σ-алгебра

Чтобы узнать об алгебраической структуре, допускающей заданную сигнатуру операций Σ, см. Универсальную алгебру .

В математическом анализе и теории вероятностей ( σ-алгебра также σ-поле ) на множестве X представляет собой непустую совокупность Σ подмножеств X , замкнутых относительно дополнения , счетных объединений и счетных пересечений . Заказанная пара $(X,\Sigma )$ называется измеримым пространством .

σ-алгебра подмножеств — это алгебра множеств подмножеств; элементы последнего должны быть замкнуты только при объединении или пересечении конечного числа подмножеств, что является более слабым условием.

Основное применение σ-алгебр — определение мер ; в частности, совокупность тех подмножеств, для которых определена данная мера, обязательно является σ-алгеброй. Эта концепция важна в математическом анализе как основа интегрирования Лебега и в теории вероятностей , где она интерпретируется как совокупность событий, которым можно присвоить вероятности. Кроме того, в теории вероятности σ-алгебры играют решающую роль в определении условного ожидания .

В статистике (суб) σ-алгебры необходимы для формального математического определения достаточной статистики . особенно когда статистика представляет собой функцию или случайный процесс и понятие условной плотности неприменимо.

Если $X=\{a,b,c,d\}$ одна возможная σ-алгебра на $X$ является $\Sigma =\{\varnothing ,\{a,b\},\{c,d\},\{a,b,c,d\}\},$ где $\varnothing$ это пустое множество . В общем случае конечная алгебра всегда является σ-алгеброй.

Если $\{A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \},$ счетным разбиением является $X$ тогда совокупность всех объединений множеств в разбиении (включая пустое множество) является σ-алгеброй.

Более полезным примером является набор подмножеств реальной линии , сформированный путем начала со всех открытых интервалов и добавления всех счетных объединений, счетных пересечений и относительных дополнений и продолжения этого процесса (путем трансфинитной итерации по всем счетным порядковым номерам ) до соответствующего замыкания. свойства достигаются (конструкция, известная как иерархия Бореля ).

Мотивация

Есть как минимум три ключевых мотиватора для σ-алгебр: определение мер, манипулирование пределами множеств и управление частичной информацией, характеризуемой множествами.

Мера

Мера ​ по $X$ — это функция , которая присваивает неотрицательное действительное число подмножествам $X;$ это можно рассматривать как уточнение понятия «размер» или «объем» наборов. Мы хотим, чтобы размер объединения непересекающихся множеств был суммой их индивидуальных размеров, даже для бесконечной последовательности непересекающихся множеств .

Хотелось бы присвоить размер каждому подмножеству $X,$ но во многих природных условиях это невозможно. Например, аксиома выбора подразумевает, что когда рассматриваемый размер является обычным понятием длины для подмножеств вещественной прямой, то существуют множества, для которых размер не существует, например множества Витали . По этой причине вместо этого рассматривается меньшая коллекция привилегированных подмножеств $X.$ Эти подмножества будем называть измеримыми множествами. Они замкнуты относительно операций, которые можно было бы ожидать для измеримых множеств, то есть дополнение измеримого множества является измеримым множеством, а счетное объединение измеримых множеств является измеримым множеством. Непустые наборы множеств с такими свойствами называются σ-алгебрами.

Пределы наборов

Многие применения меры, такие как вероятностная концепция почти наверняка сходимости , включают пределы последовательностей множеств . Для этого первостепенное значение имеет замыкание под счетными объединениями и пересечениями. Пределы множеств определяются на σ-алгебрах следующим образом.

• Верхняя граница предела или внешний предел последовательности $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ подмножеств $X$ является $$\limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{m=n}^{\infty }A_{m}=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\cup A_{n+1}\cup \cdots .$$ Он состоит из всех пунктов $x$ которые входят в бесконечное число этих множеств (или, что то же самое, в конфинальное число из них). То есть, $x\in \limsup _{n\to \infty }A_{n}$ тогда и только тогда, когда существует бесконечная подпоследовательность $A_{n_{1}},A_{n_{2}},\ldots$ (где $n_{1}<n_{2}<\cdots$) множеств, все из которых содержат $x;$ то есть такой, что $x\in A_{n_{1}}\cap A_{n_{2}}\cap \cdots .$
• Предел нижней границы или внутренний предел последовательности $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ подмножеств $X$ является $$\liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{m=n}^{\infty }A_{m}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\cap A_{n+1}\cap \cdots .$$ Он состоит из всех точек, которые входят во все эти множества, кроме конечного числа (или, что то же самое, которые в конечном итоге присутствуют во всех из них). То есть, $x\in \liminf _{n\to \infty }A_{n}$ тогда и только тогда, когда существует индекс $N\in \mathbb {N}$ такой, что $A_{N},A_{N+1},\ldots$ все содержат $x;$ то есть такой, что $x\in A_{N}\cap A_{N+1}\cap \cdots .$

Внутренний предел всегда является подмножеством внешнего предела: $$\liminf _{n\to \infty }A_{n}~\subseteq ~\limsup _{n\to \infty }A_{n}.$$ Если эти два множества равны, то их предел $\lim _{n\to \infty }A_{n}$ существует и равен этому общему множеству: $$\lim _{n\to \infty }A_{n}:=\liminf _{n\to \infty }A_{n}=\limsup _{n\to \infty }A_{n}.$$

Под σ-алгебры

В большинстве случаев, особенно когда речь идет об условном ожидании , речь идет о множествах, которые представляют лишь часть всей возможной информации, которую можно наблюдать. Эту частичную информацию можно охарактеризовать с помощью меньшей σ-алгебры, которая является подмножеством основной σ-алгебры; он состоит из набора подмножеств, относящихся только к частичной информации и определяемых только ею. Достаточно простого примера, чтобы проиллюстрировать эту идею.

Представьте, что вы и другой человек делаете ставку в игре, которая включает в себя многократное подбрасывание монеты и наблюдение за тем, выпадет ли на ней орел ( $H$) или Решка ( $T$). Поскольку вы и ваш оппонент бесконечно богаты, продолжительность игры не ограничена. Это означает, что выборочное пространство Ω должно состоять из всех возможных бесконечных последовательностей чисел. $H$ или $T:$$$\Omega =\{H,T\}^{\infty }=\{(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ):x_{i}\in \{H,T\},i\geq 1\}.$$

Однако после $n$ подбрасывания монеты, вы можете определить или пересмотреть свою стратегию ставок перед следующим подбрасыванием. Наблюдаемую информацию в этот момент можно описать в терминах 2 ^н возможности для первого $n$ переворачивается. Формально, поскольку вам нужно использовать подмножества Ω, это кодифицируется как σ-алгебра $${\mathcal {G}}_{n}=\{A\times \{H,T\}^{\infty }:A\subseteq \{H,T\}^{n}\}.$$

Заметьте, что тогда $${\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq {\mathcal {G}}_{3}\subseteq \cdots \subseteq {\mathcal {G}}_{\infty },$$где ${\mathcal {G}}_{\infty }$ — наименьшая σ-алгебра, содержащая все остальные.

Определение и свойства

Определение

Позволять $X$ быть некоторым набором, и пусть $P(X)$ представляют его набор мощности . Тогда подмножество $\Sigma \subseteq P(X)$ называется σ-алгеброй тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим трем свойствам:

1. $X$ находится в $\Sigma ,$ и $X$ считается универсальным набором в следующем контексте.
2. $\Sigma$ замкнуто относительно дополнения : если некоторое множество $A$ находится в $\Sigma ,$ тогда и его дополнение , $X\setminus A.$
3. $\Sigma$ замкнуто относительно счетных объединений : Если $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ находятся в $\Sigma ,$ тогда так и есть $A=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \cdots .$

Из этих свойств следует, что σ-алгебра замкнута и относительно счетных пересечений (с применением законов Де Моргана ).

Отсюда также следует, что пустое множество $\varnothing$ находится в $\Sigma ,$ поскольку по (1) $X$ находится в $\Sigma$ и (2) утверждает, что его дополнение, пустое множество, также находится в $\Sigma .$ Более того, поскольку $\{X,\varnothing \}$ удовлетворяет условию (3) , отсюда следует, что также $\{X,\varnothing \}$ — наименьшая возможная σ-алгебра на $X.$ Максимально возможная σ-алгебра на $X$ является $P(X).$

Элементы σ-алгебры называются измеримыми множествами . Заказанная пара $(X,\Sigma ),$ где $X$ представляет собой набор и $\Sigma$ является σ-алгеброй над $X,$ называется измеримым пространством . Функция между двумя измеримыми пространствами называется измеримой функцией, если прообраз каждого измеримого множества измерим. Совокупность измеримых пространств образует категорию , в которой измеримые функции являются морфизмами . Меры определяются как определенные типы функций от σ-алгебры до $[0,\infty ].$

σ-алгебра является одновременно π-системой и системой Дынкина (λ-системой). Обратное также верно по теореме Дынкина (см. ниже).

Теорема Дынкина о π-λ

См. Также: теорема π-λ.

Эта теорема (или связанная с ней теорема о монотонном классе ) является важным инструментом для доказательства многих результатов о свойствах конкретных σ-алгебр. Он использует природу двух более простых классов множеств, а именно следующего.

• π -система $P$ представляет собой совокупность подмножеств $X$ замкнутый относительно конечного числа пересечений, и
• Система Дынкина (или λ-система) $D$ представляет собой совокупность подмножеств $X$ который содержит $X$ и замкнуто относительно дополнения и счетных объединений непересекающихся подмножеств.

Теорема Дынкина о π-λ гласит, что если $P$ является π-системой и $D$ представляет собой систему Дынкина, содержащую $P,$ то σ-алгебра $\sigma (P)$ созданный ​ $P$ содержится в $D.$ Поскольку некоторые π-системы представляют собой относительно простые классы, нетрудно проверить, что все множества в $P$ пользоваться рассматриваемым имуществом и, с другой стороны, доказывать, что коллекция $D$ всех подмножеств со свойством является системой Дынкина также может быть простым. Тогда из теоремы Дынкина о π-λ следует, что все множества в $\sigma (P)$ наслаждайтесь свойством, избегая задачи проверки его на предмет произвольного множества в $\sigma (P).$

Одно из наиболее фундаментальных применений теоремы π-λ — показать эквивалентность отдельно определенных мер или интегралов. Например, он используется для приравнивания вероятности случайной величины. $X$ с интегралом Лебега-Стилтьеса, обычно связанным с вычислением вероятности: $$\mathbb {P} (X\in A)=\int _{A}\,F(dx)$$ для всех $A$ в борелевской σ-алгебре на $\mathbb {R} ,$где $F(x)$ — кумулятивная функция распределения для $X,$ определено на $\mathbb {R} ,$ пока $\mathbb {P}$ — вероятностная мера , определенная на σ-алгебре $\Sigma$ подмножеств некоторого выборочного пространства $\Omega .$

Объединение σ-алгебр

Предполагать $\textstyle \left\{\Sigma _{\alpha }:\alpha \in {\mathcal {A}}\right\}$ представляет собой набор σ-алгебр в пространстве $X.$

Встретиться

Пересечение набора σ-алгебр является σ-алгеброй. Чтобы подчеркнуть ее характер как σ-алгебры, ее часто обозначают: $$\bigwedge _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }.$$

Эскиз доказательства: Пусть $\Sigma ^{*}$ обозначаем пересечение. С $X$ есть в каждом $\Sigma _{\alpha },\Sigma ^{*}$ не пуст. Замыкание при дополнении и счетные объединения для каждого $\Sigma _{\alpha }$ подразумевает, что то же самое должно быть верно и для $\Sigma ^{*}.$ Поэтому, $\Sigma ^{*}$ является σ-алгеброй.

Присоединиться

Объединение набора σ-алгебр обычно не является σ-алгеброй или даже алгеброй, но порождает σ -алгебру, известную как объединение, которое обычно обозначается $$\bigvee _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }=\sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right).$$π-система, генерирующая соединение, называется $${\mathcal {P}}=\left\{\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}:A_{i}\in \Sigma _{\alpha _{i}},\alpha _{i}\in {\mathcal {A}},\ n\geq 1\right\}.$$Схема доказательства: по делу $n=1,$ видно, что каждый $\Sigma _{\alpha }\subset {\mathcal {P}},$ так $$\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\subseteq {\mathcal {P}}.$$Это подразумевает $$\sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right)\subseteq \sigma ({\mathcal {P}})$$по определению σ-алгебры, порожденной набором подмножеств. С другой стороны, $${\mathcal {P}}\subseteq \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right)$$из чего по теореме Дынкина о π-λ следует $$\sigma ({\mathcal {P}})\subseteq \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right).$$

σ-алгебры для подпространств

Предполагать $Y$ является подмножеством $X$ и пусть $(X,\Sigma )$ быть измеримым пространством.

• Коллекция $\{Y\cap B:B\in \Sigma \}$ является σ-алгеброй подмножеств $Y.$
• Предполагать $(Y,\Lambda )$ это измеримое пространство. Коллекция $\{A\subseteq X:A\cap Y\in \Lambda \}$ является σ-алгеброй подмножеств $X.$

Связь с σ-кольцом

σ ​ -алгебра $\Sigma$ является просто σ -кольцом , содержащим универсальное множество $X.$ σ -алгеброй, так как, например , -кольцо не обязательно должно быть σ измеримые подмножества нулевой меры Лебега в действительной прямой являются σ -кольцом, но не σ -алгеброй, поскольку действительная линия имеет бесконечную меру и, следовательно, не может быть получена с помощью их счетный союз. Если вместо нулевой меры взять измеримые подмножества конечной меры Лебега, это будет кольцо , но не σ -кольцо, поскольку действительная прямая может быть получена их счетным объединением, но ее мера не конечна.

Типографская записка

σ -алгебры иногда обозначаются каллиграфическими заглавными буквами или шрифтом Fraktur . Таким образом $(X,\Sigma )$ может быть обозначен как $\scriptstyle (X,\,{\mathcal {F}})$ или $\scriptstyle (X,\,{\mathfrak {F}}).$

Частные случаи и примеры

Сепарабельные σ-алгебры

Отделимый ​ $\sigma$-алгебра (или сепарабельная $\sigma$-поле ) представляет собой $\sigma$-алгебра ${\mathcal {F}}$ это сепарабельное пространство, если рассматривать его как метрическое пространство с метрикой $\rho (A,B)=\mu (A{\mathbin {\triangle }}B)$ для $A,B\in {\mathcal {F}}$ и заданная конечная мера $\mu$ (и с $\triangle$ симметричный разностный оператор). Любой $\sigma$-алгебра, порожденная счетным набором множеств , отделима, но обратное не обязательно. Например, Лебег $\sigma$-алгебра сепарабельна (поскольку каждое измеримое по Лебегу множество эквивалентно некоторому борелевскому множеству), но не счетно порождена (поскольку ее мощность больше континуума).

Сепарабельное пространство меры имеет естественную псевдометрику , которая делает его сепарабельным как псевдометрическое пространство . Расстояние между двумя наборами определяется как мера симметричной разницы двух наборов. Симметричная разность двух различных множеств может иметь нулевую меру; следовательно, псевдометрика, определенная выше, не обязательно должна быть истинной метрикой. Однако если множества, симметричная разность которых имеет нулевую меру, идентифицируются в один класс эквивалентности , результирующий фактор-множество может быть правильно метризовано индуцированной метрикой. Если пространство с мерой сепарабельно, можно показать, что соответствующее метрическое пространство тоже сепарабельно.

Простые примеры на основе наборов

Позволять $X$ быть любым набором.

• Семейство, состоящее только из пустого множества и множества $X,$ называется минимальной или тривиальной σ-алгеброй над $X.$
• Силовой набор ​ $X,$ называется дискретной σ-алгеброй .
• Коллекция $\{\varnothing ,A,X\setminus A,X\}$ — простая σ-алгебра, порожденная подмножеством $A.$
• Коллекция подмножеств $X$ которые счетны или дополнения к которым счетны, является σ-алгеброй (отличной от набора степеней $X$ тогда и только тогда, когда $X$ неисчислимо). Это σ-алгебра, синглтонами порожденная $X.$ Примечание: «счетный» включает конечный или пустой.
• Совокупность всех объединений множеств в разбиении счетном $X$ является σ-алгеброй.

Сигма-алгебры остановки времени

Время остановки $\tau$ может определить $\sigma$-алгебра ${\mathcal {F}}_{\tau },$ тоттак называемая сигма-алгебра времени остановки , которая в фильтрованном вероятностном пространстве описывает информацию с точностью до случайного времени $\tau$ в том смысле, что, если фильтрованное вероятностное пространство интерпретировать как случайный эксперимент, максимальная информация, которую можно узнать об эксперименте, сколь угодно часто повторяя его до момента $\tau$ является ${\mathcal {F}}_{\tau }.$

σ-алгебры, порожденные семействами множеств

σ-алгебра, порожденная произвольным семейством

Позволять $F$ быть произвольным семейством подмножеств $X.$ Тогда существует единственная наименьшая σ-алгебра, содержащая каждое множество из $F$ (Несмотря на то $F$ может быть или не быть σ-алгеброй). Фактически это пересечение всех σ-алгебр, содержащих $F.$ (См. пересечения σ-алгебр выше.) Эту σ-алгебру обозначают $\sigma (F)$ и называется σ-алгеброй, порожденной $F.$

Если $F$ пусто, то $\sigma (\varnothing )=\{\varnothing ,X\}.$ В противном случае $\sigma (F)$ состоит из всех подмножеств $X$ которые можно сделать из элементов $F$ счетным числом операций дополнения, объединения и пересечения.

В качестве простого примера рассмотрим набор $X=\{1,2,3\}.$ Тогда σ-алгебра, порожденная единственным подмножеством $\{1\}$ является $\sigma (\{1\})=\{\varnothing ,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.$ Из-за злоупотребления обозначениями , когда коллекция подмножеств содержит только один элемент, $A,$ $\sigma (A)$ можно написать вместо $\sigma (\{A\});$ в предыдущем примере $\sigma (\{1\})$ вместо $\sigma (\{\{1\}\}).$ Действительно, используя $\sigma \left(A_{1},A_{2},\ldots \right)$ означать $\sigma \left(\left\{A_{1},A_{2},\ldots \right\}\right)$ тоже довольно распространено.

Существует множество семейств подмножеств, которые порождают полезные σ-алгебры. Некоторые из них представлены здесь.

σ-алгебра, порожденная функцией

Если $f$ это функция из множества $X$ в набор $Y$ и $B$ это $\sigma$-алгебра подмножеств $Y,$ тогда $\sigma$-алгебра, порожденная функцией $f,$ обозначается $\sigma (f),$ это совокупность всех прообразов $f^{-1}(S)$ из наборов $S$ в $B.$ То есть, $$\sigma (f)=\left\{f^{-1}(S)\,:\,S\in B\right\}.$$

Функция $f$ из набора $X$ в набор $Y$ измерима алгебры относительно σ- $\Sigma$ подмножеств $X$ тогда и только тогда, когда $\sigma (f)$ является подмножеством $\Sigma .$

Одна распространенная ситуация, понятная по умолчанию, если $B$ не указано явно, это когда $Y$ является метрическим или топологическим пространством и $B$ это коллекция множеств Бореля на $Y.$

Если $f$ это функция от $X$ к $\mathbb {R} ^{n}$ затем $\sigma (f)$ генерируется семейством подмножеств, которые являются прообразами интервалов/прямоугольников в $\mathbb {R} ^{n}:$$$\sigma (f)=\sigma \left(\left\{f^{-1}(\left[a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left[a_{n},b_{n}\right]):a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right).$$

Полезным свойством является следующее. Предполагать $f$ это измеримая карта из $\left(X,\Sigma _{X}\right)$ к $\left(S,\Sigma _{S}\right)$ и $g$ это измеримая карта из $\left(X,\Sigma _{X}\right)$ к $\left(T,\Sigma _{T}\right).$ Если существует измеримое отображение $h$ от $\left(T,\Sigma _{T}\right)$ к $\left(S,\Sigma _{S}\right)$ такой, что $f(x)=h(g(x))$ для всех $x,$ затем $\sigma (f)\subseteq \sigma (g).$ Если $S$ конечно или счетно бесконечно или, в более общем смысле, $\left(S,\Sigma _{S}\right)$ является стандартным борелевским пространством (например, сепарабельным полным метрическим пространством со связанными с ним борелевскими множествами), то верно и обратное. Примеры стандартных борелевских пространств включают $\mathbb {R} ^{n}$ с его множествами Бореля и $\mathbb {R} ^{\infty }$ с цилиндрической σ-алгеброй, описанной ниже.

σ-алгебры Бореля и Лебега.

Важным примером является борелевская алгебра над любым топологическим пространством : σ-алгебра, порожденная открытыми множествами (или, что то же самое, замкнутыми множествами ). Эта σ-алгебра, вообще говоря, не является полным набором степеней. Нетривиальный пример, не являющийся борелевским множеством, см. в разделе «Набор Витали» или «Неборелевские множества» .

В евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n},$ важна еще одна σ-алгебра: алгебра всех измеримых по Лебегу множеств. Эта σ-алгебра содержит больше множеств, чем борелевская σ-алгебра на $\mathbb {R} ^{n}$ и является предпочтительным в теории интегрирования , поскольку дает полное пространство меры .

Продуктовая σ-алгебра

Позволять $\left(X_{1},\Sigma _{1}\right)$ и $\left(X_{2},\Sigma _{2}\right)$ быть двумя измеримыми пространствами. σ-алгебра для соответствующего пространства произведений $X_{1}\times X_{2}$ называется произведением σ-алгебры и определяется формулой $$\Sigma _{1}\times \Sigma _{2}=\sigma \left(\left\{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\right\}\right).$$

Обратите внимание, что $\{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\}$ является π-системой.

Борелевская σ-алгебра для $\mathbb {R} ^{n}$ порождается полубесконечными прямоугольниками и конечными прямоугольниками. Например, $${\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})=\sigma \left(\left\{(-\infty ,b_{1}]\times \cdots \times (-\infty ,b_{n}]:b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right)=\sigma \left(\left\{\left(a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left(a_{n},b_{n}\right]:a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right).$$

Для каждого из этих двух примеров порождающее семейство является π-системой.

σ-алгебра, порожденная множествами цилиндров

Предполагать $$X\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }=\{f:f(t)\in \mathbb {R} ,\ t\in \mathbb {T} \}$$

представляет собой набор действительных функций. Позволять ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ обозначаем борелевские подмножества $\mathbb {R} .$ Подмножество цилиндров ​ $X$ представляет собой конечно ограниченное множество, определяемое как $$C_{t_{1},\dots ,t_{n}}(B_{1},\dots ,B_{n})=\left\{f\in X:f(t_{i})\in B_{i},1\leq i\leq n\right\}.$$

Каждый $$\left\{C_{t_{1},\dots ,t_{n}}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\right\}$$— π-система, порождающая σ-алгебру $\textstyle \Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}.$ Тогда семейство подмножеств $${\mathcal {F}}_{X}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{t_{i}\in \mathbb {T} ,i\leq n}\Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}$$— алгебра, порождающая цилиндрическую σ-алгебру для $X.$ Эта σ-алгебра является подалгеброй борелевской σ-алгебры, определяемой произведения топологией $\mathbb {R} ^{\mathbb {T} }$ ограничено $X.$

Важным частным случаем является случай, когда $\mathbb {T}$ представляет собой набор натуральных чисел и $X$ представляет собой набор вещественнозначных последовательностей. В этом случае достаточно рассмотреть множества цилиндров $$C_{n}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right)=\left(B_{1}\times \cdots \times B_{n}\times \mathbb {R} ^{\infty }\right)\cap X=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\in X:x_{i}\in B_{i},1\leq i\leq n\right\},$$для чего $$\Sigma _{n}=\sigma \left(\{C_{n}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\}\right)$$является неубывающей последовательностью σ-алгебр.

Шаровая σ-алгебра

Шаровая σ-алгебра — это наименьшая σ-алгебра, содержащая все открытые (и/или закрытые) шары. Она никогда не превышает борелевскую σ-алгебру . Обратите внимание, что две σ-алгебры равны для сепарабельных пространств. Для некоторых несепарабельных пространств некоторые карты измеримы по шару, даже если они не измеримы по Борелю, что позволяет использовать шаровую σ-алгебру, полезную при анализе таких отображений.

σ-алгебра, порожденная случайной величиной или вектором

Предполагать $(\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )$ это вероятностное пространство . Если $\textstyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ измерима относительно борелевской σ-алгебры на $\mathbb {R} ^{n}$ затем $Y$ называется случайной величиной ( $n=1$) или случайный вектор ( $n>1$). σ-алгебра, порожденная $Y$ является $$\sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\right\}.$$

σ-алгебра, порожденная случайным процессом

Предполагать $(\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )$ представляет собой вероятностное пространство и $\mathbb {R} ^{\mathbb {T} }$ представляет собой набор действительных функций на $\mathbb {T} .$ Если $\textstyle Y:\Omega \to X\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }$ измерима относительно цилиндрической σ-алгебры $\sigma \left({\mathcal {F}}_{X}\right)$ (см. выше) для $X$ затем $Y$ называется случайным процессом или случайным процессом . σ-алгебра, порожденная $Y$ является $$\sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in \sigma \left({\mathcal {F}}_{X}\right)\right\}=\sigma \left(\left\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {F}}_{X}\right\}\right),$$σ-алгебра, порожденная прообразами цилиндрических множеств.

См. также

• Измеримая функция - функция, для которой прообраз измеримого множества измерим.
• Пространство выборки - набор всех возможных исходов или результатов статистического испытания или эксперимента.
• Функция сигма-аддитивного множества – Функция отображения
• Сигма-кольцо - Семейство множеств, замкнутых счетными объединениями.

showСемьи ${\mathcal {F}}$ сетов закончилось $\Omega$
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	Directed by $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	F.I.P.
π-system
Semiring										Never
Semialgebra (Semifield)										Never
Monotone class						only if $A_{i}\searrow$	only if $A_{i}\nearrow$
𝜆-system (Dynkin System)				only if $A\subseteq B$			only if $A_{i}\nearrow$ or they are disjoint			Never
Ring (Order theory)
Ring (Measure theory)										Never
δ-Ring										Never
𝜎-Ring										Never
Algebra (Field)										Never
𝜎-Algebra (𝜎-Field)										Never
Dual ideal
Filter				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Prefilter (Filter base)				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Filter subbase				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Open Topology							(even arbitrary $\cup$)			Never
Closed Topology						(even arbitrary $\cap$)				Never
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	directed downward	finite intersections	finite unions	relative complements	complements in $\Omega$	countable intersections	countable unions	contains $\Omega$	contains $\varnothing$	Finite Intersection Property
Additionally, a semiring is a π-system where every complement $B\setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ A semialgebra is a semiring where every complement $\Omega \setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ are arbitrary elements of ${\mathcal {F}}$ and it is assumed that ${\mathcal {F}}\neq \varnothing .$

Внешние ссылки

• «Алгебра множеств» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Сигма-алгебра от PlanetMath.