Умножение (музыка)

Математические операции умножения имеют несколько применений в музыке . Помимо его применения к частотным соотношениям интервалов (например, «Справедливая интонация » и корень двенадцатой степени из двух в равной темперации ), он использовался и другими способами для техники двенадцати тонов и теории музыкальных наборов . Кроме того, кольцевая модуляция — это электрический аудиопроцесс, включающий умножение, который используется для создания музыкального эффекта.

Мультипликативная операция — это отображение , при котором аргумент умножается. ^[3] Умножение возникло интуитивно в расширении интервалов , включая тонального ряда порядкового номера ротацию , например, в музыке Белы Бартока и Альбана Берга . ^[4] Вращение номера высоты звука, Fünferreihe или «пятисерия» и Siebenerreihe или «семисерия», было впервые описано Эрнстом Кренеком в книге «О новой музыке» . ^[5]^[4] Теоретики из Принстона, в том числе Джеймс К. Рэндалл , ^[6] Годфри Уинэм , ^[7] и Хьюберт С. Хоу ^[8] «были первыми, кто обсудил и принял их, не только в отношении [ sic ] двенадцатитоновых серий». ^[9]

Умножение высоты тона по модулю 12

При работе с тональных классов наборами умножение по модулю 12 является обычной операцией. Имея дело со всеми двенадцатью тонами или рядом тонов , существует лишь несколько чисел, на которые можно умножить ряд и все равно получить набор из двенадцати различных тонов. Принимая простую или неизмененную форму как P ₀ , умножение обозначается M _x , где x является множителем:

M _x ( y ) ≡ xy mod 12

В следующей таблице перечислены все возможные варианты умножения хроматического двенадцатитонового ряда:

М
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2	2	4	6	8	10	0	2	4	6	8	10
3	3	6	9	0	3	6	9	0	3	6	9
4	4	8	0	4	8	0	4	8	0	4	8
5	5	10	3	8	1	6	11	4	9	2	7
6	6	0	6	0	6	0	6	0	6	0	6
7	7	2	9	4	11	6	1	8	3	10	5
8	8	4	0	8	4	0	8	4	0	8	4
9	9	6	3	0	9	6	3	0	9	6	3
10	10	8	6	4	2	0	10	8	6	4	2
11	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1

Обратите внимание, что только M ₁ , M ₅ , M ₇ и M ₁₁ дают взаимно однозначное отображение (полный набор из 12 уникальных тонов). Это связано с тем, что каждое из этих чисел является относительно простым с 12. Также интересно то, что хроматическая гамма отображается в круг кварт с помощью M ₅ или квинт с помощью M ₇ , и, в более общем плане, при M ₇ все четные числа остаются неизменными, в то время как нечетные числа переставляются тритоном . Этот вид умножения часто комбинируется с операцией транспонирования . Впервые он был описан в печати Гербертом Эймертом под терминами «Quartverwandlung» (четвертая трансформация) и «Quintverwandlung» (пятая трансформация). ^[10] и использовался композиторами Милтоном Бэббитом , ^[11]^[12] Роберт Моррис , ^[13] и Чарльз Вуоринен . ^[14] Эта операция также объясняет определенные гармонические преобразования в джазе. ^[15]

Таким образом, умножение на две значимые операции (5 и 7) может обозначаться M ₅ ( a ) и M ₇ ( a ) или M и IM . ^[4]

М ₁ = Личность
M ₅ = Цикл преобразования четвертей
M ₇ = Цикл преобразования квинт
М ₁₁ = Инверсия
М ₁₁ М ₅ = М ₇
М ₇ М ₅ = М ₁₁
М ₅ М ₅ = М ₁
М ₇ М ₁₁ М ₅ = М ₁
...

Умножение высоты тона

Пьер Булез ^[16]^{[ сомнительно – обсудить ]} описал операцию, которую он назвал умножением высоты тона , что чем-то похоже на ^{[ нужны разъяснения ]} к декартову произведению множеств тонких классов. Учитывая два набора, результатом умножения основного тона будет набор сумм ( по модулю 12) всех возможных пар элементов между исходными двумя наборами. Его определение:

X\times Y=\{(x+y){\bmod {1}}2|x\in X,y\in Y\}

Например, если умножить аккорд до мажор $\{0,4,7\}$ с диадой, содержащей C , D $\{0,2\}$ , результат:

\{0,4,7\}\times \{0,2\}=\{0,2,4,6,7,9\}

В этом примере набор из трех шагов, умноженный на набор из двух шагов, дает новый набор шагов 3 × 2. Учитывая ограниченное пространство арифметических операций по модулю 12, при использовании этой процедуры очень часто создаются дублирующиеся сигналы, которые обычно опускаются. Эта техника наиболее широко использовалась в «Марто без метра» Булеза 1955 года , а также в его Третьей сонате для фортепиано , «Структуры II» , «Дон» и «Томбо» из «Pli selon pli» , «Éclat » (и «Éclat/Multiples» ), «Figures—Doubles—». Prismes , Domaines и Cummings ist der Dichter , а также снятое хоровое произведение Oubli signal lapidé (1952). ^[17]^[18]^[19] Эта операция, как и арифметическое умножение и транспозиционное объединение классов множеств, является коммутативной . ^[20]

Говард Хэнсон назвал эту операцию коммутативной математической свертки «суперпозицией». ^[21] или «@-проекция» и взаимозаменяемо использовало обозначение «/». Таким образом, «p@m» или «p/m» означает «идеальная квинта на большой терции», например: { CEGB }. Он особо отметил, что две формы триады могут быть умножены таким образом или триада умножена сама на себя, чтобы получить результирующую шкалу. Последнее «возведение в квадрат» триады дает особую гамму, очень насыщенную в случаях исходной триады. ^[22] Таким образом, «pmn», название Хэнсона для общей мажорной триады, в квадрате равно «PMN», например: { CDEGG ♯ B }.

Николя Слонимский использовал эту необобщенную операцию для формирования 1300 гамм путем умножения симметричных тритонов , увеличенных аккордов , уменьшенных септаккордов и целотонных гамм на сумму трех коэффициентов, которые он назвал интерполяцией, инфраполяцией и ультраполяцией. ^[23] Комбинация интерполяции, инфраполяции и ультраполяции, образующая наклонную инфра-интерполяцию, инфра-ультраполяцию и инфра-интер-ультраполяцию, в сумме дает то, что фактически является второй звучностью. Эта вторая звучность, помноженная на первую, дает формулу для создания гамм и их гармонизаций .

Джозеф Шиллингер использовал эту неразвитую идею, чтобы классифицировать распространенные гармонические стили 19-го и начала 20-го веков как продукт горизонтального гармонического корневого движения и вертикальной гармонической структуры. ^[24] Некоторые из стилей композиторов, которые он цитирует, представлены в следующей таблице умножения.

	Тип аккорда
Корневая шкала	Мажорный аккорд	Дополненный аккорд	Минорный аккорд	Уменьшенный септаккорд
Уменьшенный септаккорд	Октатоническая гамма Рихард Вагнер	Хроматическая шкала	Октатоническая гамма
Дополненный аккорд	Расширенный масштаб Ференц Лист	Клод Дебюсси Морис Равель	Расширенный масштаб Николай Римский-Корсаков
Полная шкала тонов	Хроматическая шкала Клод Дебюсси Морис Равель	Полная шкала тонов Клод Дебюсси Морис Равель	Хроматическая шкала Клод Дебюсси Морис Равель
Хроматическая шкала	Хроматическая шкала Рихард Вагнер	Хроматическая шкала	Хроматическая шкала	Хроматическая шкала
четверть аккорда	Мажорный масштаб		Натуральный минорный масштаб
Мажорный аккорд	6-нотный аналог гармонической мажорной гаммы	Расширенный масштаб		Октатоническая гамма
Минорный аккорд		Расширенный масштаб	6-нотный аналог гармонической мажорной гаммы	Октатоническая гамма
Диатоническая гамма	Ундекатоническая гамма	Хроматическая шкала	Ундекатоническая гамма	Хроматическая шкала

Аппроксимация , означает , 12 тонов западной музыки с помощью математики по модулю 12 , образующая Круг полушагов что музыкальные интервалы также можно рассматривать как углы в полярной системе координат , наложение идентичных интервалов как функции гармонического движения и транспозицию. как вращение вокруг оси . Таким образом, в приведенном выше примере умножения от Хэнсона «p@m» или «p/m» («идеальная квинта на мажорной трети», например: {CEGB}) также означает «идеальную квинту, наложенную на идеальную квинту, повернутую на 1/3». окружности Круга полушагов». Ниже приведена таблица преобразования интервалов в угловые меры (принимаемые как отрицательные числа при вращении по часовой стрелке):

Интервал	Круг полушагов			Квинтовый круг
Интервал	Полушаги	радианы	Степени	Пятые	радианы	Степени
Унисон	0	0	0	0	0	0
Незначительная секунда	1	⁠ $π$ / 6 ⁠	30	7	⁠ 7 $π$ / 6 ⁠	210
Главный второй	2	⁠ $π$ / 3 ⁠	60	2	⁠ $π$ / 3 ⁠	60
Малая треть	3	⁠ $π$ / 2 ⁠	90	9	⁠ 3 $π$ / 2 ⁠	270
Основная треть	4	⁠ 2 $π$ / 3 ⁠	120	4	⁠ 2 $π$ / 3 ⁠	120
Идеальная четвертая	5	⁠ 5 $π$ / 6 ⁠	150	11	⁠ 11 $π$ / 6 ⁠	330
Уменьшенная пятая или увеличенная четвертая	6	$п$	180	6	$п$	180
Идеальная пятая часть	7	⁠ 7 $π$ / 6 ⁠	210	1	⁠ $π$ / 6 ⁠	30
Малая шестая	8	⁠ 4 $π$ / 3 ⁠	240	8	⁠ 4 $π$ / 3 ⁠	240
Майор шестой	9	⁠ 3 $π$ / 2 ⁠	270	3	⁠ $π$ / 2 ⁠	90
Минорная седьмая	10	⁠ 5 $π$ / 3 ⁠	300	10	⁠ 5 $π$ / 3 ⁠	300
Майор седьмой	11	⁠ 11 $π$ / 6 ⁠	330	5	⁠ 5 $π$ / 6 ⁠	150
Октава	12	14:00 $$	360	12	14:00 $$	360

Эта угловатая интерпретация интервалов помогает визуализировать очень практичный пример умножения в музыке: роды Эйлера-Фоккера, используемые при описании точной интонационной настройки клавишных инструментов. ^[25] Каждый род представляет собой гармоническую функцию, такую как «3 идеальных квинты сложенных друг на друге» или другую звучность, такую как {CGDF } , которая при умножении на правильный угол(ы) копии приблизительно заполняет окружное 12TET ♯ пространство Круга квинт . Было бы возможно, хотя и некрасиво с музыкальной точки зрения, настроить расширенное трезвучие из двух идеальных небьющихся мажорных третей , а затем (умножая) настроить две темперированные квинты выше и 1 ниже каждой ноты расширенного аккорда; это род Эйлера-Фоккера [555]. Другой результат получается, если начать с «трех идеальных квинт, сложенных друг на друга», и на основе этих небьющихся нот настроить умеренную мажорную треть вверху и внизу; это род Эйлера-Фоккера [333].

Умножение времени

Джозеф Шиллингер описал операцию « полиномиального умножения времени » ( полином относится к любому ритму, состоящему из более чем одной длительности), примерно соответствующую операции умножения высоты звука, описанной выше. ^[26] Тема, сведенная к последовательной серии целых чисел, представляющих продолжительность четверти, 8-й или 16-й ноты каждой ноты темы, может быть умножена сама на себя или на серию другой темы, чтобы получить связную и связанную вариацию. В частности, серию темы можно возвести в квадрат, возвести в куб или возвести в более высокую степень, чтобы получить насыщение связанным материалом.

Аффинное преобразование

Герберт Эймерт описал то, что он назвал «восемью ладами» двенадцатитоновой серии, все они являются зеркальными формами друг друга. Обратное с помощью получается с помощью горизонтального зеркала, ретроградное - с помощью вертикального зеркала, ретроградное - как горизонтального, так и вертикального зеркала, а также "цикл четвертного преобразования" или Quartverwandlung и "цикл квинт -трансформации" Transform» или Quintverwandlung, полученный через наклонное зеркало. ^[28] С ретроградными этими преобразованиями и простым числом имеется восемь перестановок .

Более того, можно как бы переместить зеркало под углом, то есть под углом кварты или квинты, так, чтобы хроматический ряд отражался в обоих циклах. ... Таким образом, можно получить преобразование цикла четвертей и преобразование цикла квинт строки. <ref> Eimert 1950 , 29, переведено в Schuijer 2008 , 81.

Йозеф Шиллингер использовал не только контрапунктические обратные , ретроградные и ретроградно-обратные операции умножения матриц в евклидовом векторном пространстве , но и их ритмические аналоги. Таким образом, он мог описать вариацию темы, используя те же высоты звука в том же порядке, но используя исходные временные значения в ретроградном порядке. Он видел масштабы этой мультипликативной вселенной за пределами простого отражения , включая транспозицию и вращение (возможно, с проекцией обратно к источнику), а также расширение, использование которого раньше ограничивалось временным измерением (посредством увеличения и уменьшения ). ^[29] Таким образом, он мог описать другую вариацию темы или даже базовую гамму, умножая количество полутонов между каждой последовательной парой нот на некоторый коэффициент, возможно, нормализуя октаву с помощью операции по модулю -12 ( ^[30]

Z-отношение

Некоторые хорды , связанные с Z, соединяются посредством M или IM (умножение на 5 или умножение на 7) из-за идентичных записей для 1 и 5 в векторе APIC . ^[31]

Ссылки

^ Антоколец 1993 , 260, цитируется по Шуйеру 2008 , 77–78.
^ Шуйер 2008 , 79.
^ Ран 1980 , 53.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Шуйер 2008 , 77–78.
^ Кренек 1937 .
^ Рэндалл 1962 .
^ Уинэм 1970 .
^ Хоу 1965 .
^ Шуйер 2008 , 81.
^ Элмер 1950 , 29–33.
^ Моррис 1997 , 238 и 242–43.
^ Уинхэм 1970 , 65–66.
^ Моррис 1997 , 238–239, 243.
^ Хиббард 1969 , 157–158.
^ Моррис 1982 , 153–154.
^ Булез 1971 , 39-40, 79-80.
^ Кобляков 1990 , 32.
^ Хайнеманн 1993 .
^ Хайнеманн 1998 .
^ Хайнеманн 1993 , 24.
^ Хэнсон 1960 , 44, 167.
^ Хэнсон 1960 , 167.
^ Слонимский 1947 , т.
^ Шиллингер 1941 , 147.
^ Фоккер 1987 .
^ Шиллингер 1941 , 70–? ^{[ нужна страница ]}.
^ Ведро 1950 , ^{[ нужна страница ]} воспроизведено с небольшими изменениями в Schuijer 2008 , 80.
^ Элмер 1950 , 28–29.
^ Шиллингер 1941 , 187ff. ^{[ нужна страница ]}.
^ Шиллингер 1941 , 115 и далее, 208 и далее. ^{[ нужна страница ]}.
^ Шуйер 2008 , 98n18.

Источники

Антоколец, Эллиотт. 1993. "Струнные квартеты среднего периода". В The Bartok Companion под редакцией Малкольма Гиллиса , 257–277. Лондон: Фабер и Фабер. ISBN 0-571-15330-5 (в футляре); ISBN 0-571-15331-3 (пбк).
Булез, Пьер . 1971. Булез о музыке сегодня . Перевод Сьюзан Брэдшоу и Ричарда Родни Беннета . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. ISBN 0-674-08006-8 .
Элмер, Герберт . 1950. Учебник двенадцатитоновой техники . Висбаден: Breitkopf & Härtel.
Фоккер, Адриан Даниэль . 1987. Избранные музыкальные произведения . Утрехт: The Diapason Press. ISBN 90-70907-11-9 .
Хэнсон, Ховард . 1960. Гармонические материалы современной музыки . Нью-Йорк: Appleton-Century-Crofts.
Хайнеманн, Стивен. 1993. Умножение набора тональных классов в опере Булеза «Марто без метра» . Диссертация DMA, Вашингтонский университет.
Хайнеманн, Стивен. 1998. «Умножение множества тонких классов в теории и практике». Теория музыки Спектр 20, вып. 1 (Весна): 72–96.
Хиббард, Уильям. 1969. «Чарльз Вуоринен: Политика гармонии ». Перспективы новой музыки 7, вып. 2 (Весна-Лето): 155–166.
Хоу, Хьюберт С. 1965. «Некоторые комбинационные свойства структур высоты звука». Перспективы новой музыки 4, вып. 1 (осень-зима): 45–61.
Кобляков, Лев. 1990. Пьер Булез: Мир гармонии . Чур: Издательство Harwood Academic Publishers. ISBN 3-7186-0422-1 .
Кренек, Эрнст . 1937. О новой музыке: шесть лекций, вводящих теоретические основы . Вена: кольцевой книжный магазин.
Моррис, Роберт Д. 1982. Обзор: « Джон Ран , Основная атональная теория . Нью-Йорк: Лонгман, 1980». Теория музыки Спектр 4: 138–154.
Моррис, Роберт Д. 1997. «Некоторые замечания о разногласиях ». Перспективы новой музыки 35, вып. 2 (лето): 237–256.
Ран, Джон . 1980. Основная атональная теория . Музыкальный сериал Лонгмана. Нью-Йорк и Лондон: Лонгман. Перепечатано, Нью-Йорк: Schirmer Books; Лондон: Коллиер Макмиллан, 1987.
Рэндалл, Джеймс К. 1962. «Корреляция высоты звука и времени». Неопубликовано. Цитируется по Schuijer 2008 , 82.
Шиллингер, Йозеф . 1941. Система музыкальной композиции Шиллингера . Нью-Йорк: Карл Фишер. ISBN 0306775220 .
Шуйер, Михель. 2008. Анализ атональной музыки: теория множеств высоты звука и ее контексты . Исследования Истмана в области музыки 60. Рочестер, Нью-Йорк: Университет Рочестера Press. ISBN 978-1-58046-270-9 .
Слонимский, Николай . 1947. Тезаурус гамм и мелодических моделей . Нью-Йорк: Чарльз Скрибнер Сыновья. ISBN 002-6118505 .
Уинэм, Годфри . 1970. «Композиция с массивами». Перспективы новой музыки 9, вып. 1 (осень-зима): 43–67.

Дальнейшее чтение

Лосада, Кэтрин К. 2014. «Комплексное умножение, структура и процесс: гармония и форма в структурах Булеза II». Теория музыки Спектр 36, вып. 1 (Весна): 86–120.
Моррис, Роберт Д. 1977. «О создании двенадцатитоновых рядов с функцией множественного порядка». Журнал теории музыки 21, вып. 2 (осень): 238–262.
Моррис, Роберт Д. 1982–83. « Комбинаторность без агрегата ». Перспективы новой музыки 21, вып. 1 и 2 (осень-зима/весна-лето): 432–486.
Моррис, Роберт Д. 1990. «Дополнение высоты тона и его обобщения». Журнал теории музыки 34, вып. 2 (Осень): 175–245.
Старр, Дэниел В. 1978. «Множества, инвариантность и разделы». Журнал теории музыки 22, вып. 1:1–42.

[1] Антоколец 1993 , 260, цитируется по Шуйеру 2008 , 77–78.

[FOOTNOTESchuijer200879-2] Шуйер 2008 , 79.

[FOOTNOTERahn198053-3] Ран 1980 , 53.

[FOOTNOTESchuijer200877–78-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с Шуйер 2008 , 77–78.

[FOOTNOTEKrenek1937-5] Кренек 1937 .

[FOOTNOTERandall1962-6] Рэндалл 1962 .

[FOOTNOTEWinham1970-7] Уинэм 1970 .

[FOOTNOTEHowe1965-8] Хоу 1965 .

[FOOTNOTESchuijer200881-9] Шуйер 2008 , 81.

[FOOTNOTEEimert195029–33-10] Элмер 1950 , 29–33.

[FOOTNOTEMorris1997238_&_242–43-11] Моррис 1997 , 238 и 242–43.

[FOOTNOTEWinham197065–66-12] Уинхэм 1970 , 65–66.

[FOOTNOTEMorris1997238–239,_243-13] Моррис 1997 , 238–239, 243.

[FOOTNOTEHibbard1969157–158-14] Хиббард 1969 , 157–158.

[FOOTNOTEMorris1982153–154-15] Моррис 1982 , 153–154.

[FOOTNOTEBoulez197139-40,_79-80-16] Булез 1971 , 39-40, 79-80.

[FOOTNOTEKoblyakov199032-17] Кобляков 1990 , 32.

[FOOTNOTEHeinemann1993-18] Хайнеманн 1993 .

[FOOTNOTEHeinemann1998-19] Хайнеманн 1998 .

[FOOTNOTEHeinemann199324-20] Хайнеманн 1993 , 24.

[FOOTNOTEHanson196044,_167-21] Хэнсон 1960 , 44, 167.

[FOOTNOTEHanson1960167-22] Хэнсон 1960 , 167.

[FOOTNOTESlonimsky1947v-23] Слонимский 1947 , т.

[FOOTNOTESchillinger1941147-24] Шиллингер 1941 , 147.

[FOOTNOTEFokker1987-25] Фоккер 1987 .

[FOOTNOTESchillinger194170–?_[[Category:Wikipedia_articles_needing_page_number_citations_from_September_2014]]<sup_class="noprint_Inline-Template_"_style="white-space:nowrap;">&#91;<i>[[Wikipedia:Citing_sources|<span_title="'70ff'_is_not_adequate,_since_it_might_mean_70–72,_70–9361,_or_any_terminal_number_larger_than_71.&#32;(September_2014)">page&nbsp;needed</span>]]</i>&#93;</sup>-26] Шиллингер 1941 , 70–? ^{[ нужна страница ]}.

[27] Ведро 1950 , ^{[ нужна страница ]} воспроизведено с небольшими изменениями в Schuijer 2008 , 80.

[FOOTNOTEEimert195028–29-28] Элмер 1950 , 28–29.

[FOOTNOTESchillinger1941187ff_[[Category:Wikipedia_articles_needing_page_number_citations_from_February_2014]]<sup_class="noprint_Inline-Template_"_style="white-space:nowrap;">&#91;<i>[[Wikipedia:Citing_sources|<span_title="Use_of_'ff'_is_discouraged_because_it_is_vague;_please_supply_exact_terminal_page_number_instead.&#32;(February_2014)">page&nbsp;needed</span>]]</i>&#93;</sup>-29] Шиллингер 1941 , 187ff. ^{[ нужна страница ]}.

[FOOTNOTESchillinger1941115ff,_208ff_[[Category:Wikipedia_articles_needing_page_number_citations_from_February_2014]]<sup_class="noprint_Inline-Template_"_style="white-space:nowrap;">&#91;<i>[[Wikipedia:Citing_sources|<span_title="Use_of_'ff'_is_discouraged_because_it_is_vague;_please_supply_exact_terminal_page_number_instead.&#32;(February_2014)">page&nbsp;needed</span>]]</i>&#93;</sup>-30] Шиллингер 1941 , 115 и далее, 208 и далее. ^{[ нужна страница ]}.

[FOOTNOTESchuijer200898n18-31] Шуйер 2008 , 98n18.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

v т и Теория музыкальных множеств
All-interval tetrachord All-trichord hexachord Complement Forte number Identity Interval class Interval vector Multiplication Permutation Pitch class Pitch interval Pitch-interval class Set List Similarity relation Transformation Z-relation
Diatonic set theory	Bisector Cardinality equals variety Common tone (Deep scale property) Diatonic scale Generated collection Generic and specific intervals (Myhill's property) Maximal evenness Rothenberg propriety Structure implies multiplicity

v т и Двенадцатитоновая техника и сериализм
Fundamentals	Combinatoriality Complementation Derivation Hexachord Interval class Invariance Partition Cross partition Tone row Aggregate List
Permutations	Prime row Retrograde Inversion Retrograde inversion Multiplication
Notable composers	Milton Babbitt Pierre Boulez Josef Matthias Hauer Second Viennese School Alban Berg Arnold Schoenberg Anton Webern Charles Wuorinen ...more...
Related articles	All-interval twelve-tone row All-trichord hexachord Atonality Chromatic scale Duration series Equivalence Formula composition Modernism (music) Punctualism Semitone Set theory Time point Trope
List of dodecaphonic and serial compositions