Неаналитическая гладкая функция

В математике ( гладкие функции также называемые бесконечно дифференцируемыми функциями) и аналитические функции — два очень важных типа функций . Легко доказать, что любая аналитическая функция вещественного аргумента является гладкой. Обратное неверно , как показывает приведенный ниже контрпример .

Одним из наиболее важных приложений гладких функций с компактным носителем является построение так называемых мягчителей , которые играют важную роль в теориях обобщенных функций , таких как Лорана Шварца теория распределений .

Существование гладких, но неаналитических функций представляет собой одно из главных различий между дифференциальной геометрией и аналитической геометрией . В терминах теории пучков это различие можно сформулировать следующим образом: пучок дифференцируемых функций на дифференцируемом многообразии тонкий , в отличие от аналитического случая.

Приведенные ниже функции обычно используются для построения разбиений единицы на дифференцируемых многообразиях.

Пример функции

Определение функции

неаналитическая гладкая функция f ( *x ).* Рассматриваемая в статье

Рассмотрим функцию

f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x}}}&{\text{if }}x>0,\\0&{\text{if }}x\leq 0,\end{cases}}

определено для каждого действительного числа x .

Функция гладкая

Функция f имеет непрерывные производные всех порядков в каждой точке x вещественной прямой . Формула для этих производных:

f^{(n)}(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {p_{n}(x)}{x^{2n}}}\,f(x)&{\text{if }}x>0,\\0&{\text{if }}x\leq 0,\end{cases}}

где p _n ( x ) — многочлен степени n − 1 , заданный рекурсивно как p ₁ ( x ) = 1 и

p_{n+1}(x)=x^{2}p_{n}'(x)-(2nx-1)p_{n}(x)

для любого положительного целого числа n . Из этой формулы не совсем ясно, что производные непрерывны в точке 0; это следует из одностороннего предела

\lim _{x\searrow 0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{m}}}=0

для любого неотрицательного целого числа m .

Подробное доказательство гладкости

By the power series representation of the exponential function, we have for every natural number $m$ (including zero)

{\frac {1}{x^{m}}}=x{\Bigl (}{\frac {1}{x}}{\Bigr )}^{m+1}\leq (m+1)!\,x\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}{\Bigl (}{\frac {1}{x}}{\Bigr )}^{n}=(m+1)!\,xe^{\frac {1}{x}},\qquad x>0,

because all the positive terms for $n\neq m+1$ are added. Therefore, dividing this inequality by $e^{\frac {1}{x}}$ and taking the limit from above,

\lim _{x\searrow 0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{m}}}\leq (m+1)!\lim _{x\searrow 0}x=0.

We now prove the formula for the nth derivative of f by mathematical induction. Using the chain rule, the reciprocal rule, and the fact that the derivative of the exponential function is again the exponential function, we see that the formula is correct for the first derivative of f for all x > 0 and that p₁(x) is a polynomial of degree 0. Of course, the derivative of f is zero for x < 0.It remains to show that the right-hand side derivative of f at x = 0 is zero. Using the above limit, we see that

f'(0)=\lim _{x\searrow 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\searrow 0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x}}=0.

The induction step from n to n + 1 is similar. For x > 0 we get for the derivative

{\begin{aligned}f^{(n+1)}(x)&={\biggl (}{\frac {p'_{n}(x)}{x^{2n}}}-2n{\frac {p_{n}(x)}{x^{2n+1}}}+{\frac {p_{n}(x)}{x^{2n+2}}}{\biggr )}f(x)\\&={\frac {x^{2}p'_{n}(x)-(2nx-1)p_{n}(x)}{x^{2n+2}}}f(x)\\&={\frac {p_{n+1}(x)}{x^{2(n+1)}}}f(x),\end{aligned}}

where p_n+1(x) is a polynomial of degree n = (n + 1) − 1. Of course, the (n + 1)st derivative of f is zero for x < 0. For the right-hand side derivative of f⁽ⁿ⁾ at x = 0 we obtain with the above limit

\lim _{x\searrow 0}{\frac {f^{(n)}(x)-f^{(n)}(0)}{x-0}}=\lim _{x\searrow 0}{\frac {p_{n}(x)}{x^{2n+1}}}\,e^{-1/x}=0.

Функция не является аналитической

Как было замечено ранее, функция f является гладкой, и все ее производные в начале координат равны 0. Следовательно, ряд Тейлора функции f в начале координат всюду сходится к нулевой функции ,

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {0}{n!}}x^{n}=0,\qquad x\in \mathbb {R} ,

и поэтому ряд Тейлора не равен f ( x ) при x > 0. Следовательно, f не является аналитическим в начале координат.

Функции плавного перехода

Здесь определен плавный переход g от 0 к 1.

Функция

g(x)={\frac {f(x)}{f(x)+f(1-x)}},\qquad x\in \mathbb {R} ,

имеет строго положительный знаменатель всюду на вещественной прямой, следовательно, g также гладкая. Кроме того, g ( x ) = 0 для x ≤ 0 и g ( x ) = 1 для x ≥ 1, следовательно, это обеспечивает плавный переход с уровня 0 на уровень 1 в единичном интервале [0, 1]. Чтобы иметь плавный переход в вещественном интервале [ a , b ] с a < b , рассмотрим функцию

\mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}.

Для действительных чисел $a < b < c < d$ гладкая функция

\mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}\,g{\Bigl (}{\frac {d-x}{d-c}}{\Bigr )}

равен 1 на замкнутом интервале [ b , c ] и исчезает вне открытого интервала ( a , d ), следовательно, он может служить функцией рельефа .

Гладкая функция, которая нигде не является аналитической.

Более патологический пример — бесконечно дифференцируемая функция, не являющаяся аналитической ни в какой точке . Его можно построить с помощью ряда Фурье следующим образом. Определить для всех $x\in \mathbb {R}$

F(x):=\sum _{k\in \mathbb {N} }e^{-{\sqrt {2^{k}}}}\cos(2^{k}x)\ .

Начиная с сериала $\sum _{k\in \mathbb {N} }e^{-{\sqrt {2^{k}}}}{(2^{k})}^{n}$ сходится для всех $n\in \mathbb {N}$ , эта функция, как легко видеть, принадлежит классу C ^∞, с помощью стандартного индуктивного применения М-теста Вейерштрасса для демонстрации равномерной сходимости каждой серии производных.

Сейчас мы покажем, что $F(x)$ не является аналитическим ни при каком двоично-рациональном кратном π, т. е. при любом $x:=\pi \cdot p\cdot 2^{-q}$ с $p\in \mathbb {Z}$ и $q\in \mathbb {N}$ . Поскольку сумма первых $q$ термин аналитичен, нам нужно только рассмотреть $F_{>q}(x)$ , сумма членов с $k>q$ . Для всех порядков вывода $n=2^{m}$ с $m\in \mathbb {N}$ , $m\geq 2$ и $m>q/2$ у нас есть

F_{>q}^{(n)}(x):=\sum _{k\in \mathbb {N}  \atop k>q}e^{-{\sqrt {2^{k}}}}{(2^{k})}^{n}\cos(2^{k}x)=\sum _{k\in \mathbb {N}  \atop k>q}e^{-{\sqrt {2^{k}}}}{(2^{k})}^{n}\geq e^{-n}n^{2n}\quad (\mathrm {as} \;n\to \infty )

где мы использовали тот факт, что $\cos(2^{k}x)=1$ для всех $2^{k}>2^{q}$ , а первую сумму мы ограничили снизу членом с $2^{k}=2^{2m}=n^{2}$ . Как следствие, при любом таком $x\in \mathbb {R}$

\limsup _{n\to \infty }\left({\frac {|F_{>q}^{(n)}(x)|}{n!}}\right)^{1/n}=+\infty \,,

так что сходимости ряда Тейлора радиус $F_{>q}$ в $x$ равен 0 по формуле Коши-Адамара . Поскольку множество аналитичности функции является открытым множеством и поскольку двоично-рациональные числа плотны , заключаем, что $F_{>q}$ , и, следовательно, $F$ , нигде не является аналитическим в $\mathbb {R}$ .

Приложение к ряду Тейлора

Для каждой последовательности α ₀ , α ₁ , α ₂ , . . . действительных или комплексных чисел следующая конструкция показывает существование гладкой функции F на действительной прямой, которая имеет эти числа как производные в начале координат. ^[1] В частности, каждая последовательность чисел может выступать в качестве коэффициентов ряда Тейлора гладкой функции. Этот результат известен как лемма Бореля в честь Эмиля Бореля .

Используя функцию плавного перехода g , как указано выше, определите

h(x)=g(2+x)\,g(2-x),\qquad x\in \mathbb {R} .

Эта функция h также является гладкой; он равен 1 на отрезке [−1,1] и обращается в нуль вне отрезка (−2,2). Используя h , определите для каждого натурального числа n (включая ноль) гладкую функцию

\psi _{n}(x)=x^{n}\,h(x),\qquad x\in \mathbb {R} ,

что совпадает с мономом x ^н на [−1,1] и обращается в нуль вне интервала (−2,2). Следовательно, k -я производная ψ _n в начале координат удовлетворяет условию

\psi _{n}^{(k)}(0)={\begin{cases}n!&{\text{if }}k=n,\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\quad k,n\in \mathbb {N} _{0},

а из теоремы об ограниченности следует, что ψ _n и каждая производная от ψ _n ограничены. Следовательно, константы

\lambda _{n}=\max {\bigl \{}1,|\alpha _{n}|,\|\psi _{n}\|_{\infty },\|\psi _{n}^{(1)}\|_{\infty },\ldots ,\|\psi _{n}^{(n)}\|_{\infty }{\bigr \}},\qquad n\in \mathbb {N} _{0},

включающие верхнюю норму ψ производные, являются _n и ее первые n четко определенными действительными числами. Определите масштабируемые функции

f_{n}(x)={\frac {\alpha _{n}}{n!\,\lambda _{n}^{n}}}\psi _{n}(\lambda _{n}x),\qquad n\in \mathbb {N} _{0},\;x\in \mathbb {R} .

Путем многократного применения правила цепочки ,

f_{n}^{(k)}(x)={\frac {\alpha _{n}}{n!\,\lambda _{n}^{n-k}}}\psi _{n}^{(k)}(\lambda _{n}x),\qquad k,n\in \mathbb {N} _{0},\;x\in \mathbb {R} ,

и, используя предыдущий результат для k -й производной ψ _n в нуле,

f_{n}^{(k)}(0)={\begin{cases}\alpha _{n}&{\text{if }}k=n,\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\qquad k,n\in \mathbb {N} _{0}.

Осталось показать, что функция

F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x),\qquad x\in \mathbb {R} ,

четко определена и может дифференцироваться почленно бесконечное число раз. ^[2] Для этого заметим, что для каждого k

\sum _{n=0}^{\infty }\|f_{n}^{(k)}\|_{\infty }\leq \sum _{n=0}^{k+1}{\frac {|\alpha _{n}|}{n!\,\lambda _{n}^{n-k}}}\|\psi _{n}^{(k)}\|_{\infty }+\sum _{n=k+2}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\underbrace {\frac {1}{\lambda _{n}^{n-k-2}}} _{\leq \,1}\underbrace {\frac {|\alpha _{n}|}{\lambda _{n}}} _{\leq \,1}\underbrace {\frac {\|\psi _{n}^{(k)}\|_{\infty }}{\lambda _{n}}} _{\leq \,1}<\infty ,

где оставшийся бесконечный ряд сходится по критерию отношения .

Применение к более высоким измерениям

Для каждого радиуса r > 0

\mathbb {R} ^{n}\ni x\mapsto \Psi _{r}(x)=f(r^{2}-\|x\|^{2})

с евклидовой нормой || х || определяет гладкую функцию в n -мерном евклидовом пространстве с опорой в шаре радиуса r , но $\Psi _{r}(0)>0$ .

Комплексный анализ

Эта патология не может возникнуть при дифференцируемых функциях комплексной переменной, а не действительной переменной. Действительно, все голоморфные функции аналитичны , так что неспособность функции f, определенной в этой статье, быть аналитической, несмотря на ее бесконечно дифференцируемую, является указанием на одно из самых драматических различий между анализом с действительными переменными и анализом с комплексными переменными.

Заметим, что хотя функция f имеет производные всех порядков по вещественной прямой, аналитическое продолжение f > 0 от положительной полупрямой x на комплексную плоскость , т. е. функция

\mathbb {C} \setminus \{0\}\ni z\mapsto e^{-{\frac {1}{z}}}\in \mathbb {C} ,

имеет существенную особенность в начале координат и, следовательно, не является даже непрерывным и тем более аналитическим. По великой теореме Пикара оно достигает каждого комплексного значения (за исключением нуля) бесконечное число раз в каждой окрестности начала координат.

См. также

Примечания

^ Упражнение 12 на странице 418 в книге Вальтера Рудина « Реальный и комплексный анализ» . МакГроу-Хилл, Нью-Дели, 1980 г., ISBN 0-07-099557-5
^ См., например, главу V, раздел 2, теорему 2.8 и следствие 2.9 о дифференцируемости пределов последовательностей функций из Аманн, Герберт; Эшер, Иоахим (2005), Анализ I , Базель: Birkhäuser Verlag , стр. 373–374, ISBN 3-7643-7153-6

Внешние ссылки

«Бесконечно дифференцируемая функция, не являющаяся аналитической» . ПланетаМатематика .

[1] Упражнение 12 на странице 418 в книге Вальтера Рудина « Реальный и комплексный анализ» . МакГроу-Хилл, Нью-Дели, 1980 г., ISBN 0-07-099557-5

[2] См., например, главу V, раздел 2, теорему 2.8 и следствие 2.9 о дифференцируемости пределов последовательностей функций из Аманн, Герберт; Эшер, Иоахим (2005), Анализ I , Базель: Birkhäuser Verlag , стр. 373–374, ISBN 3-7643-7153-6

[1]

[2]