Интервальный вектор

Пример Z-отношения для двух наборов шагов, которые можно анализировать или получить из набора 5-Z17. , с интервалами между классами высоты звука, помеченными для удобства сравнения между двумя наборами и их общим вектором интервалов, 212320.

Вектор интервалов: аккорд до мажор, набор 3-11B , {0,4,7}: 001110.

Диатоническая гамма в хроматическом круге , каждый класс интервалов имеет свой цвет, каждый встречается уникальное количество раз.

гамма до мажор с обозначением интервальных классов; вектор: 254361

Вся шкала тонов C с обозначением интервальных классов; вектор: 060603

В теории музыкальных множеств вектор интервалов представляет собой массив натуральных чисел , которые суммируют интервалы , присутствующие в наборе классов высоты тона . (То есть набор высот , в которых октавы не учитываются.) Другие названия включают: вектор ic (или вектор интервального класса), вектор PIC (или вектор интервала высотного класса) и вектор APIC (или вектор интервала абсолютного класса высоты, что, по мнению Михеля Шуйера, более правильно.)

Хотя интервальные векторы в первую очередь являются аналитическим инструментом, они также могут быть полезны композиторам, поскольку они быстро показывают качества звука, создаваемые различными наборами классов высоты тона. То есть наборы с высокой концентрацией условно несогласных интервалов (т. е. секунд и седьмых) звучат более диссонансно, в то время как наборы с большим количеством условно согласных интервалов (т. е. терций и шестых) звучат более согласными . Хотя фактическое восприятие консонанса и диссонанса включает в себя множество контекстуальных факторов, таких как регистр , тем не менее интервальный вектор может быть полезным инструментом.

Определение

В двенадцатитоновой одинаковой темпераменте интервальный вектор состоит из шести цифр, каждая цифра представляет количество раз, когда интервальный класс появляется в наборе. или вертикального расположения набора Поскольку используются интервальные классы, вектор интервалов для данного набора остается неизменным, независимо от перестановки . Классы интервалов, обозначаемые каждой цифрой, возрастают слева направо. То есть:

1. малые секунды/большие седьмые (1 или 11 полутонов)
2. мажорные секунды/малые септимы (2 или 10 полутонов)
3. малые трети/большие сексты (3 или 9 полутонов)
4. мажорные трети/малые шестые (4 или 8 полутонов)
5. идеальные четверти/идеальные квинты (5 или 7 полутонов)
6. тритоны (6 полутонов) (Тритон инверсионно эквивалентен самому себе.)

Класс интервала 0, представляющий унисоны и октавы, опускается.

В своей книге 1960 года «Гармонические материалы современной музыки » Говард Хэнсон представил мономиальный метод обозначения этого понятия, который он назвал интервальным содержанием : ^и м ^д н ^с .с ^б д ^а т ^ж для того, что бы сейчас было написано ⟨ abcdef ⟩ . Современные обозначения, введенные Алленом Форте. , имеет значительные преимущества и расширяется до любого равного деления октавы .

Говорят, что масштаб, интервальный вектор которого имеет шесть уникальных цифр, обладает свойством глубокого масштаба . Этим свойством обладает мажорная гамма и ее лады.

В качестве практического примера: вектор интервалов для трезвучия до мажор ( 3-11B ) в корневой позиции, {CEG} ( ), это ⟨001110⟩ . Это означает, что в наборе есть одна большая треть или малая шестая часть (т. е. от C до E или от E до C), одна малая треть или большая шестая часть (т. е. от E до G или от G до E) и одна чистая квинта или чистая квинта. четвертый (т.е. от C к G или от G к C). Поскольку вектор интервалов не меняется при транспозиции или инверсии, он принадлежит всему классу множества , а это означает, что ⟨001110⟩ является вектором всех основных (и второстепенных) триад. Некоторые интервальные векторы соответствуют нескольким наборам, которые нельзя транспонировать или инвертировать для получения другого. (Они называются наборами, связанными с Z , как описано ниже).

Для набора из n классов высоты сумма всех чисел в интервальном векторе набора равна треугольному числу T _{n −1} = ⁠ п × ( п - 1) / 2 ⁠ .

Расширенная форма вектора интервала также используется в теории трансформации , как изложено в Дэвида Левина книге «Обобщенные музыкальные интервалы и трансформации» .

Z-отношение

Последовательные гексахорды, связанные с Z, из третьего акта « Воццека» .

В теории музыкальных множеств Z-отношение , также называемое изомерным отношением , представляет собой отношение между двумя наборами высотных классов, в которых эти два набора имеют одинаковое интервальное содержание (и, следовательно, один и тот же интервальный вектор), но они не связаны транспозиционно (имеют одно и то же интервальное содержание). разные T _n -типы) или инверсионно связаны (имеют разные T _n /T _n I-типы). Например, два набора 4-z15A {0,1,4,6} и 4-z29A {0,1,3,7} имеют один и тот же интервальный вектор ⟨111111⟩ , но его нельзя транспонировать и/или инвертировать. поставил на другой.

В случае гексахордов каждый может называться Z-гексахордой . Любой гексахорд, не относящийся к типу «Z», является собственным дополнением , а дополнением Z-гексахорда является его Z-корреспондент, например 6-Z3 и 6-Z36. См.: 6-Z44 , 6-Z17 , 6-Z11 и число Форте .

Термин, обозначающий « зиготику » ( соединённую или слияние двух репродуктивных клеток), возникла у Аллена Форте в 1964 году, но, похоже, впервые эту идею рассмотрел Говард Хэнсон. Хэнсон назвал это изомерными отношениями и определил два таких набора как изомерные . См.: изомер .

Согласно Михиэлю Шуйеру (2008), теорема о гексахордах , согласно которой любые два дополнительных гексахорда основного тона имеют один и тот же интервальный вектор, даже если они не эквивалентны при транспонировании и инверсии, была впервые предложена Милтоном Бэббитом , и «открытие Об этом отношении «сообщил» Дэвид Левин в 1960 году в качестве примера теоремы о дополнении : разница между интервалами тон-классов в двух дополнительных наборах тон-классов равна разнице между кардинальными числами наборов. (при наличии двух гексахордов эта разница равна 0). Математические доказательства теоремы о гексахорде были опубликованы Касслером (1961), Регенером (1974) и Уилкоксом (1983).

Хотя обычно наблюдается, что наборы, связанные с Z, всегда встречаются парами, Дэвид Левин заметил, что это результат двенадцатитонового равного темперамента (12-ET). В 16-ET множества, связанные с Z, встречаются в виде триплетов. Ученик Левина Джонатан Уайлд продолжил эту работу для других систем настройки, обнаружив Z-родственные туплеты с числом до 16 членов в высших инопланетных системах.

Отношение эквивалентности «имеющего одинаковое содержание интервалов», допускающее тривиальный изометрический случай, первоначально изучалось в кристаллографии и известно как гомометрия . Например, теорема о дополнении известна физикам как принцип Бабине . Недавний опрос см.

Штраус утверждает: «[наборы] в Z-отношении будут звучать одинаково, потому что они имеют одинаковое интервальное содержание». что побудило некоторых композиторов использовать Z-отношение в своих работах. Например, игра между {0,1,4,6} и {0,1,3,7} ясна во Эллиота Картера Втором струнном квартете .

Умножение

Некоторые аккорды , связанные с Z, соединяются с помощью M или IM ( умножение на 5 или умножение на 7) из-за идентичных записей для 1 и 5 в векторе интервалов.

См. также

• Интервальный цикл
• Интервал шага

Дальнейшее чтение

• Ран, Джон (1980). Основная атональная теория . Нью-Йорк: Лонгман. ISBN   9780582281172 . Перепечатано в 1987 году, Нью-Йорк: Schirmer Books; Лондон: Кольер Макмиллан. ISBN   0-02-873160-3 .

Внешние ссылки

• Установить классы и содержимое интервальных классов
• Введение в постфункциональный музыкальный анализ: терминология постфункциональной теории, Роберт Т. Келли.
• Теория подачи двадцатого века: некоторые полезные термины и методы