Изометрия

В математике изометрия (или конгруэнтность , или конгруэнтное преобразование ) — это сохраняющее расстояние преобразование между метрическими пространствами , которое обычно считается биективным . ^[а] Слово изометрия происходит от древнегреческого : ἴσος isos, что означает «равный», и μέτρον Metron, что означает «мера». Если преобразование происходит из метрического пространства в себя, это своего рода геометрическое преобразование, известное как движение .

Введение

Учитывая метрическое пространство (проще говоря, набор и схему назначения расстояний между элементами набора), изометрия — это преобразование , которое отображает элементы в то же или другое метрическое пространство так, что расстояние между элементами изображения в новом метрическом пространстве равно расстоянию между элементами исходного метрического пространства. В двумерном или трехмерном евклидовом пространстве две геометрические фигуры конгруэнтны , если они связаны изометрией; ^[б]изометрия, которая их связывает, представляет собой либо жесткое движение (перенос или вращение), либо смесь жесткого движения и отражения .

Изометрии часто используются в конструкциях, где одно пространство встроено в другое. Например, пополнение метрического пространства $M$ включает в себя изометрию от $M$ в $M',$ фактормножество на пространства Коши последовательностей $M.$ Оригинальное пространство $M$ таким образом, изометрически изоморфно подпространству полного метрического пространства и обычно отождествляется с этим подпространством. Другие конструкции вложения показывают, что каждое метрическое пространство изометрически изоморфно замкнутому подмножеству некоторого нормированного векторного пространства и что каждое полное метрическое пространство изометрически изоморфно замкнутому подмножеству некоторого банахова пространства .

Изометрический сюръективный линейный оператор в гильбертовом пространстве называется унитарным оператором .

Определение

Позволять $X$ и $Y$ быть метрическими пространствами с метриками (например, расстояниями) ${\textstyle d_{X}}$ и ${\textstyle d_{Y}.}$ Карта ${\textstyle f\colon X\to Y}$ называется изометрическим или сохраняющим расстояние отображением, если для любого $a,b\in X$ ,

d_{X}(a,b)=d_{Y}\!\left(f(a),f(b)\right).

^[4]^[с]

Изометрия автоматически инъективна ; ^[а] в противном случае две различные точки a и b могли бы быть отображены в одну и ту же точку, что противоречит тем самым аксиоме совпадения метрики d , т. е. $d(a,b)=0$ тогда и только тогда, когда $a=b$ . Это доказательство аналогично доказательству того, что упорядоченное вложение между частично упорядоченными множествами инъективно. Ясно, что каждая изометрия между метрическими пространствами является топологическим вложением .

, Глобальная изометрия изометрический изоморфизм или конгруэнтное отображение — это биективная изометрия. Как и любая другая биекция, глобальная изометрия имеет обратную функцию . Обратная глобальная изометрия также является глобальной изометрией.

Два метрических пространства X и Y называются изометрическими, если существует биективная изометрия X в Y . Набор биективных изометрий метрического пространства самому себе образует группу относительно композиции функций , называемую группой изометрий .

Существует также более слабое понятие изометрии пути или дуговой изометрии :

Изометрия пути или дуговая изометрия — это карта, которая сохраняет длины кривых ; такое отображение не обязательно является изометрией в смысле сохранения расстояния, и оно не обязательно должно быть биективным или даже инъективным. Этот термин часто сокращают до просто изометрии , поэтому следует позаботиться о том, чтобы определить из контекста, какой тип имеется в виду.

Примеры

Любое отражение , перенос и вращение являются глобальной изометрией евклидовых пространств . См. также Евклидову группу и Евклидово пространство § Изометрии .
Карта $x\mapsto |x|$ в $\mathbb {R}$ является изометрией пути , но не (общей) изометрией. Обратите внимание, что в отличие от изометрии, эта изометрия пути не обязательно должна быть инъективной.

Изометрии между нормированными пространствами

Следующая теорема принадлежит Мазуру и Уламу.

Определение : ^[5] Середина x двух элементов

и

y

в

векторном пространстве - это вектор

.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 1 / 2 ⁠ ( Икс + у )

.

Теорема ^[5]^[6] — Пусть $A : X \to Y$ — сюръективная изометрия между нормированными пространствами которая отображает 0 в 0 ( Стефан Банах назвал такие отображения вращениями ), где обратите внимание, что $A$ не предполагается линейной , изометрией. Тогда $A$ отображает средние точки в средние точки и является линейным как отображение действительных чисел. $\mathbb {R}$ . Если $X$ и $Y$ — комплексные векторные пространства, то $A$ может не быть линейным как отображение над $\mathbb {C}$ .

Линейная изометрия

Учитывая два нормированных векторных пространства $V$ и $W,$ линейная изометрия - это линейная карта $A:V\to W$ что сохраняет нормы:

\|Av\|_{W}=\|v\|_{V}

для всех $v\in V.$ ^[7] Линейные изометрии — это карты, сохраняющие расстояние в указанном выше смысле. Они являются глобальными изометриями тогда и только тогда, когда они сюръективны .

Во внутреннем пространстве продукта приведенное выше определение сводится к

\langle v,v\rangle _{V}=\langle Av,Av\rangle _{W}

для всех $v\in V,$ что эквивалентно тому, что $A^{\dagger }A=\operatorname {Id} _{V}.$ Это также означает, что изометрии сохраняют внутренние продукты, поскольку

\langle Au,Av\rangle _{W}=\langle u,A^{\dagger }Av\rangle _{V}=\langle u,v\rangle _{V}

.

Однако линейные изометрии не всегда являются унитарными операторами , поскольку для них дополнительно требуется, чтобы $V=W$ и $AA^{\dagger }=\operatorname {Id} _{V}$ (т.е. домен и кодомен совпадают и $A$ определяет коизометрию ).

По теореме Мазура–Улама любая изометрия нормированных векторных пространств над $\mathbb {R}$ является аффинным .

Линейная изометрия также обязательно сохраняет углы, поэтому преобразование линейной изометрии является конформным линейным преобразованием .

Примеры

карта Линейная из $\mathbb {C} ^{n}$ сама по себе является изометрией (для скалярного произведения ) тогда и только тогда, когда ее матрица унитарна . ^[8]^[9]^[10]^[11]

Коллектор

Изометрия многообразия — это любое (гладкое) отображение этого многообразия в себя или в другое многообразие, сохраняющее понятие расстояния между точками. Определение изометрии требует понятия метрики на многообразии; многообразие с (положительно определенной) метрикой является римановым многообразием , многообразие с неопределенной метрикой — псевдоримановым многообразием . Таким образом, изометрии изучаются в римановой геометрии .

одного Локальная изометрия ( псевдо- ) риманова многообразия в другое — это отображение, которое возвращает метрический тензор второго многообразия к метрическому тензору первого. Когда такое отображение также является диффеоморфизмом , такое отображение называется изометрией (или изометрическим изоморфизмом ) и дает понятие изоморфизма («идентичности») в категории Rm римановых многообразий.

Определение

Позволять $R=(M,g)$ и $R'=(M',g')$ — два (псевдо)римановых многообразия, и пусть $f:R\to R'$ быть диффеоморфизмом. Затем $f$ называется изометрией (или изометрическим изоморфизмом ), если

g=f^{*}g',

где $f^{*}g'$ обозначает обратный образ метрического тензора ранга (0, 2) $g'$ к $f$ . Аналогично, с точки зрения продвижения вперед $f_{*},$ у нас это есть для любых двух векторных полей $v,w$ на $M$ (т.е. сечения касательного расслоения $\mathrm {T} M$ ),

g(v,w)=g'\left(f_{*}v,f_{*}w\right).

Если $f$ является локальным диффеоморфизмом таким, что $g=f^{*}g',$ затем $f$ называется локальной изометрией .

Характеристики

Набор изометрий обычно образует группу — группу изометрий . Когда группа является непрерывной группой , бесконечно малыми генераторами группы являются векторные поля Киллинга .

Теорема Майерса -Стинрода утверждает, что каждая изометрия между двумя связными римановыми многообразиями является гладкой (дифференцируемой). Вторая форма этой теоремы утверждает, что группа изометрий риманова многообразия является группой Ли .

Римановы многообразия , изометрии которых определены в каждой точке, называются симметрическими пространствами .

Обобщения

Учитывая положительное действительное число ε, ε-изометрия или почти изометрия (также называемая Хаусдорфа приближением ) является отображением $f\colon X\to Y$ ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$ между метрическими пространствами такими, что
1. для $x,x'\in X$ у одного есть $|d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon ,$ и
2. для любой точки $y\in Y$ существует точка $x\in X$ с $d_{Y}(y,f(x))<\varepsilon$

То есть

ε

-изометрия сохраняет расстояния с точностью до

ε

и не оставляет ни одного элемента кодомена дальше, чем

на ε,

от образа элемента области. Заметим, что

ε

-изометрии не считаются непрерывными .

Свойство ограниченной изометрии характеризует почти изометрические матрицы для разреженных векторов.
Квазиизометрия — еще одно полезное обобщение.
Можно также определить элемент в абстрактной единичной C*-алгебре как изометрию:
$a\in {\mathfrak {A}}$ является изометрией тогда и только тогда, когда $a^{*}\cdot a=1.$

Обратите внимание, что, как упоминалось во введении, это не обязательно унитарный элемент, поскольку, как правило, не существует того, что левый инверсный является правым инверсным.

В псевдоевклидовом пространстве термин изометрия означает линейную биекцию, сохраняющую величину. См. также Квадратичные пространства .

См. также

Сноски

^ Jump up to: ^а ^б «Нам будет удобно использовать слово «преобразование» в специальном смысле взаимно однозначного соответствия. $P\to P'$ среди всех точек на плоскости (или в пространстве), то есть правило связывания пар точек, при том понимании, что каждая пара имеет первый член $P$ и второй член $P'$ и что каждая точка встречается как первый член всего в одной паре, а также в качестве второго члена всего лишь в одной паре...
В частности, изометрия (или «конгруэнтное преобразование», или «конгруэнтность») — это преобразование, сохраняющее длину…» — Коксетер (1969), стр. 29. ^[2]
^
3.11. Любые два равных треугольника связаны единственной изометрией. - Коксетер (1969) с. 39 ^[3]
^
Пусть $T —$ преобразование (возможно, многозначное) $E^{n}$ ( $2\leq n<\infty$ ) в себя.
Позволять $d(p,q)$ быть расстоянием между $p$ и $q$ точками $E^{n}$ , и пусть $Tp$ , $Tq$ — любые образы $p$ и $q$ соответственно.
Если существует длина $a$ > 0 такая, что $d(Tp,Tq)=a$ в любое время $d(p,q)=a$ , то $T$ — евклидово преобразование $E^{n}$ на себя. ^[4]

Ссылки

^ Коксетер 1969 , с. 46
3.51. Любая прямая изометрия представляет собой либо сдвиг, либо поворот. Любая противоположная изометрия является либо отражением, либо скользящим отражением.
^ Коксетер 1969 , с. 29
^ Коксетер 1969 , с. 39
^ Jump up to: ^а ^б Бекман, Ф.С.; Куорлз, Д.А. младший (1953). «Об изометриях евклидовых пространств» (PDF) . Труды Американского математического общества . 4 (5): 810–815. дои : 10.2307/2032415 . JSTOR 2032415 . МР 0058193 .
^ Jump up to: ^а ^б Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 275–339.
^ Виланский 2013 , стр. 21–26.
^ Томсен, Джеспер Фунч (2017). Линейная алгебра [ Линейная алгебра ]. Кафедра математики (на датском языке). Орхус: Орхусский университет. стр. 125.
^ Ровейс, ST; Саул, ЛК (2000). «Нелинейное уменьшение размерности путем локально линейного встраивания». Наука . 290 (5500): 2323–2326. CiteSeerX 10.1.1.111.3313 . дои : 10.1126/science.290.5500.2323 . ПМИД 11125150 .
^ Сол, Лоуренс К.; Роуэйс, Сэм Т. (июнь 2003 г.). «Думай глобально, подходи локально: обучение нелинейных многообразий без учителя». Журнал исследований машинного обучения . 4 (июнь): 119–155. Квадратичная оптимизация $\mathbf {M} =(I-W)^{\top }(I-W)$ (стр. 135) такой, что $\mathbf {M} \equiv YY^{\top }$
^ Чжан, Чжэньюэ; Чжа, Хунъюань (2004). «Основные многообразия и нелинейное уменьшение размеров посредством выравнивания локального касательного пространства». SIAM Журнал по научным вычислениям . 26 (1): 313–338. CiteSeerX 10.1.1.211.9957 . дои : 10.1137/s1064827502419154 .
^ Чжан, Чжэньюэ; Ван, Цзин (2006). «MLLE: модифицированное локально линейное встраивание с использованием нескольких весов» . В Шёлкопфе, Б.; Платт, Дж.; Хоффман, Т. (ред.). Достижения в области нейронных систем обработки информации . NIPS 2006. Слушания NeurIPS. Том. 19. стр. 1593–1600. ISBN 9781622760381 . Он может получить идеальное вложение, если MLLE применяется к точкам данных, выбранным из изометрического многообразия.

Библиография

Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4 . OCLC 849801114 .
Коксетер, HSM (1969). Введение в геометрию, второе издание . Уайли . ISBN 9780471504580 .
Ли, Джеффри М. (2009). Многообразия и дифференциальная геометрия . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4815-9 .

[CoxeterIsometryDef-3] Jump up to: ^а ^б «Нам будет удобно использовать слово «преобразование» в специальном смысле взаимно однозначного соответствия. $P\to P'$ среди всех точек на плоскости (или в пространстве), то есть правило связывания пар точек, при том понимании, что каждая пара имеет первый член $P$ и второй член $P'$ и что каждая точка встречается как первый член всего в одной паре, а также в качестве второго члена всего лишь в одной паре...
В частности, изометрия (или «конгруэнтное преобразование», или «конгруэнтность») — это преобразование, сохраняющее длину…» — Коксетер (1969), стр. 29. ^[2]

[5] 
3.11. Любые два равных треугольника связаны единственной изометрией. - Коксетер (1969) с. 39 ^[3]

[7] 
Пусть $T —$ преобразование (возможно, многозначное) $E^{n}$ ( $2\leq n<\infty$ ) в себя.
Позволять $d(p,q)$ быть расстоянием между $p$ и $q$ точками $E^{n}$ , и пусть $Tp$ , $Tq$ — любые образы $p$ и $q$ соответственно.
Если существует длина $a$ > 0 такая, что $d(Tp,Tq)=a$ в любое время $d(p,q)=a$ , то $T$ — евклидово преобразование $E^{n}$ на себя. ^[4]

[1] Коксетер 1969 , с. 46
3.51. Любая прямая изометрия представляет собой либо сдвиг, либо поворот. Любая противоположная изометрия является либо отражением, либо скользящим отражением.

[2] Коксетер 1969 , с. 29

[4] Коксетер 1969 , с. 39

[Beckman-Quarles-1953-6] Jump up to: ^а ^б Бекман, Ф.С.; Куорлз, Д.А. младший (1953). «Об изометриях евклидовых пространств» (PDF) . Труды Американского математического общества . 4 (5): 810–815. дои : 10.2307/2032415 . JSTOR 2032415 . МР 0058193 .

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011275–339-8] Jump up to: ^а ^б Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 275–339.

[FOOTNOTEWilansky201321–26-9] Виланский 2013 , стр. 21–26.

[Thomsen_2017_p125-10] Томсен, Джеспер Фунч (2017). Линейная алгебра [ Линейная алгебра ]. Кафедра математики (на датском языке). Орхус: Орхусский университет. стр. 125.

[11] Ровейс, ST; Саул, ЛК (2000). «Нелинейное уменьшение размерности путем локально линейного встраивания». Наука . 290 (5500): 2323–2326. CiteSeerX 10.1.1.111.3313 . дои : 10.1126/science.290.5500.2323 . ПМИД 11125150 .

[12] Сол, Лоуренс К.; Роуэйс, Сэм Т. (июнь 2003 г.). «Думай глобально, подходи локально: обучение нелинейных многообразий без учителя». Журнал исследований машинного обучения . 4 (июнь): 119–155. Квадратичная оптимизация $\mathbf {M} =(I-W)^{\top }(I-W)$ (стр. 135) такой, что $\mathbf {M} \equiv YY^{\top }$

[Zhang-Zha-2004-13] Чжан, Чжэньюэ; Чжа, Хунъюань (2004). «Основные многообразия и нелинейное уменьшение размеров посредством выравнивания локального касательного пространства». SIAM Журнал по научным вычислениям . 26 (1): 313–338. CiteSeerX 10.1.1.211.9957 . дои : 10.1137/s1064827502419154 .

[Zhang-Wang-2006-14] Чжан, Чжэньюэ; Ван, Цзин (2006). «MLLE: модифицированное локально линейное встраивание с использованием нескольких весов» . В Шёлкопфе, Б.; Платт, Дж.; Хоффман, Т. (ред.). Достижения в области нейронных систем обработки информации . NIPS 2006. Слушания NeurIPS. Том. 19. стр. 1593–1600. ISBN 9781622760381 . Он может получить идеальное вложение, если MLLE применяется к точкам данных, выбранным из изометрического многообразия.

[1]

[а]

[б]

[4]

[с]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[2]

[3]