Ретенберг уместность
 | Эта статья требует дополнительных цитат для проверки . ( июль 2017 г. ) |
В Диатонических наборов теории Ротенберга , отсутствие противоречия и неоднозначно является важной концепцией уместность Джеральд Бальзано , который назвал ее последовательностью .
«Ротенберг называет масштаб« строго правильным », если он обладает общим порядком,« правильным », если оно признает неясности, но никаких противоречий и« неправильно », если он признает противоречия». [ 1 ] Шкала интервалы строго правильная, если все два шага больше , чем любой интервал одного шага, все три шага интервалы больше, чем любой двухэтапный интервал и так далее. Например, с диатонической шкалой , интервалы с одним шагом являются полутоновые (1) и тон (2), двухэтапными интервалами являются незначительные (3) и основные (4) третьи, трехэтапные интервалы - четвертый (5) и тритоне (6), четырехэтажными интервалами являются пятый (7) и тритон (6), пятиэтапные интервалы - это незначительные (8) и основные (9) шестой, а шесть этапов - это незначительные (t) и майор (е) седьмой. Таким образом, это не является строго правильным, потому что трехэтапные интервалы и четыре шага интервалы имеют размер интервала (тритон), вызывая двусмысленность («два [специфические] интервалы, которые звучат одинаково, отображайте на разные коды [общие интервалы]» [ 2 ] ) Такая шкала просто называется «правильным».
Например, основная пентатоническая шкала является строго правильной:
| 1 | В | 2 | Дюймовый | 2 | И | 3 | Глин | 2 | А | 3 | В | |
| 2 | В | 4 | И | 5 | А | 5 | Дюймовый | 5 | Глин | 5 | В | |
| 3 | В | 7 | Глин | 7 | Дюймовый | 7 | А | 7 | И | 8 | В | |
| 4 | В | 9 | А | Т | Глин | 9 | И | Т | Дюймовый | Т | В |
Пентатонические масштабы, которые являются правильными, но не строго, являются: [ 2 ]
- {0,1,4,6,8} ( лидийская аккорда )
- {0,2,4,6,8} ( шкала всего тона )
- {0,1,4,6,9} ( гамма -аккорд )
- {0,2,4,6,9} ( доминирующая девятая аккорда )
- {0,1,3,6,9} ( доминирующая девятая аккорда )
Один строго правильный пентатонический шкал:
- {0,2,4,7,9} (основной пентатоник)
Гепатонические весы, которые являются правильными, но не строго, являются: [ 2 ]
- {0,1,3,4,6,8,9} ( гармоническая второстепенная шкала )
- {0,1,3,5,6,8, t} ( диатоновая шкала )
- {0,1,3,4,6,8, t} ( измененная шкала )
- {0,1,2,4,6,8, t} ( основная неаполитанская шкала )
Уместность может также рассматриваться как шкалы, стабильность которых = 1, при условии стабильности, определяемой как «соотношение числа непреодолимых невидимых интервалов ... к общему количеству неопределенных интервалов», в этом случае диатоническая шкала имеет стабильность из 20 ⁄ 21 . [ 2 ]
Двенадцать равных масштабов является строго правильным, как и любая равная закаленная шкала, потому что она имеет только один размер интервала для каждого количества шагов, которые также являются правильными. В качестве другого примера, фрагмент отональной гармоники 5 ⁄ 4 , 6 ⁄ 4 , 7 ⁄ 4 , 8 ⁄ 4 строго правильный, с интервалами на один шаг варьируются по размеру от 8 ш 7 до 5 ⁄ 4 , два шага интервалы варьируются от 4 ~ 3 до 3 ~ 2 , три шага 8 ⁄ 5 до 7 ⁄ 4 .
Ротенберг предполагает, что надлежащие масштабы обеспечивают точку или структуру, которая помогает восприятию («стабильный гештальт ») и что неправомерные шкалы требуют беспилотника или остинато для обеспечения точки отсчета. [ 3 ]
Примером ненадлежащего масштаба является японская шкала Hirajōshi .
| 1 | В | 2 | Дюймовый | 1 | E ♭ | 4 | Глин | 1 | A ♭ | 4 | В | ||
| 2 | В | 3 | E ♭ | 5 | A ♭ | 6 | Дюймовый | 5 | Глин | 5 | В | ||
| 3 | В | 7 | Глин | 7 | Дюймовый | 6 | A ♭ | 7 | E ♭ | 9 | В | ||
| 4 | В | 8 | A ♭ | и | Глин | 8 | E ♭ | и | Дюймовый | Т | В |
, 4. Единые интервалы шага варьируются от полутона от G до ♭ до основной Его шаги в полутонах составляют 2, 1, 4, 1 треть ♭ и тритон, от ♭ до D. Там второстепенный третий как двухэтапный интервал меньше основного треть Интервалы являются противоположностью упорядочения их соответствующих общих интервалов ». [ 2 ] ).
Математическое определение уместности
[ редактировать ]Ротенберг определил уместность в очень общем контексте; Однако для почти всех целей достаточно рассмотреть то, что в музыкальном контексте часто называют периодическим масштабом , хотя на самом деле это соответствует тому, что математики называют квазипериодической функцией . Это шкалы, которые повторяются с определенным фиксированным интервалом выше каждой ноты в определенном конечном наборе примечаний. Фиксированный интервал, как правило, является октавой , и поэтому шкала состоит из всех заметок, принадлежащих к конечному количеству классов шага . Если β I обозначает масштабную элемент для каждого целого числа I, то β I + ℘ = β I + ω , где ω обычно представляет собой октаву 1200 центов, хотя это может быть любое фиксированное количество центов; и ℘ - это количество масштабных элементов в периоде ω, которое иногда называют размером шкалы.
Для любого, я могу рассмотреть набор всех различий с помощью I Шаги между классом масштабных элементов ( i ) = { β N + I - β N }. Мы можем обычным способом расширить упорядочение по элементам набора на сами набор, говоря, < b и только тогда, когда для каждого a ∈ A и B ∈ B мы имеем < что b . Тогда шкала строго является правильной , если я < J подразумевает класс ( i ) <класс ( j ). Это правильно , если i ≤ j подразумевает класс ( i ) ≤ class ( j ). Строгая уместность подразумевает уместность, но надлежащая шкала не должна быть строго правильной; Примером является диатоническая шкала в равной темпераменте , где интервал тритона принадлежит как к классу четвертого (как увеличенный четвертый ), так и к классу пятого (как уменьшенная пятая ). Строгая уместность такая же, как когерентность в смысле Бальзано.
Общие и конкретные интервалы
[ редактировать ]Интервальный класс класса (i) Modulo ω зависит только от i modulo ℘, следовательно, мы также можем определить версию класса, класса ( i ), для классов шага ω , которые называются общими интервалами . Конкретные классы высоты тона, принадлежащие к классу (i), затем называются конкретными интервалами . Класс унисон , класс (0), состоит исключительно из множества ω и обычно исключается из рассмотрения, так что количество общих интервалов составляет ℘ - 1. Следовательно, общие интервалы пронумерованы от 1 до ℘ - 1, а также Шкала является правильной, если для каких -либо двух общих интервалов я < J подразумевает класс ( i ) <класс ( j ). Если мы представляем элементы класса ( i ) с интервалами, уменьшенными до конфигурации между унисон и ω, мы можем заказать их как обычно, и таким образом определить уместность, заявив, что i < J для общих классов влечет за собой класс ( i ) <класс ( J ) Эта процедура, хотя и гораздо более запутанной, чем определение, как первоначально указано, заключается в том, как этот вопрос обычно подходит в теории диатонических наборов .
Рассмотрим диатоническую (основную) шкалу в общем 12 тональном равный темперамент, который следует за шаблоном (в полутонах) 2-2-2-2-2-2-1. Нет интервала в этом масштабе, охватывающего какое -либо количество шагов масштаба, более узкое (состоящее из меньшего количества полутонов), чем интервал, охватывающий меньше шкалевых шагов. Например, нельзя найти четвертый в этой шкале, который меньше третьего: самые маленькие четвертые шириной пять семитонов, а самые большие трети - четыре полутона. Следовательно, диатоническая шкала является правильной. Тем не менее, существует интервал, который содержит такое же количество полутонов, что и интервал, охватывающий меньше масштабных градусов: увеличенный четвертый (FGAB) и уменьшенная пятая (BCDEF) имеют ширину шесть полутонов. Следовательно, диатоническая шкала является правильной, но не строго правильной.
С другой стороны, рассмотрим загадочную шкалу , которая следует за шаблоном 1-3-2-2-2-1-1. В этой шкале можно найти интервалы, которые более узкие, чем другие интервалы в шкале, охватывающих меньше шагов масштаба: например, четвертый, построенный на 6 -м шаге, составляет три полутона шириной, а третий - на 2 -м шаге, - это пять Семитоны шириной. Следовательно, загадочная шкала не является правильной.
Диатоническая теория масштаба
[ редактировать ]Бальзано представил идею попытки охарактеризовать диатоническую шкалу с точки зрения уместности. Нет строго правильных шкал семи нот при 12 равных темперамента ; Тем не менее, есть пять правильных шкал, одной из которых является диатоническая шкала. Здесь транспонирование и моды не учитываются отдельно, так что диатоническая шкала охватывает как основную диатоническую шкалу , так и естественную малого масштаба, начиная с любого шага. Каждая из этих масштабов, если она написана правильно, имеет версию в любой настройке , и когда пятая пятая, чем 700 центов , все они становятся строго правильными. В частности, пять из семи строго правильных шкал семи нот в 19 равных темперамента являются одной из этих шкал. Пять весов:
- Диатоник : Cdefgab
- Мелодичный/восходящий несовершеннолетний/джаз минор : cde ♭ fgab
- Гармоническая несовершеннолетняя : CDE ♭ FGA ♭ B
- Гармоническая специальность : Cdefga ♭ B
- Майор Локриан : CDEFG ♭ до ♭ B ♭
В любой системе подразделения с пятыми более 700 центов, один также имеет следующую строго правильную масштаб: CD ♭ Ef ♭ ga ♭ B ♭ (который является фригианским доминантом ♭ 4 шкалы).
Диатоническая, восходящая несовершеннолетняя, гармоническая малая, гармоническая мажор и эта последняя неназванная шкала содержит полные круги трех основных и четырех малых третей, расположенных по -разному. Массовая локрианская масштаба имеет круг из четырех основных и двух незначительных третей, а также уменьшенная треть , что в септимале означало темперамент, приближается сековой секунды к секунду секунды секунды 8 ~ 7 . Другие весы - все шкалы с полным кругом из трех основных и четырех второстепенных третей, которые с тех пор ( 5 ⁄ 4 ) 3 ( 6 ⁄ 5 ) 4 = 81 ⁄ 20 , смягченный до двух октава в подразделенном, свидетельствует о предназначении.
Первые три шкалы имеют базовое значение для общей практики музыки, и часто используются гармонические масштабные шкалы, и что диатоническая шкала не выделяется уместностью, возможно, менее интересна [ Согласно кому? ] чем это шкалы магистралей диатонической практики - все.
Смотрите также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Кэри, Норман (1998). Distribution Modulo One и музыкальные масштабы , с.103, n.19. Университет Рочестера. Доктор философии диссертация.
- ^ Jump up to: а беременный в дюймовый и Мередит Д. (2011). «Тональные шкалы и минимальные циклы простых классов высоты», математика и вычисления в музыке: Третья международная конференция , с.174. Спрингер. ISBN 9783642215896
- ^ (1986). 1/1: ежеквартальный журнал сети Just Inlonation, том 2 , с.28. Просто интонационная сеть.
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Джеральд Дж. Бальзано, Группо-теоретичное описание 12-кратных и микротональных систем высоты тона , компьютерный музыкальный журнал 4/4 (1980) 66–84
- Джеральд Дж. Балзано, Посторонняя высота, установленная как уровень описания для изучения восприятия музыкального тащи , в музыке, разуме и мозге, Манфред Клинс, изд., Пленм Пресс, 1982
- Дэвид Ротенберг, модель восприятия образца с музыкальными приложениями, часть I: структуры высоты танга в качестве карт, обеспечивающих порядок , теория математических систем 11 (1978) 199–234 [1]
