12 равный темперамент
12 равного темперамента ( 12-ET ) [ а ] музыкальная система, делящая октаву на 12 частей, все из которых одинаково темперированы (на равном расстоянии друг от друга) в логарифмическом масштабе , с соотношением, равным корню 12-й степени из 2 ( 12 √ 2 ≈ 1,05946). Полученный в результате наименьший интервал 1/12 октавы ширины называется полутоном или полутоном.
Двенадцатитоновая равнотемперированная система — самая распространенная система в современной музыке. Это была преобладающая система настройки западной музыки, начиная с классической музыки , начиная с 18 века, и Европа почти исключительно использовала ее приближения на протяжении тысячелетий до этого. [ нужна ссылка ] Он также использовался в других культурах.
В наше время 12-ET обычно настраивается относительно стандартной высоты звука в 440 Гц, называемой A440 , что означает, что одна нота A настроена на 440 герц , а все остальные ноты определяются как несколько полутонов, кроме нее, либо выше. или ниже по частоте . Стандартная высота звука не всегда составляла 440 Гц. За последние несколько сотен лет он менялся и в целом рос. [ 1 ]
История
[ редактировать ]Двум фигурам, которым часто приписывают достижение точного расчета двенадцати тонов равного темперамента, являются Чжу Цзайюй (также латинизированный как Чу-Цайю. Китайский: 朱載堉 ) в 1584 году и Саймон Стевин в 1585 году. По словам Фрица А. Каттнера, критик теории, [ 2 ] известно, что «Чу-Цайю представил в 1584 году очень точный, простой и остроумный метод арифметического расчета равнотемперированных монохордов» и что «Саймон Стевин предложил математическое определение равнотемперации плюс несколько менее точное вычисление соответствующих числовые значения в 1585 году или позднее». События происходили независимо. [ 3 ]
Кеннет Робинсон приписывает изобретение равного темперамента Чжу Цзайюю. [ 4 ] и предоставляет текстовые цитаты в качестве доказательства. [ 5 ] Цитируется, что Чжу Цзайюй сказал в тексте, датируемом 1584 годом: «Я основал новую систему. Я устанавливаю один фут как число, из которого должны быть извлечены остальные, и, используя пропорции, я извлекаю их. В целом нужно найдите точные цифры для волынщиков за двенадцать операций». [ 5 ] Каттнер не согласен и отмечает, что его утверждение «нельзя считать правильным без существенных оговорок». [ 2 ] Каттнер предполагает, что ни Чжу Цзайю, ни Саймон Стевин не достигли одинакового темперамента и что ни одного из двоих нельзя рассматривать как изобретателей. [ 3 ]
Китай
[ редактировать ]Ранняя история
[ редактировать ]Полный набор бронзовых колокольчиков среди многих музыкальных инструментов, найденных в гробнице маркиза И Цзэна (ранние Воюющие царства, ок. V века до н.э. , китайский бронзовый век), охватывает пять полных семинотных октав в тональности До мажор, включая 12 нот полутона в середине диапазона. [ 6 ]
Приближение равного темперамента было описано Хэ Чэнтянем , математиком Южной и Северной династий, жившим с 370 по 447 год. [ 7 ] Он предложил самую раннюю в истории зафиксированную приблизительную числовую последовательность относительно равного темперамента: 900 849 802 758 715 677 638 601 570 536 509,5 479 450. [ 8 ]
Чжу Цзайюй
[ редактировать ]
Чжу Цзайюй ( 朱載堉 ), принц при дворе Мин , потратил тридцать лет на исследования, основанные на идее равного темперамента, первоначально постулированной его отцом. Он описал свою новую теорию высоты тона в своей работе «Слияние музыки и календаря », опубликованной в 1580 году. За этим последовала публикация подробного отчета о новой теории равного темперамента с точной числовой спецификацией для 12-ET в его 5000 -страничная работа « Полный сборник музыки и высоты звука» ( Yelü quan shu 樂律全書 ) 1584 года. [ 9 ] Расширенный отчет также предоставлен Джозефом Нидхэмом. [ 5 ] Чжу получил свой результат математически, последовательно разделив длину веревки и трубы на 12 √ 2 ≈ 1,059463, а для длины трубы на 24 √ 2 , [ 10 ] так, что после двенадцати делений (октавы) длина делилась в 2 раза:
![{\displaystyle \left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{12}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f0e94dc870dfc2af0eb35a7b362eb3776054719)
Аналогично, после 84 делений (7 октав) длина была поделена в 128 раз:
![{\displaystyle \left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{84}=2^{7}=128}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc85da07cabc4f33cc3fc965e9ef6e74361e7c7)
Чжу Цзайюй считается первым человеком, решившим проблему равного темперамента математически. [ 11 ] По крайней мере, один исследователь предположил, что Маттео Риччи , иезуит из Китая, записал эту работу в свой личный дневник. [ 11 ] [ 12 ] и, возможно, передал работу обратно в Европу. (Стандартные ресурсы по этой теме не упоминают о таком переносе. [ 13 ] ) В 1620 году на работу Чжу сослался европейский математик. [ ВОЗ? ] [ 12 ] Мюррей Барбур сказал: «Первое известное появление в печати правильных цифр равного темперамента произошло в Китае, где блестящее решение принца Цайюй остается загадкой». [ 14 ] Немецкий физик XIX века Герман фон Гельмгольц писал в книге «Об ощущениях тона» , что китайский принц (см. ниже) ввел гамму из семи нот и что в Китае было обнаружено деление октавы на двенадцать полутонов. [ 15 ]
Чжу Цзайюй проиллюстрировал свою теорию равного темперамента, создав набор из 36 бамбуковых настраивающих трубок в трех октавах с инструкциями о типе бамбука, цвете краски и подробными спецификациями их длины, внутреннего и внешнего диаметра. Он также сконструировал 12-струнный настроечный инструмент с набором настроечных трубок, спрятанных внутри его нижней полости. В 1890 году Виктор-Шарль Махильон , хранитель музея консерватории в Брюсселе, продублировал набор звуковых трубок по спецификации Чжу Цзайюя. Он сказал, что китайская теория тонов знает больше о длине звуковых трубок, чем ее западный аналог, и что набор трубок, дублированный по данным Цзайюй, доказал точность этой теории.
Европа
[ редактировать ]
Ранняя история
[ редактировать ]Одно из самых ранних обсуждений равного темперамента встречается в трудах Аристоксена в IV веке до нашей эры. [ 16 ]
Винченцо Галилей (отец Галилео Галилея ) был одним из первых практических сторонников двенадцатитонового одинакового темперамента. Он составил набор танцевальных сюит на каждой из 12 нот хроматической гаммы во всех «транспонированных тональностях», а также опубликовал в своем « Фронимо » 1584 года 24 + 1 ричеркар . [ 17 ] Для игры на лютне он использовал соотношение 18:17 (хотя для чистых октав потребовалась некоторая корректировка). [ 18 ]
К 1567 году земляк Галилея и коллега- лютнист Джакомо Горзанис писал музыку, основанную на равном темпераменте. [ 19 ] Горзанис был не единственным лютнистом, исследовавшим все лады и тональности: Франческо Спиначино написал «Recercare de tutti li Toni» ( «Рицеркар во всех тонах») еще в 1507 году. [ 20 ] В 17 веке композитор-лютнист Джон Уилсон написал набор из 30 прелюдий, в том числе 24 во всех мажорных и минорных тональностях. [ 21 ] [ 22 ] Хенрикус Грамматеус приблизился к равной темперации в 1518 году. Первые правила настройки равной темперации были даны Джовани Марией Ланфранко в его «Scintille de musica». [ 23 ] Зарлино в своей полемике с Галилеем первоначально выступал против равного темперамента, но в конце концов уступил ему в отношении лютни в своем «Музыкальных произведениях» 1588 года.
Саймон Стевин
[ редактировать ]Первое упоминание о равном темпераменте, связанном с корнем двенадцатой степени из двух , на Западе появилось в Саймона Стевина « рукописи Ван де Шпигелинг дер сингконст » (ок. 1605 г.), опубликованной посмертно, почти три столетия спустя, в 1884 году. [ 24 ] Однако из-за недостаточной точности его расчетов многие полученные им значения длины хорды отклонялись на одну или две единицы от правильных значений. [ 13 ] В результате соотношение частот аккордов Саймона Стевина не имеет единого соотношения, а имеет одно соотношение на тон, что Джин Чо считает неправильным. [ 25 ]
Ниже была длина аккорда Саймона Стевина из Van de Spiegheling der Singconst : [ 26 ]
| Тон | Аккорд 10000 от Саймона Стевина | Соотношение | Исправленный аккорд |
|---|---|---|---|
| полутон | 9438 | 1.0595465 | 9438.7 |
| весь тон | 8909 | 1.0593781 | |
| тон-полтора | 8404 | 1.0600904 | 8409 |
| дитон | 7936 | 1.0594758 | 7937 |
| дитон с половиной | 7491 | 1.0594046 | 7491.5 |
| тритон | 7071 | 1.0593975 | 7071.1 |
| тритона с половиной | 6674 | 1.0594845 | 6674.2 |
| четырехцветный | 6298 | 1.0597014 | 6299 |
| четыре тона с половиной | 5944 | 1.0595558 | 5946 |
| пятитональный | 5611 | 1.0593477 | 5612.3 |
| пять тонов с половиной | 5296 | 1.0594788 | 5297.2 |
| полный тон | 1.0592000 |
Поколение спустя французский математик Марин Мерсенн представил несколько равноправных длины хорд получены Жаном Бограном, Исмаэлем Буйо и Жаном Галлем. [ 27 ]
В 1630 году Иоганн Фаульхабер опубликовал таблицу монохорд за 100 центов, которая содержала несколько ошибок, связанных с использованием им логарифмических таблиц. Он не объяснил, как получил свои результаты. [ 28 ]
Барокко было
[ редактировать ]Примерно с 1450 по 1800 годы щипковые музыканты (лютнисты и гитаристы) обычно предпочитали равный темперамент. [ 29 ] а рукопись для лютни Броссара, составленная в последней четверти 17 века, содержит серию из 18 прелюдий, приписываемых Боке , написанных во всех тональностях, включая последнюю прелюдию, озаглавленную Prelude sur tous les тонны , которая энгармонически модулирует все тональности. [ 30 ] [ нужны разъяснения ] Анджело Микеле Бартолотти опубликовал серию пассакалий во всех тональностях, соединяющих энгармонически модулирующие отрывки. Среди клавишных композиторов 17-го века Джироламо Фрескобальди выступал за равный темперамент. Некоторые теоретики, такие как Джузеппе Тартини , были против принятия равного темперамента; они чувствовали, что ухудшение чистоты каждого аккорда снижает эстетическую привлекательность музыки, хотя Андреас Веркмейстер решительно выступал за равный темперамент в своем трактате 1707 года, опубликованном посмертно. [ 31 ]
Двенадцатитональный равномерный темперамент прижился по разным причинам. Это было удобно для существующей конструкции клавиатуры и обеспечивало полную гармоническую свободу с бременем умеренных примесей в каждом интервале, особенно несовершенных созвучий. Это позволило добиться большего выражения посредством энгармонической модуляции , которая стала чрезвычайно важной в 18 веке в музыке таких композиторов, как Франческо Джеминиани , Вильгельм Фридеман Бах , Карл Филипп Эммануэль Бах и Иоганн Готфрид Мютель . [ нужна ссылка ] Двенадцатитоновая равнотемперированная система имела некоторые недостатки, такие как несовершенная терция, но когда Европа перешла на равнотемперированную, она изменила написанную музыку, чтобы приспособиться к системе и минимизировать диссонанс. [ б ]
Развитие равнотемпераментного темперамента с середины XVIII века подробно описано во многих современных научных публикациях: это был темперамент выбора уже в классическую эпоху (вторая половина XVIII века), [ нужна ссылка ] и он стал стандартом в эпоху раннего романтизма (первое десятилетие XIX века), [ нужна ссылка ] за исключением органов, которые перешли на него более постепенно, завершившись лишь во втором десятилетии XIX века. (В Англии некоторые соборные органисты и хормейстеры выступали против этого даже после этой даты; Сэмюэл Себастьян Уэсли , например, все время выступал против этого. Он умер в 1876 году.) [ нужна ссылка ]
Точная равная темперация возможна с использованием метода Саббатини 17 века, согласно которому первая октава разделяется на три темперированные мажорные трети. [ 32 ] Это также предлагалось несколькими писателями классической эпохи. Настройка без частоты биений, но с использованием нескольких проверок, обеспечивающая практически современную точность, проводилась уже в первые десятилетия XIX века. [ 33 ] Использование частоты ритмов, впервые предложенное в 1749 году, стало обычным явлением после того, как их распространили Гельмгольц и Эллис во второй половине XIX века. [ 34 ] Максимальная точность была достигнута с помощью двух десятичных таблиц, опубликованных Уайтом в 1917 году. [ 35 ]
Именно в среде равных темпераментов развивались и процветали новые стили симметричной тональности и политональности , атональная музыка, например, написанная с использованием двенадцатитоновой техники или сериализма , и джаз (по крайней мере, его фортепианная составляющая).
Сравнение исторических приближений полутона
[ редактировать ]| Год | Имя | Соотношение [ 36 ] | центы |
|---|---|---|---|
| 400 | Хэ Чэнтянь | 1.060070671 | 101.0 |
| 1580 | Винченцо Галилей | 18:17 [1.058823529] | 99.0 |
| 1581 | Чжу Цзайюй | 1.059463094 | 100.0 |
| 1585 | Саймон Стевин | 1.059546514 | 100.1 |
| 1630 | Марин Мерсенн | 1.059322034 | 99.8 |
| 1630 | Иоганн Фаульхабер | 1.059490385 | 100.0 |
Математические свойства
[ редактировать ]
В двенадцатитоновой равнотемперации, разделяющей октаву на 12 равных частей, ширина полутона , т. е. соотношение частот интервала между двумя соседними нотами, равна корню двенадцатой степени из двух :
![{\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}=2^{\frac {1}{12}}\приблизительно 1,059463}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/232c2beab28b1c46c328080d982595d9ef196e08)
Этот интервал делится на 100 центов .
Расчет абсолютных частот
[ редактировать ]Чтобы найти частоту P n ноты в 12-ET, можно использовать следующее определение:
![{\displaystyle P_{n}=P_{a}\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(na)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3381e111c79f7e16a073bbe05c6cabeaba2ff79a)
В этой формуле P n обозначает высоту звука или частоту (обычно в герцах ), которую вы пытаетесь найти. P a относится к частоте эталонного тона. n и a относятся к номерам, присвоенным желаемому шагу и эталонному шагу соответственно. Эти два числа взяты из списка последовательных целых чисел, которым присвоены последовательные полутона. Например, A 4 (опорная высота) — это 49-я клавиша слева от фортепиано (настроенная на 440 Гц ), а C 4 ( средняя C ) и F# 4 — это 40-я и 46-я клавиши соответственно. Эти числа можно использовать для определения частоты C 4 и F# 4 :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{3}P_{40}&=440\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(40-49)}&&\approx 261,626\ \mathrm {Гц} \\P_{46}&=440\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(46-49)}&&\approx 369,994\ \mathrm {Гц} \end{aligned} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b2cc77efb874655e7633d236cfd2c9f7e5b8229)
Просто интервалы
[ редактировать ]
Интервалы 12-ET очень близки к некоторым интервалам по интонации . [ 37 ]
По лимиту
[ редактировать ]12 ET очень точен в пределе 3, но по мере увеличения пределов простых чисел до 11 он постепенно ухудшается примерно на шестую часть полутона каждый раз. Его одиннадцатая и тринадцатая гармоники крайне неточны. 12 Семнадцатая и девятнадцатая гармоники ET почти так же точны, как и его третья гармоника, но к этому моменту основной предел стал слишком высоким, чтобы звучать созвучно большинству людей. [ нужна ссылка ]
3 лимита
[ редактировать ]12 ET имеет очень хорошее приближение к идеальной квинте ( 3/2 инверсия ( ) его кварта , идеальная и 4/3 специально для ), разделения октавы на сравнительно небольшое количество тонов. В частности, идеальная квинта всего на одну пятьдесят первую полутона острее, чем равнотемперированная аппроксимация. Потому что мажорный тон ( 9/8 — ( ) это просто две идеальные квинты минус октава и ее инверсия, пифагорейская минорная септима 16 / 9 ), представляют собой просто две идеальные четверти вместе взятые, они по большей части сохраняют точность своих предшественников; ошибка удваивается, но остается небольшой – настолько маленькой, что люди не могут ее заметить. Можно продолжать использовать дроби с более высокими степенями тройки, следующие две будут 27/16 и 32/27 . , но по мере увеличения членов дробей они становятся менее приятными для слуха [ нужна ссылка ]
5 лимит
[ редактировать ]12 Аппроксимация ET пятой гармоники ( 5 / 4 ) отклоняется примерно на одну седьмую полутона. Поскольку интервалы, отступающие менее чем на четверть шкалы, по-прежнему звучат стройно, другие пятипредельные интервалы в 12 ET, такие как 5/3 и 8 / 5 имеют ошибки одинакового размера. Таким образом, мажорное трезвучие звучит стройно, так как его соотношение частот примерно 4:5:6, далее, слившись с его первым обращением и двумя субоктавными тониками, оно составляет 1:2:3:4:5:6, все шесть самых низких естественных гармоник басового тона. [ нужна ссылка ]
7 лимит
[ редактировать ]12 Аппроксимация ET седьмой гармоники ( 7/4 ) отклоняется примерно на одну треть полутона. Поскольку ошибка превышает четверть полутона, семипредельные интервалы в 12 ET имеют тенденцию звучать фальшиво. В тритоновых фракциях 7/5 и 10 / 7 , ошибки пятой и седьмой гармоник частично компенсируют друг друга, так что справедливые доли находятся в пределах четверти полутона от их равнотемперированных эквивалентов. [ нужна ссылка ]
11 и 13 лимиты
[ редактировать ]Одиннадцатая гармоника ( 11 / 8 ), на уровне 551,32 цента, находится почти ровно посередине между двумя ближайшими одинаково умеренными интервалами в 12 ET и, следовательно, не аппроксимируется ни одним из них. Фактически, 11/8 ET . почти настолько далек от любого равномерного приближения, насколько это возможно в 12 Тринадцатая гармоника ( 13 / 8 ), на две пятых полутона резче, чем второстепенная шестая, почти так же неточно. Хотя это означает, что дробь 13/11 ( а также его инверсия 22/13 или микротональностью , четвертями ) точно аппроксимируются (в частности, на три полутона), так как ошибки одиннадцатой и тринадцатой гармоник в основном компенсируются, большинство людей, не знакомых с тонов не будут знакомы с одиннадцатой и тринадцатой гармониками. гармоники. Точно так же, хотя ошибка одиннадцатой или тринадцатой гармоники может быть в основном нейтрализована ошибкой седьмой гармоники, большинство западных музыкантов не сочтут полученные дроби созвучными, поскольку 12 ET не приближают их точно. [ нужна ссылка ]
17 и 19 лимиты
[ редактировать ]Семнадцатая гармоника ( 17 / 16 ) всего примерно на 5 центов острее, чем на один полутон в 12 ET. Его можно объединить с аппроксимацией третьей гармоники 12 ET, чтобы получить 17 / 12 , что является следующим приближением Пелля после 7 / 5 , всего примерно на три цента от равнотемперированного тритона (квадратный корень из двух), и 17 / 9 , что всего на один цент отличается от основной седьмой позиции 12 ET. Девятнадцатая гармоника всего лишь примерно на 2,5 цента более плоская, чем три из 12 полутонов ET, поэтому ее также можно объединить с третьей гармоникой для получения 19 / 12 , что примерно на 4,5 цента более лестно, чем минорная шестая часть с таким же темперированием, и 19/18 что примерно на 6,5 , цента ниже полутона. Однако, поскольку 17 и 19 довольно велики для соотношений согласных, и большинству людей незнакомы 17 предельных и 19 предельных интервалов, 17 предельных и 19 предельных интервалов бесполезны для большинства целей, поэтому их, вероятно, нельзя рассматривать как играющие роль в любые созвучия 12 ET. [ нужна ссылка ]
Стол
[ редактировать ]В следующей таблице размеры различных справедливых интервалов сравниваются с их равнотемперированными аналогами, выраженными как в пропорциях, так и в центах . Различия менее шести центов не могут быть замечены большинством людей, а также интервалы, составляющие более четверти шага; что в данном случае составляет 25 центов за фальшивый звук. [ нужна ссылка ]
| Количество шагов | Примечание, поднимающееся от C | Точное значение в 12-ET | Десятичное значение в 12-ET | Равномерный звук | центы | Просто название интонационного интервала | Просто доля интервала интонации | Справедливо произнесенный звук | Центы в простой интонации | Разница |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | С | 2 0 ⁄ 12 = 1 | 1 | 0 | Унисон | 1 ⁄ 1 = 1 | 0 | 0 | ||
| 1 | С ♯ или Д ♭ | 2 1 ⁄ 12 = 12 √ 2 | 1.05946... | 100 | Септимальный третий тон | 28 ⁄ 27 = 1.03703... | 62.96 | -37.04 | ||
| Просто хроматический полутон | 25 ⁄ 24 = 1.04166... | 70.67 | -29.33 | |||||||
| Недесятичный полутон | 22 ⁄ 21 = 1.04761... | 80.54 | -19.46 | |||||||
| Септимальный хроматический полутон | 21 ⁄ 20 = 1.05 | 84.47 | ||||||||
| Новендесичный хроматический полутон | 20 ⁄ 19 = 1.05263... | 88.80 | ||||||||
| Пифагорейский диатонический полутон | 256 ⁄ 243 = 1.05349... | 90.22 | ||||||||
| Больший хроматический полутон | 135 ⁄ 128 = 1.05468... | 92.18 | ||||||||
| Новендесятичный диатонический полутон | 19 ⁄ 18 = 1.05555... | 93.60 | ||||||||
| Септадесятичный хроматический полутон | 18 ⁄ 17 = 1.05882... | 98.95 | ||||||||
| Семнадцатая гармоника | 17 ⁄ 16 = 1.0625... | 104.96 | +4.96 | |||||||
| Просто диатонический полутон | 16 ⁄ 15 = 1.06666... | 111.73 | +11.73 | |||||||
| Пифагорейский хроматический полутон | 2187 ⁄ 2048 = 1.06787... | 113.69 | +13.69 | |||||||
| Септимальный диатонический полутон | 15 ⁄ 14 = 1.07142... | 119.44 | +19.44 | |||||||
| Меньший трехзначный 2/3 тона | 14 ⁄ 13 = 1.07692... | 128.30 | +28.30 | |||||||
| Мажорный диатонический полутон | 27 ⁄ 25 = 1.08 | 133.24 | +33.24 | |||||||
| 2 | Д | 2 2 ⁄ 12 = 6 √ 2 | 1.12246... | 200 | Пифагорейский уменьшенный третий | 65536 ⁄ 59049 = 1.10985... | 180.45 | |||
| Минорный тон | 10 ⁄ 9 = 1.11111... | 182.40 | ||||||||
| Мажорный тон | 9 ⁄ 8 = 1.125 | 203.91 | +3.91 | |||||||
| Септимальный целый тон | 8 ⁄ 7 = 1.14285... | 231.17 | +31.17 | |||||||
| 3 | Д ♯ или Е ♭ | 2 3 ⁄ 12 = 4 √ 2 | 1.18920... | 300 | Септимальная минорная треть | 7 ⁄ 6 = 1.16666... | 266.87 | |||
| Трехзначная младшая треть | 13 ⁄ 11 = 1.18181... | 289.21 | ||||||||
| Пифагорейская минорная терция | 32 ⁄ 27 = 1.18518... | 294.13 | ||||||||
| Девятнадцатая гармоника | 19 ⁄ 16 = 1.1875 | 297.51 | ||||||||
| Просто второстепенная треть | 6 ⁄ 5 = 1.2 | 315.64 | +15.64 | |||||||
| Пифагорейская дополненная секунда | 19683 ⁄ 16384 = 1.20135... | 317.60 | +17.60 | |||||||
| 4 | И | 2 4 ⁄ 12 = 3 √ 2 | 1.25992... | 400 | Пифагорейский уменьшенный четвертый | 8192 ⁄ 6561 = 1.24859... | 384.36 | -15.64 | ||
| Просто главная треть | 5 ⁄ 4 = 1.25 | 386.31 | -13.69 | |||||||
| Пифагорейская мажорная терция | 81 ⁄ 64 = 1.265625 | 407.82 | +7.82 | |||||||
| Недесятичная большая треть | 14 ⁄ 11 = 1.27272... | 417.51 | +17.51 | |||||||
| Семеричная мажорная треть | 9 ⁄ 7 = 1.28571... | 435.08 | +35.08 | |||||||
| 5 | Ф | 2 5 ⁄ 12 = 12 √ 32 | 1.33484... | 500 | Просто идеальная четвертая | 4 ⁄ 3 = 1.33333... | 498.04 | -1.96 | ||
| Пифагорейская дополненная третья | 177147 ⁄ 131072 = 1.35152... | 521.51 | +21.51 | |||||||
| 6 | Ж ♯ или Г ♭ | 2 6 ⁄ 12 = √ 2 | 1.41421... | 600 | Классическая дополненная четвертая | 25 ⁄ 18 = 1.38888... | 568.72 | -31.28 | ||
| Тритон Гюйгенса | 7 ⁄ 5 = 1.4 | 582.51 | -17.49 | |||||||
| Пифагорейский уменьшенный пятый | 1024 ⁄ 729 = 1.40466... | 588.27 | -11.73 | |||||||
| Только что дополненная четвертая | 45 ⁄ 32 = 1.40625 | 590.22 | -9.78 | |||||||
| Просто уменьшилось пятое место | 64 ⁄ 45 = 1.42222... | 609.78 | +9.78 | |||||||
| Пифагорейская дополненная четвертая | 729 ⁄ 512 = 1.42382... | 611.73 | +11.73 | |||||||
| тритон Эйлера | 10 ⁄ 7 = 1.42857... | 617.49 | +17.49 | |||||||
| Классическая уменьшенная пятая часть | 36 ⁄ 25 = 1.44 | 631.28 | +31.28 | |||||||
| 7 | Г | 2 7 ⁄ 12 = 12 √ 128 | 1.49830... | 700 | Пифагорейский уменьшился на шестое место | 262144 ⁄ 177147 = 1.47981... | 678.49 | |||
| Просто идеальная пятая часть | 3 ⁄ 2 = 1.5 | 701.96 | +1.96 | |||||||
| 8 | Г ♯ или А ♭ | 2 8 ⁄ 12 = 3 √ 4 | 1.58740... | 800 | Семеричная минорная шестая | 14 ⁄ 9 = 1.55555... | 764.92 | -35.08 | ||
| Недесятичная младшая шестая | 11 ⁄ 7 = 1.57142... | 782.49 | -17.51 | |||||||
| Пифагорейская минорная шестая ступень | 128 ⁄ 81 = 1.58024... | 792.18 | -7.82 | |||||||
| Просто второстепенная шестая | 8 ⁄ 5 = 1.6 | 813.69 | +13.69 | |||||||
| Пифагорейская дополненная пятая часть | 6561 ⁄ 4096 = 1.60180... | 815.64 | +15.64 | |||||||
| 9 | А | 2 9 ⁄ 12 = 4 √ 8 | 1.68179... | 900 | Пифагорейский уменьшился на седьмое место | 32768 ⁄ 19683 = 1.66478... | 882.40 | |||
| Просто мажор шестой | 5 ⁄ 3 = 1.66666... | 884.36 | ||||||||
| Девятнадцатая субгармоника | 32 ⁄ 19 = 1.68421... | 902.49 | +2.49 | |||||||
| Пифагорейская мажорная шестая ступень | 27 ⁄ 16 = 1.6875 | 905.87 | +5.87 | |||||||
| Семеричная мажорная шестая | 12 ⁄ 7 = 1.71428... | 933.13 | +33.13 | |||||||
| 10 | А ♯ или Б ♭ | 2 10 ⁄ 12 = 6 √ 32 | 1.78179... | 1000 | Гармоническая седьмая | 7 ⁄ 4 = 1.75 | 968.83 | -31.17 | ||
| Пифагорейская минорная седьмая | 16 ⁄ 9 = 1.77777... | 996.09 | -3.91 | |||||||
| Большая минорная седьмая | 9 ⁄ 5 = 1.8 | 1017.60 | +17.60 | |||||||
| Пифагорейская дополненная шестая | 59049 ⁄ 32768 = 1.80203... | 1019.55 | +19.55 | |||||||
| 11 | Б | 2 11 ⁄ 12 = 12 √ 2048 | 1.88774... | 1100 | Трехзначная нейтральная седьмая | 13 ⁄ 7 = 1.85714... | 1071.70 | -28.30 | ||
| Пифагорейская уменьшенная октава | 4096 ⁄ 2187 = 1.87288... | 1086.31 | -13.69 | |||||||
| Просто мажорный седьмой | 15 ⁄ 8 = 1.875 | 1088.27 | -11.73 | |||||||
| Семнадцатая субгармоника | 32 ⁄ 17 = 1.88235... | 1095.04 | -4.96 | |||||||
| Пифагорейская мажорная седьмая | 243 ⁄ 128 = 1.89843... | 1109.78 | +9.78 | |||||||
| Семеричная мажорная седьмая | 27 ⁄ 14 = 1.92857... | 1137.04 | +37.04 | |||||||
| 12 | С | 2 12 ⁄ 12 = 2 | 2 | 1200 | Октава | 2 ⁄ 1 = 2 | 1200.00 | 0 |
Запятые
[ редактировать ]12-ET смягчает несколько запятых , означая, что есть несколько дробей, близких к 1 / 1 , которые рассматриваются как 1 / 1 на 12-ET из-за сопоставления разных дробей с одним и тем же равнотемперированным интервалом. Например, 729 / 512 ( 3 6 / 2 9 ) и 1024 / 729 ( 2 10 / 3 6 ) каждый сопоставлен с тритоном, поэтому номинально они рассматриваются как один и тот же интервал; следовательно, их частное, 531441 / 524288 ( 3 12 / 2 19 ) отображается/рассматривается как унисон. Это запятая Пифагора , и это единственная запятая с 3 пределами в 12-ET. Однако по мере увеличения предела простых чисел и включения большего количества интервалов количество запятых увеличивается. Самая важная пятипредельная запятая 12-ET — это 81 / 80 ( 3 4 / 2 4 × 5 1 ), которая известна как синтонная запятая и является множителем между пифагорейскими терциями и шестыми и их справедливыми аналогами. Другие 5-предельные запятые 12-ET включают:
- Раскол : 32805 / 32768 = 3 8 × 5 1 / 2 15 = ( 531441 / 524288 ) 1 × ( 81 / 80 ) −1
- Диашизма : 2048 / 2025 = 2 11 / 3 4 × 5 2 = ( 531441 / 524288 ) −1 × ( 81 / 80 ) 2
- Менее острый : 128 / 125 = 2 7 / 5 3 = ( 531441 / 524288 ) −1 × ( 81 / 80 ) 3
- Большой диезис : 648 / 625 = 2 3 × 3 4 / 5 4 =( 531441 / 524288 ) −1 × ( 81 / 80 ) 4
Одной из 7-предельных запятых, которые смягчает 12-ET, является семеричная клейсма , равная 225 / 224 , или 3 2 ×5 2 / 2 5 ×7 1 . Другие запятые с 7 ограничениями в 12-ET включают:
- Семеричная запятая : 126 / 125 = 2 1 × 3 2 × 7 1 / 5 3 = ( 81 / 80 ) 1 × ( 225 / 224 ) −1
- Запятая Архита : 64 / 63 = 2 6 / 3 2 × 7 1 = ( 531441 / 524288 ) −1 × ( 81 / 80 ) 2 × ( 225 / 224 ) 1
- Семеричный четверть тона : 36 / 35 = 2 2 × 3 2 / 5 1 ×v7 1 = ( 531441 / 524288 ) −1 × ( 81 / 80 ) 3 × ( 225 / 224 ) 1
- Юбилей : 50 / 49 = 2 1 × 5 2 / 7 2 = ( 531441 / 524288 ) −1 × ( 81 / 80 ) 2 × ( 225 / 224 ) 2
Похожие системы тюнинга
[ редактировать ]Исторически использовалось несколько систем настройки, которые можно рассматривать как небольшие вариации 12-TEDO, с двенадцатью нотами на октаву, но с некоторыми изменениями в размерах интервалов, так что ноты не совсем равномерно расположены. Одним из примеров этого является трехпредельная шкала, в которой равномерные идеальные квинты в 700 центов заменяются правильно произнесенными чистыми квинтами в 701,955 центов. Поскольку два интервала отличаются менее чем на 2 цента, или 1/600 октавы , эти две гаммы очень похожи. Фактически, китайцы разработали трехпредельную интонацию по крайней мере за столетие до того, как Хэ Чэнтянь создал последовательность 12-TEDO. [ 38 ] Точно так же пифагорейский строй, разработанный древними греками, был преобладающей системой в Европе до тех пор, пока в эпоху Возрождения европейцы не осознали, что диссонирующие интервалы, такие как 81 ⁄ 64 [ 39 ] можно было бы сделать более созвучными, сводя их к более простым соотношениям, например 5 ⁄ 4 , в результате чего в Европе возникла серия средних темпераментов , которые немного изменили размеры интервалов, но все же могли рассматриваться как приблизительные 12-TEDO. Из-за склонности средних темпераментов концентрировать ошибку на одной энгармонической идеальной квинте, что делает ее очень диссонирующей , европейские теоретики музыки, такие как Андреас Веркмайстер, Иоганн Филипп Кирнбергер, Франческо Антонио Валлотти и Томас Янг, создали различные хорошие темпераменты с целью разделения запятые вверх, чтобы уменьшить диссонанс наиболее пострадавших интервалов. Веркмайстер и Кирнбергер были недовольны своим первым темпераментом и поэтому создали несколько темпераментов, причем последние темпераменты более близко приближались к равному темпераменту, чем первые. Точно так же Европа в целом постепенно перешла от умеренного и хорошего темперамента к 12-TEDO, системе, которую она использует до сих пор.
Подмножества
[ редактировать ]Хотя в некоторых типах музыки, таких как сериализм , используются все двенадцать нот 12-TEDO, в большинстве музыкальных произведений используются только ноты из определенного подмножества 12-TEDO, известного как гамма. Существует множество различных типов весов.
Самый популярный тип шкалы в 12-TEDO — это один. Meantone относится к любой гамме, в которой все ноты идут подряд в квинтовом круге. Существуют шкалы средних тонов разных размеров, и некоторые используемые шкалы средних тонов включают в себя пятинотный средний тон , семинотный средний тон и девятинотный средний тон . Meantone присутствует в дизайне западных инструментов. Например, клавиши пианино и его предшественников устроены так, что белые клавиши образуют семинотную тональную гамму, а черные клавиши образуют пятинотную тональную гамму. Другой пример: гитары и другие струнные инструменты, имеющие как минимум пять струн, обычно настраиваются так, что их открытые струны образуют пятитоновую тональную гамму.
Другие гаммы, используемые в 12-TEDO, включают восходящую мелодическую минорную гамму , гармонический минор , гармонический мажор , уменьшенную гамму и ин-гамму .
См. также
[ редактировать ]- Равный темперамент
- Просто интонация
- Музыкальная акустика (физика музыки)
- Музыка и математика
- Микротональная музыка
- Список средних интервалов
- Диатонический и хроматический
- Электронный тюнер
- Музыкальный тюнинг
Ссылки
[ редактировать ]Сноски
[ редактировать ]- ^ Также известен как двенадцать тонов равной темперации ( 12-TET ), 12 тонов с равным делением октавы ( 12-TEDO ), 12 с равным делением 2/1 ( 12-ED2 ), 12 с равным делением октавы ( 12) -ЭДО ); неофициально сокращенно до двенадцати равных называется равным темпераментом без оговорок или в западных странах .
- ^ Вероятно, не случайно, что по мере того, как настройка европейской музыки все больше приближалась к 12ET, стиль музыки менялся так, что дефекты 12ET стали менее очевидными, хотя следует иметь в виду, что в реальном исполнении они часто уменьшаются. по тюнинговым обработкам исполнителей. [ нужна ссылка ]
Цитаты
[ редактировать ]- ^ фон Гельмгольц и Эллис 1885 , стр. 493–511.
- ^ Перейти обратно: а б Каттнер 1975 , с. 163.
- ^ Перейти обратно: а б Каттнер 1975 , с. 200.
- ^ Робинсон 1980 , с. vii: Чу-Цайю — первый в мире автор математической формулы «равного темперамента».
- ^ Перейти обратно: а б с Нидэм, Линг и Робинсон, 1962 , с. 221.
- ^ Кван-чжи Чанг, Пинфан Сюй и Ляньчэн Лу 2005 , стр. 140.
- ^ Гудман, Ховард Л.; Лиен, Ю. Эдмунд (апрель 2009 г.). «Китайская система темперамента ди-флейты третьего века нашей эры: соответствие древним стандартам высоты звука и борьба с модальной практикой». Журнал Общества Галпина . 62 . Общество Галпина: 7. JSTOR 20753625 .
- ^ Барбур 2004 , стр. 55–56.
- ^ Харт 1998 .
- ^ Нидхэм и Ронан 1978 , с. 385.
- ^ Перейти обратно: а б На 2010 год .
- ^ Перейти обратно: а б Линхард 1997 .
- ^ Перейти обратно: а б Кристенсен 2002 , с. 205.
- ^ Барбур 2004 , с. 7.
- ^ фон Гельмгольц и Эллис 1885 , с. 258.
- ^ Правда, 2018 г. , стр. 61–74.
- ^ Галилей 1584 , стр. 80–89.
- ^ Барбур 2004 , с. 8.
- ^ де Горзанис 1981 .
- ^ «Спиначино 1507а: Тематический указатель» . Аппалачский государственный университет. Архивировано из оригинала 25 июля 2011 г. Проверено 14 июня 2012 г.
- ^ Уилсон 1997 .
- ^ Йоргенс 1986 .
- ^ "Scintille de musica", (Брешия, 1533 г.), с. 132
- ^ Коэн 1987 , стр. 471–488.
- ^ За 2003 год , с. 223.
- ^ За 2003 год , с. 222.
- ^ Кристенсен 2002 , стр. 207.
- ^ Кристенсен 2002 , с. 78.
- ^ Линдли, Марк. Лютни, Изнасилования, Темпераменты . ISBN 978-0-521-28883-5
- ^ Вм7 6214
- ^ Андреас Веркмайстер (1707), Музыкальный парадоксальный дискурс
- ^ Ди Вероли 2009 , стр. 140, 142 и 256.
- ^ Муди 2003 .
- ^ фон Гельмгольц и Эллис 1885 , с. 548.
- ^ Уайт, Уильям Брейд (1946) [1917]. Настройка фортепиано и смежные искусства (5-е расширенное изд.). Бостон, Массачусетс: Tuners Supply Co. p. 68.
- ^ Барбур 2004 , стр. 55–78.
- ^ Часть 1979 , с. 134.
- ^ Нидхэм, Линг и Робинсон 1962 , стр. 170–171.
- ^ Бенвард и Сакер 2003 , с. 56.
Источники
[ редактировать ]- Барбур, Джеймс Мюррей (2004). Настройка и темперамент: исторический обзор . Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-43406-3 .
- Бенвард, Брюс; Сейкер, Мэрилин (2003). Музыка в теории и практике . Том. 1. МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-294261-3 .
- Чо, Джин Дж. (2003). Открытие музыкального равного темперамента в Китае и Европе в шестнадцатом веке . Э. Меллен Пресс. ISBN 978-0-7734-6941-9 .
- Чо, Джин Дж. (2010). «Значение открытия музыкального равнотемперирования в истории культуры» . Журнал Синхайской консерватории . Архивировано из оригинала 15 марта 2012 г. Проверено 6 апреля 2020 г.
- Кристенсен, Томас (2002). Кембриджская история теории западной музыки . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-62371-1 .
- Коэн, Х. Флорис (1987). «Равное деление октавы Саймона Стевина». Анналы науки . 44 (5). Информа Великобритания Лимитед: 471–488. дои : 10.1080/00033798700200311 . ISSN 0003-3790 .
- де Горзанис, Г. (1981). Интаболатура Люто: I-III . Интаболатура Люто: I-III (на итальянском языке). Минкофф. ISBN 978-2-8266-0721-2 .
- Ди Вероли, Клаудио (2009). Неравные темпераменты: теория, история и практика (2-е изд.). Брей, Ирландия: Брейское барокко.
- Галилей, Винченцо (1584). Фронимо . Венеция: Джироламо Скотто .
- Харт, Роджер (1998), Ритуал количественной оценки: политическая космология, куртуазная музыка и точная математика в Китае семнадцатого века , факультеты истории и азиатских исследований, Техасский университет, Остин, заархивировано из оригинала 05 марта 2012 г. , извлечено 20 марта 2012 г.
- Йоргенс, Элиза Бикфорд (1986). Английская песня, 1600–1675: факсимиле двадцати шести рукописей и издание текстов . Гирлянда. ISBN 9780824082314 .
- Каттнер, Фриц А. (май 1975 г.). «Жизнь и работа принца Чу Цай-Юя: переоценка его вклада в теорию равного темперамента» (PDF) . Этномузыкология . 19 (2): 163–206. дои : 10.2307/850355 . JSTOR 850355 .
- Кван-чжи Чанг; Пинфан Сюй; Ляньчэн Лу (2005). «Восточный Чжоу и рост регионализма». Формирование китайской цивилизации: археологический взгляд . Сюй Пинфан, Шао Ванпин, Чжан Чжунпей, Ван Жэньсян. Издательство Йельского университета. ISBN 978-0-300-09382-7 .
- Линхард, Джон Х. (1997). «Равный темперамент» . Двигатели нашей изобретательности . Университет Хьюстона . Проверено 5 октября 2014 г.
- Муди, Ричард (февраль 2003 г.). «Ранний равный темперамент, слуховая перспектива: Клод Монталь 1836». Журнал фортепианных техников . Канзас-Сити.
- Нидэм, Джозеф ; Линг, Ван; Робинсон, Кеннет Г. (1962). Наука и цивилизация в Китае . Том 4. Часть 1. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-05802-5 .
- Нидэм, Джозеф; Ронан, Колин А. (1978). Короткая наука и цивилизация в Китае . Том 4. Часть 1. Издательство Кембриджского университета.
- Партч, Гарри (1979). Генезис музыки (2-е изд.). Да Капо Пресс. ISBN 0-306-80106-Х .
- Робинсон, Кеннет (1980). Критическое исследование вклада Чу Цай-юя в теорию равного темперамента в китайской музыке . Том 9 Sinologica Coloniensia. Висбаден: Штайнер. ISBN 978-3-515-02732-8 .
- Сетарес, Уильям А. (2005). Настройка, тембр, спектр, гамма (2-е изд.). Лондон: Springer-Verlag. ISBN 1-85233-797-4 .
- Правда, Тимати (2018). «Битва между безупречной интонацией и максимальной модуляцией» . Музыкальные предложения . 9 (2): 61–74. дои : 10.15385/jmo.2018.9.2.2 .
- фон Гельмгольц, Герман ; Эллис, Александр Дж. (1885). Об ощущениях тона как физиологической основе теории музыки (2-е изд.). Лондон: Лонгманс, Грин.
- Уилсон, Джон (1997). «Тридцать прелюдий во всех (24) тональностях для лютни [ДП 49]» . Диапазон Пресс . Проверено 27 октября 2020 г.
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Даффин, Росс В. Как равный темперамент разрушил гармонию (и почему вас это должно волновать) . WW Norton & Company, 2007.
- Йоргенсен, Оуэн. Тюнинг . Издательство Мичиганского государственного университета, 1991. ISBN 0-87013-290-3
- Храмов Михаил. «Аппроксимация 5-предельной справедливой интонации. Компьютерное MIDI-моделирование в отрицательных системах равных делений октавы», Материалы международной конференции SIGMAP-2008. [ постоянная мертвая ссылка ] , 26–29 июля 2008 г., Порту , стр. 181–184, ISBN 978-989-8111-60-9
- Сурджодининграт В., Сударжана П.Дж. и Сусанто А. (1972) Измерения тона выдающихся яванских гамеланов в Джокьякарте и Суракарте , издательство Gadjah Mada University Press, Джокьякарта, 1972. Цитируется по https://web.archive.org/web/20050127000731/http://web.telia.com/~u57011259/pelog_main.htm . Проверено 19 мая 2006 г.
- Стюарт, П.Дж. (2006) «От галактики к галактике: музыка сфер» [1]
- «Ощущения тона» — фундаментальный труд Германа фон Гельмгольца по акустике и восприятию звука. Особенно Приложение XX: Дополнения переводчика, страницы 430–556 (страницы 451–577 в формате PDF)]
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Вики Xenharmonic о EDO vs. Равные темпераменты
- Центр микротональной музыки Фонда Гюйгенса-Фоккера
- А.Орландини: Музыкальная акустика
- «Темперамент» из приложения к циклопедии мистера Чемберса (1753 г.)
- Барбьери, Патрицио. Энгармонические инструменты и музыка, 1470–1900 гг. Архивировано 15 февраля 2009 г. в Wayback Machine . (2008) Латина, Il Levante Libreria Editrice
- Фрактальная микротональная музыка , Джим Кукула .
- Все существующие цитаты XVIII века об И.С. Бахе и темпераменте.
- Доминик Экерсли: « Возвращение к Розетте: очень обычный темперамент Баха »
- Ну темпераменты, основанные на определении Веркмайстера
- ПРЕДПОЧИТАЕМЫЕ МОДСТВА ШКАЛ S ПИТЕРА БУХА