Основная теория чисел
«Основная теория чисел» — влиятельная книга [1] , Андре Вейля изложение теории алгебраических чисел и теории полей классов с особым упором на методы теории оценки . Частично основанный на курсе, преподававшемся в Принстонском университете в 1961–62 годах, он появился как том 144 в Спрингера серии «Grundlehren der mathematischen Wissenschaften» . [2] Этот подход обрабатывает все «A-поля» или глобальные поля , что означает конечные алгебраические расширения поля рациональных чисел и поля рациональных функций одной переменной с конечным полем констант. Теория развивается единообразно, начиная с топологических полей, свойств меры Хаара на локально компактных полях , основных теорем адельной и идеальной теории чисел и теории полей классов через теорию простых алгебр над локальными и глобальными полями. Слово «базовый» в названии ближе по значению к «основополагающему», а не к «элементарному», и, возможно, его лучше всего интерпретировать как означающее, что разработанный материал является основой для развития теорий автоморфных форм , теории представлений алгебраических групп. и более сложные темы алгебраической теории чисел. Стиль строгий, с узкой концентрацией на необходимом логически последовательном развитии теории и практически без примеров.
Математический контекст и цель
[ редактировать ]В предисловии автор поясняет, что вместо «бесполезной и невыполнимой задачи» улучшения классической трактовки Гекке алгебраической теории чисел, [3] [4] он «скорее пытался сделать выводы из событий последних тридцати лет, в результате которых локально компактные группы, мера и интегрирование стали играть все более важную роль в классической теории чисел». Вейль продолжает объяснять точку зрения, которая выросла из работ Хенселя , Хассе , [5] [6] Шевалле , [7] Искусство , [8] Исава , [9] [10] Тейт , [11] и Тамагава [12] [13] в котором действительные числа можно рассматривать лишь как одно из бесконечного множества различных дополнений рациональных чисел, без каких-либо логических оснований отдавать предпочтение им перед различными p-адическими завершениями. В этом случае адели (или векторы оценок ) образуют естественное локально компактное кольцо, в котором все оценки объединены единым последовательным образом, в котором они «сотрудничают для общей цели». Снятие действительных чисел с пьедестала и размещение их рядом с p-адическими числами естественным образом приводит – «само собой разумеется» – к развитию теории функциональных полей над конечными полями в «полностью одновременном рассмотрении с числовыми полями». В поразительном выборе формулировки предисловия, написанного в Соединенных Штатах в 1967 году, автор решает донести эту конкретную точку зрения, объясняя, что двум классам глобальных полей «должно быть предоставлено полностью одновременное рассмотрение […] вместо раздельного рассмотрения». статус, а в лучшем случае отдельные, но равные возможности, которые до сих пор были их уделом. То, что обе расы не только не проиграют от такого обращения, но и выиграют от него, — это факт, который, я надеюсь, ясно выяснится из этой книги».
После Второй мировой войны ряд достижений в теории полей классов уменьшил значение циклических алгебр (и, в более общем плане, алгебр скрещенных произведений ), которые определяются в терминах числового поля в доказательствах теории полей классов. Вместо этого когомологический формализм стал более значимой частью локальной и глобальной теории поля классов, особенно в работах Хохшильда и Накаямы . [14] Потому что , [15] Искусство , [16] и Тейт [11] в период 1950–1952 гг.
Наряду с желанием рассматривать поля алгебраических чисел работам Шевалле наряду с функциональными полями над конечными полями, особое внимание уделяется . Чтобы вывести теоремы глобальной теории полей классов из теорем локальной теории полей классов , Шевалле ввел то, что он назвал élement idéal, позже названным idèle . по Хассе предложению [17] Группа иделей числового поля была впервые введена Шевалле для описания глобальной теории полей классов для бесконечных расширений, но несколько лет спустя он использовал ее по-новому, чтобы вывести глобальную теорию полей классов из локальной теории полей классов. Вейл отметил, что эта (неопубликованная) работа оказала значительное влияние на некоторые варианты лечения, которые он использует.
Прием
[ редактировать ]Первое издание было рецензировано Джорджем Уэплсом для журнала Mathematical Reviews. [18] и Хельмут Кох для Zentralblatt . [19] Более поздние издания были рецензированы Фернандо К. Гувеа для Математической ассоциации Америки. [20] и Кох для Zentralblatt ; в рецензии на второе издание Кох делает замечание: « Шафаревич показал мне первое издание осенью 1967 года в Москве и сказал, что эта книга отныне будет книгой о теории полей классов». [19] Последовательность трактовки и некоторые ее отличительные особенности были подчеркнуты несколькими рецензентами, при этом Кох сказал: «Эта книга написана в духе начала сороковых годов, и именно это делает ее ценным источником информации для всех, кто работает над проблемами, связанными с числовыми и функциональными полями». [19]
Содержание
[ редактировать ]Грубо говоря, первая половина книги современна в плане последовательного использования адельных и идологических методов и одновременного рассмотрения полей алгебраических чисел и полей рациональных функций над конечными полями. Вторая половина, возможно, является домодернистской в своем развитии простых алгебр и теории полей классов без языка когомологий без языка когомологий Галуа и, в частности, . Автор признает это как компромисс, объясняя, что «систематическое развитие такого подхода означало бы загрузку большого количества ненужного оборудования на корабль, который, казалось, был хорошо оборудован для этого конкретного рейса; вместо того, чтобы сделать его более мореходным, он мог бы его потопить». При рассмотрении теории полей классов используются аналитические методы как для коммутативных полей, так и для простых алгебр. Эти методы показывают свою силу, давая первое единое доказательство того, что если K/k — конечное нормальное расширение A-полей, то любой автоморфизм K над k индуцируется автоморфизмом Фробениуса. для бесконечного числа мест K. Этот подход также позволяет значительно более простое и логичное доказательство алгебраических утверждений, например, результата о том, что простая алгебра над A-полем расщепляется (глобально) тогда и только тогда, когда она расщепляется всюду локально. Систематическое использование простых алгебр также упрощает рассмотрение локальной теории полей классов . Например, проще доказать, что простая алгебра над локальным полем имеет неразветвленное поле расщепления , чем доказать соответствующее утверждение для классов 2-когомологий.
Глава I
[ редактировать ]Книга начинается с доказательства формулировки Виттом Веддерберна коммутативности конечного тела (« малая теорема Веддерберна »). [21] Свойства меры Хаара используются для доказательства того, что "локальные поля" (коммутативные поля, локально компактные в недискретной топологии) являются пополнениями A-полей. В частности – концепция, развитая позже – это именно те поля, локальная теория полей классов которых необходима для глобальной теории. Недискретные некоммутативные локально компактные поля являются тогда телами конечной размерности над локальным полем.
Глава II
[ редактировать ]Исследуются конечномерные векторные пространства над локальными полями и телами в топологии, однозначно определяемой топологией поля, а решетки определяются топологически - аналог теоремы Минковского. [22] в этом контексте доказаны и показаны основные теоремы о группах характеров этих векторных пространств, которые в коммутативном одномерном случае сводятся к "самодуальности" для локальных полей.
Глава III
[ редактировать ]Тензорные произведения используются для изучения расширений мест A-поля до мест конечного сепарабельного расширения поля, при этом более сложный неразделимый случай откладывается на потом.
Глава IV
[ редактировать ]В этой главе вводятся топологические кольцо аделей и группа иделей A-поля, а также доказываются следующие «основные теоремы»:
- и кольцо аделей, и группа иделей локально компактны;
- A-поле, вложенное по диагонали, является дискретным и кокомпактным подкольцом своего кольца аделей;
- кольцо аделей самодвойственно, что означает, что оно топологически изоморфно своему двойственному по Понтрягину , с аналогичными свойствами для конечномерных векторных пространств и алгебр над локальными полями.
Глава заканчивается обобщенной теоремой о единицах для A-полей, описывающей единицы в терминах оценки .
Chapter V
[ редактировать ]Эта глава немного отходит от одновременного рассмотрения числовых и функциональных полей. решетки (то есть дробные идеалы В условиях числового поля определяются ) и находится объем меры Хаара фундаментальной области решетки. Это используется для изучения дискриминанта расширения.
Глава VI
[ редактировать ]Эта глава посвящена случаю функционального поля; теорема Римана-Роха сформулирована и доказана на языке теории меры , причем канонический класс определяется как класс дивизоров нетривиальных характеров кольца аделей , тривиальных на вложенном поле.
Глава VII
[ редактировать ]Дзета- ( и L-функции и подобные аналитические объекты) для A-поля выражаются через интегралы по группе иделей . Разложение этих интегралов на произведения по всем нормам и использование преобразований Фурье приводит к мероморфным продолжениям и функциональным уравнениям . Это дает, например, аналитическое продолжение дзета -функции Дедекинда на всю плоскость вместе с ее функциональным уравнением. Здесь трактовка в конечном счете восходит к предложению Артина и была развита в диссертации Тейта . [23] [24]
Глава VIII
[ редактировать ]Разработаны формулы для локальных и глобальных дифферентов и дискриминантов, теория ветвления , формула рода алгебраического расширения функционального поля.
Глава IX
[ редактировать ]Дается краткое описание простых алгебр, включая явные правила для циклических фактормножеств.
Главы X и XI
[ редактировать ]Определена дзета-функция простой алгебры над A-полем, которая используется для доказательства дальнейших результатов о группе норм и группоиде максимальных идеалов в простой алгебре над A-полем.
Глава XII
[ редактировать ]Доказан закон взаимности локальной теории полей классов над локальным полем в контексте спаривания мультипликативной группы поля и группы характеров абсолютной группы Галуа алгебраического замыкания поля. теория ветвления абелевых расширений Развита .
Глава XIII
[ редактировать ]Глобальная теория полей классов для A-полей развивается с использованием пар из главы XII, заменяя мультипликативные группы локальных полей идельными группами классов A-полей. Спаривание строится как произведение по местам локальных инвариантов Хассе .
Третье издание
[ редактировать ]Добавлены некоторые ссылки, внесены некоторые незначительные исправления, добавлены некоторые комментарии и включены пять приложений, содержащих следующий материал:
- Характерная версия (локальной) теоремы переноса и ее расширение до глобальной теоремы переноса.
- Теорема Шафаревича о строении групп Галуа локальных полей с использованием теории групп Вейля . [25]
- Теоремы Тейта и Сена о распределении Эрбрана . [26]
- Примеры L-функций с характером Грёссена .
Издания
[ редактировать ]- Вейль, Андре (1974). Основная теория чисел . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. дои : 10.1007/978-3-642-61945-8 . ISBN 978-3-540-58655-5 .
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Вейль, Андре (1973). Основная теория чисел . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. дои : 10.1007/978-3-662-05978-4 . ISBN 978-3-662-05980-7 .
- ^ Основные принципы математических наук .
- ^ Хекке, Эрих (1970). Лекции по теории алгебраических чисел (Второе издание оригинала 1923 года, с указателем) . Бронкс, Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co.
- ^ Хекке, Эрих, 1887–1947. (1981). Лекции по теории алгебраических чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90595-2 . OCLC 7576150 .
{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка ) - ^ Хассе, Гельмут (1 января 1930 г.). «Лидеры, дискриминанты и поля ветвления относительно абелевых числовых полей» . Журнал чистой и прикладной математики . 1930 (162): 169–184. дои : 10.1515/crll.1930.162.169 . ISSN 0075-4102 . S2CID 199546442 .
- ^ Хассе, Гельмут (1 января 1930 г.). «Теория нормальных вычетов относительных абелевых числовых полей как теория полей классов в малом масштабе». Журнал чистой и прикладной математики . 1930 (162): 145–154. дои : 10.1515/crll.1930.162.145 . ISSN 0075-4102 . S2CID 116860448 .
- ^ Шевалле, Клод (1 января 1933). «Теория символов нормального отдыха» . Журнал чистой и прикладной математики . 1933 (169): 140–157. дои : 10.1515/crll.1933.169.140 . ISSN 0075-4102 . S2CID 115917687 .
- ^ Артин, Эмиль (1 декабря 1929). «Идеальные классы верхней части тела и общий закон взаимности». Трактаты математического семинара Гамбургского университета (на немецком языке). 7 (1): 46–51. дои : 10.1007/BF02941159 . ISSN 1865-8784 . S2CID 121475651 .
- ^ Ивасава, Кенкичи (1953). «О кольцах векторов оценок». Анналы математики . 57 (2): 331–356. дои : 10.2307/1969863 . JSTOR 1969863 .
- ^ Ивасава, Кенкичи (1959). «Пучки для полей алгебраических чисел». Анналы математики . 69 (2): 408–413. дои : 10.2307/1970190 . JSTOR 1970190 .
- ^ Перейти обратно: а б Тейт, Джон (1952). «Группы многомерных когомологий теории поля классов». Анналы математики . 56 (2): 294–297. дои : 10.2307/1969801 . JSTOR 1969801 .
- ^ ИЯНАГА и Т. ТАМАГАВА, С. (1951). «К теории тела классов на теле рациональных чисел» . Журнал Математического общества Японии . 3 (1): 220–227. дои : 10.2969/jmsj/00310220 . ISSN 0025-5645 .
- ^ Тамагава, Цунео (1951). «К теории групп ветвления и проводников» . Японский математический журнал: труды и рефераты . 21 : 197–215. дои : 10.4099/jjm1924.21.0_197 . ISSN 0075-3432 .
- ^ Хохшильд, Г.; Накаяма, Т. (1952). «Когомологии в теории полей классов». Анналы математики . 55 (2): 348. дои : 10.2307/1969783 . JSTOR 1969783 .
- ^ Вейль, Андре (1951). «К теории классового тела» . Журнал Математического общества Японии . 3 (1): 1–35. дои : 10.2969/jmsj/00310001 . ISSN 0025-5645 .
- ^ Артин, Эмиль, 1898–1962. (2005). Алгебраические числа и алгебраические функции . Провиденс, Род-Айленд: Паб AMS Chelsea/Американское математическое общество. ISBN 0-8218-4075-4 . OCLC 62741519 .
{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка ) - ^ Иянага, Сёкити (2006). «Работа Клода Шевалле по теории тела классов: Введение» . Японский математический журнал . 1 (1): 25–85. дои : 10.1007/s11537-006-0502-5 . ISSN 0289-2316 . S2CID 123613236 .
- ^ Джордж Уэйплс, MR 0234930
- ^ Перейти обратно: а б с Гельмут Кох, Збл 0176.33601 (1-е изд.), Збл 0823.11001 (2-е изд.)
- ^ Фернандо К. Гувеа, Основная теория чисел (обзор) , MAA Reviews
- ^ Витт, Эрнст (1 декабря 1931 г.). «О коммутативности конечных наклонных тел». Трактаты математического семинара Гамбургского университета (на немецком языке). 8 (1): 413. дои : 10.1007/BF02941019 . ISSN 1865-8784 . S2CID 124096167 .
- ^ Минковский, Герман (1896). Геометрия чисел. В 2-х поставках. Раздел 1 . Лейпциг: Б. Г. Тойбнер.
- ^ Тейт, Джон Торренс-младший (1997). Анализ Фурье в числовых полях и дзета-функции Гекке (докторская диссертация). Принстонский университет. ПроКвест 304411725 .
- ^ Алгебраическая теория чисел: материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (институтом перспективных исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза . Кассельс, JWS (Джон Уильям Скотт), Фрелих, А. (Альбрехт), 1916- (2-е изд.). Лондон: Лондонское математическое общество. 2010. ISBN 978-0-9502734-2-6 . OCLC 665069251 .
{{cite book}}: CS1 maint: другие ( ссылка ) - ^ Шафаревич, Игорь (1946). «О группах Галуа y-адических полей». ЧР (доклады) акад. наук. УРСС . Новая серия. 53 : 15–16.
- ^ Сен, Шанкар; Тейт, Джон (1963). «Группы ветвления локальных полей». Дж. Индийская математика. Соц . Новая серия. 27 : 197–202.