Jump to content

Категория топологических пространств

(Перенаправлено из Top (теория категорий) )

В математике категория топологических пространств , часто обозначаемая Top , — это категория которой , объектами являются топологические пространства , а морфизмы непрерывные отображения . Это категория, потому что композиция двух непрерывных отображений снова непрерывна, а тождественная функция непрерывна. Изучение Топа и свойств топологических пространств с использованием методов теории категорий известно как категориальная топология .

NB. Некоторые авторы используют название Top для категорий с топологическими многообразиями , с компактно порожденные пространства как объекты и непрерывные отображения как морфизмы или с категорией компактно порожденных слабых хаусдорфовых пространств .

Как конкретная категория [ править ]

Как и многие категории, категория Top является конкретной категорией , то есть ее объекты представляют собой множества с дополнительной структурой (т.е. топологии), а ее морфизмы — это функции, сохраняющие эту структуру. Существует естественный функтор забывчивости.

U : Верх Установить

к категории множеств , которая присваивает каждому топологическому пространству лежащее в основе множество и каждому непрерывному отображению основную функцию .

Забывчивый функтор U имеет оба левых сопряженных

D : Установить Верх

который наделяет данное множество дискретной топологией и правосопряженным

I : Установить Верх

который наделяет данное множество недискретной топологией . Оба этих функтора фактически являются обратными справа к U (это означает, что UD и UI равны тождественному функтору в Set ). поскольку любая функция между дискретными или недискретными пространствами непрерывна, оба этих функтора дают полное вложение Set Более того , в Top .

Top также является послойно полным, означает, что категория всех топологий на данном множестве X (называемая слоем U что выше X ) образует полную решетку при упорядочении по включению . Наибольший элемент в этом слое представляет собой дискретную топологию на X , а наименьший элемент — недискретную топологию.

Топ — это модель того, что называется топологической категорией . Эти категории характеризуются тем, что каждый структурированный источник имеет уникальный начальный подъем . В Top начальный подъем достигается путем размещения исходной топологии на источнике. Топологические категории имеют много общих свойств с Top (такие как послойная полнота, дискретные и недискретные функторы, а также уникальное снятие пределов).

Пределы и копределы [ править ]

Категория Top является одновременно полной и кополной , что означает, что все малые пределы и копределы существуют в Top . Фактически, функтор забывания U : Top Set уникальным образом снимает как пределы, так и копределы, а также сохраняет их. Следовательно, (ко)пределы в Top задаются путем размещения топологий на соответствующих (ко)пределах в Set .

В частности, если F диаграмма в Top и ( L , φ : L F ) — предел UF в Set , соответствующий предел F в Top получается путем размещения начальной топологии на ( L , φ : L F). ). Двойственным образом, копределы в Top получаются путем размещения окончательной топологии на соответствующих копределах в Set .

В отличие от многих алгебраических категорий, функтор забывчивости U : Top Set существуют неуниверсальные конусы не создает и не отражает пределы, поскольку обычно в Top , покрывающие универсальные конусы в Set .

Примеры пределов и копределов в Top включают:

Другая недвижимость [ править ]

Отношения с другими категориями [ править ]

См. также [ править ]

Цитаты [ править ]

  1. ^ Долецкий 2009 , стр. 1–51.

Ссылки [ править ]

  • Адамек, Иржи, Херрлих, Хорст и Стрекер, Джордж Э.; (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF, 4,2 МБ). Первоначально опубл. Джон Уайли и сыновья. ISBN   0-471-60922-6 . (теперь бесплатное онлайн-издание).
  • Долецкий, Шимон ; Минард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-981-4571-52-4 . OCLC   945169917 .
  • Долецкий, Шимон (2009). «Посвящение в теорию конвергенции» (PDF) . В Минаре, Фредерик; Перл, Эллиотт (ред.). За пределами топологии . Современная математика. Том. 486. стр. 115–162. дои : 10.1090/conm/486/09509 . ISBN  9780821842799 . Проверено 14 января 2021 г.
  • Долецкий, Шимон; Минар, Фредерик (2014). «Единая теория функциональных пространств и гиперпространств: локальные свойства» (PDF) . Хьюстон Дж. Математика . 40 (1): 285–318 . Проверено 14 января 2021 г.
  • Херлих, Хорст : Топологические отражения и основные отражения . Конспекты лекций Спрингера по математике 78 (1968).
  • Херлих, Хорст: Категориальная топология 1971–1981 . В: Общая топология и ее связь с современным анализом и алгеброй 5, Heldermann Verlag 1983, стр. 279–383.
  • Херрлих, Хорст и Стрекер, Джордж Э.: Категориальная топология – ее истоки, на примере развития теории топологических отражений и кор-отражений до 1971 года . В: Справочник по истории общей топологии (под ред. CEAull и R. Lowen), Kluwer Acad. Опубл. том 1 (1997), стр. 255–341.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 73f553ae786df68a4c5334a34dde7152__1692023160
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/73/52/73f553ae786df68a4c5334a34dde7152.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Category of topological spaces - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)