обсуждает некоторые вопросы на пути к получению его бесконечных двойных.

[6] Grünbaum (2007) , теорема 3.1, с. 449.

[7] Cundy & Rollett (1961) , с. 117; Веннингер (1983) , с. 30

[wohlleben-8] Wohlleben, Eva (2019), «Двойственность в неполигэдральных телах, часть I: Polyliner», в Cocchiarella, Luigi (ed.), ICGG 2018 - Материалы 18 -й Международной конференции по геометрии и графике: 40 -й годовщина - Милан, Италия, 3-7 августа 2018 года , достижения в области интеллектуальных систем и вычислений, Vol. 809, Springer, p. 485–486, doi : 10.1007/978-3-319-95588-9 , ISBN 978-3-319-95588-9

[9] 3D Java модели в симметрии канонических самоотедлительных многогранников , основанная на бумаге Гуннара Бринкманна, Брендана Д. Маккей, быстрое поколение плоских графиков PDF [1]

[10] Энтони М. Катлер и Эгон Шульте; «Регулярная многогранника 2 -го индекса», I; Beiträge Zur Algebra und Geometrie / Вклад в алгебру и геометрию апрель 2011 г., том 52, выпуск 1, стр. 133–161.

[11] Nj мост; «Окрашивание Додекаэдрона», Acta Crystallographica , Vol. 30, часть 4 июля 1974 года, рис. 3C и сопровождающий текст.

[12] Brückner, M.; Различные Cecoary и частая квартира: теория и история , Teubner, Leipzig, 1900.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]