Пластичность (физика)

В области и материаловедения пластичность физики ( также известная как пластическая деформация ) является способностью твердого материала проходить постоянную деформацию , необратимое изменение формы в ответ на прикладные силы. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Например, сплошной кусок металла сгибается или затирается в новую форму, показывает пластичность, поскольку постоянные изменения происходят в самом материале. В инженерии переход от упругого поведения к пластическому поведению известен как давление .

Пластическая деформация наблюдается в большинстве материалов, особенно металлов , почв , скал , бетона и пен . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} Однако физические механизмы, которые вызывают пластическую деформацию, могут сильно варьироваться. В кристаллическом масштабе пластичность в металлах обычно является следствием дислокаций . Такие дефекты являются относительно редкими в большинстве кристаллических материалов, но являются многочисленными в некоторых и частью их кристаллической структуры; В таких случаях пластическая кристалличность может возникнуть . В хрупких материалах, таких как скала, бетон и кость, пластичность вызывается преимущественно путем скольжения на микротрещинах . В клеточных материалах, таких как жидкие пены или биологические ткани , пластичность в основном является следствием пузырьковых или клеточных перестроек, особенно процессов T1 .

Для многих пластичных металлов растягивающая нагрузка, применяемая к образцу, приведет к тому, что она ведет себя упругим образом. Каждое приращение нагрузки сопровождается пропорциональным увеличением удлинения. Когда нагрузка удаляется, часть возвращается к первоначальному размеру. Однако, как только нагрузка превышает порог - прочность урожая - расширение увеличивается быстрее, чем в эластичной области; Теперь, когда нагрузка будет удалена, останется некоторая степень расширения.

Эластичная деформация , однако, является приближением, и ее качество зависит от рассматриваемой временной рамки и скорости нагрузки. Если, как указано на графике напротив, деформация включает в себя упругую деформацию, она также часто называют «эласто-пластической деформацией» или «упругой пластической деформацией».

Идеальная пластичность - это свойство материалов, чтобы пройти необратимую деформацию без какого -либо увеличения напряжений или нагрузок. Пластиковые материалы, которые были затвердевают предварительной деформацией, такой как образование холода , могут потребоваться все более высокие напряжения для дальнейшего деформации. Как правило, пластическая деформация также зависит от скорости деформации, то есть более высокие напряжения обычно должны применяться для увеличения скорости деформации. Говорят, что такие материалы деформируются вископластично .

Способствующие свойства

Пластичность материала непосредственно пропорциональна пластичности и гибкости материала .

Физические механизмы

Большая сфера на плоской плоскости очень маленьких сфер с несколькими наборами очень маленьких сфер, смежно простирающихся под плоскостью (все с черным фоном) — Пластичность под сферическим наноиндер в (111) меди. Все частицы в идеальных положениях решетки опущены, а цветовой код относится к полю напряжения фон Мизес.

В металлах

Пластичность в кристалле чистого металла в первую очередь вызвана двумя модами деформации в кристаллической решетке: скольжение и двойник. Слипать - это деформация сдвига, которая перемещает атомы через многие межатомные расстояния по сравнению с их начальными позициями. Твиннирование - это пластическая деформация, которая происходит вдоль двух плоскостей из -за набора сил, приложенных к данной металлической части.

Большинство металлов показывают больше пластичности, когда жарко, чем когда холодно. Свинец показывает достаточную пластичность при комнатной температуре, в то время как чугун не обладает достаточной пластичностью для какой -либо работы коровьей, даже когда они горячо. Это свойство имеет важное значение для формирования, формирования и экструдирования операций на металлах. Большинство металлов производится пластиком путем отопления и, следовательно, в форме горячих.

Система скольжения

Кристаллические материалы содержат однородные плоскости атомов, организованные с помощью дальнего порядка. Самолеты могут проскользнуть мимо друг друга вдоль их близких направлений, как показано на странице систем скольжения. Результатом является постоянное изменение формы в кристалле и пластической деформации. Наличие дислокаций увеличивает вероятность самолетов.

Обратимая пластичность

На наноразмерной части первичной пластиковой деформации в простых кубических металлах обратимой лицевой ориентированной , если в форме перекрестного скольжения нет материала . ^{[ 7 ]} Сплавы в виде формы, такие как нитинол-проволока, также демонстрируют обратимую форму пластичности, которая более правильно называется псевдоупругой .

Сдвиг полосы

Присутствие других дефектов в кристалле может запутать дислокации или иным образом предотвратить их скольжение. Когда это происходит, пластичность локализуется в определенных регионах в материале. Для кристаллов эти области локализованной пластичности называются сдвиговыми полосами .

Микропластичность

Микропластичность является локальным явлением в металлах. Это происходит для значений напряжений , где металл находится в глобальном уровне в эластичной домене, в то время как некоторые локальные области находятся в пластиковом домене. ^{[ 8 ]}

Аморфные материалы

Сумасшедший

В аморфных материалах обсуждение «дислокаций» неприменимо, поскольку весь материал не имеет большого порядка. Эти материалы все еще могут подвергаться пластической деформации. Поскольку аморфные материалы, такие как полимеры, недооцениваются, они содержат большое количество свободного объема или впустую пространство. Потягивание этих материалов в растяжении открывает эти регионы и может придать материалам туманный вид. Эта невозмутимость является результатом сумасшедшего , где фибриллы образуются в материале в областях высокого гидростатического напряжения . Материал может перейти от упорядоченного появления к «сумасшедшему» схеме напряжения и растягивания.

Клеточные материалы

Эти материалы пластически деформируются, когда изгибающий момент превышает полностью пластиковый момент. Это относится к открытым пена ячейки, где изгибающий момент проявляется на клеточных стенках. Пены могут быть изготовлены из любого материала с пластиковой точкой урожая, который включает жесткие полимеры и металлы. Этот метод моделирования пены в качестве балок действителен только в том случае, если соотношение плотности пены к плотности вещества составляет менее 0,3. Это связано с тем, что балки уступают оси, вместо изгиба. У пены с замкнутыми ячейками прочность урожая увеличивается, если материал находится под напряжением из -за мембраны, которая охватывает поверхность клеток.

Почвы и песок

Почвы, особенно глины, демонстрируют значительное количество неэластичности при нагрузке. Причины пластичности в почвах могут быть довольно сложными и сильно зависят от микроструктуры , химического состава и содержания воды. Пластическое поведение в почвах вызвано главным образом перестройкой кластеров смежных зерен.

Камни и бетон

Неэластичные деформации пород и бетона в первую очередь вызваны образованием микротрещин и скользящими движениями относительно этих трещин. При высоких температурах и давлениях пластиковое поведение также может влиять движение дислокаций в отдельных зернах в микроструктуре.

Независимый от времени урожайность и пластиковый поток в кристаллических материалах

^{[ 9 ]}

Независимый от времени пластиковый поток как в монокристаллах, так и в поликристаллах определяется критическим/максимальным разрешенным напряжением сдвига ( τ _CRSS ), инициируя дислокационную миграцию вдоль параллельных плоскостей скольжения одной системы скольжения, тем самым определяя переход от упругого к пластическому поведению деформации в Кристаллические материалы.

Независимый от времени урожайность и пластиковый поток в монокристаллах

Критическое разрешенное напряжение сдвига для монокристаллов определяется законом Шмида τ _CRSS = σ _y /M, где σ _y - прочность урожая монокристалла, а M - коэффициент Schmid. Коэффициент Шмида содержит две переменные λ и φ, определяя угол между направлением плоскости скольжения и приложенной силой растяжения, и угол между нормальной плоскостью скольжения и применяемой силой растяжения соответственно. Примечательно, потому что m > 1, σ _y > τ _crss .

Критическая разрешенная зависимость напряжения сдвига от температуры, скорости деформации и точечных дефектов

Существует три характерных областях критического разрешенного напряжения сдвига в зависимости от температуры. В области низкой температуры 1 ( T ≤ 0,25 т _м ) скорость деформации должна быть высокой для достижения высокого τ _CRS , что необходимо для инициирования скольжения дислокации и эквивалентно пластикового потока. В области 1 критическое разрешенное напряжение сдвига имеет два компонента: Athermal ( τ _a ) и тепловые ( τ *) напряжения сдвига, возникающие в результате напряжения, необходимого для перемещения дислокаций в присутствии других дислокаций и сопротивления препятствий точечного дефекта дислокационная миграция соответственно. При t = t умеренная температурная область 2 (0,25 T _M < 0,7 * → T _M * определяется ), где компонент напряжения теплового сдвига τ 0, представляющий устранение импеданса точечного дефекта для миграции дислокации. Таким образом, независимое от температуры критическое разрешенное напряжение сдвига τ _crss = τ _a остается до тех пор, пока область 3 не будет определена. Примечательно, что в области 2 средней температуры, зависящие от времени, следует учитывать механизмы деформации пластической деформации (Creep), такие как растворенное вещество. Кроме того, в области высокой температуры 3 ( T ≥ 0,7 т _м ) έ может быть низким, способствуя низким τ _crss , однако пластиковый поток все еще будет происходить из-за термически активированного высокотемпературного во времени механизмов пластической деформации, таких как Набарро-Херринг (NH) и диффузионный поток с каблетом через решетку и вдоль монокристаллических поверхностей, соответственно, а также ползучесть для вывиха.

Стадии независимого от времени пластикового потока, пост

Во время легкой стадии Glide 1 скорость упрочнения работы, определяемая изменением напряжения сдвига по отношению к деформации сдвига ( Dτ / Dγ ), является низкой, что отражает небольшое количество приложенного напряжения сдвига, необходимого для индуцирования большого количества деформации сдвига Полем Облегченная дислокация скольжения и соответствующий поток объясняется миграцией дислокации вдоль только параллельных плоскостей скольжения (то есть одна система скольжения). Умеренный импеданс для миграции дислокации вдоль параллельных плоскостей скольжения демонстрируется в соответствии со слабыми взаимодействиями поля стресса между этими дислокациями, что усиливается с меньшим интервалом интерпланар. В целом, эти мигрирующие дислокации в пределах одной системы скольжения действуют как слабые препятствия для потока, и скромное повышение стресса наблюдается по сравнению с напряжением урожая. Во время линейного упрочнения этапа 2-го потока скорость упрочнения работ становится высокой, так как требуется значительное напряжение, чтобы преодолеть взаимодействие поля напряжения дислокаций, мигрирующих на непараллельных плоскостях скольжения (т.е. многочисленные системы скольжения), выступая в качестве сильных препятствий для потока. Для небольших штаммов требуется много стресса. Напряжение потока сдвигового потока прямо пропорционально квадратному корню плотности дислокации (τ _поток ~ r ^½), независимо от эволюции конфигураций дислокации, отображая зависимость упрочнения от количества присутствующих дислокаций. Что касается этой эволюции конфигураций дислокации, на малых штаммах расположение дислокации представляет собой случайный трехмерный массив пересекающихся линий. Умеренные штаммы соответствуют клеточным дислокационным структурам гетерогенного распределения дислокации с большой плотностью дислокации на границах клеток и небольшой плотностью дислокации внутри клеточной внутренней части. При еще больших штаммах структура дислокации клеточной дислокации уменьшается в размере до тех пор, пока не будет достигнут минимальный размер. Наконец, скорость упрочнения работы снова становится низкой при истощении/насыщении стадии 3 -го пластикового потока, поскольку небольшие напряжения сдвига вызывают большие штаммы сдвига. Примечательно, что экземпляры, когда несколько систем скольжения ориентированы благоприятно в отношении приложенного напряжения, τ _CRS для этих систем могут быть схожими, а уход может возникнуть в соответствии с миграцией дислокации вдоль нескольких систем скольжения с непараллельными плоскостями скольжения, отображая работу 1 стадии 1 -Скорость хардирования обычно характерна для стадии 2.

Сравнение между независимой от времени пластической деформации кубических переходных металлов и кубических металлов с центрированным лицом, подчеркивая критическое разрешенное напряжение сдвига, скорость укрепления работы и деформация обкинга во время испытаний на растяжение.
Кубические переходные металлы, ориентированные на тело	Фекесцентрированные кубические металлы
Критическое разрешение напряжения сдвига = высокое (относительно) и сильно зависит от температуры	Критическое разрешение напряжения сдвига = низкое (относительно) и слабо температурно-зависимое
Работа по укреплению = независимо от температуры	Работа по укреплению = зависит от температуры
Напряжение для гонки увеличивается с температурой	Деформация обкинга уменьшается с температурой

Независимый от времени урожайность и пластиковый поток в поликристаллах

Пластичность в поликристаллах существенно отличается от пластина в монокристаллах из -за присутствия плоских дефектов границ зерна (ГБ), которые действуют как очень сильные препятствия для пластического потока, препятствуя миграции дислокации по всей длине активированной плоскости скольжения. Следовательно, дислокации не могут переходить от одного зерна к другому через границу зерна. В следующих разделах исследуются конкретные требования GB для обширной пластической деформации поликристаллов до разрушения, а также влияние микроскопического выхода в пределах отдельных кристаллитов на макроскопический выход поликристалла. Критическое разрешенное напряжение сдвига для поликристаллов также определяется законом Шмида (τ _crss = σ _y /ṁ), где σ _y - сила урожайности поликристаллического, а ṁ - взвешенный фактор Шмида. Взвешенный фактор Шмида отражает наименее благоприятно ориентированную систему скольжения среди наиболее благоприятно ориентированных систем скольжения зерен, составляющих ГБ.

Ограничение границ зерна в поликристаллах

Ограничение GB для поликристаллов можно объяснить, рассмотрев границу зерна в плоскости XZ между двумя монокристаллами A и B идентичных систем композиции, структуры и скольжения, но разочарованных по отношению друг к другу. Чтобы гарантировать, что пустоты не образуются между индивидуально деформирующими зернами, ограничение GB для бикристаля заключается в следующем: ε _xx^А = ε _xx^{Беременный} (X-осиный штамм в GB должен быть эквивалентен для A и B), ε _ZZ^А = e _zz^{Беременный} (Аси Z-оси в GB должен быть эквивалентен для A и B) и ε _xz^А = e _xz^{Беременный} (XZ-сдвиг деформация вдоль плоскости XZ-GB должна быть эквивалентна для A и B). Кроме того, это ограничение ГБ требует, чтобы пять независимых систем скольжения были активированы на для каждого кристаллита, составляющего ГБ. Примечательно, что, поскольку независимые системы скольжения определяются как плоскости скольжения, на которых миграция дислокации не может быть воспроизведена какой -либо комбинацией дислокационных миграций по плоскостям другой системы скольжения, количество геометрических систем скольжения для данной кристаллической системы, которая по определению может быть построено по скольжению Системные комбинации - обычно больше, чем у систем независимых скольжений. Примечательно, что для каждой из семи кристаллических систем насчитывается максимум пять независимых систем скольжения, однако не все семь кристаллических систем приобретают этот верхний предел. Фактически, даже в данной кристаллической системе композиция и решетчатая решетка Bravais диверсифицируют количество независимых систем скольжения (см. Таблицу ниже). В тех случаях, когда кристаллиты поликристалла не получают пять независимых систем скольжения, условие GB не может быть выполнено, и, следовательно, независимая от времени деформация отдельных кристаллитов приводит к трещинам и пустотам на GBS- Полем Следовательно, для данной композиции и структуры монокристалл с менее чем пятью независимыми системами скольжения более сильнее (демонстрируя большую степень пластичности), чем его поликристаллическая форма.

Количество независимых систем скольжения для данной композиции (класс первичного материала) и структуры (решетчатая решетка Bravais). ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}
Бравейская решетка	Первичный класс материала: # Независимые системы скольжения
Лицо сосредоточено кубическое	Металл: 5, керамическая (ковалентная): 5, керамическая (ионная): 2
Тело с центром кубики	Металл: 5
Простой кубический	Керамическая (Ионическая): 3
Гексагональный	Металл: 2, керамика (смешанная): 2

Последствия ограничения границ зерна в поликристаллах

Хотя два кристаллита A и B, обсуждаемые в вышеупомянутом разделе, имеют идентичные системы скольжения, они разочарованы по отношению друг к другу и, следовательно, разочарованы относительно приложенной силы. Таким образом, микроскопический выход во внутренней части кристаллита может возникнуть в соответствии с правилами, регулирующими, независимым от времени кристалля. В конце концов, активированные плоскости скольжения внутри зерновых интерьеров позволят миграцию дислокации в ГБ, где многие дислокации затем накапливаются как геометрически необходимые дислокации. Эта накаплива соответствует градиентам напряжения в отдельных зернах, поскольку плотность дислокации вблизи ГБ больше, чем во внутренней части зерна, навязывая нагрузку на соседнее зерно в контакте. При рассмотрении бикристаля AB в целом наиболее благоприятно ориентированная система скольжения в A не будет той, которая в B и, следовательно, τ ^А_CRSS ♠ τ ^{Беременный}_CRSS . Paramount - это тот факт, что макроскопическое выступление бикристалла продлевается до тех пор, пока более высокое значение τ _CRS между зернами A и B не будет достигнуто в соответствии с ограничением GB. Таким образом, для данной композиции и структуры поликристалл с пятью независимыми системами скольжения более сильнее (большая степень пластичности), чем его монокристаллическая форма. Соответственно, скорость упрочнения работы будет выше для поликристалла, чем в монокристалле, так как в поликристалле требуется больше напряжения для производства штаммов. Важно отметить, что, как и при напряжении монокристаллического потока, τ _поток ~ ρ ^½, но также обратно пропорционально квадратному корню среднего диаметра зерна (τ _поток ~ d ^-½ ) Следовательно, напряжение потока поликристалла и, следовательно, прочность поликристалла, увеличивается с небольшим размером зерна. Причина этого заключается в том, что меньшие зерна имеют относительно меньшее количество плоскостей скольжения, которые должны быть активированы, что соответствует меньшему количеству дислокаций, мигрирующих в GBS, и, следовательно, меньше стресса, вызванного соседним зернам, из -за дислокации накапливается. Кроме того, для данного объема поликристалла меньшие зерна представляют более сильные границы зерна препятствий. Эти два фактора дают представление о том, почему появление макроскопического потока в мелкозернистых поликристаллах происходит при более крупных прикладных напряжениях, чем в крупнозернистых поликристаллах.

Математические описания

Теория деформации

Идеализированная одноосная кривая напряжения-деформации, показывающая режимы упругости и пластика деформации для теории деформации пластичности

Есть несколько математических описаний пластичности. ^{[ 12 ]} Одним из них является теория деформации (см. Закон, например, Гук ), где тензор стресса Cauchy (порядок D-1 в D-измерениях) является функцией тензора деформации. Хотя это описание является точным, когда небольшая часть материи подвергается увеличению нагрузки (например, нагрузки деформации), эта теория не может объяснить необратимость.

Проводимые материалы могут поддерживать большие пластиковые деформации без перелома . Тем не менее, даже пластичные металлы будут разрушаться, когда штамм становится достаточно большим - это в результате укрепления работы материала, что заставляет его стать хрупким . Тепловая обработка, такая как отжиг, может восстановить пластичность рабочего фрагмента, так что формирование может продолжаться.

Теория пластичества потока

В 1934 году Эгон Ороуэн , Майкл Полани и Джеффри Ингрэм Тейлор , примерно одновременно, поняли, что пластическая деформация пластичных материалов может быть объяснена в терминах теории дислокаций . Математическая теория пластичности, теория пластичности потока , использует набор нелинейных, неинтегрируемых уравнений для описания набора изменений на деформации и напряжения в отношении предыдущего состояния и небольшого увеличения деформации.

Критерии урожайности

Если стресс превышает критическое значение, как было упомянуто выше, материал будет подвергаться пластике или необратимой деформации. Это критическое напряжение может быть растягивающим или сжимающим. Критерии Tresca и Von Mises обычно используются для определения того, дал ли материал. Тем не менее, эти критерии оказались неадекватными для большого диапазона материалов, и некоторые другие критерии урожайности также широко используются.

Критерий Трески

Критерий TRESCA основан на том, что, когда материал не стерж, он делает это в сдвиге, что является относительно хорошим предположением при рассмотрении металлов. Учитывая основное состояние стресса, мы можем использовать кружок Мора для решения максимальных напряжений сдвига, которые наш материал испытает, и прийти к выводу, что материал потерпит неудачу, если

\sigma _{1}-\sigma _{3}\geq \sigma _{0}

Если σ ₁ - максимальное нормальное напряжение, σ ₃ - минимальное нормальное напряжение, а σ ₀ - это напряжение, при котором материал не удается при одноосной нагрузке. Можно построить поверхность урожая , которая обеспечивает визуальное представление этой концепции. Внутри поверхности урожая деформация упругая. На поверхности деформация пластика. Для материала невозможно иметь напряженные состояния за пределами его поверхности урожая.

Критерий Хубер -Фон Мизес

Критерий Хубер -Фон Мизес ^{[ 13 ]} основан на критерии TRESCA, но учитывает предположение, что гидростатические напряжения не способствуют отказу материала. MT Huber был первым, кто предложил критерий энергии сдвига. ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]} Фон Мизес решает для эффективного напряжения при одноосной нагрузке, вычитая гидростатические напряжения, и утверждает, что все эффективные напряжения, превышающие то, что вызывает разрушение материала при одноосной нагрузке, приведет к пластической деформации.

\sigma _{v}^{2}={\tfrac {1}{2}}[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+(\sigma _{11}-\sigma _{33})^{2}+6(\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}+\sigma _{12}^{2})]

Опять же, визуальное представление поверхности урожая может быть построено с использованием вышеуказанного уравнения, которое принимает форму эллипса. Внутри поверхности материалы подвергаются упругим деформации. Достижение поверхности означает, что материал подвергается пластиковым деформациям.

Смотрите также

Ссылки

^ Lubliner, Jacob (2008). Теория пластичности . Дувр. ISBN 978-0-486-46290-5 .
^ Бигони, Давиде (2012). Нелинейная твердая механика: теория бифуркации и нестабильность материала . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-02541-7 .
^ Джирасек, Милан; Bažant, Zdeněk P. (2002). Inestic Analysis of Structures . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-98716-6 .
^ Чен, Вай-Фах (2008). Ограниченный анализ и пластичность почвы . J. Ross Publishing. ISBN 978-1-932159-73-8 .
^ Yu, ; Mao Hong - 3-540-25127-8 .
^ Чен, Вай-Фах (2007). Пластичность в железобетоне . J. Ross Publishing. ISBN 978-1-932159-74-5 .
^ Зигенхайн, Герольф; и Урбассек, Герберт М.; «Обратимая пластичность в металлах FCC» в философских буквах , 89 (11): 717-723, 2009 DOI 10.1080/09500830903272900
^ Маас, Роберт; Дерлет, Питер М. (январь 2018 г.). «Микропластичность и недавние понимания прерывистой и мелкой пластичности». Acta Materialia . 143 : 338–363. Arxiv : 1704.07297 . Bibcode : 2018ACMAT.143..338M . doi : 10.1016/j.actamat.2017.06.023 . S2CID 119387816 .
^ Кортни, Томас (2005). Механическое поведение материалов (второе изд.). Long Grove, Illinois: Waveland Press, Inc. ISBN 978-1-57766-425-3 .
^ Партридж, Питер (1969). Деформация и усталость шестиугольных плотных металлов . Университет Суррея. {{cite book}}: CS1 Maint: местоположение отсутствует издатель ( ссылка )
^ Groves, Джеффри В.; Келли, Энтони (1963). «Независимые системы скольжения в кристаллах». Философский журнал . 8 (89): 877–887. Bibcode : 1963pmag .... 8..877g . doi : 10.1080/14786436308213843 .
^ Хилл, Родни (1998). Математическая теория пластичности . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-850367-9 .
^ Мизес, Ричард (1913). «Механика твердое тело в пластиковом состоянии» . Новости от Общества наук в Геттинген . Математический физический класс. 1913 (1): 582–592.
^ Huber, Maksymilian Tytus (1904). «Правильная работа деформации как мера материального спортсмена». Технический журнал . 22 LVIV. Перевод как «Конкретная работа напряжения как мера материальных усилий» . Архивы механики . 56 : 173–190. 2004.
^ См Тимошенко, Стивен П. (1953). История прочности материалов . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 369. ISBN 9780486611877 .

Дальнейшее чтение

Эшби, Майкл Ф. (2001). «Пластическая деформация клеточных материалов». Энциклопедия материалов: наука и технология . Тол. 7. Оксфорд: Elsevier. С. 7068–7071. ISBN 0-08-043152-6 .
Хан, Веймин; Редди, Б. Дайя (2013). Пластичность: математическая теория и числовой анализ (2 -е изд.). Нью -Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4614-5939-2 .
Качанов, Лазар Маркович (2004). Основы теории пластичности . Dover Books. ISBN 0-486-43583-0 .
Хан, Ахтар С.; Huang, Sujian (1995). Континуум теория пластичности . Уайли. ISBN 0-471-31043-3 .
Симо, Хуан С.; Хьюз, Томас младший (1998). Вычислительная невластичность . Спрингер. ISBN 0-387-97520-9 .
Ван Влиет, Кристин Дж. (2006). «Механическое поведение материалов» . MIT Курс номер 3.032 . Массачусетский технологический институт.

[Lubliner-1] Lubliner, Jacob (2008). Теория пластичности . Дувр. ISBN 978-0-486-46290-5 .

[2] Бигони, Давиде (2012). Нелинейная твердая механика: теория бифуркации и нестабильность материала . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-02541-7 .

[Jirasek-3] Джирасек, Милан; Bažant, Zdeněk P. (2002). Inestic Analysis of Structures . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-98716-6 .

[Chen-4] Чен, Вай-Фах (2008). Ограниченный анализ и пластичность почвы . J. Ross Publishing. ISBN 978-1-932159-73-8 .

[Yu-5] Yu, ; Mao Hong - 3-540-25127-8 .

[Chen1-6] Чен, Вай-Фах (2007). Пластичность в железобетоне . J. Ross Publishing. ISBN 978-1-932159-74-5 .

[7] Зигенхайн, Герольф; и Урбассек, Герберт М.; «Обратимая пластичность в металлах FCC» в философских буквах , 89 (11): 717-723, 2009 DOI 10.1080/09500830903272900

[Maaß2018-8] Маас, Роберт; Дерлет, Питер М. (январь 2018 г.). «Микропластичность и недавние понимания прерывистой и мелкой пластичности». Acta Materialia . 143 : 338–363. Arxiv : 1704.07297 . Bibcode : 2018ACMAT.143..338M . doi : 10.1016/j.actamat.2017.06.023 . S2CID 119387816 .

[9] Кортни, Томас (2005). Механическое поведение материалов (второе изд.). Long Grove, Illinois: Waveland Press, Inc. ISBN 978-1-57766-425-3 .

[10] Партридж, Питер (1969). Деформация и усталость шестиугольных плотных металлов . Университет Суррея. {{cite book}}: CS1 Maint: местоположение отсутствует издатель ( ссылка )

[11] Groves, Джеффри В.; Келли, Энтони (1963). «Независимые системы скольжения в кристаллах». Философский журнал . 8 (89): 877–887. Bibcode : 1963pmag .... 8..877g . doi : 10.1080/14786436308213843 .

[Hill-12] Хилл, Родни (1998). Математическая теория пластичности . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-850367-9 .

[13] Мизес, Ричард (1913). «Механика твердое тело в пластиковом состоянии» . Новости от Общества наук в Геттинген . Математический физический класс. 1913 (1): 582–592.

[14] Huber, Maksymilian Tytus (1904). «Правильная работа деформации как мера материального спортсмена». Технический журнал . 22 LVIV. Перевод как «Конкретная работа напряжения как мера материальных усилий» . Архивы механики . 56 : 173–190. 2004.

[15] См Тимошенко, Стивен П. (1953). История прочности материалов . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 369. ISBN 9780486611877 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]