радикал Джейкобсона

Натан Джейкобсон

В математике , а точнее в теории колец , радикал Джекобсона кольца R R — это идеал, состоящий из тех элементов кольца , которые аннулируют все простые правые R - модули . Бывает, что замена «левого» вместо «правого» в определении дает тот же идеал, и поэтому понятие симметрично слева и справа. Радикал Джекобсона кольца часто обозначается J( R ) или rad( R ); в этой статье будет предпочтительнее первое обозначение, поскольку оно позволяет избежать путаницы с другими радикалами кольца . Радикал Джекобсона назван в честь Натана Джейкобсона , который первым изучил его для произвольных колец в Джекобсоне в 1945 году .

Радикал Якобсона кольца имеет множество внутренних характеристик, включая несколько определений, которые успешно распространяют это понятие на неединичные кольца . Радикал модуля расширяет определение радикала Джекобсона, включив в него модули. Радикал Джекобсона играет заметную роль во многих результатах теории колец и модулей, таких как лемма Накаямы .

Определения

Существует множество эквивалентных определений и характеристик радикала Джекобсона, но полезно рассмотреть определения, основанные на том, является ли кольцо коммутативным или нет.

Коммутативный случай

В коммутативном случае радикал Джекобсона коммутативного кольца R определяется как пересечение максимальных всех идеалов ${\mathfrak {m}}$. Если мы обозначим Specm R как множество всех максимальных идеалов в R, то

$\mathrm {J} (R)=\bigcap _{{\mathfrak {m}}\,\in \,\operatorname {Specm} R}{\mathfrak {m}}$

Это определение можно использовать для явных вычислений в ряде простых случаев, например для локальных колец ( R , ${\mathfrak {p}}$) , которые имеют единственный максимальный идеал, артиновы кольца и их произведения . См. раздел примеров для явных вычислений.

Некоммутативный/общий случай

Для общего кольца с единицей R радикал Джекобсона J( R ) определяется как идеал всех элементов r ∈ R таких, что rM = 0, если M — простой R -модуль. То есть, $$\mathrm {J} (R)=\{r\in R\mid rM=0{\text{ where }}M{\text{ is simple}}\}.$$Это эквивалентно определению в коммутативном случае для коммутативного кольца R, поскольку простые модули над коммутативным кольцом имеют вид R / ${\mathfrak {m}}$ для некоторого максимального идеала ${\mathfrak {m}}$ R ​ и аннигиляторы R , / ${\mathfrak {m}}$ в R являются в точности элементами ${\mathfrak {m}}$, т.е. Ann _R ( R / ${\mathfrak {m}}$) = ${\mathfrak {m}}$.

Мотивация

Понимание радикала Джекобсона заключается в нескольких различных случаях: а именно в его приложениях и вытекающих из них геометрических интерпретациях, а также в их алгебраических интерпретациях.

Геометрические приложения

См. Также: лемма Накаямы § Геометрическая интерпретация.

Хотя Джекобсон первоначально представил свой радикал как метод построения теории радикалов для произвольных колец, одна из причин, по которой радикал Джекобсона рассматривается в коммутативном случае, связана с его появлением в лемме Накаямы . Эта лемма представляет собой технический инструмент для изучения конечно порожденных модулей над коммутативными кольцами, который имеет простую геометрическую интерпретацию: если у нас есть векторное расслоение E → X над топологическим пространством X и выбрана точка p ∈ X , то любой базис E | _p можно расширить до базиса сечений E | _U → U для окрестности p ∈ U ⊆ X. некоторой

Другое применение - в случае конечно порожденных коммутативных колец вида ${\textstyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]\,/\,I}$ для некоторого базового кольца k (например , поля или кольца целых чисел ). В этом случае нильрадикал и радикал Джекобсона совпадают. Это означает, что мы могли бы интерпретировать радикал Джекобсона как меру того, насколько далек идеал I, определяющий кольцо R , от определения кольца функций на алгебраическом многообразии из-за теоремы Гильберта о Нуллстеллензатце . Это связано с тем, что алгебраические многообразия не могут иметь кольца функций с бесконечно малыми: это структура, которая рассматривается только в теории схем .

Эквивалентные характеристики

Радикал Якобсона кольца имеет различные внутренние и внешние характеристики. Следующие эквивалентности встречаются во многих текстах по некоммутативной алгебре , таких как Anderson & Fuller 1992 , §15, Isaacs 1994 , §13B и Lam 2001 , Ch 2.

Ниже приведены эквивалентные характеристики радикала Джекобсона в кольцах с единицей (характеристики для колец без единицы даются сразу после этого):

• J( R ) равно пересечению всех максимальных правых идеалов кольца. Эквивалентность вытекает из того факта, что для всех максимальных правых идеалов R M / M является простым правым R -модулем и что на самом деле все простые правые R -модули изоморфны одному из этого типа посредством отображения из R в S, заданного по r ↦ xr для любого генератора x группы S . Верно также, что J( R ) равно пересечению всех максимальных левых идеалов внутри кольца. Эти характеристики являются внутренними по отношению к кольцу, поскольку нужно найти только максимальные правые идеалы кольца. Например, если кольцо локально и имеет единственный максимальный правый идеал , то этот единственный максимальный правый идеал есть в точности J( R ). Максимальные идеалы в некотором смысле легче искать, чем аннигиляторы модулей. Однако эта характеристика недостаточна, поскольку она не оказывается полезной при вычислительной работе с J( R ). Лево-правая симметрия этих двух определений примечательна и имеет множество интересных последствий. Эта симметрия контрастирует с отсутствием симметрии в R , RR поскольку может случиться так, что soc( ) _цоколе не равно soc( ₎ RR . Если R , некоммутативное кольцо J( R ) не обязательно равно пересечению всех максимальных двусторонних идеалов R . Например, если V — счетная прямая сумма копий поля k и R = End( V ) ( кольцо эндоморфизмов V R как k -модуля), то J( R ) = 0, поскольку что известно, фон Неймана регулярен , но существует ровно один максимальный двусторонний идеал в R, состоящий из эндоморфизмов с конечномерным образом .
• J( R ) равен сумме всех лишних правых идеалов (или, симметрично, сумме всех лишних левых идеалов) кольца R . Сравнивая это с предыдущим определением, сумма лишних правых идеалов равна пересечению максимальных правых идеалов. Это явление отражается двояко для правого цоколя R ; soc( RR _{) является одновременно} суммой минимальных правых идеалов и пересечением существенных правых идеалов . Фактически, эти два соотношения справедливы для радикалов и цоколей модулей в целом.
• Как определено во введении, J( R ) равно пересечению всех аннуляторов простых . правых R -модулей, однако верно также и то, что это пересечение аннуляторов простых левых модулей Идеал, который является аннулятором простого модуля, известен как примитивный идеал , и поэтому его переформулировка гласит, что радикал Джекобсона является пересечением всех примитивных идеалов. Эта характеристика полезна при изучении модулей над кольцами. Например, если U — правый R -модуль, а V — максимальный подмодуль U · , U · J( R ) содержится в V , где U J( R ) обозначает все произведения элементов J( R ) ( «скаляры») с элементами из U справа. Это следует из того, что фактор-модуль U / V прост и, следовательно, аннулируется J( R ).
• J( R ) — единственный максимальный правый идеал кольца R, обладающий тем свойством, что каждый элемент является квазирегулярным справа. (или, что то же самое, левоквазирегулярный ). Эта характеристика радикала Джекобсона полезна как в вычислительном отношении, так и в помощь интуиции. Кроме того, эта характеризация полезна при изучении модулей над кольцом. Лемма Накаямы , пожалуй, самый известный пример этого. Хотя каждый элемент J( R ) обязательно является квазирегулярным , не каждый квазирегулярный элемент обязательно является членом J( R ).
• Хотя не каждый квазирегулярный элемент находится в J( R ), можно показать, что y находится в J( R ) тогда и только тогда, когда xy является квазирегулярным слева для всех x в R .
• J( R ) — множество элементов x в R таких, что каждый элемент из 1 + RxR является единицей: J( R ) = { x ∈ R | 1 + RxR ⊂ R ^× } . Фактически, y ∈ R принадлежит радикалу Джекобсона тогда и только тогда, когда + xy обратима для любого x ∈ R , тогда и только тогда, когда 1 + yx обратима для любого x ∈ R. 1 Это означает, что xy и yx ведут себя аналогично нильпотентному элементу z с z ^{п +1} = 0 и (1 + z ) ⁻¹ = 1 - г + г ² − ... ± z ^н .

Для колец без единицы возможно R = J( R ) ; однако уравнение J( R / J( R )) = {0} все еще остается в силе. Ниже приведены эквивалентные характеристики J( R ) для колец без единицы:

• Понятие левой квазирегулярности можно обобщить следующим образом. Назовем элемент a в R левообобщенным квазирегулярным , если существует элемент c в R такой, что c + a − ca = 0 . Тогда J( R ) состоит из каждого элемента a, для которого ra является обобщенно квазирегулярным слева для всех r из R . Можно проверить, что это определение совпадает с предыдущим квазирегулярным определением колец с единицей.
• Для кольца без единицы определение левого простого модуля M дополняется добавлением условия R ⋅ M ≠ 0 . При таком понимании J( R ) можно определить как пересечение всех аннуляторов простых левых R модулей или просто R модулей нет , если простых левых R . Кольца без единицы и без простых модулей существуют, и в этом случае R = J( R ) , и кольцо называется радикальным . Используя обобщенную квазирегулярную характеристику радикала, становится ясно, что если найти кольцо с ненулевым J( R ), то J( R ) является радикальным кольцом, если рассматривать его как кольцо без единицы.

Примеры

Коммутативные примеры

• Для кольца целых чисел Z его радикал Джекобсона является нулевым идеалом , поэтому J( Z ) = (0) , поскольку он задается пересечением каждого идеала, порожденного простым числом ( p ). Поскольку ( p ₁ ) ∩ ( p ₂ ) = ( p ₁ ⋅ p ₂ ) и мы берем бесконечное пересечение без каких-либо общих элементов, кроме 0, между всеми максимальными идеалами, у нас есть вычисление.
• Для локального кольца ( R , ${\mathfrak {p}}$) радикал Джекобсона — это просто J( R ) = ${\mathfrak {p}}$. Это важный случай, поскольку он используется при применении леммы Накаямы. В частности, это означает, что у нас есть алгебраическое векторное расслоение E → X над схемой или алгебраическим многообразием X и мы фиксируем базис E | _p для некоторой точки p ∈ X , то этот базис поднимается до набора образующих для всех сечений E для некоторой окрестности U точки p .
• Если k — поле и R = k [[ X ₁ , ..., X _n ]] — кольцо формальных степенных рядов , то J( R ) состоит из тех степенных рядов , постоянный член которых равен нулю, т. е. степенного ряда в идеале ( Икс ₁ , ..., Икс _п ) .
• В случае артиновых колец , таких как C [ t ₁ , t ₂ ]/( t ₁ ⁴ , т ₁ ² т ₂ ² , т ₂ ⁹ ) радикал Джекобсона равен ( t ₁ , t ₂ ) .
• Предыдущий пример можно распространить на кольцо R = C [ t ₂ , t ₃ , ...]/( t ₂ ² , _т3 ³ , ...) , что дает J( R ) = ( т ₂ , т ₃ , ...) .
• Радикал Джекобсона кольца Z /12 Z равен 6 Z /12 Z , что является пересечением максимальных идеалов 2 Z /12 Z и 3 / 12 Z. Z
• Рассмотрим кольцо C [ t ] ⊗ _C C [ x ₁ , x ₂ ] _{x 1 ² + х2 ² −1} , где второе — это C [ x x 1 _, ] 2 _{локализация} простым идеалом ${\mathfrak {p}}$ = ( х ₁ ² + _х2 ² − 1) . Тогда радикал Джекобсона тривиален, поскольку максимальные идеалы порождены элементом вида ( t − z ) ⊗ ( x ₁ ² + _х2 ² − 1) для z ∈ C .

Некоммутативные примеры

• Кольца, для которых J( R ) равно {0}, называются полупримитивными кольцами или иногда «полупростыми кольцами Джейкобсона». Радикал Джекобсона любого поля, любого регулярного кольца фон Неймана и любого левого или правого примитивного кольца равен {0}. Радикал Джекобсона целых чисел равен {0}.
• Если K — поле, а R — кольцо всех верхнетреугольных n на размера n матриц с элементами из K , то J( R ) состоит из всех верхнетреугольных матриц с нулями на главной диагонали.
• Начните с конечного ациклического колчана Γ и поля K и рассмотрим алгебру колчана K Γ (как описано в статье Quiver ). Радикал Джекобсона этого кольца порождается всеми путями из Γ длины ≥ 1.
• Радикал Джекобсона C*-алгебры равен {0}. Это следует из теоремы Гельфанда–Наймарка и того факта, что для C*-алгебры топологически неприводимое *-представление в гильбертовом пространстве является алгебраически неприводимым, так что его ядро ​​является примитивным идеалом в чисто алгебраическом смысле (см . Спектр C*-алгебра ).

Характеристики

• Если R единично и не является тривиальным кольцом {0}, радикал Джекобсона всегда отличен от R, поскольку кольца с единицей всегда имеют максимальные правые идеалы . Однако некоторые важные теоремы и гипотезы в теории колец рассматривают случай, когда J( R ) = R : «Если R — ниль-кольцо (то есть каждый из его элементов нильпотентен ) , является ли кольцо многочленов R [ x ] равным это радикал Джейкобсона?» эквивалентно открытой гипотезе Кёте .
• Для любого идеала I, содержащегося в J( R ), J( R / I ) = J( R )/ I .
• В частности, радикал Джекобсона кольца R /J( R ) равен нулю. Кольца с нулевым радикалом Джекобсона называются полупримитивными кольцами .
• Кольцо является полупростым тогда и только тогда, когда оно артиново и его радикал Джекобсона равен нулю.
• Если f : R → S — сюръективный гомоморфизм колец , то f (J( R )) ⊆ J( S ) .
• Если R — кольцо с единицей и M — конечно порожденный левый R -модуль с J( R ) M = M , то M = 0 ( лемма Накаямы ).
• J( R ) содержит все центральные нильпотентные элементы, но не содержит идемпотентных элементов, кроме 0.
• J( R ) содержит все ниль- R идеалы . Если R — левый или правый артинов , то J( R ) — нильпотентный идеал .
  На самом деле это можно сделать сильнее: если
          {0} = Т ₀ ⊆ Т ₁ ⊆ ⋅⋅⋅ ⊆ Т _k = R
  является композиционным рядом для правого R -модуля R (такой ряд обязательно существует, если R артинов справа, и существует аналогичный левый композиционный ряд, если R артинов слева), то (J( R )) ^к = 0 .
  Однако заметим, что радикал Джекобсона в общем случае не обязательно должен состоять только из нильпотентных элементов кольца.
• Если R коммутативна и конечно порождена как алгебра либо над полем , либо Z , то J( R равна нильрадикалу R. над )
• Радикал Джекобсона (единичного) кольца — это его наибольший лишний правый (эквивалентный левый) идеал.

См. также

• Подгруппа Фраттини
• Нильрадикал кольца
• Радикал модуля
• Радикальный идеал

Ссылки

• Андерсон, Фрэнк В.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Тексты для аспирантов по математике , том. 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x+376, doi : 10.1007/978-1-4612-4418-9 , ISBN  0-387-97845-3 , МР   1245487
• Атья, Миссури ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Addison-Wesley Publishing Co., стр. ix+128, MR   0242802
• Бурбаки, Н. Элементы математики .
• Херштейн, И.Н. (1994) [1968], Некоммутативные кольца , Математические монографии Каруса, том. 15, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки , стр. xii+202, ISBN.  0-88385-015-Х , MR   1449137 Перепечатка оригинала 1968 года; С послесловием Лэнса В. Смолла.
• Айзекс, IM (1994), Алгебра: аспирантура (1-е изд.), Brooks/Cole Publishing Company, ISBN  0-534-19002-2
• Джейкобсон, Натан (1945), «Радикал и полупростота произвольных колец», American Journal of Mathematics , 67 (2): 300–320, doi : 10.2307/2371731 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2371731 , MR   0012271
• Лам, Тай (2001), Первый курс некоммутативных колец , Тексты для аспирантов по математике, том. 131 (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. xx+385, doi : 10.1007/978-1-4419-8616-0 , ISBN  0-387-95183-0 , МР   1838439
• Пирс, Ричард С. (1982), Ассоциативные алгебры , Тексты для выпускников по математике, том. 88, Springer-Verlag, стр. xii+436 , ISBN  0-387-90693-2 , МР   0674652 Исследования по истории современной науки, 9
• Смоктунович, Агата (2006), «Некоторые результаты в некоммутативной теории колец», Международный конгресс математиков, Vol. II (PDF) , Европейское математическое общество , стр. 259–269, ISBN.  978-3-03719-022-7 , MR   2275597 , заархивировано из оригинала (PDF) 9 августа 2017 г. , получено 31 декабря 2014 г.

Внешние ссылки

• Интуитивный пример радикала Джейкобсона